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    探究數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

    2023-07-26 01:13:19洪木山
    高考·下 2023年2期
    關(guān)鍵詞:數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)高中數(shù)學(xué)

    洪木山

    摘 要:近年來,隨著我國(guó)教育事業(yè)的不斷發(fā)展,高考試題也在朝著越來越開放的方向不斷發(fā)展,高考命題的方式也越來越多元化,很多時(shí)候一道數(shù)學(xué)題會(huì)包含好幾個(gè)知識(shí)點(diǎn),而要解決這些數(shù)學(xué)問題,需要學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的理解更加深入,運(yùn)用更加靈活。為了達(dá)到這一教學(xué)效果,教師需要在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,不斷完善教學(xué)方案,以此來拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思路,讓學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率越來越高,進(jìn)而促使學(xué)生整體數(shù)學(xué)實(shí)力得以提升。文中結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略進(jìn)行探究,以供大家參考。

    關(guān)鍵詞:數(shù)形結(jié)合;高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)教學(xué)

    數(shù)形結(jié)合思想,其實(shí)指一種既涉及數(shù)字,又涉及圖形的思維模式,在這種思維模式下,學(xué)生可以將數(shù)字轉(zhuǎn)化為圖形,也可以將圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)字,同時(shí)亦可以將數(shù)字和圖形進(jìn)行互化[1]。數(shù)學(xué)是高中時(shí)期非常重要的一門學(xué)科,其主要是為了研究數(shù)量關(guān)系和空間形態(tài),在教材中存在數(shù)字和圖形兩個(gè)部分。在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中,當(dāng)學(xué)生遇到一些抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí),如果無法應(yīng)用數(shù)字或圖形中的任意一個(gè)去解決它,那么就需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思維方法,把原本抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化,并由此來幫助學(xué)生明確解題思路,從而更好地解決這些數(shù)學(xué)問題[2]。高中數(shù)學(xué)教師必須在課堂中密切關(guān)注學(xué)生主體作用,同時(shí)積極地在課堂中滲透數(shù)形結(jié)合的思想,以此來幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí),進(jìn)而有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

    一、數(shù)形結(jié)合的原則

    數(shù)形結(jié)合思想是一種同時(shí)涉及數(shù)字和圖形的思維模式,即通過對(duì)數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)、形的直觀兩種特性的綜合應(yīng)用來分析和解決數(shù)學(xué)問題的思維方式。簡(jiǎn)單來說就是靈活對(duì)“數(shù)”與“形”進(jìn)行轉(zhuǎn)換,將抽象的“數(shù)”以形象的“圖形”方式呈現(xiàn)出來[3]。將數(shù)形結(jié)合應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,可以通過對(duì)圖形的應(yīng)用展現(xiàn)原本抽象的數(shù)學(xué)問題,從而可將數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)問題變得更容易理解、更容易感知,進(jìn)而能夠達(dá)到降低學(xué)生理解難度,促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的效果,對(duì)提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)效率及質(zhì)量有積極幫助。

    但需要注意的是,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形思想結(jié)合時(shí)應(yīng)嚴(yán)格遵循兩個(gè)原則,其一,雙向性原則。雙向性原則也就是要對(duì)集合圖形進(jìn)行直觀研究分析,這是由于幾何圖形的多種條件都可以實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像的轉(zhuǎn)化,從而可以以圖像方式直觀地展現(xiàn)數(shù)學(xué)問題中所要推斷的位置條件。在此基礎(chǔ)上,再運(yùn)用代數(shù)知識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)問題展開邏輯分析,以彌補(bǔ)幾何直觀性給問題分析造成的約束,從而通過對(duì)代數(shù)抽象性以及幾何圖形直觀性等優(yōu)勢(shì)的共同應(yīng)用,發(fā)揮出更好的教學(xué)效果[4]。其二,等價(jià)性原則。等價(jià)性原則即應(yīng)保證“數(shù)”的代數(shù)性質(zhì)和“形”的幾何性質(zhì)在轉(zhuǎn)化時(shí)應(yīng)保持等價(jià)性。這是因?yàn)椤皥D形”雖然具有直觀性強(qiáng)的特點(diǎn),但是其準(zhǔn)確性難以有效保證,故而也有其自身的局限性,若不能與“數(shù)”的代數(shù)性質(zhì)保持一致,則容易對(duì)解題情況造成影響。故而,在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題時(shí),也應(yīng)注意保持?jǐn)?shù)形的等價(jià)性原則。

    二、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值

    數(shù)學(xué)是一門內(nèi)容豐富的學(xué)科,其學(xué)習(xí)內(nèi)容可涉及數(shù)量關(guān)系、空間結(jié)構(gòu)等多個(gè)方面??梢哉f,數(shù)學(xué)是一種揭示事物規(guī)律的基本工具。數(shù)學(xué)的這一特性也決定了其內(nèi)容必然存在有很強(qiáng)的邏輯性、抽象性及嚴(yán)謹(jǐn)性,這也就對(duì)學(xué)習(xí)者邏輯思維能力提出了更高的要求,需要學(xué)習(xí)者具備一定的數(shù)學(xué)思想。尤其是在高中階段,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度較大、學(xué)習(xí)壓力重、時(shí)間緊,僅僅依靠傳統(tǒng)的“題海戰(zhàn)術(shù)”方式進(jìn)行機(jī)械化的練習(xí)鞏固,很容易出現(xiàn)事倍功半的效果,不利于學(xué)生學(xué)習(xí)效率的提升[5]。而數(shù)形結(jié)合思想則能夠通過數(shù)與形的有效結(jié)合,幫助學(xué)生學(xué)會(huì)從不同角度分析和解決問題,對(duì)降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度,提升學(xué)生數(shù)學(xué)效率有積極幫助。具體而言,高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價(jià)值可以歸納為下述幾個(gè)方面:

    (一)有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

    在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中,由于這一階段的數(shù)學(xué)知識(shí)難度越來越大,且大多數(shù)知識(shí)點(diǎn)都存在抽象性、象征性以及形式化的特點(diǎn),很多學(xué)生學(xué)習(xí)起來會(huì)非常吃力,同時(shí)各種考試帶來巨大的壓力,讓學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心和興趣越來越低,甚至還有不少學(xué)生產(chǎn)生了厭學(xué)心理[6]。但是,通過在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,可以將原本抽象的數(shù)學(xué)理論和概念直觀形象地呈現(xiàn)給學(xué)生,以此來達(dá)到化難為簡(jiǎn)的目的。這樣一來,可以讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重新建立信心,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的魅力,從而有效地激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

    (二)有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理解速度

    在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中,因?yàn)閭鹘y(tǒng)教學(xué)方法上所存在的一些問題,使得學(xué)生在學(xué)習(xí)了新的數(shù)學(xué)知識(shí)之后,很難將其與舊數(shù)學(xué)知識(shí)串聯(lián)起來,從而影響了學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)體系的構(gòu)建。通俗來說,就是學(xué)生無法將所學(xué)的新知識(shí)與舊知識(shí)進(jìn)行關(guān)聯(lián),從而難以在解題過程中有效地運(yùn)用這些數(shù)學(xué)知識(shí)[7]。但是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,是數(shù)字和圖像的一種轉(zhuǎn)換,這就在一定程度上推動(dòng)了學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建構(gòu),讓學(xué)生可以在學(xué)習(xí)新知識(shí)的同時(shí)完成舊知識(shí)的鞏固。另外,通過在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中廣泛運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,也可以將原本抽象難懂的數(shù)學(xué)理論知識(shí)通過直觀的形式呈現(xiàn)出來,讓學(xué)生在數(shù)字和圖形的雙重輔助下,提升自身對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解速度。

    (三)有利于拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思路

    在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中,數(shù)形結(jié)合思想雖然不是唯一的數(shù)學(xué)解決方法,但是卻在數(shù)學(xué)解題過程中一種重要方式,它可以讓學(xué)生在面對(duì)一些問題時(shí),幫助學(xué)生從更多角度去尋找問題的突破口,拓寬學(xué)生的解題思路,從而使學(xué)生可以采用一種更為簡(jiǎn)單的新方式去解決數(shù)學(xué)問題。另外,在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,可以讓學(xué)生更加充分地提取和運(yùn)用題干中的相關(guān)信息,從而大大地提高了學(xué)生的解題效率。教師在高中的數(shù)學(xué)課程中要注重?cái)?shù)形結(jié)合思維的應(yīng)用,在培養(yǎng)學(xué)生思想深度的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步拓展他們的數(shù)學(xué)解題思路。

    (四)有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

    步入高中之后,學(xué)生的思維也在發(fā)展,通過在高中時(shí)期應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,可以有效地提升學(xué)生的解題思維能力,讓學(xué)生從多個(gè)角度入手去思考和分析數(shù)學(xué)問題,從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)[8]。與此同時(shí),在高中時(shí)期的數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,可以讓學(xué)生的思想不斷在數(shù)字和圖形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換,以此來鍛煉學(xué)生的思維。最后,數(shù)形結(jié)合思想的重點(diǎn)在于抽象思維與形象思維的相互轉(zhuǎn)變,這樣的一個(gè)過程,對(duì)于提升學(xué)生思維能力非常有益。

    三、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

    (一)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決集合問題

    在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中,學(xué)生會(huì)遇到與“集合”相關(guān)的問題,在這部分內(nèi)容的教學(xué)中,集合的并、補(bǔ)、交等概念相對(duì)來說會(huì)比較抽象,后續(xù)還要進(jìn)行集合的基本運(yùn)算,如果學(xué)生無法正確地理解和掌握集合的并、交、補(bǔ)的概念,那么在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)會(huì)非常吃力[9]。因此,教師在教學(xué)中,可運(yùn)用圖示法等,讓原本抽象的集合概念變得簡(jiǎn)潔、直觀起來,以此來幫助學(xué)生理解和掌握集合的并、交、補(bǔ)含義。在具體的實(shí)施中,教師可以先讓學(xué)生從字面上理解并、交、補(bǔ)各自的含義,然后教師再繪制Vemn圖,讓學(xué)生直觀地看到并、交、補(bǔ)各自的含義,最后教師再結(jié)合教學(xué)內(nèi)容,為學(xué)生講解集合的并、交、補(bǔ),如此一來,學(xué)生可以從多個(gè)角度去理解并、交、補(bǔ)的含義,從而為后續(xù)集合的運(yùn)算打下基礎(chǔ)。

    例如,在人教版高一數(shù)學(xué)必修一第一章《集合的基本運(yùn)算》的教學(xué)中,當(dāng)學(xué)生遇到集合問題“已知某一個(gè)班級(jí)有學(xué)生41人,其中喜歡吃橘子的有18人,喜歡吃香蕉的有16人,香蕉和橘子都不喜歡吃的有11人,現(xiàn)在我們要計(jì)算出既喜歡吃香蕉,也喜歡吃橘子的人有多少?”在解決這一問題時(shí),教師可以先集合題目?jī)?nèi)容,將文本內(nèi)容轉(zhuǎn)換成集合語言,即我們先將全班的總?cè)藬?shù)集合起來,表示為,喜歡吃橘子的人數(shù)集合起來,表示為,喜歡吃香蕉的人集合起來,表示為。然后繪制Vemn圖,將題干中的文字轉(zhuǎn)換為直觀的圖形,其中紅色與黃色相交后呈現(xiàn)的橘色部分,就是既喜歡吃香蕉,也喜歡吃橘子的人數(shù)。這樣一來,教師在進(jìn)行集合相關(guān)知識(shí)教學(xué)時(shí),通過數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用,不僅可以讓集合問題變得通俗易懂,方便學(xué)生理解學(xué)習(xí),同時(shí)還豐富了課堂內(nèi)容。

    (二)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決方程和不等式問題

    在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中,方程和不等式也是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可忽視的內(nèi)容,而在解決方程和不等式問題時(shí),應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,可以有效地優(yōu)化方程和不等式問題的解題方法,從而提升學(xué)生的解題效率[10]。因此,在“方程與不等式問題”相關(guān)知識(shí)的課堂教學(xué)中,教師往往能夠借助二次函數(shù)圖形,將一元二次不等式問題更直接地表現(xiàn)在圖形上,并由此來開拓學(xué)生的解題思維,從而提升學(xué)生的解題效率。

    例如,在人教版高一數(shù)學(xué)必修一第二章《二次函數(shù)與一元二次方程、不等式》的教學(xué)中,當(dāng)學(xué)生面對(duì)一元二次不等式問題“>0”時(shí),教師可以先將其轉(zhuǎn)換為二次函數(shù),即,然后根據(jù)二次函數(shù)繪制圖像,確認(rèn)二次函數(shù)圖像的開口向上,其在軸上的兩個(gè)交點(diǎn)是-2、3,也就是指題目中所給的二次函數(shù),其圖像與軸有交點(diǎn)坐標(biāo)存在,即(-2,3),從圖像可知,如果>0,需要取交點(diǎn)兩側(cè)的值,即<-2或>3時(shí)才能滿足>0,因此,一元二次不等式>0的解集為{|<-2或>3}。除此之外,借助函數(shù)圖象求解方程的近似值也可以有效地簡(jiǎn)化問題,如在求解不規(guī)則的方程時(shí),教師可以將等式的兩邊分別設(shè)置成函數(shù)的方式,然后繪制函數(shù)圖象,函數(shù)圖象的交點(diǎn)就是方程的根。如一元二次不等式問題“已知方程|-1|=+1,求在不同取值范圍中,該方程的解?!痹诮鉀Q

    這一問題時(shí),教師可以先設(shè)置函數(shù)方式,即1=|-1|,2=+1,然后繪制圖像,觀察圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。因?yàn)?=|-1|是兩條拋物線,一條開口向上,一條開口向下,且與軸的交點(diǎn)為-1、0和1,而2=+1是一條平行于軸的直線,求解后可得,當(dāng)<-1的時(shí)候,1和2之間是沒有交點(diǎn)的,故而此方程無解;

    當(dāng)=-1的時(shí)候,1和2之間存在兩個(gè)交點(diǎn),故而此方程有兩個(gè)解;當(dāng)-1<<0的時(shí)候,1和2之間存在四個(gè)交點(diǎn),故而此方程有四個(gè)解;當(dāng)=0的時(shí)候,1和2存在三個(gè)交點(diǎn),故而此方程有三個(gè)解;當(dāng)k>0的時(shí)候,1和2存在兩個(gè)交點(diǎn),故而此方程有兩個(gè)解。通過這種以形化數(shù)的方式,可以有效地降低一元二次不等式問題的難度,教師應(yīng)該多給予學(xué)生一些獨(dú)立思考的時(shí)間,讓學(xué)生充分考慮到其中的可能性,從而準(zhǔn)確地解決此類問題。

    (三)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決幾何問題

    在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中,立體幾何是其中非常重要的內(nèi)容之一,為了幫助學(xué)生掌握更多解決立體幾何問題的方法,教師在教學(xué)中應(yīng)該重視數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,以此來幫助學(xué)生突破思維的限制,形成較為完整的立體幾何解題思路。在具體的實(shí)施中,教師可以先對(duì)立體幾何的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)等進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)其中所存在的數(shù)量關(guān)系,然后利用數(shù)量關(guān)系來解決問題。

    例如,在人教版高一數(shù)學(xué)必修二第八章《空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系》的教學(xué)中,學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到類似這樣的問題“已知有一個(gè)四棱錐,其底面是平行四邊形,且平行四邊形的為60°,=2,同時(shí)四棱錐的棱和平行四邊垂直。現(xiàn)在要求和垂直”。在解決這一幾何問題時(shí),不僅需要學(xué)生發(fā)揮自身的空間想象力,同時(shí)還需要學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,如題干中所提到的為60°,=2,通過這兩個(gè)信息以及余弦定理,學(xué)生就可以證明和之間是垂直關(guān)系,而由題目中得知和也垂直,和同屬于一個(gè)平面,這樣學(xué)生很容易就能解決這個(gè)幾何問題。另外,在解決幾何問題的過程中,教師還可以利用直角坐標(biāo)系,讓數(shù)字和圖像結(jié)合得更加充分,從而有效地發(fā)揮代數(shù)等知識(shí)的優(yōu)勢(shì),幫助學(xué)生運(yùn)用這些知識(shí)去解決幾何問題,進(jìn)而提升學(xué)生解決幾何問題的能力。

    (四)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題

    在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中,函數(shù)問題既是重點(diǎn)也是難點(diǎn),為了更好地幫助學(xué)生學(xué)習(xí)這部分知識(shí),教師在教學(xué)中可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,對(duì)函數(shù)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行研究分析。在解決一些函數(shù)問題時(shí),常常會(huì)借助直角坐標(biāo)系來輔助問題的解決,通過直角坐標(biāo)系的繪制,能夠清晰明了地表達(dá)函數(shù)關(guān)系,再利用函數(shù)解析式的精準(zhǔn)計(jì)算,從而使得函數(shù)問題得到有效解決。在具體的實(shí)施過程中,教師需要積極地向?qū)W生灌輸數(shù)形結(jié)合思想,使學(xué)生能夠達(dá)到靈活運(yùn)用的程度。這樣,學(xué)生在面對(duì)函數(shù)問題時(shí),才能夠準(zhǔn)確抓住函數(shù)問題的特征,促使學(xué)生解題思路得到拓展,更好地掌握函數(shù)相關(guān)的知識(shí)內(nèi)容。

    例如,在人教版高一數(shù)學(xué)必修一第三章《函數(shù)的基本性質(zhì)》的教學(xué)中,學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到如下類型的函數(shù)問題“已知有一個(gè)二次函數(shù)=(>0),當(dāng)<0時(shí),的值應(yīng)該是什么?A.0;B.正數(shù);C.負(fù)數(shù);D.取決于符合”。在解決這一函數(shù)問題時(shí),教師需要先繪制二次函數(shù)圖像,并計(jì)算=

    與軸之間的交點(diǎn)坐標(biāo),即=0或者=-1,且由于的圖像開口向上,當(dāng)<0時(shí),其的區(qū)間應(yīng)該是(-1,0),區(qū)間長(zhǎng)度是1,而由題干可知,>0,將函數(shù)的圖像整體向上進(jìn)行平移后,<0的區(qū)間長(zhǎng)度只會(huì)比1更小。因此,當(dāng)<0時(shí),的值一定會(huì)大于0,由此可得,此題的答案為B。通過以上解題過程可以看出,數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用可以將原本較為抽象的函數(shù)關(guān)系更加直觀地表現(xiàn)出來,讓函數(shù)問題變得簡(jiǎn)單,有助于學(xué)生掌握函數(shù)知識(shí),學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決問題。

    結(jié)束語

    總而言之,數(shù)學(xué)這門學(xué)科具備著非常強(qiáng)的邏輯性,其既研究空間圖像,也研究數(shù)量關(guān)系,數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是非常有必要的。因此,在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)該從實(shí)際教學(xué)情況出發(fā),靈活地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想去解決高中數(shù)學(xué)教學(xué)中所遇到的函數(shù)問題、集合問題、幾何問題、方程和不等式問題等,以此來降低題目的難度,幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí),拓寬學(xué)生解題思路,從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)整體實(shí)力的提升。另外,除了文章中所提到的這些數(shù)學(xué)問題之外,數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用還可以幫助學(xué)生解決概率問題、數(shù)列問題等,為了確保數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)得以充分發(fā)揮,還需要教師不斷創(chuàng)新和優(yōu)化數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用策略。

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    本文系泉州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃(第一批)立項(xiàng)課題“新高考背景下“歷史傾向”學(xué)生的數(shù)學(xué)培優(yōu)實(shí)踐研究”(項(xiàng)目編號(hào):QG1451-177)研究成果。

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