基于T-S模糊模型的下肢關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)跟蹤控制

張巍巍,梁 婷,潘俊濤,高 峰

(1. 北方民族大學(xué)電氣信息工程學(xué)院,寧夏 銀川 750021;2. 寧夏醫(yī)科大學(xué)總醫(yī)院,寧夏 銀川 750004)

1 引言

近些年來(lái),在全球范圍內(nèi),獲得性神經(jīng)損傷患者(如腦卒中、腦外傷和脊髓損傷等)數(shù)量越來(lái)越大,與之伴隨的是對(duì)康復(fù)的需求也越來(lái)越大[1,2]。功能性電刺激(Functional electrical stimulation,FES)是臨床應(yīng)用中主要的肢體智能康復(fù)技術(shù)之一[3]。其利用低頻電流脈沖誘發(fā)肌肉收縮,使癱瘓的肢體再學(xué)習(xí)和重組,完成相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)功能。相比其它康復(fù)治療技術(shù),FES還可以促進(jìn)肌肉再學(xué)習(xí),加強(qiáng)血液循環(huán),防止肌肉萎縮,具有很高的研究?jī)r(jià)值。然而,成熟的FES產(chǎn)品的開(kāi)發(fā)還面臨許多問(wèn)題,例如,電刺激-關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系本質(zhì)為一類具有強(qiáng)干擾和不確定等特征的高階非線性系統(tǒng)[4],考慮到患者個(gè)體差異和運(yùn)動(dòng)后肌肉疲勞等干擾因素,FES控制系統(tǒng)可能無(wú)法完成預(yù)期的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)。

為實(shí)現(xiàn)高精度的功能性電刺激控制,各國(guó)研究學(xué)者都展開(kāi)了深入的研究,先后出現(xiàn)了多種基于不同控制理論的控制算法。最早的FES系統(tǒng)控制算法是Chizeck等提出的手動(dòng)開(kāi)關(guān)控制[5]。Shimada等人使用加速度傳感器檢測(cè)足下垂患者的步態(tài),用加速度信號(hào)觸發(fā)電刺激儀器產(chǎn)生指定刺激電流來(lái)校正足下垂患者的步態(tài)[6]。這類開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)中,功能性電刺激輸出的刺激參數(shù)(刺激幅值、頻率、波形)是固定的,依賴于康復(fù)指導(dǎo)師的經(jīng)驗(yàn)設(shè)置,采用固定的脈沖序列進(jìn)行刺激,這樣的方式要么產(chǎn)生多余的刺激量導(dǎo)致肌肉疲勞,要么刺激量不足難以使肌肉產(chǎn)生相應(yīng)的收縮來(lái)完成規(guī)定的訓(xùn)練運(yùn)動(dòng),難以達(dá)到理想的康復(fù)效果。

為實(shí)現(xiàn)刺激量的精確調(diào)節(jié),文獻(xiàn)[7-10]使用自適應(yīng)PID控制器和模糊PID控制器,系統(tǒng)存在干擾時(shí)也能取得較好的控制效果,但對(duì)電刺激-關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的非線性模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化;吳強(qiáng)等[11]使用了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂品椒?陳盛勤[12]和Freeman[13]基于迭代學(xué)習(xí)控制了肘關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng),以上文獻(xiàn)中也均為考慮控制輸入的約束問(wèn)題。文獻(xiàn)[14,15]分析了電刺激-關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的魯棒控制,得到了系統(tǒng)穩(wěn)定的線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)條件,但從仿真結(jié)果看,系統(tǒng)的過(guò)渡時(shí)間較長(zhǎng)。

因此,面對(duì)復(fù)雜的非線性生物系統(tǒng),如何設(shè)計(jì)非線性控制算法以有效提高運(yùn)動(dòng)控制精度和控制器的自適應(yīng)問(wèn)題一直是該領(lǐng)域的難題,目前依然缺乏系統(tǒng)化的設(shè)計(jì)方法和有效的處理手段。

模糊控制憑借其不依賴于控制對(duì)象精確數(shù)學(xué)模型的優(yōu)勢(shì)給復(fù)雜非線性系統(tǒng)的控制綜合研究帶來(lái)了新的契機(jī),特別是Takagi-Sugeno(T-S)模糊理論的提出為利用成熟的線性系統(tǒng)理論知識(shí)研究復(fù)雜非線性系統(tǒng)成為可能。T-S模糊模型的主要思想是將輸入空間分為若干個(gè)模糊子空間,在每個(gè)模糊子空間建立關(guān)于輸入/輸出的局部線性模型,然后使用隸屬度函數(shù)將各個(gè)局部模型平滑地連接起來(lái),形成一個(gè)全局的非線性模型[16-21]。T-S模糊模型正是憑借其具有的萬(wàn)能逼近性質(zhì)和線性子系統(tǒng)后件為研究復(fù)雜非線性系統(tǒng)的控制問(wèn)題提供了一套系統(tǒng)有效的解決辦法。

本文提出了一種T-S模糊控制方法實(shí)現(xiàn)電刺激下膝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的跟蹤控制,通過(guò)引入虛擬期望軌跡,將跟蹤控制問(wèn)題轉(zhuǎn)換為穩(wěn)定性問(wèn)題;基于Lyapunov穩(wěn)定性理論,分析得到了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件,通過(guò)仿真驗(yàn)證,設(shè)計(jì)的二種控制器可以實(shí)現(xiàn)膝關(guān)節(jié)角度的精確跟蹤控制。

2 電刺激-膝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)跟蹤控制

本文以下肢膝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)為例,討論膝關(guān)節(jié)在電刺激下的運(yùn)動(dòng)跟蹤控制問(wèn)題。

2.1 電刺激-膝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)模型

假設(shè)患者坐在高椅上,上身及大腿固定不動(dòng),踝關(guān)節(jié)與腳保持一定角度,可視作一個(gè)整體,則膝關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)可以看做是由兩個(gè)剛性部分組成的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng):大腿和脛足復(fù)合體,如圖1所示,該系統(tǒng)的平衡方程為[14,15](文中與角度θ有關(guān)的變量均隨時(shí)間變化,為書寫簡(jiǎn)潔,均省略后綴(t)的說(shuō)明)

圖1 膝關(guān)節(jié)電刺激示意圖

(1)

剛性力矩Ms為

Ms=λe-Eθ(θ-ω)

(2)

式中,λ和E是指數(shù)項(xiàng)的系數(shù),ω是膝關(guān)節(jié)彈性靜止角。

肌肉受到電刺激產(chǎn)生的有效力矩Ma和電刺激的脈沖寬度(P)之間的關(guān)系是

(3)

其中G和τ為電刺激儀系統(tǒng)常數(shù)。

(4)

(5)

2.2 T-S模糊模型

對(duì)于一類仿射非線性系統(tǒng)

(6)

其中x∈Rn為狀態(tài)變量,y∈Rm為系統(tǒng)輸出,u∈Rm為輸入變量,f(x)和g(x)都為光滑非線性函數(shù)。采用扇區(qū)非線性方法,系統(tǒng)(6)可以精確表示為T-S模糊模型的形式,該模型主要是通過(guò)“IF-THEN”模糊規(guī)則描述非線性系統(tǒng),每個(gè)模糊規(guī)則表示一個(gè)模糊子系統(tǒng),整個(gè)模糊系統(tǒng)是每個(gè)模糊子系統(tǒng)的線性組合。其中第i個(gè)規(guī)則的表達(dá)形式為:

模糊規(guī)則i

(7)

經(jīng)過(guò)單點(diǎn)模糊化、乘積模糊推理和加權(quán)反模糊化,得到系統(tǒng)的全局狀態(tài)方程為

(8)

式中z(t)=[z1(t),…,zp(t)],記

(9)

則系統(tǒng)的狀態(tài)方程可寫為

(10)

對(duì)任意時(shí)間t,有

(11)

(12)

(13)

模糊子系統(tǒng)為

(14)

(15)

(16)

2.3 基于T-S模糊模型的跟蹤控制器設(shè)計(jì)

在上節(jié)建立的電刺激-膝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)模型的基礎(chǔ)上,本節(jié)設(shè)計(jì)基于該模型的跟蹤控制器,使得膝關(guān)節(jié)的角度能跟蹤給定的運(yùn)動(dòng)軌跡。假設(shè)期望的運(yùn)動(dòng)軌跡為r(t),控制的目標(biāo)是使得當(dāng)t→∞時(shí),y(t)-r(t)→0。本文引入虛擬變量,將跟蹤問(wèn)題轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定性問(wèn)題,定義虛擬期望軌跡xd(t),可以跟蹤系統(tǒng)狀態(tài),跟蹤誤差為xe(t)=x(t)-xd(t),由式(10),其微分為

(17)

令

(18)

μ(t)為待設(shè)計(jì)的新的控制量。則:

(19)

對(duì)于跟蹤系統(tǒng)(18),如果能設(shè)計(jì)控制量μ(t)使其是穩(wěn)定的,即xe(t)→0 (t→∞),x(t)跟蹤了xd(t)?；赑DC方法,控制量μ(t)設(shè)計(jì)為

μ(t)=-Fhxe(t)

(20)

將式(19)帶入式(18),得到閉環(huán)系統(tǒng)為

(21)

為了得到原系統(tǒng)(10)的控制率,將式(18)重寫為:

(22)

其中,0n-m∈R(n-m)×m表示零矩陣,B(x)m∈Rm×m是非奇異矩陣。同理,將Ah和xd(t)也進(jìn)行相應(yīng)的劃分

式(21)可以寫為下面的形式

(23)

由式(20)和式(23),可以得到虛擬期望軌跡和控制率為

(24)

(25)

對(duì)于系統(tǒng)式(19),求得反饋控制率式(20)后,可由式(25)求得原系統(tǒng)的跟蹤控制率。下面的定理給出了系統(tǒng)式(19)漸進(jìn)穩(wěn)定的條件。

定理1:對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)(19),如果存在對(duì)稱正定矩陣P=PT>0,矩陣Mi,使得以下線性矩陣不等式(linear ineqution matrix,LMI)成立

(26)

(27)

i=1,2,…,r,j=2,3,…,r,且i

則系統(tǒng)(19)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

若以上LMIs有可行解,則反饋增益矩陣

Fi=MiP-1

(28)

證明:考慮形如V(x(t))=xT(t)P-1x(t)的公共Lyapunoy函數(shù),采用類似文獻(xiàn)[16]中定理2和文獻(xiàn)[17]中定理2的證明方法,可證得該定理,這里略去。

定理2:對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)(19),假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)x(0)已知,如果存在對(duì)稱正定矩陣P=PT>0,矩陣Mi,α>0,使得以下LMIs成立

(29)

(30)

(31)

(32)

證明:考慮形如V(x(t))=xT(t)P-1x(t)的公共Lyapunoy函數(shù),假設(shè)x(0)P-1x(0)≤1,詳細(xì)證明過(guò)程可以參考文獻(xiàn)[18]中定理1和文獻(xiàn)[20]中第三章定理11的證明過(guò)程,這里不再展開(kāi)。

定理1和定理2中LMIs有可行解時(shí),系統(tǒng)(19)是漸進(jìn)穩(wěn)定的,即原系統(tǒng)可以跟蹤給定的運(yùn)動(dòng)軌跡。

3 膝關(guān)節(jié)跟蹤控制仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上節(jié)定理1和定理2所提控制器的有效性,在Matlab/Simulink平臺(tái)下進(jìn)行仿真。脛足復(fù)合體的相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 脛足復(fù)合體參數(shù)表

(33)

(34)

(35)

根據(jù)定理1,使用YAMIP工具[21]求解LMIs得到未考慮輸入約束和衰減率的控制器增益為

F1=[2.5832 0.6648 0.1013]×10-3

(36)

F2=[5.0453 1.1262 0.2032]×10-3

(37)

F1=[4.5180 1.0544 0.3441]×10-3

(38)

F2=[2.7421 0.9971 0.3279]×10-3

(39)

圖2 膝關(guān)節(jié)角度跟蹤曲線(定理1)

圖3 膝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)角速度跟蹤曲線(定理1)

圖4 電刺激力矩曲線(定理1)

圖5 電刺激脈沖寬度曲線(定理1)

圖6 膝關(guān)節(jié)角度跟蹤曲線(定理2)

圖7 膝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)角速度跟蹤曲線(定理2)

圖8 電刺激力矩曲線(定理2)

圖9 電刺激脈沖寬度曲線(定理2)

4 結(jié)論

本文基于T-S模糊模型,研究了功能性電刺激下膝關(guān)節(jié)的跟蹤控制,引入虛擬期望軌跡,將跟蹤控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定問(wèn)題,分別得到了未考慮和考慮衰減率和輸入約束的跟蹤控制器存在的充分條件,以LMIs的形式給出。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。但本文尚未考慮患者差異帶來(lái)的模型不確定性和肌肉疲勞引起的干擾,未來(lái)的工作會(huì)針對(duì)此問(wèn)題進(jìn)一步分析。