磁軸承不平衡振動(dòng)控制策略

陳雨琴，孫建東，王兆杰，陳海燕

（瑞納智能設(shè)備股份有限公司，安徽合肥，230000）

0 引言

磁懸浮軸承是一種通過(guò)電磁力使定轉(zhuǎn)子之間無(wú)機(jī)械接觸的新型軸承，磁懸浮軸承與普通機(jī)械軸承相比具有無(wú)摩擦、無(wú)油污、噪音小和使用壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，因此廣泛應(yīng)用于航空航天、真空超凈、高速機(jī)床、儲(chǔ)能飛輪等領(lǐng)域[1-2]。在磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，由于加工誤差以及材質(zhì)不均勻等因素導(dǎo)致轉(zhuǎn)子質(zhì)量分布不均勻，在轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，慣性主軸與幾何中心不重合給轉(zhuǎn)子系統(tǒng)引入同頻的不平衡激勵(lì)力，這種不平衡激振力會(huì)激發(fā)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)，并通過(guò)軸承傳遞到基座上，引起系統(tǒng)的共振。

目前，針對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡振動(dòng)抑制的方法主要有兩種：慣性力最小補(bǔ)償和位移最小補(bǔ)償[3]，其中慣性力最小補(bǔ)償也被稱為自動(dòng)平衡（Autobalance）[4]，其基本原理通過(guò)抵消或者濾波等方式衰減或者濾除位移傳感器檢測(cè)信號(hào)中的不平衡振動(dòng)分量，從而使控制器不產(chǎn)生該分量的控制力，使轉(zhuǎn)子繞其慣性主軸旋轉(zhuǎn)。位移最小補(bǔ)償被稱為不平衡補(bǔ)償（Unbalance Compensation）[5]，其原理是通過(guò)一定的補(bǔ)償策略，在磁懸浮軸承上施加與不平衡力大小相等方向相反的控制作用，使轉(zhuǎn)子盡可能繞其幾何對(duì)稱中心轉(zhuǎn)動(dòng)[6]。

在針對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡振動(dòng)抑制的研究中，文獻(xiàn)[7]中針對(duì)陷波濾波器在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中干擾抑制和穩(wěn)定性矛盾的問(wèn)題，基于根軌跡、頻域分析法提出了一種陷波濾波器的設(shè)計(jì)方法，可有效減小不平衡振動(dòng)導(dǎo)致轉(zhuǎn)速衰減和噪聲，文獻(xiàn)[8]研究了力自由度控制和開(kāi)環(huán)前饋控制，得出力自由度控制適用于以控制能量較小為目標(biāo)的系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)前饋控制適用于要求轉(zhuǎn)子的振動(dòng)幅度較小的系統(tǒng)。文獻(xiàn)[9]基于自適應(yīng)濾波器針對(duì)不同應(yīng)用場(chǎng)合對(duì)開(kāi)閉環(huán)控制與位移剛度力補(bǔ)償進(jìn)行切換，實(shí)現(xiàn)全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的不平衡振動(dòng)抑制。

本文針對(duì)磁懸浮轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)時(shí)不平衡問(wèn)題，研究了兩種補(bǔ)償方法，一種是最小均方自適應(yīng)算法（LMS），一種是凹陷濾波算法。對(duì)上述兩種算法進(jìn)行理論推導(dǎo)并基于MATLAB/Simulink 進(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真結(jié)果表明上述兩種算法對(duì)不平衡振動(dòng)具有明顯的抑制效果。

1 磁懸浮軸承系統(tǒng)不平衡振動(dòng)分析

磁懸浮轉(zhuǎn)子質(zhì)量分布不均是導(dǎo)致轉(zhuǎn)子不平衡激振力的主要原理，在高速旋轉(zhuǎn)過(guò)程中由于轉(zhuǎn)子慣性主軸與幾何中心線不重合產(chǎn)生離心力，其方向與轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)呈周期性變化，其大小主要由轉(zhuǎn)子質(zhì)量、慣性主軸與幾何中心線的偏心距轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速相關(guān)。這種不平衡激振力產(chǎn)生的振動(dòng)幅值超過(guò)軸承安全間距時(shí)，轉(zhuǎn)子與軸承會(huì)發(fā)生碰撞，通過(guò)軸承傳遞到機(jī)座上，引起系統(tǒng)振動(dòng)。在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)轉(zhuǎn)子運(yùn)行轉(zhuǎn)速低于轉(zhuǎn)子鋼支一階臨界轉(zhuǎn)速的25%時(shí)，將轉(zhuǎn)子作為剛性轉(zhuǎn)子處理，將轉(zhuǎn)速超出此范圍的轉(zhuǎn)子看作撓性轉(zhuǎn)子，剛性轉(zhuǎn)子與撓性轉(zhuǎn)子的平衡力的計(jì)算原理是完全相同的[10]。本文為了分析方便，以剛性轉(zhuǎn)子為例進(jìn)行轉(zhuǎn)子不平衡振動(dòng)問(wèn)題分析。

不平衡振動(dòng)可分為靜態(tài)不平衡振動(dòng)和動(dòng)態(tài)不平衡振動(dòng)[11]，轉(zhuǎn)子的靜態(tài)不平衡指的是由于轉(zhuǎn)子加工工藝等因素造成的質(zhì)量分布不均勻，使轉(zhuǎn)子質(zhì)心與幾何中心有偏心距，慣性主軸與旋轉(zhuǎn)主軸平行但不重合而產(chǎn)生的離心力。如圖1 所示，其中O為轉(zhuǎn)子幾何中心為O，轉(zhuǎn)子質(zhì)心為M，轉(zhuǎn)子質(zhì)心與幾何中心的偏心距為ε，當(dāng)轉(zhuǎn)子運(yùn)行轉(zhuǎn)速為? 時(shí)，質(zhì)量為m的轉(zhuǎn)子靜態(tài)不平衡力可表示為：

圖1 剛性轉(zhuǎn)子的靜態(tài)不平衡

由式(1)可知，轉(zhuǎn)子的靜態(tài)不平衡力與轉(zhuǎn)子質(zhì)量、轉(zhuǎn)速的平方以及偏心距成正比。

轉(zhuǎn)子的動(dòng)態(tài)不平衡指的是轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí)，慣性主軸與旋轉(zhuǎn)主軸不再平行，不平衡力隨著轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)周期性變化，假設(shè)?為初始相位，則轉(zhuǎn)子的不平衡力可表示為：

2 不平衡補(bǔ)償算法設(shè)計(jì)

■2.1 最小均方自適應(yīng)算法（LMS）設(shè)計(jì)

最小均方自適應(yīng)算法（LMS）是基于最速下降的算法，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，不需要進(jìn)行矩陣運(yùn)算，LMS 算法是慣性力最小補(bǔ)償控制策略中最常用的算法之一。其基本原理是在位置閉環(huán)控制回路中添加自適應(yīng)濾波器，通過(guò)濾除位移反饋信號(hào)中某一固定頻率的不平衡振動(dòng)信號(hào)，從而使控制器不對(duì)該分量進(jìn)行控制，繼而轉(zhuǎn)子繞其慣性主軸旋轉(zhuǎn)。應(yīng)用該方法使軸承控制器不產(chǎn)生不平衡控制力，大大降低了軸承振動(dòng)，減小轉(zhuǎn)子質(zhì)心與幾何中線的偏心量，從而減小幾何中心的渦動(dòng)半徑。對(duì)于慣性力最小準(zhǔn)則，隨機(jī)振動(dòng)成分是唯一有用的信號(hào)，與轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)周期同步的周期振動(dòng)信號(hào)為干擾信號(hào)。振動(dòng)補(bǔ)償?shù)哪康木褪窃诒ＷC系統(tǒng)正常運(yùn)行的同時(shí)濾除振動(dòng)信號(hào)，只保留隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)，使控制器不產(chǎn)生對(duì)該振動(dòng)信號(hào)的控制力。

基于LMS 算法的振動(dòng)補(bǔ)償原理如圖2 所示，d(k)為原始輸入，即傳感器檢測(cè)到的位移信號(hào)，它包含了周期性干擾信號(hào)和隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)（有用信號(hào)）。參考輸入是與干擾信號(hào)同周期的標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)，兩個(gè)信號(hào)相位相差90°。LMS 算法的目的是獲得w1(k)和w2(k)的值，使得組合后的輸出信號(hào)y(k)與原始輸入信號(hào)中的周期干擾信號(hào)相抵消，從而達(dá)到誤差的均方值最小。

圖2 LMS 算法振動(dòng)補(bǔ)償原理

LMS 算法在每個(gè)采樣時(shí)間更改增益參數(shù)，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，在算法實(shí)現(xiàn)上比較容易。

等式兩邊平方取期望值，可得到系統(tǒng)輸出的均方根誤差為：

其中：Wk=[w1(k) w2(k)]T，X(k)=[x1(k)x2(k)]T。

由于LMS 算法的目標(biāo)是通過(guò)調(diào)整權(quán)值使均方根誤差值最小，因此采用梯度理論，引入均方根誤差的梯度。

梯度為零時(shí)均方誤差最小，則：

最小均方差為：

則有：

權(quán)向量迭代采用最速下降法搜索最優(yōu)的權(quán)向量，使得均方誤差達(dá)到最小，迭代公式為：

式中μ為固定步長(zhǎng)因子，當(dāng)滿足條件

寫成分量形式，w1、w2的迭代公式為：

μ的選取是LMS 算法的關(guān)鍵，μ取值越大系統(tǒng)收斂的速度越快，但是會(huì)拓寬自適應(yīng)濾波的帶寬，會(huì)對(duì)不需要濾除的信號(hào)產(chǎn)生影響，導(dǎo)致LMS 算法的發(fā)散，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響，另一方面μ取值越小時(shí)系統(tǒng)收斂速度越慢，但是性能會(huì)變好。

■2.2 凹陷濾波算法設(shè)計(jì)

凹陷濾波器全稱帶阻陷波濾波器，這種濾波器的優(yōu)點(diǎn)在于只對(duì)特定的頻率段起作用，對(duì)作用頻率范圍之外的頻率幅值及相位無(wú)影響。基于以上特性，凹陷濾波器已經(jīng)成為磁軸承不平衡振動(dòng)補(bǔ)償?shù)囊环N常用算法并成功應(yīng)用于工業(yè)控制系統(tǒng)中。其基本原理為在磁軸承轉(zhuǎn)子位移檢測(cè)回路加入凹陷濾波器，將凹陷濾波器的中心頻率設(shè)置轉(zhuǎn)子臨界頻率，將回路中的同期振動(dòng)成分濾除，使轉(zhuǎn)子順利越過(guò)臨界轉(zhuǎn)速。如圖3 所示，將凹陷濾波器置于位移傳感器反饋信號(hào)之后，這樣可以有效地濾除反饋信號(hào)中的同頻成分。

圖3 凹陷濾波振動(dòng)補(bǔ)償原理

一般將凹陷濾波器幅值衰減最大處對(duì)應(yīng)的頻率稱為ω0，將幅值衰減至通頻帶處的0.707倍對(duì)應(yīng)的頻率稱為截止頻率，一般存在兩個(gè)截止頻率ωL和ωH（ωL<ωH)，小于ωL或者大于ωH的頻率稱為通頻段，處于兩個(gè)頻率之間的頻段稱為阻帶。

傳統(tǒng)的凹陷濾波器的傳遞函數(shù)如下：

式中：ωr為共振頻率（rad/s），ξz為分子阻尼比，ξp為分母阻尼比。凹陷濾波器的凹槽越窄，衰減幅值越大，但是相角滯后就越大。

從圖4 可知，凹陷濾波器對(duì)信號(hào)有很強(qiáng)的選擇性，在共振頻率附近，信號(hào)幅度衰減明顯，而在其他頻率段，信號(hào)幅值基本無(wú)變化。由此可知，頻率在共振頻率附近的信號(hào)無(wú)法通過(guò)凹陷濾波器，這樣可濾除轉(zhuǎn)子位移反饋信號(hào)中的共振信號(hào)，從而使轉(zhuǎn)子圍繞慣性主軸旋轉(zhuǎn)。

圖4 凹陷濾波器伯德圖

上述凹陷濾波器的剪切寬度和陷波深度主要通過(guò)阻尼比進(jìn)行調(diào)節(jié)，結(jié)構(gòu)不靈活，在實(shí)際應(yīng)用中，一般將凹陷濾波器設(shè)計(jì)成如下形式：

將式（12）進(jìn)行雙線性變換，得到：

式中：

其中fs為采樣頻率。

由式(13)可得到數(shù)字凹陷濾波器的算法如下：

3 仿真驗(yàn)證

■3.1 最小均方自適應(yīng)算法（LMS）仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證LMS 自適應(yīng)算法的可行性，基于MATLAB/Simulink 進(jìn)行算法可行性仿真，給LMS 自適應(yīng)算法中加入一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正弦波來(lái)模擬轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)頻率，其頻率為400Hz，取進(jìn)行仿真，并對(duì)補(bǔ)償后的信號(hào)進(jìn)行FFT 分析，仿真分析結(jié)果如圖5 所示。

圖5 LMS 算法仿真結(jié)果

從圖5 可看出，輸入的400Hz 正弦信號(hào)經(jīng)過(guò)LMS 算法后經(jīng)過(guò)幾個(gè)周期的振蕩，400Hz 正弦信號(hào)的幅值衰減嚴(yán)重，信號(hào)基本被濾除，可有效地抑制不平衡振動(dòng)。

為了從理論上驗(yàn)證LMS 對(duì)頻率波動(dòng)的適應(yīng)性，圖6 為L(zhǎng)MS 算法在波動(dòng)頻率為2Hz 情況下的補(bǔ)償波形及FFT 分析，從FFT 分析可知，400Hz 信號(hào)幅值衰減為0.308，相比于無(wú)波動(dòng)情況補(bǔ)償效果有所降低。

圖6 LMS 算法頻率波動(dòng)2Hz 仿真結(jié)果

為進(jìn)一步驗(yàn)證頻率波動(dòng)對(duì)LMS 算法的影響，仿真分析在波動(dòng)頻率為10Hz 情況下的補(bǔ)償波形及FFT 分析，如圖7所示，400Hz 信號(hào)幅值衰減為1.39，由此可知，LMS 對(duì)于頻率波動(dòng)較為敏感，當(dāng)頻率波動(dòng)超過(guò)一定范圍，補(bǔ)償效果變差。綜上可知，隨著波動(dòng)頻率的增加，補(bǔ)償效果變差，故可推測(cè)出LMS 算法不適合變頻的應(yīng)用場(chǎng)合。

圖7 LMS 算法頻率波動(dòng)10Hz 仿真結(jié)果

■3.2 凹陷濾波算法仿真結(jié)果

為驗(yàn)證該濾波器的有效性，給定一個(gè)400Hz 的正弦信號(hào)，取陷波頻率為400Hz，陷波寬度為50Hz，陷波幅值為100dB，得到濾波后的對(duì)比波形以及FFT 分析如圖8 所示，400Hz 的頻率分量被極大地衰減，400Hz 信號(hào)幅值為0.02，仿真結(jié)果證明該濾波方案的有效性。

圖8 凹陷濾波算法結(jié)果

同時(shí)對(duì)比驗(yàn)證凹陷濾波器對(duì)頻率波動(dòng)的適應(yīng)性，對(duì)凹陷濾波算法在不同波動(dòng)頻率下的補(bǔ)償效果進(jìn)行仿真，如圖9所示為頻率波動(dòng)2Hz 情況下的仿真結(jié)果輸出。

圖9 凹陷濾波算法頻率波動(dòng)2Hz 仿真結(jié)果

從圖7 FFT 分析可知，400Hz 信號(hào)幅值衰減為0.227，相比于無(wú)波動(dòng)情況補(bǔ)償效果有所降低，但是同比于LMS 算法補(bǔ)償效果更好。

為進(jìn)一步驗(yàn)證凹陷濾波器對(duì)頻率波動(dòng)的適應(yīng)性，仿真分析在波動(dòng)頻率為10Hz 情況下的補(bǔ)償波形及FFT 分析，如圖10 所示，400Hz 信號(hào)幅值衰減為0.86，故可知凹陷濾波器具備帶寬適應(yīng)性，當(dāng)頻率在一定范圍內(nèi)波動(dòng)時(shí)，可以很好地進(jìn)行補(bǔ)償。

圖10 凹陷濾波算法頻率波動(dòng)10Hz 仿真結(jié)果

4 結(jié)論

本文針對(duì)磁軸承不平衡振動(dòng)問(wèn)題提出了兩種補(bǔ)償方案：LMS 自適應(yīng)濾波算法以及凹陷濾波器。通過(guò)仿真結(jié)果可知，最小均方自適應(yīng)算法（LMS）在定頻時(shí)可完全補(bǔ)償不平衡振動(dòng)，但LMS 算法對(duì)于頻率比較敏感，當(dāng)頻率波動(dòng)超過(guò)一定范圍后，補(bǔ)償效果變差，不適合升頻應(yīng)用場(chǎng)合。凹陷濾波器補(bǔ)償效果明顯且頻率適應(yīng)性好，即使頻率波動(dòng)達(dá)到10Hz 也可以很好地進(jìn)行補(bǔ)償。綜上，兩種算法都可以改善系統(tǒng)的性能，有效地抑制轉(zhuǎn)子的不平衡振動(dòng)。