基于最小距離法的數(shù)控磨床液壓系統(tǒng)可靠性建模與模型優(yōu)選

劉勇軍，劉巧燕，胡乾坤

(黃淮學(xué)院智能制造學(xué)院，河南駐馬店 463000)

0 前言

數(shù)控磨床是精密制造業(yè)不可或缺的工業(yè)母機(jī)，數(shù)控磨床的可靠性一直是研究的熱點(diǎn)。對(duì)數(shù)控磨床可靠性的研究可以從整體上分析，也可以將其分為若干個(gè)子系統(tǒng)加以研究。從可靠性設(shè)計(jì)和可靠性提升的角度來(lái)看，研究子系統(tǒng)的可靠性更具有針對(duì)性。數(shù)控磨床通常采用兩套獨(dú)立的液壓站，其中一臺(tái)液壓站為尾架液壓缸、軸向量?jī)x旋轉(zhuǎn)液壓缸和徑向量?jī)x直線液壓缸提供動(dòng)力，另一臺(tái)液壓站為靜壓主軸提供液壓油。數(shù)控磨床液壓系統(tǒng)是數(shù)控磨床易發(fā)生故障的子系統(tǒng)，因此將其單獨(dú)拿出研究，以便評(píng)估數(shù)控磨床整機(jī)可靠性?？煽啃缘难芯侩x不開現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)的采集，而根據(jù)采集到的數(shù)據(jù)如何建立準(zhǔn)確的可靠性模型是可靠性研究的關(guān)鍵。目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者通常的做法是對(duì)可靠性數(shù)據(jù)進(jìn)行處理、擬合，找出相對(duì)最優(yōu)的可靠性模型。

陳傳海等[1]對(duì)數(shù)控機(jī)床的可靠性建模方法進(jìn)行了分析與總結(jié)；楊新坤等[2-8]基于威布爾分布，利用可靠性數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)控機(jī)床進(jìn)行了可靠性建模，對(duì)模型中的參數(shù)進(jìn)行了計(jì)算求解。張根保等[9]建立了針對(duì)浴盆曲線前兩段的兩重LLP可靠性模型，并研究了浴盆曲線轉(zhuǎn)折點(diǎn)的確定方法，對(duì)數(shù)控機(jī)床的維修保養(yǎng)具有一定的指導(dǎo)意義。

在模型優(yōu)選方面，張世強(qiáng)[10]、黨耀國(guó)等[11]研究了通用擬合優(yōu)度指標(biāo)和擬合優(yōu)度的檢驗(yàn)方法；郝晨光等[12-15]基于假設(shè)檢驗(yàn)和擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法，利用經(jīng)典分布函數(shù)分別進(jìn)行擬合，以尋求最優(yōu)的可靠性模型；劉勇軍等[16]提出了改進(jìn)灰色關(guān)聯(lián)度的模型優(yōu)選方法。

從已有文獻(xiàn)可以看出，目前對(duì)數(shù)控機(jī)床進(jìn)行可靠性建模時(shí)以威布爾分布為主，不少研究者直接假定故障率符合威布爾分布，然后利用算法對(duì)參數(shù)進(jìn)行求解，這種直接假定分布模型為某一確定模型的做法存在一定的建模誤差；也有學(xué)者分別利用多種常用的分布函數(shù)進(jìn)行擬合，然后對(duì)這些模型進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，但也存在著分布函數(shù)有限、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法簡(jiǎn)單等不足。本文作者增加伽馬分布作為可靠性模型的一個(gè)備選，闡述伽馬分布函數(shù)參數(shù)的求解方法；同時(shí)，針對(duì)當(dāng)前擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法存在區(qū)分度不高的問題，提出最小距離模型優(yōu)選方法，并與其他擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法進(jìn)行比較。

1 可靠性建模

數(shù)控磨床屬于典型的機(jī)電裝備，其故障率曲線也近似為“浴盆曲線”，即在數(shù)控磨床投入使用的早期，故障率較高，隨著時(shí)間的推移，故障率慢慢降低，并逐漸趨于穩(wěn)定，在產(chǎn)品的壽命周期末期，故障率又逐漸增高，即將報(bào)廢。研究數(shù)控磨床的可靠性通常是研究浴盆曲線前兩段的變化規(guī)律，建立其數(shù)學(xué)模型，從而為數(shù)控磨床的可靠性評(píng)估和可靠性設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)。

1.1 可靠性模型

數(shù)控磨床的故障率是一個(gè)概率統(tǒng)計(jì)問題，研究表明，與浴盆曲線前兩段較為接近的分布函數(shù)有指數(shù)分布(Exponential Distribution)、威布爾分布(Weibull Distribution)、正態(tài)分布(Normal Distribution)、對(duì)數(shù)正態(tài)分布(Logarithmic Normal Distribution)、伽馬分布(Gamma Distribution)等，上述5種分布的累積概率密度函數(shù)如式(1)—式(5)所示。如果參數(shù)選擇合理，上述5種分布函數(shù)均可以用來(lái)表征數(shù)控磨床及其子系統(tǒng)的故障率變化規(guī)律。

F(t)=1-e-λt

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

1.2 可靠性建模

可靠性建模是以故障數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的，因此首先需要采集可靠性數(shù)據(jù)(產(chǎn)品從投入使用開始每次故障的時(shí)間)。為了計(jì)算概率密度，需要將采集到的數(shù)據(jù)按故障間隔時(shí)間由小到大分為k組，求出每個(gè)區(qū)間內(nèi)的故障頻次、頻率、概率密度和累積概率密度，如表1所示。

表1 數(shù)控磨床可靠性數(shù)據(jù)采集與分組(一)

表1中：Δti為故障間隔時(shí)間分組的中值；ni為第i組故障間隔時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)的故障總數(shù)；fi為第i組故障間隔時(shí)間內(nèi)的故障頻率；Fi為第i組故障間隔時(shí)間內(nèi)的累積故障頻率；Fi可以由式(6)計(jì)算得出，其中Δt為區(qū)間長(zhǎng)度。

(6)

每個(gè)區(qū)間的累積概率密度求出之后，即可得到k組數(shù)據(jù)對(duì)(Δti，F(xiàn)i)。對(duì)于指數(shù)分布和威布爾分布，可以將累積分布函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)構(gòu)造線性關(guān)系式，正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布則需要將其累積分布函數(shù)變換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布后構(gòu)造線性關(guān)系式。線性關(guān)系式構(gòu)造完成后可以利用最小二乘法求解分布函數(shù)的參數(shù)[17]。

伽馬函數(shù)無(wú)法構(gòu)造線性關(guān)系式，可以采用極大似然法求解。首先構(gòu)造一個(gè)伽馬分布的似然函數(shù)，如式(7)所示：

(7)

由于L(θ)和lnL(θ)具有相似的極值特性，可以將式(7)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，簡(jiǎn)化后如式(8)所示。

(8)

將式(8)分別對(duì)a、b求偏導(dǎo)，可以得到式(9)。

(9)

式(9)無(wú)法直接求出a、b的解析解，可以采取數(shù)值解法求解。

2 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

在求出每個(gè)累積分布函數(shù)的參數(shù)后，需要選擇一個(gè)最優(yōu)的分布函數(shù)作為液壓系統(tǒng)的可靠性模型，因此需要對(duì)5種分布函數(shù)進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。常用的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法有χ2檢驗(yàn)(卡方檢驗(yàn))、K-S檢驗(yàn)法(柯爾莫諾夫-斯米爾諾夫檢驗(yàn))、相關(guān)系數(shù)法、灰色關(guān)聯(lián)度分析等。

2.1 χ2檢驗(yàn)

卡方檢驗(yàn)可以檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)與理論模型之間的偏離程度，卡方值的大小可以表征這種偏離程度，卡方值越大，二者偏離程度越大；反之亦然。對(duì)不同分布函數(shù)與樣本數(shù)據(jù)之間進(jìn)行卡方檢驗(yàn)可以分辨不同分布函數(shù)與樣本數(shù)據(jù)之間的擬合優(yōu)度?？ǚ綑z驗(yàn)的公式如式(10)所示：

(10)

從卡方檢驗(yàn)公式可以看出：其主要比較的是概率密度值的觀測(cè)值與預(yù)期值之間的差值，即只比較縱坐標(biāo)的值，而并不判斷觀測(cè)值與實(shí)際曲線之間的相近性。

2.2 K-S檢驗(yàn)

(11)

K-S檢驗(yàn)法不僅可以檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)與理論累積分布函數(shù)之間是否相關(guān)，還可以根據(jù)K-S檢驗(yàn)結(jié)果判斷不同分布函數(shù)與樣本數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度。

2.3 皮爾遜相關(guān)系數(shù)

皮爾遜相關(guān)系數(shù)可以度量?jī)蓚€(gè)變量之間的線性相關(guān)程度，用線性相關(guān)系數(shù)γ來(lái)表示，如式(12)所示，γ值與線性相關(guān)度成正比。

(12)

2.4 灰色關(guān)聯(lián)度

灰色關(guān)聯(lián)分析對(duì)樣本數(shù)據(jù)和規(guī)律沒有嚴(yán)格的要求，該方法根據(jù)兩個(gè)數(shù)據(jù)列的相似程度來(lái)判斷其關(guān)聯(lián)性的大小，可以用于概率密度樣本值與擬合曲線之間的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。實(shí)際應(yīng)用中可以將概率密度樣本值與上述5種分布函數(shù)分別求關(guān)聯(lián)系數(shù)，并比較關(guān)聯(lián)系數(shù)的大小，關(guān)聯(lián)系數(shù)越大，擬合效果越好?；疑P(guān)聯(lián)度的計(jì)算公式如式(13)所示：

(13)

其中：

ξi(t)=

式中：ρ為分辨系數(shù)，通常取0.5；x0(k)為樣本數(shù)據(jù)在k點(diǎn)的值；xi(k)為擬合模型在k點(diǎn)的值。

灰色關(guān)聯(lián)分析主要用于判斷樣本數(shù)據(jù)與擬合模型在斜率上的相近程度，而未考慮樣本數(shù)據(jù)與擬合曲線間在坐標(biāo)上的接近程度，用于模型優(yōu)選時(shí)存在一定的局限性，可能會(huì)選出錯(cuò)誤的結(jié)果。

3 最小距離法擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

針對(duì)只用函數(shù)值來(lái)判斷擬合優(yōu)度存在的缺點(diǎn)(只考慮相似性)，根據(jù)累積概率密度曲線的特點(diǎn)，提出一種利用數(shù)據(jù)點(diǎn)接近擬合曲線的程度來(lái)判斷曲線擬合優(yōu)劣的方法。如圖1所示，如果用縱坐標(biāo)表示點(diǎn)A與曲線擬合的優(yōu)劣程度，其值為ΔyA，該值相對(duì)較大。事實(shí)上，從圖中可以看出點(diǎn)A比較接近于擬合曲線，所以用點(diǎn)A與擬合曲線的距離lAmin來(lái)表示點(diǎn)A擬合的優(yōu)劣程度更加合理。最小距離法在擬合曲線斜率較大時(shí)，辨別能力較強(qiáng)，當(dāng)擬合曲線斜率逐漸變小時(shí)，最小距離逐漸演變成縱坐標(biāo)的差值，如圖1中的點(diǎn)B所示，點(diǎn)B到擬合曲線的最小距離近似等于縱坐標(biāo)差值，即ΔyB≈lBmin?？紤]到機(jī)電產(chǎn)品的累積概率密度函數(shù)曲線均具有靠近縱軸處斜率很大的特點(diǎn)，最小距離法更能區(qū)分?jǐn)M合效果的優(yōu)劣。將所有數(shù)據(jù)點(diǎn)與擬合曲線的最小距離求和，即可得到基于最小距離的非線性曲線擬合優(yōu)度指標(biāo)Rmd。通過對(duì)文獻(xiàn)[10]中所述算例進(jìn)行計(jì)算表明，該指標(biāo)與利用線性相關(guān)系數(shù)R的計(jì)算結(jié)果一致，并且具有較高的區(qū)分度，更容易找到最優(yōu)的擬合曲線。Rmd的計(jì)算公式如式(14)所示：

圖1 最小距離法

(14)

(15)

為了防止數(shù)據(jù)的數(shù)量級(jí)不同導(dǎo)致極值數(shù)據(jù)被“淹沒”，也可以將x項(xiàng)數(shù)據(jù)歸一化后直接利用標(biāo)準(zhǔn)的距離公式來(lái)求解。

4 液壓系統(tǒng)可靠性建模與優(yōu)選

4.1 數(shù)據(jù)采集與處理

經(jīng)過連續(xù)多年對(duì)數(shù)控磨床的可靠性研究與現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)采集，將采集到的可靠性數(shù)據(jù)分組后如表2所示。

表2 數(shù)控磨床可靠性數(shù)據(jù)采集與分組(二)

根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)，分別利用前述5種分布函數(shù)進(jìn)行擬合與參數(shù)求解，結(jié)果如表3所示。

表3 液壓系統(tǒng)不同模型的累積分布函數(shù)

5種不同模型的累積分布曲線如圖2所示，圖中還標(biāo)示了區(qū)間中值散點(diǎn)圖和采集的數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖，以便比較。

圖2 液壓系統(tǒng)累積分布擬合曲線

4.2 模型優(yōu)選

為了尋求液壓系統(tǒng)最優(yōu)的分布函數(shù)，分別利用前述4種檢驗(yàn)方法和所提的最小距離法等對(duì)液壓系統(tǒng)進(jìn)行模型優(yōu)選，不同優(yōu)選指標(biāo)結(jié)果如表4所示。

表4 數(shù)控磨床液壓系統(tǒng)不同分布模型的優(yōu)選

從表4可以看出：(1)卡方檢驗(yàn)通常要求分組中的頻次數(shù)量大于5，即樣本數(shù)據(jù)要大，而液壓系統(tǒng)故障頻次不滿足該要求，因此卡方檢驗(yàn)優(yōu)選的結(jié)果不可信，且區(qū)分度非常小；(2)從K-S檢驗(yàn)結(jié)果看出，當(dāng)n=58時(shí)，Dn，α=0.210 2(顯著性水平為0.01)，指數(shù)分布、威布爾分布和伽馬分布通過了檢驗(yàn)，且伽馬分布優(yōu)度最高；(3)皮爾遜相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)中指數(shù)分布的優(yōu)度最高，但該相關(guān)系數(shù)是基于線性相關(guān)的檢驗(yàn)，伽馬分布不滿足線性關(guān)系，因此該檢驗(yàn)無(wú)法判斷伽馬分布的優(yōu)劣，具有一定的局限性；(4)灰色關(guān)聯(lián)度法和最小距離法的優(yōu)選結(jié)果均為伽馬分布。從圖2中也可以明顯看出，與實(shí)際故障數(shù)據(jù)最為接近的確是伽馬分布。

雖然從表4中可以得出利用K-S假設(shè)檢驗(yàn)、灰色關(guān)聯(lián)度優(yōu)選和最小距離法優(yōu)選均可以得出伽馬分布為數(shù)控機(jī)床液壓系統(tǒng)最優(yōu)分布的結(jié)論，但這3種方法的區(qū)分度是不同的，為此將每種優(yōu)選方法下每個(gè)分布函數(shù)優(yōu)選指標(biāo)與選定最優(yōu)分布函數(shù)的優(yōu)選指標(biāo)的相對(duì)差值求出，如表5所示?？梢钥闯觯嚎ǚ綑z驗(yàn)和皮爾遜相關(guān)系數(shù)法的平均區(qū)分度非常小，不利于分布函數(shù)的優(yōu)選；K-S檢驗(yàn)和灰色關(guān)聯(lián)度優(yōu)選的平均區(qū)分度比較接近，且優(yōu)選結(jié)果是理想的模型；而最小距離法不僅選擇了理想的模型，且平均區(qū)分度比灰色關(guān)聯(lián)度優(yōu)選和K-S檢驗(yàn)的平均區(qū)分度分別提高了99.6%、135.6%。因此，利用最小距離法進(jìn)行分布函數(shù)的模型優(yōu)選更容易找出最優(yōu)的結(jié)果。

表5 不同分布模型的優(yōu)選區(qū)分度(百分比)

同時(shí)，使K-S檢驗(yàn)需要查表，給使用帶來(lái)不便，而在編程、計(jì)算復(fù)雜程度上最小距離法比灰色關(guān)聯(lián)度更具有優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié)論

(1)在機(jī)電裝備可靠性建模過程中需要進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。針對(duì)傳統(tǒng)的擬合優(yōu)度指標(biāo)區(qū)分度不高的問題，提出了以樣本數(shù)據(jù)和擬合曲線之間距離最小的可靠性模型優(yōu)選方法。

(2)采集了數(shù)控磨床液壓系統(tǒng)的故障數(shù)據(jù)，利用不同分布函數(shù)進(jìn)行了可靠性建模和不同優(yōu)選方法擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)所提出的最小距離法不僅可以準(zhǔn)確選出最優(yōu)模型，且區(qū)分度最大。文中所提出的最小距離模型優(yōu)選方法可以用于機(jī)電設(shè)備類可靠性分布模型的優(yōu)選，也可為曲線擬合的優(yōu)選提供參考。