回音壁式耦合光力學(xué)系統(tǒng)中的混沌現(xiàn)象*

華志豪 郭琴 樊碧璇 謝旻

(江西師范大學(xué)物理與通信電子學(xué)院,南昌 330022)

在光力學(xué)系統(tǒng)中,輻射壓力引起的非線性可導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生混沌等多種豐富的動(dòng)力學(xué)行為.從有序轉(zhuǎn)變到混沌有各種各樣的途徑,本文研究了回音壁式耦合光力系統(tǒng)中兩種不同途徑通往混沌的現(xiàn)象——倍周期分岔道路和準(zhǔn)周期道路.兩個(gè)全同的光力學(xué)子系統(tǒng)通過(guò)光學(xué)倏逝波進(jìn)行耦合,調(diào)控子系統(tǒng)間的耦合強(qiáng)度,可以有效地改變系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.采用分岔圖、李雅普諾夫指數(shù)以及相空間軌跡的變化分析系統(tǒng)從有序到混沌的轉(zhuǎn)變.研究表明,較強(qiáng)的耦合強(qiáng)度會(huì)迫使兩個(gè)子系統(tǒng)的振蕩產(chǎn)生完全同步,子系統(tǒng)間相互耦合的作用可等效于子系統(tǒng)光學(xué)模頻率與外加控制場(chǎng)頻率失諧量的增加,耦合光力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為等效于單個(gè)光力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué),可實(shí)現(xiàn)倍周期分岔道路通往混沌的轉(zhuǎn)變.而對(duì)于相對(duì)較弱的耦合,耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)將在高維相空間展開(kāi),極限環(huán)發(fā)生Hopf 分岔,形成環(huán)面吸引子.選取合適的失諧量,耦合系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)從準(zhǔn)周期道路進(jìn)入混沌的現(xiàn)象.

1 引言

光力學(xué)系統(tǒng)[1]是研究光場(chǎng)和機(jī)械振子相互作用的典型模型.近年來(lái),光力學(xué)系統(tǒng)的相關(guān)研究備受關(guān)注,已經(jīng)成為量子光學(xué)、微納光子學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域的研究對(duì)象,并且在精密測(cè)量和量子信息處理等方面展現(xiàn)出重要的應(yīng)用價(jià)值,呈現(xiàn)了豐富的物理現(xiàn)象,如機(jī)械振子的主動(dòng)冷卻[2,3]、量子糾纏[4,5]和類(lèi)電磁誘導(dǎo)透明[6,7]等.

光力學(xué)系統(tǒng)中的輻射壓力可以誘導(dǎo)多種非線性效應(yīng).在20 世紀(jì)八十年代,光力學(xué)系統(tǒng)中的雙穩(wěn)態(tài)就已被發(fā)現(xiàn)[8].近二十年來(lái),隨著腔的品質(zhì)和性能不斷提高,光力學(xué)系統(tǒng)中的非線性動(dòng)力學(xué)得到了廣泛研究,如動(dòng)態(tài)多穩(wěn)性[9,10]、隨機(jī)共振[11,12]、耦合光力學(xué)系統(tǒng)中的同步效應(yīng)[13,14]、魔鬼階梯[15]、阿諾德舌頭[16]等.

混沌是非線性動(dòng)力學(xué)的一個(gè)重要分支,其實(shí)現(xiàn)機(jī)理是眾多研究者關(guān)注的焦點(diǎn).目前已在各領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)了多種通往混沌的途徑,如倍周期分岔道路[17,18]、準(zhǔn)周期道路[19,20]及陣發(fā)性混沌道路[21-23]等.光力學(xué)系統(tǒng)因具有非線性也成為研究混沌的典型系統(tǒng)之一[24-29].在光力學(xué)系統(tǒng)中,通往混沌的道路大部分遵循倍周期分岔道路,由準(zhǔn)周期道路通往混沌的現(xiàn)象鮮有研究.Roque 等[30]曾研究發(fā)現(xiàn),在弱耗散的經(jīng)典光力學(xué)系統(tǒng)中可產(chǎn)生準(zhǔn)周期吸引子,實(shí)現(xiàn)從極限環(huán)到產(chǎn)生準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng),進(jìn)而實(shí)現(xiàn)向混沌的轉(zhuǎn)變.這為光力學(xué)系統(tǒng)中產(chǎn)生混沌現(xiàn)象提供了一種新的途徑.另一方面,在連續(xù)系統(tǒng)中,非線性和三維及以上相空間是產(chǎn)生混沌的必要條件.高維相空間意味著更豐富的動(dòng)力學(xué)行為[31].因此,耦合系統(tǒng)成為研究環(huán)面吸引子和高維混沌等動(dòng)力學(xué)行為的自然候選者.在耦合系統(tǒng)中,環(huán)面吸引子為最常見(jiàn)的吸引子,但環(huán)面吸引子可能會(huì)隨著參數(shù)的變化直接失穩(wěn),從而導(dǎo)致混沌,即產(chǎn)生由準(zhǔn)周期道路通往混沌[31-35].關(guān)于耦合系統(tǒng)中產(chǎn)生準(zhǔn)周期道路向混沌的轉(zhuǎn)變,較早的研究可以追溯到Buskirk 和Jeffries[31]在電子電路中的實(shí)驗(yàn),他們發(fā)現(xiàn)改變驅(qū)動(dòng)電壓時(shí),電路中單一非線性諧振器表現(xiàn)為倍周期道路向混沌轉(zhuǎn)變,而兩個(gè)耦合的諧振器則表現(xiàn)為準(zhǔn)周期道路向混沌轉(zhuǎn)變.隨后,有研究發(fā)現(xiàn),在耦合Lorentz 系統(tǒng)[32,33]和耦合Duffing 振子系統(tǒng)[34]中不僅存在準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng),還存在穩(wěn)定的三頻準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)以及高維混沌等現(xiàn)象.

基于上述研究背景,本文利用光學(xué)倏逝波將兩個(gè)回音壁式光力學(xué)子系統(tǒng)進(jìn)行耦合,考慮兩個(gè)光力學(xué)子系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)完全相同,研究耦合光力系統(tǒng)中的混沌動(dòng)力學(xué)行為.研究發(fā)現(xiàn),兩個(gè)子系統(tǒng)間的耦合強(qiáng)度對(duì)于系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)的產(chǎn)生及其動(dòng)力學(xué)過(guò)程有著重要的作用.當(dāng)兩個(gè)光力學(xué)子系統(tǒng)間的耦合較強(qiáng)時(shí),強(qiáng)耦合將會(huì)導(dǎo)致兩個(gè)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)完全同步,兩個(gè)子系統(tǒng)間耦合的作用等效于改變子系統(tǒng)中控制場(chǎng)與腔場(chǎng)的失諧量,耦合系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)的倍周期分岔通往混沌的現(xiàn)象.然而,對(duì)于兩個(gè)子系統(tǒng)間弱耦合的情形,耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)將進(jìn)入高維相空間,極限環(huán)發(fā)生Hopf 分岔,形成二維環(huán)面吸引子.在合適的失諧量下,調(diào)控耦合強(qiáng)度,可實(shí)現(xiàn)二維環(huán)面吸引子向奇異吸引子的轉(zhuǎn)變,即從準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)通往混沌的轉(zhuǎn)變.文中采用系統(tǒng)的分岔圖和對(duì)應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù)譜進(jìn)行詳細(xì)分析,并展示了鎖頻這一經(jīng)典動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.

本文的總體安排如下: 第2 節(jié)介紹本文的研究模型——回音壁式耦合光力學(xué)系統(tǒng),理論推導(dǎo)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程,分析無(wú)耦合情形下子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)區(qū)域;第3 節(jié)討論耦合光力學(xué)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為,使用力學(xué)模振幅分岔圖和最大李雅普諾夫指數(shù)聯(lián)合進(jìn)行分析,詳細(xì)展示了耦合系統(tǒng)中倍周期分岔和準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)向混沌的轉(zhuǎn)變行為;最后,第4 節(jié)進(jìn)行了總結(jié).

2 理論模型

本文研究的是回音壁式耦合光力學(xué)系統(tǒng)如圖1 所示.兩個(gè)光力學(xué)子系統(tǒng)a1和a2(頻率分別為ω1和ω2)通過(guò)光學(xué)倏逝波耦合,并且兩個(gè)子系統(tǒng)中分別包含頻率為ωm1和ωm2的力學(xué)模.采用纖維型波導(dǎo)分別與兩子系統(tǒng)的邊側(cè)耦合,用于控制場(chǎng)E1和E2(頻率均為ωL)的輸入與輸出.

在旋轉(zhuǎn)波近似下,該耦合系統(tǒng)的哈密頓量可表示為 (?=1) :

考慮壞腔極限,即光學(xué)模與力學(xué)模之間的耦合系數(shù)遠(yuǎn)小于光場(chǎng)的衰變率,機(jī)械模式的零點(diǎn)漲落遠(yuǎn)小于對(duì)應(yīng)光學(xué)模式的線寬,因此系統(tǒng)的量子漲落可以忽略不計(jì).系統(tǒng)隨時(shí)間演化的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為

通過(guò)線性化處理,可以得到系統(tǒng)的雅可比矩陣為如下形式:

其中αir和αii(i=1,2) 是腔中光學(xué)模復(fù)振幅的實(shí)部和虛部.雅可比矩陣的特征值可用于判斷系統(tǒng)在平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性以及李雅普諾夫指數(shù)的計(jì)算.

圖2 給出了兩個(gè)子系統(tǒng)之間無(wú)耦合的情形下(G=0 ),系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí),力學(xué)模的位置x1隨失諧Δ1的變化曲線圖.可以看出,隨著失諧Δ1的增加,系統(tǒng)可由單穩(wěn)態(tài)(藍(lán)色區(qū)域)演化為自持振蕩狀態(tài)(綠色區(qū)域),然后再過(guò)渡到雙穩(wěn)區(qū)域.圖中小框內(nèi)曲線描述了系統(tǒng)從單穩(wěn)態(tài)區(qū)域過(guò)渡到自持振蕩區(qū)域的臨界區(qū)域內(nèi)雅可比矩陣特征值的復(fù)平面圖.在該區(qū)域內(nèi),隨著失諧的微小增加,雅可比矩陣將出現(xiàn)一對(duì)共軛特征值——ξ和ξ?,兩特征值的虛部跨越實(shí)軸,系統(tǒng)發(fā)生超臨界Hopf 分岔,形成不穩(wěn)定焦點(diǎn),并同時(shí)產(chǎn)生一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán),系統(tǒng)開(kāi)始自發(fā)振蕩.

圖2 兩個(gè)子系統(tǒng)無(wú)耦合情形下,力學(xué)模的穩(wěn)態(tài)位置 x1 隨失諧 Δ1 的變化曲線圖.藍(lán)色表示穩(wěn)定解,綠色表示參量不穩(wěn)解,紅色表示不穩(wěn)定解.小框內(nèi)為雅可比矩陣的一對(duì)共軛特征值虛根變化的復(fù)平面圖.系統(tǒng)參數(shù)分別為κ1=1.0ωm1,γ1=0.26ωm1,g1=-0.0006ωm1,E1=2980ωm1Fig.2.System stability diagram of x1 with the varying of detuning Δ1 under uncoupling between the two subsystems.Blue stands for the stable branches,green stands for parametric instability,and red stands for unstable branch.The virtual rosots of a pair of conengenvalues for the Jacobi matrix are presented in the small box.The parameters areκ1=1.0ωm1,γ1=0.26ωm1,g1=-0.0006ωm1,E1=2980ωm1.

3 系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象

3.1 倍周期分岔道路

本文考慮由兩個(gè)全同光力學(xué)子系統(tǒng)構(gòu)成的回音壁式耦合系統(tǒng),即兩個(gè)子系統(tǒng)具有完全相同的系統(tǒng)參數(shù).當(dāng)兩個(gè)子系統(tǒng)間耦合強(qiáng)度較強(qiáng)時(shí),可產(chǎn)生迫使兩個(gè)子系統(tǒng)的振蕩完全同步的情形[36,37].為了體現(xiàn)強(qiáng)耦合導(dǎo)致的同步現(xiàn)象,圖3 給出了失諧Δ1=Δ2=-1.0ωm1時(shí),不同耦合強(qiáng)度G下兩個(gè)子系統(tǒng)力學(xué)模位置x1和x2的輸出曲線,其中藍(lán)實(shí)線為x1的輸出曲線,紅虛線為x2的輸出曲線,系統(tǒng)各算符的初始平均值隨機(jī).不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)耦合強(qiáng)度較弱時(shí),兩個(gè)子系統(tǒng)的輸出并不同步,如 圖3(a)和圖3(b)所示.然而,在較強(qiáng)耦合下,兩個(gè)子系統(tǒng)的位置輸出曲線x1和x2在時(shí)域上完全重合,即子系統(tǒng)之間的振蕩實(shí)現(xiàn)了完全同步,如圖3(c)—(f)所示.而且在強(qiáng)耦合下,隨著G的增加,系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為也有顯著改變,其輸出從有序化的周期振蕩逐步轉(zhuǎn)變?yōu)闊o(wú)序化振蕩.當(dāng)兩個(gè)子系統(tǒng)耦合強(qiáng)度為G=1.7ωm1,位置輸出曲線為單周期振蕩,如圖3(c)所示,圖中以黑色框標(biāo)記單周期.繼續(xù)增強(qiáng)耦合強(qiáng)度G,振蕩周期也不斷增大,由單周期振蕩變?yōu)楸吨芷?、四周期乃至無(wú)周期振蕩.圖3(f)中的無(wú)周期運(yùn)動(dòng)表明系統(tǒng)很可能已經(jīng)進(jìn)入了混沌狀態(tài).

圖3 不同耦合強(qiáng)度下兩個(gè)子系統(tǒng)力學(xué)模位置的輸出曲線,藍(lán)實(shí)線對(duì)應(yīng) x1 ,紅虛線對(duì)應(yīng) x2 (a) G=1.0ωm1 ;(b) G=1.5ωm1 ;(c) G=1.7ωm1 ;(d) G=2.3ωm1 ;(e) G=2.8ωm1 ;(f) G=3.0ωm1 .兩個(gè)子系統(tǒng)參數(shù)完全相同,初始條件隨機(jī),Δ1=Δ2=-1.0ωm1,其余參數(shù)和圖2 相同F(xiàn)ig.3.Output curves of the two mechanical modes under different coupling strengthes.The blue solid line and the red dashed line correspond to x1 and x2 ,respectively: (a) G=1.0ωm1 ;(b) G=1.5ωm1 ;(c) G=1.7ωm1 ;(d) G=2.3ωm1 ;(e) G=2.8ωm1 ;(f) G=3.0ωm1 .The parameters for the two subsystems are exactly the same,and the initial conditions are arbitrary.All parameters are the same as those in Fig.2 except for Δ1=Δ2=-1.0ωm1 .

當(dāng)系統(tǒng)在強(qiáng)耦合下迫使兩個(gè)子系統(tǒng)達(dá)到完全同步時(shí),兩個(gè)子系統(tǒng)力學(xué)量的穩(wěn)態(tài)值在任意時(shí)刻均相等,光學(xué)模的復(fù)振幅也不例外,即α1=α2.系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程中(2)式可改寫(xiě)為

為了定量分析耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,進(jìn)一步給出了強(qiáng)耦合下x1的振幅隨兩個(gè)子系統(tǒng)間耦合強(qiáng)度變化的分岔圖以及最大李雅普諾夫指數(shù)圖,如圖4 所示.李雅普諾夫指數(shù)是表示相空間相鄰軌跡的平均指數(shù)發(fā)散率的數(shù)值指標(biāo).該指數(shù)越大,表示系統(tǒng)的局域穩(wěn)定性越差,當(dāng)其大于零時(shí),則代表系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).觀察分岔圖可以得知,隨著耦合強(qiáng)度的增強(qiáng),x1的振蕩從單周期開(kāi)始,隨后周期逐步加倍,直至無(wú)周期振蕩.對(duì)于無(wú)周期區(qū)域,最大李雅普諾夫指數(shù)λ1皆為正值,表明在這些區(qū)域,系統(tǒng)已經(jīng)進(jìn)入混沌狀態(tài).隨著耦合強(qiáng)度的增加,系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的周期數(shù)倍增,直至進(jìn)入混沌狀態(tài),這種現(xiàn)象被稱(chēng)為倍周期分岔,也是單個(gè)光力學(xué)系統(tǒng)中通往混沌最常見(jiàn)的途徑[25].耦合系統(tǒng)的倍周期分岔路徑的產(chǎn)生正是由于單個(gè)子系統(tǒng)在失諧的區(qū)域存在一個(gè)對(duì)應(yīng)的倍周期分岔現(xiàn)象.強(qiáng)耦合的作用迫使兩個(gè)子系統(tǒng)的振蕩完全同步,因此耦合光力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為等效于單個(gè)光力學(xué)系統(tǒng),實(shí)現(xiàn)了倍周期分岔道路向混沌的轉(zhuǎn)變.

圖4 (a)系統(tǒng)倍周期分岔圖;(b)最大李雅普諾夫指數(shù)圖.所有參數(shù)和圖3 相同F(xiàn)ig.4.(a) Schematic period-doubling bifurcation diagram;(b) the curve for the maximum of Lyapunov exponents.All parameters are the same as those in Fig.3.

3.2 準(zhǔn)周期道路

接著,進(jìn)一步考慮兩個(gè)全同子系統(tǒng)間的耦合強(qiáng)度相對(duì)較弱的情形.強(qiáng)耦合可迫使兩個(gè)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)完全同步,耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為與單個(gè)子系統(tǒng)的維度相同,只在四維相空間展開(kāi),這被稱(chēng)為同步流形,而完全同步下出現(xiàn)的混沌可被稱(chēng)為同步混沌.在相對(duì)較弱的耦合下,子系統(tǒng)之間的振蕩具有相干性,耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為將在高維相空間展開(kāi).此時(shí),通過(guò)調(diào)節(jié)光學(xué)耦合強(qiáng)度,可誘導(dǎo)極限環(huán)發(fā)生超臨界Hopf 分岔,產(chǎn)生環(huán)面吸引子,這為耦合系統(tǒng)產(chǎn)生準(zhǔn)周期路徑提供了先決條件.為了可觀測(cè)到耦合系統(tǒng)的環(huán)面失穩(wěn),實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)周期路徑通往混沌的轉(zhuǎn)變,還需系統(tǒng)處于容易產(chǎn)生復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的參數(shù)區(qū)域范圍內(nèi).倘若在合適的失諧量下,強(qiáng)耦合迫使兩個(gè)子系統(tǒng)達(dá)到完全同步時(shí),系統(tǒng)已經(jīng)處于或接近處于同步混沌狀態(tài),那么這就為相對(duì)較弱耦合時(shí)產(chǎn)生環(huán)面失穩(wěn)并通往混沌提供了可能.為此,選取失諧為Δ1=Δ2=0.5ωm1,調(diào)節(jié)耦合強(qiáng)度,研究耦合系統(tǒng)從準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)向混沌的轉(zhuǎn)變.

圖5 給出了兩個(gè)子系統(tǒng)在失諧Δ1=Δ2=0.5ωm1時(shí),不同耦合強(qiáng)度下系統(tǒng)的三維相空間圖I1(a1腔光子數(shù))-x1-p1的軌跡、二維相空間圖x1-x2的 軌跡、李雅普諾夫指數(shù)譜以及x1的頻率譜.為了體現(xiàn)混沌對(duì)初始條件的敏感度,圖5 給出了兩組初始條件下三維相空間圖的軌跡,其中第一組初始條件是隨機(jī)生成的,第二組初始條件與第一組的區(qū)別是初始的x1被增加了 10-5,圖中利用兩種不同顏色進(jìn)行表征.其余三個(gè)子圖只展示了系統(tǒng)為第一組初始條件下的結(jié)果.在無(wú)共存吸引子的情況下,系統(tǒng)在任意初始條件下的功率譜和李雅普諾夫指數(shù)譜的特征穩(wěn)定.二維相空間則很好地體現(xiàn)了兩個(gè)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的關(guān)系.

圖5 不同耦合強(qiáng)度下 系統(tǒng) 達(dá)到 穩(wěn)定時(shí)的狀態(tài)圖 (a) G=1.47ωm1 ;(b) G=1.53ωm1 ;(c) G=1.60ωm1 ;(d) G=1.87ωm1 .其中每張子圖中包含4 個(gè)分圖,左上圖對(duì)應(yīng) I1-x1-p1 三維相空間軌跡,兩種顏色表征兩組初始條件下的軌跡;左下圖對(duì)應(yīng)x1-x2二維相空間軌跡;右上圖對(duì)應(yīng)動(dòng)態(tài)李雅普諾夫指數(shù)譜(前4 個(gè)李雅普諾夫指數(shù));右下圖對(duì)應(yīng) x1 的頻率譜.Δ1=Δ2=0.5ωm1,其余參數(shù)和圖3 相同F(xiàn)ig.5.Stability diagrams of the system under different coupling strengthes: (a) G=1.47ωm1 ;(b) G=1.53ωm1 ;(c)G=1.60ωm1 ;(d) G=1.87ωm1 .Each subgraph includes four charts,the top left one corresponding to the three-dimensional phase space of I1-x1-p1,and the two colors represented the traces for two sets of initial conditions;the bottom left one corresponding to the two-dimensional phase space of x1-x2 ;the top right one corresponding to Lyapunov exponents (the top four Lyapunov exponents);and the bottom right one corresponding to the frequency spectrum of x1 .The other parameters are the same as those in Fig.3 except for Δ1=Δ2=0.5ωm1 .

為了區(qū)分極限環(huán)和極限環(huán)面,借助李雅普諾夫指數(shù)譜來(lái)判斷吸引子的類(lèi)型.系統(tǒng)具有八維相空間,擁有8 個(gè)李雅普諾夫指數(shù).在數(shù)值模擬中,從大到小排列,李雅普諾夫指數(shù)的第4 個(gè)值表現(xiàn)為穩(wěn)定負(fù)值,因此圖5 只給出了前4 個(gè)李雅普諾夫指數(shù)λi(i=1,2,3,4).當(dāng)兩個(gè)子系統(tǒng)間的耦合強(qiáng)度G=1.47ωm1時(shí),三維相空間圖顯示吸引子為標(biāo)準(zhǔn)二維環(huán)面,如圖5(a)所示.在李雅普諾夫指數(shù)譜中,λ1和λ2重合在 0 處,而λ3和λ4為負(fù)值,表明吸引子屬于 (0,0,-,-,···) 型,對(duì)應(yīng)二頻準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng).而在x1的頻率譜中,其主頻峰ω01以左出現(xiàn)了一個(gè)不可公度的新頻率ω02,譜中所有頻率分量都可以表示為這兩個(gè)基本頻率的線性組合,這也是二頻準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的表征.當(dāng)耦合強(qiáng)度增強(qiáng)到G=1.53ωm1時(shí),如圖5(b)所示,三維相空間圖表明吸引子出現(xiàn)了分形結(jié)構(gòu)的趨勢(shì),而李雅普諾夫指數(shù)λ1上升為正值,說(shuō)明系統(tǒng)已經(jīng)處于混沌狀態(tài).不難看出,即使兩組在具有微小差別的初始條件下,三維相空間圖有著完全不同的兩組軌跡(兩種不同的顏色表征),表明混沌對(duì)初始條件非常敏感,這是混沌的特點(diǎn)之一.然而整體上,兩組軌跡又被限制于相同的區(qū)域,這是因?yàn)槲呛纳⑾到y(tǒng)的整體性質(zhì).相較于圖5(a),x1的頻率譜細(xì)峰逐漸消失,并且峰值也有所降低,此時(shí)系統(tǒng)剛剛過(guò)渡到混沌,混沌的特征還不夠明顯.繼續(xù)增強(qiáng)耦合強(qiáng)度,G=1.60ωm1,如圖5(c)所示,相較于圖5(b),λ1明顯上升,x1的頻率譜展現(xiàn)出混沌的標(biāo)準(zhǔn)特征,即寬峰和類(lèi)似噪聲的整體譜線.三維相空間圖出現(xiàn)了奇異吸引子的特征,即明顯的分形結(jié)構(gòu).然而,當(dāng)耦合強(qiáng)度達(dá)到G= 1.87ωm1時(shí),x1-x2二維相空間圖為一條關(guān)于x1-x2對(duì)稱(chēng)的直線,如圖5(d)所示.這是兩個(gè)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為完全同步在相空間的體現(xiàn),過(guò)強(qiáng)的耦合強(qiáng)度導(dǎo)致子系統(tǒng)的振蕩完全同步.結(jié)合李雅普諾夫指數(shù)(λ1的正值)以及與圖5(c)類(lèi)似的功率譜,說(shuō)明此時(shí)耦合系統(tǒng)處于同步混沌的狀態(tài).

下面仍以x1的振幅隨耦合強(qiáng)度變化的分岔圖以及李雅普諾夫指數(shù)譜來(lái)詳細(xì)分析系統(tǒng)從準(zhǔn)周期道路向混沌的轉(zhuǎn)變過(guò)程,圖6 給出了系統(tǒng)的分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)圖.x1的振幅分岔圖中顯示,隨著耦合強(qiáng)度的增大,系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程歷經(jīng)了極限環(huán)、準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)、有限周期運(yùn)動(dòng)以及由準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)向混沌狀態(tài)的轉(zhuǎn)變.當(dāng)耦合強(qiáng)度G較小時(shí),系統(tǒng)的振蕩是單周期的極限環(huán),其相應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù)譜中最大值λ1為零,λ2和λ3為相等的負(fù)值.隨后,λ2和λ3開(kāi)始分離,λ2上升至零并保持為零,而λ3則下降,依然為負(fù)值.這表明極限環(huán)發(fā)生了超臨界Hopf 分岔,轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定的二維環(huán)面[38],即準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng).x1的振幅變得稠密,而且x1的頻率譜上將會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)不可公度的基本頻率.隨著耦合強(qiáng)度的增強(qiáng),兩個(gè)基本頻率會(huì)發(fā)生微小移動(dòng).如果滿足兩個(gè)基本頻率之比為有理數(shù),系統(tǒng)將出現(xiàn)鎖頻現(xiàn)象,并且系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為由準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)橛邢拗芷谶\(yùn)動(dòng).如此交替變化,兩種動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象交替的間隔越來(lái)越小,直至系統(tǒng)完全處于準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài).然而繼續(xù)增強(qiáng)耦合強(qiáng)度,系統(tǒng)將出現(xiàn)環(huán)面失穩(wěn),開(kāi)始由準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)向混沌狀態(tài)的轉(zhuǎn)變,其標(biāo)志是分岔圖中下邊界不再清晰.而系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)的另一標(biāo)志是李雅普諾夫指數(shù)λ1急劇上升,變?yōu)榇笥诹愕恼?同時(shí)λ2上升至零的位置,在這個(gè)范圍內(nèi)吸引子擁有環(huán)面的形狀,如圖5(c)所示.當(dāng)耦合強(qiáng)度過(guò)強(qiáng)時(shí),系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為再次出現(xiàn)了突變,李雅普諾夫指數(shù)譜也有一個(gè)明顯的變化,λ3先上升為零,隨后立刻下降為負(fù)值,與λ4基本保持相等.強(qiáng)耦合導(dǎo)致了兩個(gè)子系統(tǒng)振蕩完全同步,引起了同步混沌的現(xiàn)象,這與圖5(d)所示結(jié)果完全符合.同步混沌的發(fā)生為耦合系統(tǒng)產(chǎn)生環(huán)面失穩(wěn)給予了很好的解釋.混沌往往發(fā)生于系統(tǒng)處于容易產(chǎn)生復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的參數(shù)區(qū)域內(nèi).雖然強(qiáng)耦合導(dǎo)致的同步混沌不是高維相空間的產(chǎn)物,但其發(fā)生區(qū)域依然是系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)劇烈變化的區(qū)域,并且具有魯棒性.因此,調(diào)節(jié)光學(xué)耦合強(qiáng)度,使環(huán)面吸引子不斷靠近同步混沌時(shí),將會(huì)激起耦合系統(tǒng)產(chǎn)生復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,從而產(chǎn)生環(huán)面失穩(wěn)變?yōu)槠娈愇?實(shí)現(xiàn)從準(zhǔn)周期路徑通往混沌的轉(zhuǎn)變.

圖6 (a)準(zhǔn)周期路徑分岔圖;(b)李雅普諾夫指數(shù)圖(前4 個(gè)李雅普諾夫指數(shù)).所有參數(shù)與圖5 相同F(xiàn)ig.6.(a) Schematic quasiperiodic bifurcation diagram;(b) curves of Lyapunov exponents (the top four Lyapunov exponents).All parameters are the same as those in Fig.5.

4 結(jié)論

綜上所述,本文利用光學(xué)倏逝波耦合兩個(gè)回音壁式全同光力學(xué)子系統(tǒng),從理論上研究了該耦合系統(tǒng)中兩個(gè)子系統(tǒng)間的相互耦合對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的影響.調(diào)控兩個(gè)光力學(xué)系統(tǒng)之間的耦合強(qiáng)度,耦合系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)倍周期分岔道路和準(zhǔn)周期道路進(jìn)入混沌的轉(zhuǎn)變.倍周期分岔的產(chǎn)生原因是由于強(qiáng)耦合迫使兩個(gè)子系統(tǒng)的振蕩完全同步,使得在強(qiáng)耦合下調(diào)制耦合系統(tǒng)的耦合強(qiáng)度等效于改變了子系統(tǒng)光學(xué)模頻率與外加控制光場(chǎng)頻率的有效失諧量,耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)可退化為單個(gè)光力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程,實(shí)現(xiàn)倍周期分岔通往混沌的道路.對(duì)于較弱的耦合,系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)將進(jìn)入高維相空間,極限環(huán)發(fā)生Hopf 分岔,形成環(huán)面吸引子.選取合適的失諧量,系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)環(huán)面失穩(wěn),從而產(chǎn)生從準(zhǔn)周期道路進(jìn)入混沌的現(xiàn)象.

感謝江西師范大學(xué)物理與通信電子學(xué)院段正路教授的討論.