RN 中一類非局部問題基態(tài)解的存在性

董安祺 魏公明

摘要：利用變分方法研究了一類RN上帶有非局部項的分?jǐn)?shù)階橢圓型偏微分方程基態(tài)解的存在性。 首先證明了對應(yīng)泛函在 Nehari 流形上強(qiáng)制且下有界， 因而得到有界極小化序列的存在性，其次應(yīng)? 用 Ekeland 變分原理證明該序列是（PS ）c序列，并且結(jié)合假設(shè)條件證明泛函滿足（PS ）c條件，最終得? 到該類方程基態(tài)解的存在性。

關(guān)鍵詞： Kirchhoff 方程；分?jǐn)?shù)階算子；基態(tài)解

中圖分類號：? O 175.29???????????? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：?? A

Existence of ground state solutions for a class of nonlocal problem in RN

DONG Anqi， WEI Gongming

（College of Science， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract： The existence of ground state solutions for a class of fractional elliptic partial differential equations with nonlocal terms by variational methods was investigated. Firstly， it was shown that the functional was coercive and bounded from below Nehari manifold， and thus there existed a sequence of bounded miniaturization. Secondly， it was proved that the sequence was a （PS ）c? sequence by Ekeland's principle. In addition， the functional was proved to satisfy the （PS ）c? condition in combination with the assumptions. Finally， the existence of the base state solution of this class of problems was obtained.

Keywords： Kirchhoff equation;fractional operator; ground state solution

1 問題的提出

考慮如下非局部問題基態(tài)解的存在性：

式中，a >0， 0< s <1， 2s < N， V （x）=1+ f （x） ， 2< p <2s（?）= ， N >3， ε>0，且ε充分小。

式中， u ∈ C0（∞）（RN）， Br（x）：={y ∈ RN ：|x?y|< r}。

更多分?jǐn)?shù)階算子的基礎(chǔ)知識和應(yīng)用見文獻(xiàn)[1-3]。方程（1）與如下研究弦或膜振動的方程相關(guān)，即

式中： L表示弦的長度； h表示截面面積； E為材料的楊氏模量；ρ為密度； P0為初始張力； u = u（x， t），表示在空間坐標(biāo) x和時間坐標(biāo) t上的橫向位移。

方程（2）由 Kirchhoff[4]首次提出，作為經(jīng)典的 DAlembert 波動方程的一個推廣，主要研究彈性弦的自由振動。 Kirchhoff 模型考慮了由振動引起的弦長變化。自 Lions在文獻(xiàn)[5]中對方程（2）的研究引入變分法之后，變分法逐漸被人們廣泛應(yīng)用于方程（1）的研究中。

Kirchhoff 類型方程

在過去幾十年被廣泛研究，這里a， b都是正常數(shù)。由于項1RN |Δu|2 dx的出現(xiàn)使得方程（3）變成了非局部方程，這也表明了方程（3）不再是在逐點(diǎn)意義下成立。

早期 Tolksdorf[6]和 Poho?aev[7]對 Kirchhoff 方程進(jìn)行了初步的研究。 Lions 在文獻(xiàn)[5]中開始引入變分法研究解的存在性后，方程（2）引起了許多學(xué)者的關(guān)注。他們的主要目的是通過變分法證明基態(tài)解的存在性，見文獻(xiàn)[8-13]。

文獻(xiàn)[14]考慮了非局部方程

基態(tài)解的存在性和集中性，其中， a >0， 2< p <2*， N >3， λ>0， ε>0且充分小。

近幾年，分?jǐn)?shù)階 Kirchhoff 類型方程

也被廣泛研究，如文獻(xiàn)[15-16]。其中， M， V ，f 滿足一些合適的假設(shè)。

例如，文獻(xiàn)[17]討論了非線性分?jǐn)?shù)階 Kirchhoff方程

式中： se ， 1）； a， b， λ為正常數(shù)； V （x）為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，證明了正解的存在性和漸近性。

文獻(xiàn)[18]考慮了如下非線性分?jǐn)?shù)階 Kirchhoff 方程：（ε2sa+ε4s-3b lR3 I（-Δ I2 dx）（-Δ）su+V （x）u=f （u） ， x e R3式中，ε>0， se ， 1） ， a， b為正常數(shù)，并且V（x）>0，f （u）在（-凱，0）上為0，在（0，凱）遞增，利用Ljusternik-Schnirelmann 理論證明了正解的存在性。

文獻(xiàn)[19]討論了如下非線性分?jǐn)?shù)階 Kirchhoff 方程：

式中，λ， a， b >0， se ， 1） ， 2< p <4， V （x）是非負(fù)的連續(xù)函數(shù)，且存在c >0， V （x）< c有非0的有限測度， f e L凱（R3），并且f?，min = inff （x）>0，應(yīng)用變分法證明了正解的存在性。

受文獻(xiàn)[14，20]啟發(fā)，本文在 RN中研究方程（1）基態(tài)解的存在性，其中函數(shù)f （x）和K（x）滿足以下假設(shè)：

a. f （x） e C （RN ， R） ， f （x）>0；

b.二M0>0， s.t .meas {xeRN ：f （x）

c. K （x）eL凱（RN），K （x）>0，且當(dāng)|x|y凱時，K（x）y0。如上假設(shè)最開始被 Bartsch 等[14]用于研究非線性 Schr?dinger 方程的多重正解。

令

并且賦予范數(shù)

顯然，由假設(shè) a 和 b，以及 Poincare不等式得到嵌入H yLq（RN）對于2< q <2s（*）是連續(xù)的。這保證了如下定義，對Aq e[2， 2s（*）]，有

通過假設(shè) a 和 b，以及上面的嵌入結(jié)果，可以在H上定義如下泛函：

并且I e C1（H，R）。眾所周知， I 臨界點(diǎn)和方程（1）弱解之間一一對應(yīng)。如果二u e H，使得對Ave H，有

則稱u是方程（1）的弱解。

本文的主要結(jié)果如下：

定理1 假設(shè)f （x）滿足假設(shè)a ，b，且K（x）滿足假設(shè)c ，2< p <2s（*），則方程（1）在Hs（RN）中至少有一個非負(fù)的基態(tài)解u。

2 符號和預(yù)備知識

本文中，除非特別說明，所有極限都是ny 凱。此外，還應(yīng)用下列符號： C ， Ci和C*為正常數(shù)； Lq （RN）表示標(biāo)準(zhǔn)的 Lebesgue 空間，范數(shù)定義為當(dāng)1< q<凱時，ⅡuⅡq（q）= lRN |u|qdx，q =凱時，ⅡuⅡ凱=xe（es）RN（sup）|u（x）|；定義H ：={ue Hs （RN）： lRN f （x）u2 dx<+凱}，其范數(shù)定義為ⅡuⅡ2=[u]H（2）+ⅡuⅡV（2），其中 [u]H（2）=lR2N |u|x（x一） y（一）||2 dxdy ，ⅡuⅡV（2）= lRN V （x）|u|2 dx；記|u|p（p）= lRN K （x）|u|pdx ； H一s表示 Hilbert 空間 Hs的對偶空間； BR（x）表示在球心x處半徑R >0的開球；當(dāng) ny 凱時， on（1） y 0； y和?分別表示強(qiáng)收斂和弱收斂。

為了求解方程（1）的基態(tài)解，定義 Nehari 流形

其中，

令

引理1 對Aue M ，二δ ， σ>0，使得ⅡuⅡ>δ且

證明對Aue M，由式（4）中 Sq 的定義，當(dāng) p=q 時

因?yàn)?< p <2s（*），所以存在某個δ>0，使得ⅡuⅡ>δ。

接下來，分兩種情況討論。

當(dāng)2< p <4時，由u e M和〈I、（u） ，u〉=0有?G、（u） ，u?=

當(dāng)4< p <2s（*） ， 對u e M有

綜上可得，二δ>0使得當(dāng)2< p <2s（*）時，〈G、（u） ，u〉<

從引理1的證明過程可以看出，對2< p<4的論證稍加修改，對4< p <2s（*）也是成立的。因此，為了簡單起見，只討論前面一種情形，對后面一種的情形也適用。

引理2 泛函 I 在 M 上是強(qiáng)制的并且下有界。

證明由引理1和2< p<4，對?u ∈ M，有

引理3 對任意給定的u ∈ M，存在ρu>0和連續(xù)函數(shù) gρu ： Bρu （0）→ R+，對 w ∈ H ，w ∈ Bρu （0），使得gρu （0）=1， gρu （w）（u? w）∈ M，并且

其中，

證明：

對 F 在點(diǎn) 處用隱函數(shù)定理，可以推斷出 ，滿足對 ，方程 有一個 唯一的連續(xù)解 。因?yàn)閷?， ，有 ，所以，

引理4

證明

引理5 存在一個序列{un}? M，使得 un>0， I （un）→ c，且I′（un）→0。

證明

泰勒展開可得

因此，

這意味著，

因此，

由∥u∥=1、引理3和{un}的有界性可得

又因?yàn)椋?/p>

此外，對于固定的n，因?yàn)?I′（un） ， un?=0，并且當(dāng)ρ→0時在 H中（un? Uρ）→ un ρ→0，可以得出?I′（un） ， u?<，c n通過令式（6）中 ，即I′（un）→0。

3 Palais-Smale 條件

引理6 假設(shè) a ，b ，c 成立，對?c ∈ R ，I 滿足（PS ）c條件。

證明由引理5可知，?{un}? M滿足I（un）→ c。此外，由引理2可知， I在M上強(qiáng)制，因此，可以得到{un}在 H中有界。不妨設(shè) ，對?n ∈ N，∥un∥

在Ll（r）oc （RN） ， r ∈[2， 2s（?））中

為了證明{un}在 H中強(qiáng)收斂到 u，定義泛函?v（φ）為

對固定的v和任意φ∈ H，很容易驗(yàn)證得到?v（φ）是 H上連續(xù)線性泛函，由 H?lder不等式，有|?v（φ）|<∥v∥∥φ∥。

定義對?t >0， M （t）= a?εt ，其中a >0。由于∥un∥< M?， 那么?ε?>0，使得0<ε<ε? ， εM?< a。當(dāng)n →∞時，有

其中，

由M（t）的連續(xù)性和 H 中{un}的有界性，可以推斷出[M （[un]H（2））? M（[u]H（2））]是有界的。因此，由方程（7）和?v（φ）的定義，有A2= on（1）。

接下來，證明 A4= on（1）。由假設(shè) c ，?τ>0， ?R >0使得，當(dāng)x ∈ BR（c）（0）時，|K（x）|<τ。

由τ的任意性、式（7）和{un}的有界性，有A4= on（1）。因此，通過式（8），當(dāng)n →+∞時，有A1+ A3= on（1）。

下面引入 Simon 不等式[19]，對?ψ，φ∈ RN，有

其中， c為與p有關(guān)的一個正常數(shù)。

由 Simon不等式和 A1 ， A3的定義可以得到， A1= A3= on（1）。那么，由式（9），A1= on（1），A3= on（1），可以得到

并且

結(jié)合式（10）和（11），可以得到，當(dāng)n →∞時， on（1）。

4 主要結(jié)果的證明

現(xiàn)給出定理1的證明。

證明 由引理1和引理2，驗(yàn)證了泛函 I在 M上強(qiáng)制且下有界。因此，應(yīng)用 Ekeland 變分原理，存在一個有界極小化序列，然后通過引理5，可以證明該極小化序列滿足un>0， I （un）→ c， I′（un）→0，即（PS ）c序列。接下來，在引理6中，驗(yàn)證了泛函 I滿足（PS ）c條件，得到在 H中 un → u。綜上可得， I （u）= c， I′（u）=0，且u >0，為方程（1）的一個弱解。此外，因?yàn)镮（u）= c = v（i） I （v），所以u是方程（1）的一個基態(tài)解。

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（編輯：丁紅藝）