空間垂角坐標系的創(chuàng)立與論證

陸曄鳴

(湖南省新化縣第四中學,湖南 武漢 417607)

從書本中我們得知,空間直角坐標系的定義是首先要在空間中設立一個原點,然后過原點畫出三條兩兩互相垂直的直線,每條直線選定一個方向作為正方向,三條直線就變成了可以標注數(shù)值的坐標軸,由此空間中任意一點,都可以通過投影的方式,變成具體的數(shù)值來固定方位和距離,一個原點與三條坐標軸便組成了我們熟知的空間直角坐標系[1](如圖1).

圖1 空間直角坐標系

而本文首次提出空間垂角坐標系,是為打破傳統(tǒng)空間直角坐標系建立之方法,卻依然能夠實現(xiàn)空間直角坐標系的所有功用,并將空間直角坐標系作為一種特殊形態(tài)納入其中.本文通過遞進式提出觀點,并加以論證,最終完成空間垂角坐標系的創(chuàng)立.

1 空間垂角坐標系的提出

1.1 提出的第一個觀點

在空間直角坐標系Oxyz中,x軸和y軸保持不動的情況下,z軸只需要保持與平面xOy垂直且z軸O點(Oz)始終在x軸或y軸上[z⊥平面xOy∩(Oz∈y∪Oz∈x)],z軸就可以在該空間隨意移動,對數(shù)學運算沒有任何影響.

論證過程:此觀點可以通過投影予以證明,所有移動后的z軸,都能原封不動地投影到原來的z軸上.因此,我們得到了空間直角坐標系的第一個變種Oxyz′(如圖2),此時的Z軸點O(Oz)為原點O的分身.

圖2 空間直角坐標系變種Oxyz′

1.2 提出的第二個觀點

在空間直角坐標系Oxyz中,y軸保持不動的情況下,x軸和z軸只需要保持x軸與平面yOz垂直且x軸點O始終在y軸上、z軸與平面xOy垂直且z軸O點始終在y軸上[(x⊥平面yOz∩Ox∈y)∩(z⊥平面xOy∩Oz∈y)],x軸和z軸就可以在該空間隨意移動,對數(shù)學運算依然沒有任何影響.

論證過程:此觀點同樣可以通過投影予以證明,所有移動后的x軸和z軸,都能原封不動地投影到原來的x軸和z軸上.此時的空間直角坐標系Ox′yz′在樣式上與第一個變種區(qū)別不大(如圖3),x軸O點(Ox)、z軸點O(Oz)均為原點(O)的分身.

圖3 空間直角坐標系變種Ox′yz′

1.3 提出的第三個觀點

在空間直角坐標系Oxyz中,z軸只需要保持與平面xOy垂直且z軸點O(Oz)始終在平面xOy上(z⊥平面xOy∩Oz∈平面xOy),z軸就可以在該空間隨意移動,對數(shù)學運算沒有任何影響.

論證過程:此觀點還是可以通過投影予以證明,所有移動后的z軸,都能原封不動地投影到原來的z軸上.因此,我們得到了空間直角坐標系的第二個變種Oxyz″(如圖4).

圖4 空間直角坐標系變種Oxyz″

1.4 提出空間垂角坐標系猜想

有了前兩個空間直角坐標系的變種作為參考,我們大膽提出第三個變種的猜想,即空間垂角坐標系猜想.所謂的空間垂角坐標系,就是指在空間中取三條兩兩互相垂直的直線作為坐標軸,每條坐標軸各自任意選定一個點作為原點,各自選定一個方向作為正方向,由此組成的坐標系即為空間垂角坐標系(如圖5).

圖5 空間垂角坐標系猜想圖

2 空間垂角坐標系的論證過程

根據(jù)空間垂角坐標系猜想,現(xiàn)需要對空間垂角坐標系是否可以轉化為一個完整的空間直角坐標系進行論證,論證過程如下:

設空間中兩兩互相垂直的坐標軸分別為x,y,z,每條坐標軸的原點分別為Ox,Oy,Oz,建立空間垂角坐標系(如圖6).

圖6 空間垂角坐標系

從設定條件中已知:x⊥y,y⊥z,z⊥x.

過點Ox作一個與x軸垂直的平面,設為平面a;

過點Oy作一個與y軸垂直的平面,設為平面b;

過點Oz作一個與z軸垂直的平面,設為平面c,

所以x⊥平面a,y⊥平面b,z⊥平面c.

此時,平面a中的任意一點在x軸上的坐標值均為0;平面b中的任意一點,在y軸上的坐標值均為0;平面c中的任意一點在z軸上的坐標值均為0.

因為x⊥平面a,x⊥y,x⊥z,

所以y∥平面a或y?平面a;

z∥平面a或z?平面a.

又因為y∥平面a或y?平面a,y⊥平面b,

所以平面a⊥平面b.

又因為z∥平面a或z?平面a,z⊥平面c,

所以平面a⊥平面c.

因為y⊥平面b,y⊥z,

所以z∥平面b或z?平面b.

又因為z∥平面b或z?平面b,z⊥平面c,

所以平面b⊥平面c.

綜上,平面a⊥平面b,平面a⊥平面c,平面b⊥平面c,故平面a、平面b、平面c兩兩互相垂直.

兩兩互相垂直的三個平面,有且僅有一個公共點,該公共點既屬于平面a,也屬于平面b和平面c,所以該公共點的坐標值為(0,0,0),即我們通常所理解的坐標系原點.由此得出,任意一個空間垂角坐標系,它都能夠以過坐標軸原點作垂直平面的方式找到坐標值為(0,0,0)的坐標系原點.三條坐標軸均可按各自坐標軸原點到公共點(坐標系原點)的方向和距離進行平移,進而得到一個完整的空間直角坐標系.此時,反觀三個坐標軸原點,均為坐標系原點的分身.

空間直角坐標系及其兩個變種Oxyz′,Oxyz″的建立,都符合空間垂角坐標系的定義,而空間直角坐標系的定義,無法涵蓋空間垂角坐標系.由此看來,與其說空間垂角坐標系是空間直角坐標系的第三個變種,不如說空間直角坐標系及其變種,都是空間垂角坐標系的特殊形態(tài),即坐標軸原點重合時的特殊形態(tài).二者之間最大的區(qū)別在于,空間垂角坐標系考慮的首要因素是三條坐標軸的空間垂直關系,摒棄了必須先設立坐標系原點的傳統(tǒng)觀念.熟練掌握空間垂角坐標系,對學生理解空間中的線線、線面、面面關系,解決復雜立體幾何難題(如圖7),啟迪學生的發(fā)散性思維,具有重要意義.

圖7 空間中的線線、面面、面面關系圖

3 空間垂角坐標系的應用前景

從結果來看,似乎與空間直角坐標系區(qū)別不大,仿佛人們也更習慣于用空間直角坐標系來解題,但從第一個變種Oxyz′到第二個變種Oxyz″以及“空間垂角坐標系”的形成,打破了“直角”的束縛,引入了“垂角”的概念,既是對建立空間坐標系認知上的一次更新,也是思維上的一次巨大跨越.一般人很難想到在空間中憑空建立一個三條坐標軸互不相交的垂角坐標系.而事實也證明,確實如此,從作者于2008年首次在試題中建立本文中的第一個變種至今,未曾有過“空間垂角坐標系”這一提法.

這種思維上的巨大跨越,好比螺紋應用于螺絲釘,在當代人看來很簡單的一顆螺絲釘,卻在人類漫長的歷史上遲遲沒有出現(xiàn),直至五百年前才開始出現(xiàn)在人們的視野,而螺紋卻在海螺身上存在過上億年.由此可見,這需要具備發(fā)散性思維,可遇而不可求,極其難得.螺絲釘對現(xiàn)代工業(yè)而言,所起的作用不言而喻,空間垂角坐標系在數(shù)據(jù)加密、深空探測等領域也必定會有它的發(fā)揮空間.至少對教學而言,可以根據(jù)這個原理,開發(fā)出一種新的題型,即區(qū)分兩個不同的空間垂角坐標系收集的數(shù)據(jù)是否代表同一幾何體.

綜上所述,空間垂角坐標系的出現(xiàn),打破了“直角”的束縛,引入了“垂角”的概念,將空間直角坐標系歸為空間垂角坐標系在坐標軸原點重合時的一種特殊形態(tài),既是對建立空間坐標系認知上的一次更新,也是思維上的一次巨大跨越.對教學實踐而言,能夠啟迪學生的發(fā)散性思維,對生產生活實際應用而言,也有其發(fā)揮空間.