一種新小波閾值算法的變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)去噪方法

沙 磊

1 安徽省地質(zhì)實(shí)驗(yàn)研究所(國(guó)土資源部合肥礦產(chǎn)資源監(jiān)督檢測(cè)中心),合肥市阜陽(yáng)北路318號(hào),230041

變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)一般包含真值和噪聲2個(gè)部分,對(duì)變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理、提取變形特征、分析變形規(guī)律,是變形分析研究的重要內(nèi)容[1]。小波分析具有良好的時(shí)頻特性,被廣泛應(yīng)用于變形分析中,特別是小波閾值去噪在非平穩(wěn)變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中取得了較好的效果[2-3]。眾多學(xué)者從影響小波去噪的關(guān)鍵因素出發(fā),如小波分解層數(shù)[4-5]、去噪評(píng)價(jià)[6-7]、閾值函數(shù)[8-10]、閾值估計(jì)[8-11]等對(duì)傳統(tǒng)小波閾值去噪進(jìn)行研究。在閾值估計(jì)方面,常用的4種閾值分別為通用閾值、啟發(fā)式閾值、自適應(yīng)閾值和極大極小閾值。其中,自適應(yīng)閾值和極大極小閾值選取規(guī)則比較保守,僅將部分系數(shù)置0;而通用閾值和啟發(fā)式閾值選取規(guī)則的去除噪聲效果更佳,但易將有用信號(hào)的高頻部分當(dāng)作噪聲信號(hào)除去[9]。考慮到噪聲在小波變換下隨尺度增大而減小的特性,學(xué)者們給出了改進(jìn)閾值估計(jì)算法,取得了一定效果,但也存在一些不足。如李明峰等[8]給出的閾值算法首層閾值估計(jì)過(guò)小,去噪不徹底;甘若等[10]、趙瑞珍等[11]給出的閾值算法首層閾值估計(jì)過(guò)大,易產(chǎn)生“過(guò)扼殺”小波系數(shù)的現(xiàn)象,且上述文獻(xiàn)都沒(méi)有考慮帶噪小波系數(shù)含噪幅度隨尺度增加而減小的函數(shù)關(guān)系?；谝陨蠁?wèn)題,本文提出一種新的小波閾值估計(jì)算法,并通過(guò)理論分析、工程實(shí)例驗(yàn)證其優(yōu)越性和有效性。

1 小波閾值去噪法

小波閾值去噪是基于小波變換的“集中”或“聚焦”能力。通常認(rèn)為,信號(hào)在經(jīng)過(guò)小波變換后,由信號(hào)產(chǎn)生的小波系數(shù)包含有信號(hào)的重要信息,其幅值大、數(shù)目少,而噪聲對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)幅值小、數(shù)目多。通過(guò)在不同分解尺度上選取合適的閾值,并將小于該閾值的小波系數(shù)置0,保留大于閾值的小波系數(shù),使信號(hào)噪聲得到有效抑制,最后經(jīng)過(guò)小波逆變換,得到去噪后的重構(gòu)信號(hào)。

1.1 ZR閾值法

考慮到噪聲在小波變換下隨尺度增大而減小的特性[10],給出小波閾值法的改進(jìn)法(稱(chēng)為ZR閾值法)[11]:

(1)

1.2 1/2閾值法

對(duì)于均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲n(t),其二進(jìn)小波變換為WTj,kn(t),若小波函數(shù)ψj,k(t)為實(shí)函數(shù)時(shí),則有[4]:

|WTj,kn(t)|2=|?Rn(t)ψj,k(t)dt|2

(2)

由于E[n(t)n(t)]=σ2,小波函數(shù)ψj,k(t)為小波基ψ(t)伸縮平移所得,小波函數(shù)中每一個(gè)都有規(guī)范化的范數(shù)‖ψj,k(t)‖=‖ψ‖=1,故:

(3)

即隨著小波分解尺度的增加,含有噪聲的觀測(cè)序列在低頻信號(hào)中噪聲影響幅度按1/2的規(guī)律逐漸減小[12]。隨著分解尺度的增加,高一級(jí)尺度上的低頻信號(hào)中含有的噪聲影響幅度會(huì)越來(lái)越小,曲線(xiàn)也會(huì)也來(lái)越光滑。

對(duì)變形觀測(cè)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行如式(4)所示的小波分解與重構(gòu):

an+1=an+dn=an-1+dn-1+dn=

…=a0+d1+d2+…+dn

(4)

式中,an為低頻信號(hào),表現(xiàn)為趨勢(shì)項(xiàng),dn為高頻信號(hào),含有噪聲、粗差等局部變形信息。

設(shè)an噪聲影響幅度為σ2,由以上分析規(guī)律可知,an-1噪聲影響幅度為σ2/2,由式(4)可知,dn-1=an-an-1,即an噪聲影響幅度σ2在高一級(jí)尺度上一分為二,也就是an-1分解到的噪聲影響幅度為σ2/2,dn-1分解到的噪聲影響幅度為σ2/2。同理,dn-2=an-1-an-2,dn-2分解到的噪聲影響幅度為σ2/4。因此,隨著分解尺度的增加,高頻信號(hào)分解到的噪聲影響幅度也是按1/2的規(guī)律逐漸減小。

綜上所述,噪聲在小波變換下隨著分解尺度的增大而減小,且高頻信號(hào)分解到的噪聲影響幅度也是按1/2的規(guī)律逐漸減小。據(jù)此,本文給出新閾值計(jì)算公式(稱(chēng)1/2閾值法):

(5)

2 仿真實(shí)驗(yàn)

多期的變形監(jiān)測(cè)信號(hào)一般包括趨勢(shì)項(xiàng)、周期項(xiàng)及多種噪聲,為保證與實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)相符合,構(gòu)造復(fù)合信號(hào)進(jìn)行仿真模擬實(shí)驗(yàn)。如圖1所示,仿真信號(hào)時(shí)長(zhǎng)為120 s,其中包括2個(gè)趨勢(shì)項(xiàng)、2個(gè)周期項(xiàng)及隨機(jī)噪聲項(xiàng),實(shí)驗(yàn)采用MATLAB中自帶的awgn函數(shù),添加信噪比為db10的高斯白噪聲,其表達(dá)式為:

圖1 仿真數(shù)據(jù)Fig.1 Simulation data

Y=0.000 6t2-0.185 2t-

0.649 9sin(2πt/12+0.153 7)+

0.147 7sin(2πt/20+0.424 0)-

2.038 0+noise

為驗(yàn)證本文1/2閾值法的降噪效果,采用分解能力較好的sym8小波基,使用文獻(xiàn)[4-5]的方法確定該信號(hào)最佳分解尺度為3層。使用硬閾值方法、軟閾值法、ZR閾值法進(jìn)行對(duì)比,使用信噪比(SNR)、均方根誤差(RMSE)作為小波去噪的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

消噪的信號(hào)如圖2所示?？梢钥闯?軟閾值法去噪后曲線(xiàn)過(guò)于光滑,未能有效提取周期性信號(hào),去噪效果最差;硬閾值法由于閾值函數(shù)的不連續(xù)性,在采樣序號(hào)75處有較大折線(xiàn)現(xiàn)象,即偽吉布斯現(xiàn)象,對(duì)周期性信號(hào)的提取有所提高,但在采樣序號(hào)5～10處未能提取到信息;ZR閾值法去噪信號(hào)曲線(xiàn)光滑,無(wú)多余折線(xiàn)現(xiàn)象,在采樣序號(hào)5～10處也未能提取到信息;1/2閾值法去噪信號(hào)曲線(xiàn)光滑程度最好,無(wú)多余振蕩,對(duì)周期性信號(hào)提取最好。從表1可知,1/2閾值法去噪的SNR最大,RMSE最小,去噪效果最佳,說(shuō)明1/2閾值法去噪是可行的。

表1 4種閾值法的去噪指標(biāo)Tab.1 Denoising indicators of four threshold methods

圖2 4種方法去噪結(jié)果Fig.2 Denoising results of four methods

3 工程實(shí)例

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文小波閾值法去噪的有效性和優(yōu)越性,對(duì)文獻(xiàn)[10]中某江岸危巖上H監(jiān)測(cè)點(diǎn)10 a的沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)例分析,如圖3所示?？梢钥闯?該危巖H點(diǎn)的高程隨時(shí)間的增加呈現(xiàn)出下降趨勢(shì),同時(shí)含有周期性變形信息。由于各種不確定的因素,該信號(hào)含有很多毛刺,嚴(yán)重影響變形監(jiān)測(cè)的準(zhǔn)確分析和后續(xù)預(yù)測(cè),因此需要對(duì)其進(jìn)行去噪處理。

圖3 原始變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)Fig.3 Original measuring deformation data

為了驗(yàn)證1/2閾值法去噪的優(yōu)越性,采用分解能力較好的sym8小波基,使用文獻(xiàn)[4-5]的方法確定該信號(hào)最佳分解尺度為3層,同時(shí)使用硬閾值法、軟閾值法、ZR閾值法進(jìn)行對(duì)比,去噪結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯?軟閾值法由于估計(jì)小波系數(shù)和帶噪小波系數(shù)間有恒定的偏差,導(dǎo)致重構(gòu)的信號(hào)失真比較嚴(yán)重,去噪后曲線(xiàn)過(guò)于光滑,未能有效保留周期性細(xì)節(jié)變形信息,去噪效果最差。硬閾值法由于閾值函數(shù)的不連續(xù)性,在采樣序號(hào)43處有較大折線(xiàn)現(xiàn)象,即偽吉布斯現(xiàn)象,去噪后曲線(xiàn)光滑性最差,對(duì)周期性細(xì)節(jié)變形信息保留有提高,如在采樣序號(hào)20～40處保留了周期性細(xì)節(jié)變形信息。ZR閾值法克服了軟、硬閾值法的缺點(diǎn),也考慮到噪聲在小波變換下隨尺度增大而減小的特性,去噪后曲線(xiàn)的光滑性好,對(duì)周期性細(xì)節(jié)變形信息的保留程度有所提高,如在采樣序號(hào)50～60處保留了周期性細(xì)節(jié)變形信息。1/2閾值法克服了軟、硬閾值法的缺點(diǎn),不僅與噪聲在小波變換各尺度上的傳播特性相一致,也更符合帶噪小波系數(shù)隨分解尺度增加而減小的函數(shù)關(guān)系,去噪后曲線(xiàn)的光滑性好,沒(méi)有多余振蕩,特別是在采樣序號(hào)110～120處,對(duì)周期性細(xì)節(jié)變形信息保留最好。從表2可知,1/2閾值法去噪的SNR最大,RMSE最小,與其他閾值法去噪對(duì)比,效果更好,對(duì)周期性細(xì)節(jié)變形信息提取更準(zhǔn)確。

表2 4種閾值法的去噪指標(biāo)Tab.2 Denoising indicators of four threshold methods

圖4 4種方法去噪結(jié)果Fig.4 Denoising results of four methods

4 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)理論分析與工程實(shí)例可知,本文1/2閾值法去噪效果優(yōu)于軟、硬閾值法及ZR閾值法,能更有效地恢復(fù)被噪聲湮沒(méi)的周期性細(xì)節(jié)變形信息,進(jìn)一步提高去噪的精度與可靠性,更好地反映危巖變形規(guī)律。1/2小波閾值法不僅與噪聲在小波變換各尺度上的傳播特性相一致,也更符合帶噪小波系數(shù)隨分解尺度的增加而減小的函數(shù)關(guān)系。需要指出的是,變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)具有受噪聲干擾相對(duì)較小的特點(diǎn),對(duì)噪聲干擾較大的復(fù)雜信號(hào),本文方法的去噪效果有待進(jìn)一步研究。