滲透模型思想 提高解題能力
——以一次函數(shù)問題為例

周清波

(南安市柳城中學(xué),福建 泉州 362300)

初中數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)是引導(dǎo)學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識和基本技能,掌握數(shù)學(xué)思想方法,積累基本活動經(jīng)驗,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),促使其更好地適應(yīng)未來社會的發(fā)展需求.一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點,在課堂教學(xué)中,教師需注重滲透模型思想,體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用意義與價值,讓學(xué)生學(xué)會構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,能夠站在數(shù)學(xué)的角度對問題進(jìn)行思考與解決,從而提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.

1 模型思想概述

1.1 數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型是針對參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量依存關(guān)系,采用數(shù)學(xué)語言,概括或近似地表述出的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是借助數(shù)學(xué)符號刻劃出來的某種系統(tǒng)的純關(guān)系結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)模型有著廣泛內(nèi)涵,相關(guān)數(shù)學(xué)概念、公式、算法等都屬于數(shù)學(xué)模型范圍.由于初中生自身的認(rèn)知水平、理解能力相對比較差,因此,在具體教學(xué)時,教師需注重數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建,也就是依據(jù)相關(guān)數(shù)字、字母或數(shù)學(xué)符號構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式、代數(shù)式、方程式等數(shù)學(xué)模型.

1.2 模型思想

從數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展的角度作出的思考,則是數(shù)學(xué)思想.在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)時,呈現(xiàn)的思維特征也屬于數(shù)學(xué)思想.模型思想作為數(shù)學(xué)思想的重要組成部分,其主要指對實際問題進(jìn)行描述時,所用到的數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)公理.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,教師需注重培養(yǎng)學(xué)生的模型思想,促使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識和其他事物的聯(lián)系.

2 在一次函數(shù)解題中滲透模型思想的策略

2.1 滲透模型思想,解決經(jīng)濟(jì)問題

例1 已知有兩種理財產(chǎn)品供投資者選擇,第一種:中國銀行銷售一種五年期國債,其年利率是2.63%;第二種:中國人壽保險公司推出一種分紅型保險,投資者要上交10 000元(10份)保費,且保險期是5年,在五年以后,能獲得本息為10 486.60元,還能獲得紅利,但分紅金額并不是固定的.

(1)請寫出購買國債的金額x和五年以后銀行所支付的本息和y1之間的函數(shù)關(guān)系;

(2)求分紅型保險的年利率,并找出支付保費x和五年以后保險公司應(yīng)支付的本息和y2之間的函數(shù)關(guān)系;

(3)請分析選擇哪種理財產(chǎn)品更合算.

解析(1)依據(jù)題意可知,一年的年利率是2.63%,買國債花費了x元,即y1=(1+5×2.63%)x.

(3)兩種方法均投資10 000元,第一種:購買了五年的國債,y1=(1+5×2.63%)x=(1+5×2.63%)×10 000=11 315元;第二種:購買了五年的保險,y2=(1+5×0.97%)x=(1+5×0.97%)×10 000=10 486.6元.兩者之間的差是y1-y2=11 315-10 486.6=828.4元,因此,當(dāng)保險的分紅超過了828.4元的時候,買保險才能更有利.

2.2 滲透模型思想,解決購買問題

例2 某服裝廠要生產(chǎn)種領(lǐng)帶與西裝,且西裝的每一套定價是200元,每一條領(lǐng)帶的定價是40元,廠家進(jìn)行促銷活動,提供給客戶兩種方案:

(1)購買一套西裝,送一條領(lǐng)帶;

(2)西裝與領(lǐng)帶都按照定價90%進(jìn)行付款;

某個商店的老板需要到服裝廠買20套西裝,x(x>20)條領(lǐng)帶,請你幫助老板選擇最優(yōu)惠的購買方案,并說明理由.

解析設(shè)第(1)種方案共付款y1元,第(2)種方案共付款y2元,則

y1=40x+3 200,y2=36x+3 600.

當(dāng)y120,所以20

當(dāng)y1=y2時,即40x+3 200=36x+3 600,所以x=100.即當(dāng)x=100時,第(1)種方案與第(2)種方案的一樣省錢;

當(dāng)y1>y2時,即40x+3 200>36x+3 600,所以x>100.即當(dāng)x>100時,選擇第(2)種方案更加優(yōu)惠.

若同時選擇(1)(2)兩種方案,想要獲得廠家贈送更多的領(lǐng)帶,則能設(shè)計出第(3)種方案,即先依據(jù)方案(1)買20套西裝,獲得20條贈送的領(lǐng)帶,剩余的(x-20)條領(lǐng)帶,再依據(jù)第(2)種方案進(jìn)行購買,其花費為200×20+(x-20)×40×90%=(36x+3 280)元.顯然,第(3)種方案比第(2)種方案更加優(yōu)惠;第(3)種方案和第(1)種方案相比,當(dāng)36x+3 280<40x+3 200時,可求解出x>20,即x>20時,第(3)種方案比第(1)種方案更加優(yōu)惠[1].

2.3 滲透模型思想,解決運輸問題

例3 某果蔬公司需將不容易存放的水果由A市銷售至B市,現(xiàn)有三個運輸公司提供了相應(yīng)的運輸方案,詳見表1.

表1 運輸公司的運輸方案

(1)如果乙、丙兩家公司包裝、裝卸、運輸?shù)目傎M用為甲公司2倍,求A、B兩市的距離是多少?(精確到1);

(2)如果A、B兩市距離是s千米,這批水果在包裝、裝卸、運輸中會有300元/小時的損耗,想要使果蔬公司花費的總費用最低,選擇哪家公司進(jìn)行運輸最合適?

由于s>0,因此,y2>y3是恒成立的,即對比y1與y3的大小即可.由y1-y3=-2s+1 100,易得

①當(dāng)s<550時,y1>y3,且y2>y3,所以,丙公司是最佳選擇;

②當(dāng)s=550時,y2>y1=y3,此時,甲公司或者是丙公司是最佳選擇;

③當(dāng)s>550時,y2>y3>y1,此時,甲公司是最佳選擇.

2.4 滲透模型思想,解決信息收費問題

例4 某市的寬帶上網(wǎng)按流量收費,即依據(jù)網(wǎng)上接收與實際發(fā)送信息量進(jìn)行收費,其收費標(biāo)準(zhǔn)是:月租費是75元,贈送了900M流量,也就是每月的流量在900M之內(nèi),是不收費的,而超出了900M的時候,則按照超出的部分進(jìn)行分段收費,其規(guī)定是:流量低于400M的時候,每M的收費為a元,超出400M的時候,不超出的部分則每M收費a元,超出的部分每M收費c元,某個單位的4、5月上網(wǎng)流量及費用詳見表2.

表2 某單位4、5月上網(wǎng)流量及費用表

(1)求a,c值;

(2)設(shè)單元某個月上網(wǎng)用的流量是x(M),費用是y(元),請寫出流量超過1300M的時候,請寫出y和x的函數(shù)關(guān)系式.

解析(1)依據(jù)題意,可得方程組

(2)流量使用超過1 300M,即x>1 300的時候,y=0.1(x-1 300)+75+400×0.2=0.1x+25,因此,y=0.1x+25(x>1 300)[2].

2.5 滲透模型思想,解決水產(chǎn)品加工問題

例5 某水產(chǎn)品養(yǎng)殖與加工廠一共有工人200名,每名工人每天可平均捕撈水產(chǎn)品50 kg,或者將當(dāng)日捕撈到的水產(chǎn)品40 kg實施精加工.現(xiàn)已知出售每千克水產(chǎn)品能夠獲得6元的利潤,當(dāng)精加工以后再出售時,每千克能獲得18元利潤,設(shè)每天有x名工人對水產(chǎn)品實施精加工.

(1)求每天進(jìn)行水產(chǎn)品精加工獲取利潤y元和x之間的函數(shù)關(guān)系;

(2)若每天精加工水產(chǎn)品與沒有進(jìn)行精加工水產(chǎn)品均能銷售完,怎樣安排生產(chǎn)能夠使其獲得最大利潤?最大利潤為多少?

解析(1)y=720x(0≤x≤200,x為整數(shù)).

(2)設(shè)每天獲得的利潤是W元,易得

W=180x+60 000.

因為W為x的一次函數(shù),k=180>0,所以W隨著x的增大而逐漸增大.又因為x是整數(shù),所以當(dāng)x=111時,其利潤最大,W最大=180×111+60 000=79 980元.

綜上所述,通過以上實例可以發(fā)現(xiàn),在對應(yīng)用類問題解決時,其關(guān)鍵就是滲透模型思想,構(gòu)建相應(yīng)的一次函數(shù)模型,并通過自變量的取值范圍,求出相應(yīng)的最值.這類問題與實際生活相貼近,更注重考查基礎(chǔ)知識以及基本技能,通過應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決相關(guān)實際問題,能夠有效提高學(xué)生運用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.