學(xué)會(huì)分析數(shù)據(jù)的波動(dòng)

李典婷

生活現(xiàn)象

有的同學(xué)學(xué)習(xí)成績不穩(wěn)定，忽高忽低，忽上忽下，波動(dòng)很大，他們的成績在班級(jí)的排名可以明顯說明這一問題；而有的同學(xué)學(xué)習(xí)成績非常穩(wěn)定，一直保持在班級(jí)某個(gè)名次左右，跨度很小. 或者說，有的同學(xué)學(xué)習(xí)成績穩(wěn)步上升，而有的同學(xué)學(xué)習(xí)成績直線下降，這實(shí)際就是數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度.

在大數(shù)據(jù)時(shí)代，同學(xué)們將來在工作中可能會(huì)接觸大量數(shù)據(jù)，因此，從現(xiàn)在開始，同學(xué)們就要學(xué)會(huì)分析一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度. 下面，我們就通過一道例題說明如何分析數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度.

例題精析

例 甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員的10次射擊成績（單位：環(huán)）如表1所示，請你判斷哪位運(yùn)動(dòng)員的射擊成績比較穩(wěn)定.

解法1：一般情況下，一組數(shù)據(jù)的方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度就越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定；反之，一組數(shù)據(jù)的方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度就越大，這組數(shù)據(jù)就越不穩(wěn)定. 因此，我們可以通過計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的方差來判斷哪位運(yùn)動(dòng)員的射擊成績穩(wěn)定.

甲的射擊成績平均數(shù)[x甲=7×3+8×2+9×2+10×310=8.5].

乙的射擊成績平均數(shù)[x乙=7×2+8×2+9×5+10×110=8.5].

甲的射擊成績的方差：

[s2甲=（8-8.5）2+（9-8.5）2+? ?+ （7-8.5）2+（10-8.5）210=1.45].

乙的射擊成績的方差：

[s2乙=（7-8.5）2+（7-8.5）2+? ?+ （9-8.5）2+（9-8.5）210=0.85].

顯然[s2甲>s2乙]，所以乙的射擊成績比較穩(wěn)定.

在比較一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度或穩(wěn)定性時(shí)，是否一定要用方差這個(gè)統(tǒng)計(jì)量呢？回答是不一定.

解法2：在比較上面兩位運(yùn)動(dòng)員10次射擊成績的穩(wěn)定性時(shí)，我們可以用折線統(tǒng)計(jì)圖表示出兩位運(yùn)動(dòng)員的射擊成績，如圖1所示.

通過折線統(tǒng)計(jì)圖我們可以清晰地看出，甲10次射擊成績的折線統(tǒng)計(jì)圖（虛線表示）忽高忽低，而且跨越幅度較大（如第5次到第6次，從最高的10環(huán)猛降到最低的7環(huán)，第8次到第9次亦是如此；而第9次到第10次，又從最低的7環(huán)猛升到10環(huán)）. 而乙10次射擊成績的折線統(tǒng)計(jì)圖變化比較平穩(wěn)，起伏不大，無論是上升還是下降的幅度都比較小，其中前兩次與最后三次的成績都分別在一個(gè)水平線上，而甲的射擊成績從來沒有連續(xù)兩次在同一條水平線上. 從折線統(tǒng)計(jì)圖可以看出，乙的射擊成績比較穩(wěn)定.

規(guī)律：兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度，可以通過方差和折線統(tǒng)計(jì)圖兩種方法進(jìn)行比較. 有時(shí)也可以用方差的意義進(jìn)行比較.

變式應(yīng)用

芭蕾舞是一種來自歐洲的古典舞蹈，它的一個(gè)最重要特征是女演員表演時(shí)以腳尖點(diǎn)地，因此又稱“腳尖舞”.芭蕾舞對女演員的身高要求比較嚴(yán)格，女演員不能太高也不能太矮. 在一次芭蕾舞表演比賽中，“白天鵝”芭蕾舞團(tuán)與“維納斯”芭蕾舞團(tuán)都表演了《天堂的孩子》，參加表演的女演員的身高（單位：cm）如表2所示，試判斷哪個(gè)芭蕾舞團(tuán)女演員的身高更加整齊.

對于這樣的問題，我們還有必要再計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的方差嗎？當(dāng)然沒有. 觀察兩組表格中的數(shù)據(jù)很快發(fā)現(xiàn)，“白天鵝”芭蕾舞團(tuán)女演員的身高非常整齊，10人中9人身高一樣，而“維納斯”芭蕾舞團(tuán)女演員的身高既有163 cm（3人），也有164 cm（5人），還有165 cm（2人）. 顯然，“白天鵝”芭蕾舞團(tuán)女演員的身高整齊.這正是根據(jù)方差的意義來比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度.

綜上可知，比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度，既可以通過比較兩組數(shù)據(jù)的方差，也可以通過觀察兩組數(shù)據(jù)的折線統(tǒng)計(jì)圖，還可以根據(jù)方差本身的意義. 因此，比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度一定要具體問題具體分析，根據(jù)問題的特點(diǎn)選擇合適的方法.

（作者單位：甘肅省積石山縣銀川初級(jí)中學(xué)）