壓縮感知在口腔醫(yī)學(xué)圖像重構(gòu)中的應(yīng)用

李亞玲，邵 靜

（浙江科技學(xué)院 理學(xué)院，浙江 杭州 310023）

0 引 言

隨著生活水平的日益改善，口腔健康及美觀度等問(wèn)題得到民眾廣泛的關(guān)注與重視。目前存在的口腔疾病會(huì)導(dǎo)致牙缺失、無(wú)牙頜、附著齦較窄或缺失等問(wèn)題，既危害口腔健康，又嚴(yán)重影響美觀度。因此，需采取可靠的治療來(lái)維持牙齒的完整性和美觀性[1]。為了推進(jìn)口腔疾病的診斷，實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)化治療，醫(yī)療影像技術(shù)已應(yīng)用至口腔醫(yī)學(xué)實(shí)踐，比如口腔種植植骨技術(shù)、牙齒矯正手術(shù)等。在患者進(jìn)行種植修復(fù)過(guò)程中，首先需要進(jìn)行術(shù)前診斷、評(píng)估，充分了解患者種植修復(fù)前的口腔狀況，獲得患者口腔牙齒醫(yī)學(xué)圖像，根據(jù)獲得的影像信息了解口腔內(nèi)軟硬組織輪廓形態(tài)，種植區(qū)牙槽骨的寬度、高度，確定解剖的結(jié)構(gòu)位置，確定種植體的長(zhǎng)度和直徑，才能制定更加完整、細(xì)致、精準(zhǔn)的修復(fù)計(jì)劃[2]，從而可以初步模擬手術(shù)時(shí)的操作，避免正式開展手術(shù)時(shí)造成不必要的損傷，減輕患者疼痛，有助于提高臨床修復(fù)成功率。目前，常見的醫(yī)學(xué)圖像有CT 圖像、X 射線圖像、正電子放射斷層圖像、核磁共振圖像以及DAS 數(shù)字減影圖像等。

為了得到高分辨率的掃描圖像，臨床上通常依據(jù)奈奎斯特-香農(nóng)采樣定理。這就要求醫(yī)學(xué)影像設(shè)備的采樣頻率要達(dá)到信號(hào)最高頻譜的2 倍以上，才能完全高質(zhì)量地重建圖像。這意味著，想要精確重構(gòu)圖像，需要大量的觀測(cè)數(shù)據(jù)，圖像才能被完全重構(gòu)。現(xiàn)如今，許多兒童和青少年都面臨牙齒健康和牙齒不整齊等問(wèn)題，家長(zhǎng)們極其重視。但是要獲得大量的數(shù)據(jù)恢復(fù)圖像，需要高頻率的采樣，而臨床上大部分醫(yī)學(xué)影像技術(shù)設(shè)備都存在輻射，這對(duì)兒童、青少年的發(fā)育具有一定的影響。為了盡量避免臨床上出現(xiàn)操作低效、放射劑量大、患者體驗(yàn)差、醫(yī)學(xué)圖像模糊和不均勻、分辨率低等問(wèn)題，本文在口腔醫(yī)學(xué)成像中引入壓縮感知理論，旨在利用原始圖像的少量感知數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，得到高質(zhì)量的口腔醫(yī)學(xué)圖像，以此提升口腔醫(yī)學(xué)圖像重構(gòu)的準(zhǔn)確度，可輔助進(jìn)行口腔疾病的早期診斷、病灶的精確定位[3]。

1 壓縮感知

壓縮感知（Compressed Sensing，CS）是由DONOHO，CANDèS，TAO 三人提出的指導(dǎo)信息采集和重構(gòu)的理論，廣泛適用于許多領(lǐng)域。壓縮感知理論表明，稀疏或近似稀疏信號(hào)可以基于少量觀測(cè)數(shù)據(jù)通過(guò)求解最優(yōu)化問(wèn)題重構(gòu)原始信號(hào)。壓縮感知理論與傳統(tǒng)香農(nóng)采樣定理的區(qū)別在于：傳統(tǒng)的信號(hào)獲取技術(shù)是基于信號(hào)波形的信號(hào)獲取技術(shù)，一般都需要經(jīng)過(guò)采樣、壓縮兩個(gè)步驟[4]（如圖1 所示）；而在壓縮感知指導(dǎo)下，信號(hào)的采樣、壓縮合二為一，同步完成[3]（如圖2 所示），這樣，采樣速率免受帶寬的限制，在精確重構(gòu)原始信號(hào)的同時(shí)降低了采樣頻率，避免資源浪費(fèi)，降低成本，提高效率。

圖1 傳統(tǒng)數(shù)據(jù)的編解碼過(guò)程

圖2 壓縮感知理論下數(shù)據(jù)的編解碼過(guò)程

壓縮感知理論主要包括信號(hào)稀疏表示、測(cè)量矩陣構(gòu)造以及重構(gòu)算法[5]。信號(hào)的稀疏性是壓縮感知理論的前提條件。從常見的稀疏表示如正（余）弦基、小波基到字典學(xué)習(xí)，稀疏表示理論已經(jīng)越來(lái)越豐富。重構(gòu)算法是壓縮感知理論實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵，根據(jù)觀測(cè)信號(hào)，通過(guò)重構(gòu)算法來(lái)恢復(fù)原始信號(hào)。常用的重構(gòu)算法有貪婪迭代算法（如匹配追蹤算法（MP）、正交匹配追蹤算法（OMP）等）、凸優(yōu)化算法（如基追蹤算法（BP）等）以及組合算法等。壓縮感知可以充分有效地運(yùn)用信息的稀疏性，將采樣和壓縮兩個(gè)步驟進(jìn)行合并來(lái)獲取信號(hào)[6]，一定程度上降低了傳統(tǒng)采樣所耗費(fèi)的時(shí)間及存儲(chǔ)空間。

為了提高口腔醫(yī)學(xué)圖像的重構(gòu)效果，本文結(jié)合口腔激光醫(yī)學(xué)圖像的稀疏性，將壓縮感知理論引入口腔激光醫(yī)學(xué)圖像的重構(gòu)中，選擇適當(dāng)?shù)膱D像重構(gòu)算法，對(duì)口醫(yī)學(xué)圖像進(jìn)行去噪，使得重構(gòu)后的口腔醫(yī)學(xué)圖像分辨率高，抗噪聲性能強(qiáng)，細(xì)節(jié)保留較完整，獲得高質(zhì)量口腔醫(yī)學(xué)圖像，為口腔疾病的診斷、精準(zhǔn)化治療提供保障。

1.1 稀疏表示

所謂稀疏表示，指的是用較少的基本信號(hào)的線性組合來(lái)表示原始信號(hào)的大部分或者全部信息[7]。稀疏表示概念發(fā)展已久。1959 年，HUBEL和WIESEL 在觀察哺乳動(dòng)物主視皮層V1 區(qū)神經(jīng)元感受野的反應(yīng)時(shí)發(fā)現(xiàn)，其中視覺信息的記錄方法是一種“稀疏表示”[8]。后來(lái)，許多研究人員在這個(gè)思路的引領(lǐng)下，不斷將其應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、圖像處理、信號(hào)處理等。稀疏表示有兩個(gè)基礎(chǔ)的定義。

（1）稀疏向量。假設(shè)向量x={x1,x2,…,xN}中的絕大部分元素為零元素，則稱此向量為稀疏向量。

（2）稀疏表示[8-9]。假設(shè)RN空間中的任何一個(gè)信號(hào)都可以通過(guò)P個(gè)N維基向量進(jìn)行線性表出。若此時(shí)基向量之間是正交的，則所有的基向量組成了一個(gè)基矩陣Φ=[φ1,φ2,…,φP]，這個(gè)矩陣被稱為字典。離散信號(hào)x為N×1 的列向量，都可以用RN中的N維列向量表示，從而通過(guò)基矩陣表示為

式中：Φ稱為變換矩陣；s表示信號(hào)x在基矩陣上面的投影，稱為變換系數(shù)，是一個(gè)P維的列向量。當(dāng)向量s存在非零值的個(gè)數(shù)K遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于向量的維度P，則稱s是稀疏的，并且s在域內(nèi)K稀疏。當(dāng)P>N，意味著s有無(wú)窮多個(gè)解，若要得到唯一解，則需要增加限制條件[8]。所以，稀疏表示的重心是在某種基（字典）下系數(shù)稀疏，而這些基（字典）與圖像本身關(guān)系密切，也就是這些圖像的基本信息。因此，在稀疏表示中，將字典視為一種變換域，在變換過(guò)程中保持變換系數(shù)是稀疏的，用數(shù)學(xué)式子可表示為[10]

若存在00 且滿足式（2），則認(rèn)為s在某種意義上是稀疏的。

若式（1）中只有少量的系數(shù)是較大值，而其他系數(shù)都很小，則稱該信號(hào)是可壓縮信號(hào)。

求解式（1）問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為求解l0范數(shù)的最小優(yōu)化問(wèn)題，即：

一般情況下，壓縮感知的線性過(guò)程為y=Ψx，將式（1）代入[11]可得

式中：Ψ為M×N測(cè)量矩陣，y為M維觀測(cè)數(shù)據(jù)（觀測(cè)值），是在采樣時(shí)由原始信號(hào)x壓縮獲得。因此，可知觀測(cè)值y獲取了原始信號(hào)x的大量信息，同時(shí)Γ=ΨΦ是M×P的傳感矩陣。

式（2）可以視為向量s的lp范數(shù)。當(dāng)式（2）中p為1 的時(shí)候，求解問(wèn)題（4）可轉(zhuǎn)變?yōu)閘1范數(shù)的最小化問(wèn)題，即：

選取適當(dāng)?shù)南∈璞磉_(dá)方式，可以對(duì)所收集的口腔醫(yī)學(xué)圖像進(jìn)行變換。經(jīng)典的方法如小波變換，但是由于它本身的不足，重建效果可能不是很理想。因此，需要針對(duì)收集到口腔醫(yī)學(xué)圖像，進(jìn)行特定的稀疏化。

1.2 測(cè)量矩陣

壓縮感知理論是否能成功實(shí)現(xiàn)，關(guān)鍵在于測(cè)量矩陣。測(cè)量矩陣起到承上啟下的作用。若要重建原始信號(hào)，壓縮后的信號(hào)需要包含所有重要的原始信息，這樣信號(hào)才能被準(zhǔn)確地恢復(fù)。本節(jié)將介紹測(cè)量矩陣的相關(guān)性質(zhì)以及測(cè)量矩陣的構(gòu)造。

1.2.1 相關(guān)性質(zhì)

限制等距性質(zhì)（Restricted Isometry Property，RIP）和互相干性是測(cè)量矩陣性能好壞的決定性因素。若要對(duì)信號(hào)進(jìn)行唯一性的重構(gòu)，測(cè)量矩陣必須滿足這兩個(gè)性質(zhì)，同時(shí)，也可以用盡量少的觀測(cè)信號(hào)恢復(fù)出原始信號(hào)。

1.2.1.1 限制等距性質(zhì)（RIP）

RIP 性質(zhì)即限制等距性質(zhì)（Restricted Isometry Property，RIP）。當(dāng)測(cè)量值中包含噪聲，若要唯一地恢復(fù)出稀疏信號(hào)，需要對(duì)矩陣引入更嚴(yán)格的限制，從而引入RIP 性質(zhì)。

若存在常數(shù)δK∈(0,1)，使得

對(duì)任意K稀疏向量成立，則認(rèn)為該矩陣滿足了K階RIP 性質(zhì)，最小的δK稱為等距限制常數(shù)[12]。可以將RIP 性質(zhì)看成一個(gè)矩陣中K列組成的子矩陣與正交矩陣的相似度。

1.2.1.2 互相干性

如果將RIP 性質(zhì)看作是矩陣中K列組成子矩陣的正交程度，那么互相干性則表示測(cè)量矩陣列與列之間的關(guān)聯(lián)度，定義如下：

式中：0 ≤μ≤1。當(dāng)測(cè)量矩陣列之間兩兩都正交，此時(shí)μ=0。

1.2.2 矩陣構(gòu)造

測(cè)量矩陣的一般形式為

測(cè)量矩陣分為隨機(jī)性測(cè)量矩陣和確定性測(cè)量矩陣。其中，隨機(jī)性測(cè)量矩陣有高斯隨機(jī)矩陣、隨機(jī)伯努利矩陣、傅里葉矩陣及局部傅里葉矩陣等。此類矩陣能很好地滿足RIP 性質(zhì)，因此在實(shí)際中應(yīng)用非常廣泛。比如，高斯隨機(jī)矩陣滿足矩陣內(nèi)元素是期望為0、方差為的獨(dú)立隨機(jī)變量；確定性測(cè)量矩陣有循環(huán)矩陣、托普利茲測(cè)矩陣等。

面對(duì)不同的口腔醫(yī)學(xué)圖像，需要挑選合適的測(cè)量矩陣，從而為后續(xù)的圖像重構(gòu)奠定基礎(chǔ)。

1.3 重構(gòu)算法

重構(gòu)算法是壓縮感知中恢復(fù)原始信號(hào)的重要步驟，保證了壓縮感知模型的求解。重構(gòu)算法多種多樣，需要考慮到測(cè)量噪聲、少量測(cè)量值以及圖像重構(gòu)的穩(wěn)定性等因素。由于不同的重構(gòu)算法在重構(gòu)信號(hào)的精度、運(yùn)算時(shí)間以及穩(wěn)定程度存在差異，因此需要選擇合適的重構(gòu)算法恢復(fù)信號(hào)[13]。目前比較典型的信號(hào)重構(gòu)算法主要有基追蹤算法[14]、貪婪算法及迭代硬閾值算法等。

基追蹤（Basis Pursuit，BP）算法是將求解l0極小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解l1極小問(wèn)題，表示為

也可寫成分析基追蹤（ABP）模型：

求解l1極小問(wèn)題是一種凸優(yōu)化求解，引入正則化參數(shù)λ，等價(jià)轉(zhuǎn)化為求解線性規(guī)劃問(wèn)題，即：

即求解下列分析LASSO 模型（ALASSO）：

BP 算法對(duì)測(cè)量矩陣的要求非常高，同時(shí)也沒有強(qiáng)的多項(xiàng)式進(jìn)行約束或運(yùn)行時(shí)間上的線性約束。如果在高尺度上存在低尺度信號(hào)，那么此類方法并不是時(shí)間最優(yōu)的重構(gòu)信號(hào)算法[15]。

為優(yōu)化BP 算法的重構(gòu)速度，研究者提出了貪婪算法，如匹配追蹤算法（Matching Pursuit，MP）、正交匹配追蹤算法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）等[16]。匹配追蹤算法的核心是通過(guò)不斷的迭代逐步逼近待重構(gòu)的稀疏信號(hào)的支集[13]。迭代過(guò)程中，找到與原始信號(hào)最匹配的原子，從而得到原始信號(hào)的稀疏逼近，不斷求解殘差，更新殘差，直至達(dá)到某個(gè)指定的停止準(zhǔn)則，退出迭代并給出最為匹配的原子。由于MP 算法中信號(hào)在原子集上并非正交投影，導(dǎo)致每次迭代結(jié)果并不是最優(yōu)的并且迭代收斂比較緩慢，從而導(dǎo)致迭代時(shí)間較長(zhǎng)[17]。

為解決MP 算法重構(gòu)時(shí)間較長(zhǎng)的問(wèn)題，正交匹配追蹤算法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）被提出。此方法仍然利用MP 算法中的原子選擇的迭代方式，不同的是，為確保每次迭代都是最優(yōu)的，對(duì)每次迭代得到的原子通過(guò)正交化處理，從而在保證精度的同時(shí)，使得迭代次數(shù)降低，圖像信號(hào)重構(gòu)時(shí)間縮短。OMP 算法實(shí)現(xiàn)信號(hào)重構(gòu)的步驟如下。

假設(shè)原始信號(hào)x是K稀疏的。

輸入：觀測(cè)矩陣Ψ，觀測(cè)值y，稀疏度K。

Step1：對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行初始化。令初始值殘差r0=y，索引集Λ0=?，初始迭代數(shù)k=0。

Step2：找出殘差r與觀測(cè)矩陣的列向量ψj內(nèi)積中的最大值所對(duì)應(yīng)的腳標(biāo)λk，即

Step3：不斷更新索引集。更新后的索引集為Λk=Λk-1∪{λk}。記錄尋找得到的原子集合Ψk=[Ψk-1,]。

Step4：利用最小二乘法計(jì)算信號(hào)x稀疏逼近的估計(jì)值

Step5：更新殘差，得到新的殘差為

并且，迭代次數(shù)增加一次，即k=k+1。

Step6：當(dāng)?shù)螖?shù)大于信號(hào)稀疏度K時(shí)，停止迭代；若不滿足，則返回Step2 繼續(xù)進(jìn)行迭代。

信號(hào)重構(gòu)是構(gòu)建高質(zhì)量圖像的關(guān)鍵。因此，應(yīng)用圖像重構(gòu)的客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行判定，可以在一定程度上提高重構(gòu)算法構(gòu)建圖像的成功率。信號(hào)重構(gòu)質(zhì)量評(píng)價(jià)（IQA）是檢測(cè)信號(hào)重構(gòu)質(zhì)量效果的常用指標(biāo)，其中評(píng)價(jià)度量指標(biāo)包括均方誤差（Mean Square Error，MSE）、信噪比（Signal-to-Noise Ratio，SNR）、峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）、結(jié)構(gòu)相似性（Structural Similarity，SSIM）等指標(biāo)。峰值信噪比（PSNR）越大，意味著圖像信號(hào)重構(gòu)的質(zhì)量越優(yōu)，此信號(hào)重構(gòu)指標(biāo)廣泛應(yīng)用于重構(gòu)質(zhì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)[18]。以下將介紹這些度量指標(biāo)的數(shù)學(xué)表達(dá)方式，具體可見文獻(xiàn)[18]。

設(shè)原始信號(hào)為X，重構(gòu)得到的信號(hào)為Y，其中信號(hào)的大小均為N=m×n，因此得到均方誤差：

信噪比：

峰值信噪比：

式中：n表示每個(gè)采樣值的比特?cái)?shù)，峰值信噪比的單位為dB。

結(jié)構(gòu)相似性：

式中：μX和σX代表均值與標(biāo)準(zhǔn)差，μY和σY表示重構(gòu)圖像的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，C1，C2則為避免計(jì)算溢出的常數(shù)。

由上可以總結(jié)，在壓縮感知理論指導(dǎo)下，為了能得到高質(zhì)量的口腔醫(yī)學(xué)圖像，需先將原始圖像信號(hào)進(jìn)行稀疏表示，利用壓縮的測(cè)量矩陣對(duì)變換系數(shù)進(jìn)行采樣，再?gòu)谋姸嗟闹貥?gòu)算法中選擇相對(duì)合適的算法，經(jīng)過(guò)重構(gòu)算法重建以及稀疏表示的逆變換，得到重構(gòu)后的口腔醫(yī)學(xué)圖像信號(hào)，最后利用圖像重構(gòu)的客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)去檢驗(yàn)重構(gòu)后的口腔醫(yī)學(xué)圖像信號(hào)的重構(gòu)質(zhì)量效果。

2 結(jié) 語(yǔ)

從2006 年開始研究發(fā)展至今，壓縮感知理論不斷完善，不僅在信號(hào)采樣處理方面有了進(jìn)步，而且在其他相關(guān)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。但不可忽視的是，壓縮感知理論仍然不具有普遍性，比如在面對(duì)一些非結(jié)構(gòu)信號(hào)如隨機(jī)信號(hào)和噪聲信號(hào)時(shí)，壓縮感知理論并不能適用，存在一定的局限性。

盡管在某些場(chǎng)合此理論并不能運(yùn)用，但是壓縮理論依舊蓬勃發(fā)展，對(duì)電子工程、地質(zhì)勘探、圖像處理、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域具有重要的影響。將此理論應(yīng)用于醫(yī)學(xué)圖像中，尤其是口腔醫(yī)學(xué)圖像中，可以將不清晰的口腔醫(yī)學(xué)圖像通過(guò)稀疏圖像信號(hào)、測(cè)量矩陣采樣信號(hào)、算法重構(gòu)信號(hào)，得到分辨率高的口腔醫(yī)學(xué)圖像，這樣可以避免傳統(tǒng)的先采樣再壓縮造成的資源浪費(fèi)，而且重構(gòu)算法在一定程度上抗噪聲干擾性強(qiáng)，計(jì)算量小，速度快，效率高。這為口腔疾病的早期精確診斷、病灶的精確定位、精準(zhǔn)化治療提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。