發(fā)展學(xué)生思維能力 提升數(shù)學(xué)解題效率

趙靜靜

(蒙城縣莊子中學(xué),安徽 亳州 233500)

與小學(xué)階段相比,初中數(shù)學(xué)知識相對抽象復(fù)雜,是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點.縱觀初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)現(xiàn)狀,普遍存在學(xué)生基礎(chǔ)知識薄弱、興趣不佳、抽象概括能力不足以及教師教學(xué)方式單一等問題,這些問題嚴(yán)重影響了解題教學(xué)質(zhì)量.為此,數(shù)學(xué)教師應(yīng)在新課程標(biāo)準(zhǔn)指導(dǎo)下,結(jié)合學(xué)生學(xué)情從多方面優(yōu)化解題教學(xué),切實提升解題教學(xué)效果,深化學(xué)生對所學(xué)知識理解,使學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣,提高學(xué)生解題水平[1].

1 巧用數(shù)學(xué)模型思想,提升解題效率

1.1 構(gòu)建函數(shù)模型解題

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,“函數(shù)”是重要的教學(xué)內(nèi)容,它能夠反應(yīng)出現(xiàn)實生活中變量之間的變化關(guān)系,在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用.如計劃決策、居民用電以及投資理財?shù)?均可以構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)模型,完成問題的解決[2].

例1 某個城市為了鼓勵居民節(jié)約用水,采取分段計費的方式,月用水量不超過20立方米時,按照每立方米2元收費,月用水量超過20立方米時,其中的20立方米依然按照2元每立方米計算,超出的部分按照2.6元每立方米計費.某學(xué)生家第一季度的用水情況如表1所示:

表1 第一季度用水情況表

求解這名學(xué)生家本季度一共需要交多少水費?

解析根據(jù)題意可知,采取分段計費的方式收取水費,需分別構(gòu)建模型,根據(jù)用水量的不同,確定收費標(biāo)準(zhǔn).因此,可以構(gòu)建分段函數(shù)模型.假設(shè)家庭的月用水量為x立方米,當(dāng)用水量不超過20立方米時,需要交的水費為y1元,超過20立方米,需要交的水費為y2元,本季度總水費時y元,則y1=2x(0≤x≤20),y2=20×2+2.6(x-20)=2.6x-12(x>20),y是三個月水費之和.顯然,對每個月的水費進(jìn)行計算,最終完成本季度水費的計算.

對于分段、分類型等問題,可以通過構(gòu)建分段函數(shù)模型進(jìn)行解題.在分段函數(shù)模型中,需要明確每個分段函數(shù)的定義域,根據(jù)題意準(zhǔn)確構(gòu)建模型.

1.2 構(gòu)建幾何模型解題

幾何模型是中考數(shù)學(xué)中考查的重要內(nèi)容,學(xué)生需熟悉并且靈活利用幾何模型解決問題,對學(xué)生空間想象能力要求較高.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師需引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目類型,構(gòu)建相應(yīng)的幾何模型,完成數(shù)學(xué)問題的解答,提高解題效率[3].

例2 如圖1所示,△ABC是等邊三角形,AB=6,N是AB上的任意一點,∠BAC的平分線與BC相較于點D,M是AD上的動點,連接MB,MN,求MB+MN的最小值.

圖1 例2題圖

解析本題涉及到動點、最小值等知識,需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行轉(zhuǎn)化,將其轉(zhuǎn)化成“兩點之間線段最短”問題進(jìn)行解決.為此,教師可以讓學(xué)生思考“將軍飲馬”模型,讓學(xué)生對問題進(jìn)行思考和解答.找出點B關(guān)于定直線AD的對稱點,即點C.當(dāng)C,M,N三點在同一條直線上,且CN⊥AB時,MB+MN的值最小.如圖1,過C點作CE⊥AB,垂足為E,則MB+MN的最小值等于線段CE的長.

“將軍飲馬”問題是初中數(shù)學(xué)中常見的幾何模型,通過這樣的模型構(gòu)建與轉(zhuǎn)化,完成了問題解答.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其他幾何模型,為問題解決指引方向.

1.3 構(gòu)建方程、不等式模型解題

方程、不等式是將現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化的有效模型.利用其解決問題的基本思路是:根據(jù)題意尋找相等或不等關(guān)系,然后,通過方程或不等式解決數(shù)學(xué)問題.現(xiàn)實生活中有很多相等或不等關(guān)系,如增長率、打折銷售以及工程問題等,利用模型思想,能夠準(zhǔn)確找出其中的數(shù)量關(guān)系,設(shè)定合適的未知數(shù),利用未知數(shù)表示數(shù)量關(guān)系,構(gòu)建相應(yīng)的方程或者不等式模型,從而有效解決問題[4].

例3某個商店計劃用1 200元購進(jìn)A、B兩種型號的羽毛球拍,其中A型號的羽毛球拍進(jìn)價是每副12元,B型號羽毛球拍的進(jìn)價是每副10元,在銷售時,A的售價是15元/副,B的售價是12元/副,全部售完,獲利是270元.①求解A、B兩種型號的羽毛球拍各進(jìn)了多少副?②如果該商店以原進(jìn)價再次購進(jìn)A、B兩種型號的羽毛球拍,A型號羽毛球拍數(shù)量不變,B型號羽毛球拍數(shù)量是第一次的兩倍,B型號羽毛球拍按照原來的售價銷售,A型號羽毛球拍則降價銷售,當(dāng)兩種羽毛球拍銷售完,想要使得再次購進(jìn)的羽毛球拍利潤不少于340元,A型號羽毛球拍最低售價是每副多少元?

根據(jù)數(shù)量關(guān)系,構(gòu)建方程模型,可求出購進(jìn)兩種型號的羽毛球拍的數(shù)量.在完成問題①的解答之后,對問題②進(jìn)行分析,根據(jù)題意構(gòu)建相應(yīng)的不等式模型,完成求解.

2 巧借數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想,提升解題能力

培養(yǎng)學(xué)生思維能力是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要目標(biāo),尤其各種數(shù)學(xué)思想在提升教學(xué)效率和學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面發(fā)揮著不可小覷作用.學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并感悟數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象化特征,升至初中階段需著重培養(yǎng)思維能力,養(yǎng)成良好思維習(xí)慣.轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)重要思想之一,簡言之,運用轉(zhuǎn)化思想簡化學(xué)生理解知識和解題難度,提升學(xué)習(xí)效率[5].從另一角度剖析,轉(zhuǎn)化思想即從不同角度將同一數(shù)學(xué)知識或問題轉(zhuǎn)化為易被學(xué)生理解的表達(dá)形式,激發(fā)學(xué)生深層次探究數(shù)學(xué)知識的欲望,最重要是幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)元素之間的邏輯關(guān)系,在解題中對所學(xué)知識展開深入思考,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

教師可從兩個方面為學(xué)生滲透數(shù)學(xué)思想:其一,換元轉(zhuǎn)化.該方式旨在化繁為簡,以變量問題為例,運用轉(zhuǎn)化思想可多個變量問題轉(zhuǎn)為一個變量問題,減小解題難度.同時,該方式還能減少計算量,將無從下手的問題轉(zhuǎn)至常規(guī)問題后再進(jìn)行解答,增強(qiáng)分析與解答問題能力.

由此可以看出,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用有效降低了問題的難度,當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想的獨特與便利之處后就可激發(fā)潛在持續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣,在后續(xù)學(xué)習(xí)和解題中遇到相同問題也可順利解決.

其二,化同為殊.縱觀初中幾何問題,命題者給出的已知條件與所求量之間的邏輯關(guān)系較為隱蔽,學(xué)生需深入思考后通過添加輔助線解答,使已知條件與所求量之間的邏輯關(guān)系外顯化,拓寬學(xué)生解題思維,提升學(xué)生解題能力.

例5在△BCD中,∠C=60°,BC長度為6,BD的長度為8,求三角形的邊CD的長度.

如果學(xué)生運用初中數(shù)學(xué)知識解答上述題目則較為復(fù)雜,尤其題目可用信息相對較少,此時可通過添加輔助線,化難為易,使問題順利解決.

由此可見,在解答幾何問題時,添加輔助線可降低問題難度,即將多個難度較大的問題轉(zhuǎn)為較為簡單的小問題后再運用所學(xué)知識解決,提升解題能力.

3 巧用數(shù)學(xué)化歸思想,提升解題能力

顧名思義,“化歸”為轉(zhuǎn)化與歸納簡稱.數(shù)學(xué)中的化歸思想是指將較為復(fù)雜或抽象的問題轉(zhuǎn)化為較易被學(xué)生解答的簡單問題,或?qū)⑽粗D(zhuǎn)為已知,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題,等等.化歸思想作為初中數(shù)學(xué)解題不可缺少的數(shù)學(xué)思想,在解決相關(guān)問題時運用其分析問題,能有效提升學(xué)生解題效率.縱觀初中數(shù)學(xué)解題,有很多方面都體現(xiàn)化歸思想,對此,教師可指導(dǎo)學(xué)生理解化歸思想,巧妙將該思想應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題.例如在解答不等式問題時就可運用化歸思想,提升解題能力.

在以上解題中,有效利用化歸思想,將多個未知數(shù)用含同一個字母的代數(shù)式表示出來,對多元問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,通過等元抵消,快速計算得出結(jié)果.

總之,在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,教師可指導(dǎo)學(xué)生基于不同角度思考和分析問題,改變思維定勢,靈活運用多種方式解決問題,提升解題效率,發(fā)展思維能力.教師指導(dǎo)學(xué)生運用多元解題技巧分析和解決問題,不僅能使學(xué)生學(xué)會應(yīng)用所學(xué)知識與技能解決問題,而且能使學(xué)生對題目所涵蓋的知識形成深刻印象,提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率,更能幫助學(xué)生掌握多元解題技巧,拓寬解題思路,實現(xiàn)舉一反三學(xué)習(xí)效果.