不同截止高度角下天線陣列RTK 定位分析

王超，劉長建，肖國銳，孫爽，孟欣

(信息工程大學地理空間信息學院,鄭州 450001)

0 引言

實時動態(tài)(RTK)是一種利用載波相位觀測值實現(xiàn)高精度定位的技術之一，載波相位整周模糊度正確固定是RTK 達到厘米級甚至毫米級定位的關鍵[1].為解決模糊度固定問題，基于整數(shù)最小二乘理論的算法是當前模糊度解算方法中關注最多的，這類方法中比較有代表性的有最小二乘模糊度降相關平差(LAMBDA)[2]、三頻載波模糊度解(TCAR)[3]、最優(yōu)GPS 模糊度估計(OMEGA)等[4].同時模糊度固定還取決于全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)(GNSS)的模型強度及觀測值精度，相同觀測精度下模型強度越強模糊度就越容易固定[5-6].為增強GNSS 模型強度，一些學者使用多頻、多系統(tǒng)組合的GNSS 定位方法，結果表明：雙頻、三頻組合的模糊度固定率高于單頻[7-10]，多系統(tǒng)組合能夠改善衛(wèi)星空間幾何結構，提高定位精度[11-13].另外基于多接收機組合的方法已被廣泛使用，例如多元約束的姿態(tài)確定[14-16]、多動態(tài)參考差分增強定位[17]、天線陣列輔助精密單點定位(PPP)等[18].

研究表明多臺接收機組成的天線陣列能夠提高RTK 模糊度固定成功率與可靠性[19]，但目前對天線陣列RTK 的研究較少，文獻[6，19]主要對天線陣列RTK 的模糊度固定進行分析，對其定位性能分析較少，對不同截止高度角下的天線陣列RTK 定位研究不足.設置不同截止高度角在一定程度上能夠模擬樹木、建筑遮擋衛(wèi)星信號的情況，所以不同截止高度角下的天線陣列RTK 定位性能分析具有一定的研究和應用價值.

為此，本文對比分析了天線陣列RTK 與RTK 的數(shù)學模型，研究了20°～50°截止高度角下GPS 單系統(tǒng)、BDS 單系統(tǒng)以及GPS+BDS 的天線陣列RTK 模糊度固定與定位性能，并與RTK 計算結果進行比較，驗證了天線陣列RTK 模型的可行性，并提高了RTK 在大截止高度角下的適用性.

1 天線陣列RTK 模型

1.1 觀測模型

假設原始偽距、載波相位觀測方程為

短基線背景下，電離層延遲與對流層延遲經(jīng)雙差處理后被極大削弱，因此忽略兩者雙差后的殘余誤差項.將r視為流動站接收機的標識，數(shù)字1 為參考站接收機標識，i、j為兩顆可視衛(wèi)星，在式(1)的基礎上，得到雙差觀測方程為

假設s+1 顆 衛(wèi)星在 第f個 頻率上被同時觀 測，根據(jù)文獻[5]，基于式(3)可以得到RTK 的觀測模型為

如圖1 所示，由一臺參考站接收機擴展到n臺接收機時，一共能夠構成n組雙差觀測方程，但由一組待求的參數(shù)向量變成了n組.參考文獻[19]中，向量b為參考站1 和流動站r之間的基線向量，而本文基線向量b實際上為近似坐標與待求坐標間的改正值向量，因此每個參考站與流動站組成的觀測方程中只需要選擇相同的近似坐標展開就可以保證所有待求向量b相同.因為向量b具體含義不同，所以本文的天線陣列RTK 觀測模型與文獻[19]有所區(qū)別.

圖1 天線陣列RTK 示意圖

對于n組雙差模糊度向量，有如下關系：

通過式(5)可以將其他的雙差模糊度向量都轉為一組待求的模糊度向量N1r.

將RTK 觀測模型擴展為天線陣列RTK 觀測模型，即

1.2 隨機模型

根據(jù)參考文獻[5]和文獻[19]，直接給出RTK 的隨機模型：

式中：?r、?1,...,?n為載波相位星間單差OMC(已經(jīng)減去近似點處的星地距離)；式中其他項與上文含義一致為n×(n+1)階流動站與天線陣列間的差分矩陣，當n=1 時，DA變?yōu)閱螀⒖颊九c流動站間的差分矩陣.認為流動站和參考站1 ,...,n的星間單差觀測值獨立等精度，結合式(9)天線陣列RTK 的載波相位雙差方程(偽距雙差方程同理)，根據(jù)誤差傳播律，可以得到天線陣列RTK 的隨機模型為：

1.3 與RTK 對比

首先對天線陣列RTK 和RTK 的數(shù)學模型進行對比.在觀測模型方面，根據(jù)式(4)和式(6)，兩種模型的形式具有一致性，區(qū)別在于天線陣列RTK 觀測模型將更多觀測值通過站間雙差模糊度信息融合進行參數(shù)解算，增加雙差方程的冗余度，提高了RTK 的模型強度.隨機模型方面則根據(jù)觀測模型的變化擴展了流動站和天線陣列間的差分矩陣.

本文使用LAMBDA 算法進行模糊度固定，需要先求出參數(shù)浮點解.天線陣列RTK 和RTK 通過與其對應的數(shù)學模型，根據(jù)最小二乘原理求得模糊度與基線向量的浮點解，篇幅限制未展示其推導過程.表1展示了天線陣列RTK 模型與RTK 模型的參數(shù)浮點解公式.

表1 天線陣列RTK 模型與RTK 模型參數(shù)浮點解公式

結合表1 中的公式可以推導出天線陣列RTK與RTK 這兩種模型的參數(shù)浮點解的關系為

2 實驗分析

2.1 實驗描述

實驗目的為分析不同截止高度角下的單GPS、單BDS 與GPS+BDS 雙系統(tǒng)組合的天線陣列RTK定位性能，雙系統(tǒng)采用松組合的形式，其中單系統(tǒng)和雙系統(tǒng)都采用常見的頻率組合，分別為L1+L2、B1I+B3I.實驗使用澳大利亞科廷大學GNSS 中心的四臺Trimble NETR9 接收機的觀測數(shù)據(jù)進行定位實驗，接收機天線為Trimble 59800，數(shù)據(jù)采樣間隔為30 s.圖2 為組成天線陣列的多臺接收機分布情況，其中CUT00、CUTA0、CUTB0 組成天線陣列，CUTC0 視為流動站，其坐標待求；當用RTK 解算時，CUT00 為參考站，CUTC0 為流動站.分別使用天線陣列RTK模型與RTK 模型進行解算，采用LAMBDA 算法進行模糊度固定，比較模糊度固定后的坐標與已知坐標，當三維誤差小于0.1 m 且通過ratio 檢驗則視為模糊度固定成功，其中ratio 檢驗閾值設為2.

圖2 天線布局示意圖

當截止高度角過大會導致一些歷元的可用衛(wèi)星數(shù)不能滿足定位要求，本文對不同截止高度角下的解算率進行統(tǒng)計，解算率為滿足定位要求的歷元占所有歷元的比例.衛(wèi)星單系統(tǒng)至少有4 顆可用衛(wèi)星，雙系統(tǒng)組合不少于5 顆且每個衛(wèi)星系統(tǒng)的可用衛(wèi)星不少于2 顆才能獲得單歷元解.當高度角小于20°時，BDS 單系統(tǒng)和GPS 單系統(tǒng)的解算率都是100%，因此截止高度角小于20°的解算率情況就不予列出.從表2中看出，GPS 單系統(tǒng)在截止高度角45°時有效歷元僅為37.7%，但BDS 和GPS+BDS 組合仍能保持較為連續(xù)的定位；當截止高度角為50°時，BDS 單系統(tǒng)的解算率為78.5%，有接近四分之一的歷元解算失敗，無法保持較連續(xù)定位.當截止高度角大于55°時，BDS 單系統(tǒng)只有12.5%的歷元能滿足定位需求，幾乎完全喪失單獨定位能力；GPS+BDS 組合系統(tǒng)在截止高度角為50°時，其解算率大于99%.GPS+BDS 組合系統(tǒng)在截止高度角為55°時，定位連續(xù)性銳減，截止高度角為60°時也完全喪失了連續(xù)定位的能力.

表2 不同截止高度角下各衛(wèi)星系統(tǒng)的解算率 %

從圖3 與表3 中可以看出，隨著截止高度角的增加可視衛(wèi)星數(shù)量減少，衛(wèi)星空間幾何結構變差，位置精度因子(PDOP)值變大.當截高度角為40°時，實驗中GPS 單系統(tǒng)對應的PDOP 均值大于20，平均可視衛(wèi)星數(shù)量為3.8 顆；而BDS 單系統(tǒng)在截止高度角為40°時，平均可視衛(wèi)星數(shù)有6.1 顆，PDOP 均值為6.9，相對于GPS 單系統(tǒng)具有明顯優(yōu)勢；GPS+BDS 雙系統(tǒng)組合與單系統(tǒng)相比，組合系統(tǒng)的可視衛(wèi)星數(shù)增加，衛(wèi)星的幾何結構更好，PDOP 均值在高度角為50°時為9.6，明顯優(yōu)于GPS 單系統(tǒng)和BDS 單系統(tǒng).

表3 不同截止高度角下各衛(wèi)星系統(tǒng)PDOP 均值與可視衛(wèi)星數(shù)均值

圖3 不同截止高度角下PDOP 均值與可視衛(wèi)星數(shù)均值

為具體分析天線陣列對于RTK 模型的增強，評估天線陣列RTK 的性能，分別使用天線陣列RTK 模型和RTK 模型計算BDS 單系統(tǒng)、GPS 單系統(tǒng)、BDS+GPS 三種情況下不同截止高度角的定位結果，并對兩種模型所對應的模糊度衰減因子(ADOP)、模糊度固定成功率、浮點解、固定解進行分析.

2.2 模糊度固定分析

自舉成功率Ps,IB計算簡單，是整數(shù)最小二乘成功率的明顯下限，能夠用來分析整數(shù)最小二乘成功率.圖4 中虛線代表的是天線陣列RTK 模型，實線是RTK 模型，可以看到，GPS 單系統(tǒng)在高度角大于20°時，兩種模型計算的自舉成功率就有較為明顯的差距，而BDS 單系統(tǒng)在高度角大于40°、GPS+BDS在高度角大于45°時，自舉成功率才有明顯差距.結合表3 分析這可能是由于GPS 單系統(tǒng)在高度角大于20°時，模型強度受衛(wèi)星數(shù)減少的影響，逐漸不能維持較高的模糊度自舉成功率，同理基于BDS 單系統(tǒng)、GPS+BDS 的RTK 模型強度則分別在40°、45°時不能保證較高的自舉成功率.以上這種情況意味著隨著截止高度角的變大，RTK 模型在模糊度固定方面受到挑戰(zhàn)，而天線陣列對模型的增強在一定程度上降低了模糊度固定的難度，在圖4 中表現(xiàn)為在較高的截止高度角下，天線陣列RTK 的自舉成功率高于RTK.

圖4 天線陣列RTK 與RTK 在不同截止高度角下的平均自舉成功率Ps,IB

表4 對兩種模型不同截止高度角下各個衛(wèi)星系統(tǒng)的模糊度固定成功率進行分析.當截止高度角為20°時，GPS 單系統(tǒng)的天線陣列RTK 模糊度固定成功率略高于RTK，與自舉成功率分析的結果一致；當截止高度角為30°、35°、40°、45°時，相較于RTK，天線陣列RTK 模糊度固定成功率分別從90.4%、84.8%、78%、70.8%提高至93.5%、90.3%、84.7%、78.2%，最多提高了7.4%.BDS 單系統(tǒng)在截止高度角50°時，天線陣列RTK 提高最多，為8%.因為GPS+BDS 組合的模型強度高于GPS、BDS 單系統(tǒng)，能夠較好地完成模糊度固定，所以在雙系統(tǒng)組合定位時天線陣列對RTK 的增益較小，模糊度固定成功率在截止高度角55°時提高最多，為4.9%.

表4 天線陣列RTK 與RTK 在不同截止高度角下的模糊度固定成功率 %

結合圖4、表3 和表4 發(fā)現(xiàn)，在低截止高度角可用衛(wèi)星數(shù)量充足的情況下，例如高度角為20°時RTK 的模型強度能夠保證較高的模糊度固定成功率，因此天線陣列RTK 的優(yōu)勢不明顯.而由于截止高度角變大導致可視衛(wèi)星減少，例如截止高度角由20°變?yōu)?0°時，GPS 單系統(tǒng)平均可視衛(wèi)星數(shù)由6.6 顆變?yōu)?.8 顆，衛(wèi)星空間構型強度變?nèi)?，GPS 單系統(tǒng)的模糊度固定成功率迅速降低.不過由于天線陣列RTK 的模型強度高于RTK，即便其模型強度也隨著衛(wèi)星數(shù)減少而減弱，但模糊度固定成功率仍比RTK高6.7%.而在50°的大截止高度角時，天線陣列RTK 的模糊度固定成功率為93.6%，優(yōu)于RTK 的89.6% 的模糊度固定率.表4 的結果表明，在低高度角GNSS 模型強度較高的情況下，天線陣列RTK 模型與RTK 模型的模糊度固定成功率沒有太大差別，但在高截止高度角時，隨著GNSS 模型強度的減弱，天線陣列RTK 模型的模糊度固定成功率明顯優(yōu)于RTK 模型.

接下來通過ADOP 值來解釋天線陣列RTK 提高模糊度固定成功率的原因.ADOP 是一種能夠衡量模糊度固定成功率且易于計算的標量因子，根據(jù)文獻[5]，其定義為

式中：q是模糊度向量的維數(shù)；|·| 是行列式運算符.根據(jù)式(12)，模糊度浮點解精度越高ADOP 值越小，而同樣條件下天線陣列RTK 模糊度浮點解精度高于RTK，所以其ADOP 值小于RTK.由于ADOP 值與模糊度搜索空間的體積對應相關，意味著天線陣列RTK 的模糊度搜索空間小于RTK，更有利于模糊度的搜索，并且ADOP 值等價于降相關后模糊度標準差的幾何平均值，所以天線陣列RTK 的模糊度固定成功率高于RTK，不過天線陣列RTK 能夠提高模糊度浮點解精度才是提高模糊度固定成功率的根本原因.

在圖5 中，藍色曲線和紅色曲線分別表示的是天線陣列RTK 模型與RTK 模型計算的ADOP 值.圖5(a)、(b)、(c)反映了基于兩種模型計算的不同截止高度角下不同衛(wèi)星系統(tǒng)所有歷元的ADOP 均值，對比圖5(a)和圖5(b)發(fā)現(xiàn)，相同截止高度角下BDS的ADOP 均值都小于GPS，當截止高度角大于30°時，BDS 的ADOP 值明顯小于GPS.結合表3 分析，可能由于BDS 的可視衛(wèi)星數(shù)多于GPS，衛(wèi)星幾何結構更好.圖5(d)是在截止高度角30°時，GPS 系統(tǒng)ADOP 值的時間序列，其更加直觀地展示了天線陣列RTK 對ADOP 值的減小.

圖5 不同截止高度角下RTK 和天線陣列RTK 計算的ADOP

2.3 定位精度分析

模糊度固定的最終目的是為了獲得精密定位，并且由于GNSS 信號常受到周圍環(huán)境遮擋，設置不同截止高度角能在一定程度上模擬城市峽谷或者林蔭道路環(huán)境，接下來對不同截止高度角下天線陣列RTK的定位性能進行評估.

由表5 可以看出，相同截止高度角的情況下，與RTK 相比，天線陣列RTK 都能明顯提高浮點解定位精度，其中當截止高度角為20°的GPS 單系統(tǒng)精度提升最少，為8.7%，在截止高度角為30°的BDS 單系統(tǒng)解算精度時提升最多，為27.1%.

表5 不同截止高度角下天線陣列RTK 與RTK 三維坐標RMSE

圖6 展示了截止高度角20°和40°時兩種模型固定解在水平、垂直方向上的偏差，圖中紅色、藍色散點分別代表RTK 與天線陣列RTK.可以發(fā)現(xiàn)天線陣列RTK 的定位精度更高，這是由于天線陣列RTK 增加了雙差模型的冗余度，提高了模型強度，而GPS+BDS 的組合要優(yōu)于GPS 單系統(tǒng)或BDS 單系統(tǒng)，這是由于雙系統(tǒng)組合增加了衛(wèi)星空間結構強度也提高了模型強度.開闊環(huán)境下常將截止高度角設置為20°或小于20°，此時GPS 單系統(tǒng)、BDS 單系統(tǒng)、GPS+BDS的解算率都為100%，且模糊度固定成功率接近100%，結果連續(xù)穩(wěn)定，滿足厘米級的定位需求.當高度角由20°增大到40°時，定位精度隨之下降，GPS 單系統(tǒng)的定位結果不連續(xù)，而BDS 單系統(tǒng)與GPS+BDS仍能保持厘米級定位.

圖6 截止高度角20°與40°時天線陣列RTK 與RTK 的固定解水平方向、高程方向偏差

表6 統(tǒng)計了更多截止高度角下東(E)、北(N)、天頂(U)三個方向上的定位誤差，通過表2 可知，GPS單系統(tǒng)在截止高度角為50°時，解算率僅為17.6%，不能進行有效定位，因此表6 中未分析該情況的固定解.經(jīng)分析，無論是單系統(tǒng)還是組合系統(tǒng)，天線陣列RTK 還是RTK，隨著截止高度角的變化，均呈現(xiàn)出一定的規(guī)律和特點：首先在選取的截止高度角下，相同衛(wèi)星系統(tǒng)下的天線陣列RTK 在E、N、U 方向上的RMSE 都小于RTK，說明天線陣列RTK 能夠提高定位精度；特別是在截止高度為50°時，天線陣列RTK 的E、N、U 方向的固定解較于RTK 分別提高了7.7%、11.7%、6.7%.其次隨著截止高度角變大，衛(wèi)星數(shù)量下降，衛(wèi)星的幾何構型變差，在三個方向上固定解的RMSE均變大，但天線陣列RTK 在50°截止高度角時，其固定解水平精度優(yōu)于1 cm，高程精度優(yōu)于2 cm，仍能滿足高精度定位需求.最后，結合表3中的PDOP 數(shù)據(jù)，即在相同高度角的條件下，BDS 單系統(tǒng)的定位精度要好于GPS 單系統(tǒng)，這可能是由于本次實驗中同一高度角的BDS 可視衛(wèi)星數(shù)要多于GPS 單系統(tǒng)，BDS 單系統(tǒng)的空間構型更好，同理，GPS+BDS 雙系統(tǒng)組合的衛(wèi)星空間結構要好于單獨任意一個系統(tǒng).

表6 不同截止高度角下天線陣列RTK 與RTK 固定解E、N、U 方向上的RMSE

3 結束語

本文針對天線陣列RTK 定位性能評估問題，對比了天線陣列RTK 和RTK 的數(shù)學模型，使用澳大利亞科廷大學GNSS 中心的觀測數(shù)據(jù)，主要分析了20°～50°截止高度角下GPS 單系統(tǒng)、BDS 單系統(tǒng)以及GPS+BDS 的天線陣列RTK 模糊度固定與定位性能，并通過與RTK 定位結果對比得到以下結論：

1)天線陣列RTK 能夠在每個歷元現(xiàn)有的衛(wèi)星條件下，充分利用觀測信息.其關鍵技術是融合多個測站的偽距、載波相位觀測值從而增加雙差模型的冗余度，增加模型強度，進而提高模糊度固定成功率與定位精度.

2)天線陣列RTK 的表現(xiàn)優(yōu)于RTK.當截止高度角較低時，天線陣列RTK 在模糊度固定方面具有微弱優(yōu)勢，而對浮點解定位精度的提升較為明顯.例如單BDS 在截止高度角為20°、30°定位時，相較于RTK，天線陣列RTK 的浮點解定位精度分別提高了24.4%和27.1%，這對于只能使用浮點解的應用場景具有一定的研究價值.

3)在50°大截止高度角下，GPS 單系統(tǒng)、BDS 單系統(tǒng)的解算率分別為17.6%和78.5%，無法連續(xù)定位，而GPS+BDS 雙系統(tǒng)組合的解算率大于99%，在此條件下天線陣列RTK 的模糊度固定率由RTK 的89.6%提高至93.6%，單歷元固定解在E、N、U 方向上的精度分別提高了7.7%、11.7%和6.7%，并且其固定解的水平精度優(yōu)于1 cm、高程精度優(yōu)于2 cm，滿足高精度定位的需求，因此天線陣列RTK 提高了RTK 在大截止高度角場景中(例如城市峽谷)的定位性能.