基于混合共軛梯度的對比源反演方法

祝文進

（桂林電子科技大學(xué) 信息與通信學(xué)院，廣西桂林，541004）

微波成像是利用微波信號獲取目標(biāo)參數(shù)的一種手段，其是通過發(fā)射天線發(fā)射微波信號，經(jīng)過目標(biāo)反射后再通過接收天線接收信號，再利用電磁逆散射算法對數(shù)據(jù)分析處理，從而反演出目標(biāo)的各種特性。近年來已廣泛應(yīng)用于無損檢測、目標(biāo)識別、生物醫(yī)學(xué)成像、軍事中的探地雷達(dá)、穿墻成像等領(lǐng)域[1-3]。電磁逆散射算法在一定程度上都依賴散射體內(nèi)外場的Lippmann-Schwinger 方程，它具有非線性以及病態(tài)性的特點，導(dǎo)致求解與計算逆散射問題都存在著巨大的挑戰(zhàn)。對于電磁逆散射算法，通?？梢苑譃榫€性方法與非線性方法。線性電磁逆散射方法主要有波恩近似(Born Approximation,BA)法[4]和Rytov 近似法[5]。對于線性近似方法而言，主要是把目標(biāo)區(qū)域內(nèi)總場近似等于入射場。雖然其計算代價低，但只適用于弱散射體。

近年來非線性迭代方法因其能精確地定量重構(gòu)目標(biāo)的幾何形狀，位置和電性能參數(shù)等優(yōu)點受到廣泛關(guān)注，但這些非線性迭代方法有著依賴初值、收斂速度較慢、抗噪聲性能差等缺點。非線性迭代方法有子空間優(yōu)化方法(Subspace Optimization Method,SOM)[6,7]，對比源反演(Contrast Source Inversion,CSI)[8,9]方法，波恩迭代法(Born Iterative Method,BIM)[10]等。

近年來CSI 算法吸引了眾多學(xué)者進行研究，它能避免在每次迭代中求解前向問題，對目標(biāo)散射體的物理參數(shù)分布能夠?qū)崿F(xiàn)高質(zhì)量的定量重構(gòu)。傳統(tǒng)的CSI 算法對目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化使用的常規(guī)的CG，即選擇PRP 共軛參數(shù)確定搜索方向。該方法對實際含噪散射數(shù)據(jù)反演時會存在收斂緩慢甚至不收斂的情況。針對此問題，本文通過修改共軛參數(shù)來改變搜索方向，不僅可以加速收斂還能增強其魯棒性，并使用合成數(shù)據(jù)和由法國菲涅爾研究所提供的微波實測數(shù)據(jù)來驗證算法的性能[11]。

1 逆散射成像理論

■1.1 前向問題

如圖1 所示，在二維反演模型中，具有目標(biāo)對象的區(qū)域D 是感興趣區(qū)域，它被入射的橫向電磁波Ei交替照射；背景是具有介電常數(shù)ε0和磁導(dǎo)率μ0的自由空間。在測量區(qū)域S 中，使用位于rq的接收天線來產(chǎn)生散射數(shù)據(jù)Es。對于每一次照射，接收器天線產(chǎn)生一組散射數(shù)據(jù)。域D 被劃分為邊長遠(yuǎn)小于波長的M 個小正方形單元，其中心位于rm。這里，電場和感應(yīng)對比源都只在z 方向上有值場狀態(tài)方程的矩陣形式可表示為：

圖1 二維逆散射問題的示意圖

■1.2 對比源反演

在傳統(tǒng)的CSI 方法中[12]，目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式為：

在傳統(tǒng)的CSI 反演算法能夠高效的求解逆散射問題，但是采用常規(guī)的共軛梯度法去優(yōu)化對比源具有抗噪聲性能差，收斂緩慢等缺點。因此本文在常規(guī)的共軛梯度法的基礎(chǔ)上對其共軛參數(shù)進行修改，保證了CSI 能夠穩(wěn)定收斂,提高了其抗噪聲性能。

2 混合共軛梯度法

3 數(shù)值結(jié)果

為了驗證改進的CSI 方法的有效性，我們提供了兩種不同類型數(shù)據(jù)的反演結(jié)果，即合成數(shù)據(jù)和Fresnel 實驗室提供的實驗數(shù)據(jù)[11]。本文中傳統(tǒng)的CSI 的由共軛參數(shù)PRP 確定搜索方向表示為CSI-PRP，修正后的共軛參數(shù)FRPC 確定CSI 下降方向我們表示為CSI-FRPC。

■3.1 合成數(shù)據(jù)

在本節(jié)中，目標(biāo)測量域D 是一個以原點為中心，面積為 2×2m2的方形區(qū)域。在以原點為中心，半徑為3m 的圓上均勻放置著16 個發(fā)射天線，采用頻率為400MHz 的TM 波照射目標(biāo)測量域D，在相同半徑的圓上放置32 個接收天線來測量散射場。在前向散射問題中，域D 被劃分成100×100個網(wǎng)格，并使用共軛梯度快速傅立葉變換計算域內(nèi)的散射場。

第一個例子我們選擇經(jīng)典的“Austria”剖面作為未知目標(biāo)如圖2 所示，它由一個圓環(huán)和兩個圓盤組成且都是無損介質(zhì)，相對介電常數(shù)為2，由于是無損散射體，此處省略虛部的輪廓。圓環(huán)的中心坐標(biāo)為(0m,-0.2m)，外半徑為0.6m，內(nèi)半徑為0.3m，兩個圓盤的半徑均為0.2m，原點坐標(biāo)分別是(0.3m,0.6m)和(-0.3m,0.6m)。

圖2 “Austria”剖面的真實結(jié)構(gòu)

由于實際測量中噪聲是無法避免的，在此我們將10%的加性高斯白噪聲添加到合成數(shù)據(jù)中去驗證算法的性能。由CSI-PRP 和CSI-FRPC 獲得的重建結(jié)果分別如圖3(a)和(b)，由CSI-PRP 重建環(huán)的輪廓出現(xiàn)扭曲，且周圍較多的偽影，而CSI-FRPC 可以很好地改善這個問題以達(dá)到令人滿意的結(jié)果。

圖3 “Austria”剖面在10%高斯白噪聲情況下的重建結(jié)果

在第二個例子中，我們加入有耗剖面作為未知目標(biāo)如圖4 所示，它主要由一個涂層矩形和兩個圓盤組成，涂層矩形的中心位于(0m,-0.3m)，內(nèi)矩形長1m 寬0.6m，相對介電常數(shù)為2+0.5i，而外矩形長1.6m 寬1m，相對介電常數(shù)為1.5+0.2i 兩個圓盤的半徑均為0.3m，原點坐標(biāo)分別是(0.4m,0.6m)和(-0.4m,0.6m)，其相對介電常數(shù)均為2.3。

圖4 有耗剖面的真實結(jié)構(gòu)實部(左)和虛部(右)

同樣的我們將10%的加性高斯白噪聲添加到此模型的合成數(shù)據(jù)中驗證算法的抗噪聲性能，由CSI-PRP 和CSIFRPC 獲得的重建結(jié)果分別如圖5(a)和(b)，由CSI-PRP 重建的結(jié)果幾乎看不出涂層矩形的輪廓，且周圍較多的偽影，而CSI-FRPC 近乎呈現(xiàn)出了涂層矩形的輪廓。

圖5 有耗剖面在10%高斯白噪聲情況下的重建結(jié)果

■3.2 Fresnel 實驗?zāi)Ｐ?/h3>

在本節(jié)中，測試數(shù)據(jù)我們選擇Fresnel 實驗室的“FoamDielExtTM”實測數(shù)據(jù)集[14]。該數(shù)據(jù)收集了18個發(fā)射天線，241 個接收天線和頻率范圍為2-10GHz 的數(shù)據(jù)，僅選擇了單一頻點(4GHz) 數(shù)據(jù)。圖6 展示了“FoamDielExtTM”散射體的結(jié)構(gòu)，它由兩個相鄰的介質(zhì)圓組成，左邊的介質(zhì)圓的直徑為31mm，相對介電常數(shù)為3.3，右邊的介質(zhì)圓的直徑為80mm，相對介電常數(shù)為1.45。在反演時，選擇面積為 15×15cm2的方形區(qū)域作為目標(biāo)測量域，且將其劃分成32×32 個小網(wǎng)格。為了校準(zhǔn)數(shù)據(jù)，我們使用了文獻(xiàn)[16]所述的方法。圖7(a)和(b)顯示了CSI-PRP和所提出的CSI-FRPC 在200 次迭代后的結(jié)果。結(jié)果表明，CSI-FRPC 重建結(jié)果令人滿意，而CSI-PRP 重建的兩個圓的輪廓都比較模糊。因此，所提出的CSI-FRPC 在合成數(shù)據(jù)和實驗數(shù)據(jù)集上都表現(xiàn)出優(yōu)異的性能。這些圖表明，與CSI-PRP 中的結(jié)果相比，所提出的CSI-FRPC 抗噪聲性能更好。

圖6 “FoamDielExtTM”散射體的真實結(jié)構(gòu)

圖7 “FoamDielExtTM”散射體的重建結(jié)果

4 結(jié)束語

本文提出了基于混合共軛梯度的對比源反演方法，該方法通過凸組合的方式對原始PRP 共軛參數(shù)進行修正，以保證每次迭代確定的梯度信息一致收斂，從而求解目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值。最終的數(shù)值結(jié)果表明，CSI-FRPC 相比于傳統(tǒng)的CSI-PRP 有著更好的收斂速度和抗噪聲性能，增強了CSI 的魯棒性。