折疊式壓電振子的響應曲面優(yōu)化分析

趙春明，龔立嬌，周天爍，司金冬

（石河子大學機械電氣工程學院，新疆 石河子 832003）

1 引言

壓電振子是壓電換能器和壓電驅動器的核心部件。利用壓電材料的正壓電效應可將振動能轉換為電能，匹配能量采集電路，為負載提供電能。通常，壓電振子的結構簡單且易實現(xiàn)機械能與電能的相互轉換，受到國內外專家的廣泛研究［1-3］。

對于壓電振子，工作時的頻率和外界頻率相匹配時，其輸出電能最大。

目前，對壓電振子發(fā)電性能的研究涉及較多。文獻［4］提出的一種折疊式壓電振子由彈性折疊梁和壓電陶瓷片組成，其中壓電陶瓷片粘貼在彈性薄梁層的上下表面。通過對折疊彈性梁施加外力，引起彈性層的彎曲變形，使得壓電層產(chǎn)生電荷。實現(xiàn)在（1～200）Hz內，折疊壓電振子利用前兩階固有頻率采集能量。文獻［5］利用逆壓電效應，將折疊振子和壓電晶片組成的壓電振子與泵體部分組成了諧振型壓電泵。當給壓電片施加驅動電壓時，激勵折疊振子產(chǎn)生振動，實現(xiàn)了流量控制。

同時，壓電振子的結構優(yōu)化研究對輸出性能影響明顯［6-7］。文獻［8］將人步行產(chǎn)生的能量收集并對其壓電發(fā)電裝置結構進行角度優(yōu)化，在跑步機上進行試驗分析，當壓電懸臂梁相對于人腿部的坐標系的設計角度為70°時，壓電采集裝置獲得最大功率。文獻［9-10］通過建立了一種軸對稱結構聲場耦合的有限元模型，定義結構中軸對稱圓頂?shù)目v橫比為優(yōu)化分析的設計變量；建立結構聲學形狀優(yōu)化的數(shù)學模型，設置該軸對稱結構聲場內部某一節(jié)點的頻率響應的均值為目標函數(shù)，然后通過掃頻分析，使其結構在中低頻的噪聲響應達到最小，最后得到優(yōu)化后的圓頂形狀。

在壓電振動能量采集過程中，其發(fā)電量取決于壓電振子的應力分布或變形形狀［11］。

為使壓電材料的利用率和能量轉換效率更高，能量采集的頻率更廣，這里重點以折疊壓電振子為研究對象，對折疊壓電振子進行響應曲面優(yōu)化分析。

首先對結構進行優(yōu)化理論分析，通過Ansys Workbench 建立有限元模型；其次，對折疊壓電振子施加不同的力，進行靜力分析，得出彈性層的應力分布，確定結構在不產(chǎn)生疲勞損壞的載荷情況下，能有效使用；然后利用優(yōu)化設計Design Exploration模塊，為使壓電片表面應力均勻且最大，對折疊式壓電振子進行響應曲面優(yōu)化設計；最后探究施加外載荷的大小和彎曲梁厚度對折疊壓電振子壓電陶瓷片的應力之間的關系，通過優(yōu)化分析計算獲得優(yōu)化結果。

2 折疊式壓電振子結構優(yōu)化理論分析

折疊式壓電振子由彈性折疊梁和壓電陶瓷片組成，F(xiàn)為施加的外力，如圖1（a）所示。

圖1 折疊式壓電振子結構模型Fig.1 Folding Piezoelectric Vibrator Structure Model

彈性折疊中間層的上、下表面粘貼壓電陶瓷片，折疊梁的長、寬、高、分別為l、w、h，其中彈性層的厚度為hm，折疊彎曲梁厚度為ht；壓電片的長度、厚度分別為lp、hp。建立折疊式壓電振子的局部坐標系，如圖1（b）所示。u(x)，t為彎曲梁在受迫振動下產(chǎn)生的橫向位移。

假設折疊壓電振子：同一層的材料性能與厚度相同；各層材料為各向同性材料。由折疊壓電振子的結構特點及工作方式可知，通過第一類壓電方程［12-13］：

由式（1）、式（2）可得：

聯(lián)立式（3）、式（4），則壓電振子的波動方程式：

壓電振子在簡諧力作用下，電場強度和橫向振動位移是時間的正弦函數(shù)。則：E3=E0ei?t；u=u0ei?t，代入式（5），有：

由壓電振子的邊界條件（當x= 0，x=lp時，T1= 0），聯(lián)立式（6）解得，折疊壓電振子的彈性層應力：

由式（7）可見，當折疊壓電振子受迫簡諧振動時，彈性折疊梁壓電結構產(chǎn)生彎曲變形。粘貼在彈性中間薄梁層的上、下表面的壓電片通過正壓電效應，按照極化方向，壓電片的電極面產(chǎn)生電荷，并在其厚度方向形成電勢差。施加的外載荷越大，彈性層彎曲形變越大，壓電層的應力分布區(qū)域越大，則產(chǎn)生的自由電荷越多，其輸出電壓越高?？紤]到折疊彈性梁的位移限制及結構材料的強度極限值，施加的外載荷大小和折疊彎曲梁厚度ht將會影響折疊壓電振子的使用壽命。

由以上理論分析可知，折疊壓電梁機械變形影響著彈性層應力的分布情況，從而影響壓電晶體片的應力變化。載荷的變化不僅影響折疊壓電振子的使用壽命，同時也影響輸出電能。因此，為使折疊壓電振子的壓電片表面應力變化區(qū)域大，以施加的外部適用載荷和折疊彎曲梁厚度為優(yōu)化設計變量，以壓電晶體片應力變化情況為目標函數(shù)，通過響應曲面目標驅動優(yōu)化功能進行優(yōu)化分析。得出折疊壓電振子的壓電晶體片表面應力分布情況，是否充分變形滿足要求，從而提高壓電材料的利用率和壓電振子的輸出性能。

3 折疊式壓電振子的建模與靜力分析

3.1 建模方法與過程

通過Ansys Workbench 建立如圖1（a）所示的一種折疊式壓電振子結構的有限元模型。在建模過程中，粘貼于彈性層上、下表面的4個壓電陶瓷片，因同一層的變形區(qū)域相同，可等效粘貼為上、下兩個壓電片。其中，為提高有限元分析的計算和精度，同時可忽略對結果影響不大的壓電層與彈性層之間的粘結層。

折疊梁結構尺寸：l= 34mm，w= 27mm，h= 19.5mm。對于折疊式壓電振子的組成材料，彈性折疊梁選用304鋼，壓電材料選用P-51。折疊式壓電振子結構參數(shù)，如表1所示。

表1 折疊式壓電振子參數(shù)Tab.1 Folding Piezoelectric Vibrator Parameters

首先對折疊式壓電振子設置材料屬性，然后進行網(wǎng)格劃分：彈性折疊梁采用四面體單元類型，壓電層采用六面體單元類型。而在彈性層兩端圓角的過渡位置，為避免應力奇異點，采用局部網(wǎng)格優(yōu)化。網(wǎng)格劃分完畢后，共有117 819 個節(jié)點，50 332 個單元。折疊式壓電振子有限元模型，如圖2所示。

圖2 折疊式壓電振子有限元模型Fig.2 Finite Element Model of Folding Piezoelectric Vibrator

3.2 折疊壓電振子靜力分析

網(wǎng)格劃分之后，對折疊式壓電振子進行靜力分析。假設彈性層與壓電層受力均勻。針對折疊式壓電振子常見的工作狀態(tài)，定義約束時，將其底面采取固定約束，上端自由。

在同一約束條件下，對折疊壓電振子的上表面分別施加大小為4N，8N，12N，16N，20N，24N，28N的載荷，方向沿z軸負方向豎直向下。得到彈性層應力與壓電晶體片應力隨載荷變化的曲線圖，如圖3所示。

圖3 彈性層應力和壓電晶體片應力隨載荷變化曲線Fig.3 Curves of Elastic Layer Stress and Piezoelectric Crystal Sheet Stress with Load

由圖3可知，彈性層與壓電片的應力隨外部載荷的變化呈線性增大。彈性層材料的屈服強度為205MPa。當載荷為24N時，彈性層所受等效應力值為209.88MPa，大于其屈服強度，經(jīng)過長時間的受迫振動，壓電振子結構將出現(xiàn)疲勞損壞。對于粘貼在彈性層上下表面的壓電片，其應力變化小于彈性層的等效應力。為避免折疊壓電振子產(chǎn)生疲勞損壞，其適用外部載荷為20N。

折疊壓電振子在20N的載荷條件下，彈性層等效應力和壓電層等效應力云圖，如圖4、圖5所示。

圖4 20N作用下彈性層的等效應力分布云圖Fig.4 Equivalent Stress Distribution Diagram of the Elastic Layer Under the Action of 20N

圖5 20N作用下壓電層的等效應力分布云圖Fig.5 Equivalent Stress Distribution Cloud Diagram of the Piezoelectric Layer Under the Action of 20N

由圖4可見，折疊壓電振子發(fā)生上、下橫向振動。當載荷為20N時，彈性層等效應力值小于彈性層材料屈服強度，滿足工作條件，應力集中體現(xiàn)在折疊梁兩端圓角的過渡位置。壓電晶體片的等效應力分布云圖，如圖5所示。由于折疊梁結構的影響，壓電片的一端出現(xiàn)區(qū)域較大的應力集中現(xiàn)象。在工作過程中，壓電振子的振幅增大，達到諧振頻率時，壓電片將會因為應力集中而出現(xiàn)損壞。因此，在折疊壓電振子的上、下橫向振動過程中，為使壓電片表面應力變化均勻且提高壓電片的利用率，現(xiàn)對其所受等效應力進行優(yōu)化分析。

4 折疊式壓電振子結構優(yōu)化分析

4.1 響應曲面優(yōu)化理論

結構優(yōu)化的目標是通過定義約束條件，由響應曲面優(yōu)化分析得到設計變量的最優(yōu)解。在對折疊壓電振子結構進行優(yōu)化分析過程中，確保優(yōu)化參數(shù)在合理范圍的同時，還需對結構性能和設計參數(shù)進行約束。即折疊彎曲梁的厚度參數(shù)和受迫振動力載荷，兩者保持線性獨立，可定義為優(yōu)化設計變量。

針對上述折疊式壓電振子結構，在上下橫向振動過程中，為實現(xiàn)壓電片表面應力均勻且最大，在優(yōu)化設計過程中，定義壓電晶體片表面等效應力為目標函數(shù)。

4.2 結構響應曲面優(yōu)化分析

對折疊壓電振子結構優(yōu)化的目的是減小彎曲梁的應力集中，實現(xiàn)壓電晶體片變形均勻且不發(fā)生疲勞損壞。結構優(yōu)化的主要內容是確定折疊振子的適用載荷及彎曲梁的最佳厚度。本文基于Ansys Workbench Design Exploration 優(yōu)化模塊對折疊壓電振子結構進行響應曲面優(yōu)化分析。由靜力分析可見，當施加簡諧力載荷為20N時，滿足折疊壓電振子的工作條件。

由響應曲面優(yōu)化理論，為保證優(yōu)化分析在合理范圍，設置彎曲梁厚度優(yōu)化參數(shù)為P1，輸入數(shù)據(jù)（1.8～2.2）mm；折疊壓電振子施加簡諧力載荷優(yōu)化參數(shù)為P2，載荷范圍（18～22）N。以折疊壓電振子壓電晶體片的等效應力P3為目標函數(shù)。

通過優(yōu)化計算，折疊壓電振子響應曲面優(yōu)化結果，如表2所示。壓電片最大等效應力曲面及優(yōu)化后的等效應力分布云圖，如圖6、圖7所示。

表2 折疊壓電振子響應曲面優(yōu)化數(shù)據(jù)Tab.2 Response Surface Optimization Data of Folded Piezoelectric Vibrator

圖6 折疊壓電振子壓電片最大等效應力響應曲面圖Fig.6 The Maximum Equivalent Stress Response Surface Diagram of the Piezoelectric Sheet of the Folded Piezoelectric Vibrator

圖7 優(yōu)化后的壓電片等效應力分布云圖Fig.7 Optimized Equivalent Stress Distribution Cloud Diagram of Piezoelectric Sheet

由圖6可見，在壓電片等效應力的響應曲面優(yōu)化結果中，當施加的外部載荷和彎曲梁厚度在合理范圍內時，壓電片表面應力變化區(qū)域均勻且大，提高了壓電材料的利用率。對比優(yōu)化前的壓電片所受等效應力，由圖7 可知，振動中產(chǎn)生的應力集中減少10%。在長周期的簡諧力作用下，可增加折疊壓電振子的疲勞壽命。在壓電片表面等效應力的分布云圖中，可利用應力最大變化區(qū)域增大，壓電材料通過正壓電效應產(chǎn)生的電能增大。

同時基于折疊式壓電振子的結構設計，相比于傳統(tǒng)的懸臂梁振子，壓電片在相同的應力變化區(qū)域內，折疊結構能有效地減小壓電振子的體積，且綜合提高了壓電片的利用率。

5 結論

以結構優(yōu)化理論和靜力分析為基礎，建立折疊式壓電振子結構優(yōu)化模型，通過Ansys Static Structural 模塊和Design Exploration 模塊對壓電振子結構進行響應曲面優(yōu)化。結果表明，在滿足折疊壓電振子的屈服強度工作條件下，相比于優(yōu)化前的靜力分析結果，折疊壓電振子壓電片表面應力區(qū)域變化均勻，且應力集中減少10%。通過響應曲面優(yōu)化分析，提高了折疊壓電振子的結構強度和使用壽命，同時為今后在壓電振子應用設計方面提供理論參考。