一種合理利用先驗信息的新平差方法

劉 萍 謝雪梅

1 深圳市龍華區(qū)福城街道辦事處土地整備中心,深圳市觀光路1354號,518000 2 中南林業(yè)科技大學土木工程學院,長沙市韶山南路498號,410004

由Bayes估計原理可知,當先驗信息和觀測信息均可靠時,參數(shù)最小二乘估計滿足無偏、一致、有效性[1-2]。但當先驗信息不可靠時,先驗信息和觀測信息對參數(shù)解的貢獻不同。這時需要給先驗信息賦予一個權值以平衡觀測信息與先驗信息的權比,從而控制先驗信息對參數(shù)解的影響[3]。許多學者研究了先驗信息的權值問題,如Durbin[4]和Theil等[5-6]提出混合估計方法,Schaffrin等[7]在混合估計的基礎上提出加權混合估計。這些算法大多注重于計算效率和估計的優(yōu)良性,沒有提供先驗信息權值的計算方法,不能直接用于大地測量數(shù)據(jù)處理。平衡損失函數(shù)綜合考慮模型擬合優(yōu)度與參數(shù)估計的精度,建立了一個新的參數(shù)估計準則[2,8]。在統(tǒng)計決策上,它是使均方誤差達到最小的估計[8]。由于現(xiàn)有的算法無法計算先驗信息權值,平衡估計方法在測繪工程中的應用較少。本文基于Bayes估計原理,在平衡估計準則的基礎上,研究觀測信息可靠時先驗信息對平差結果的影響,建立先驗信息的判別統(tǒng)計量,給出一個自適應計算平衡因子的方法,控制不準確的先驗信息對參數(shù)解的影響。

1 參數(shù)的Bayes估計

一般平差模型可寫為:

L=AX+e

(1)

式中,A為m×n維系數(shù)矩陣,rank(A)

E(X)=X0,cov(X)=ΣX=S-1

(2)

式中,X0是已知向量;ΣX為已知正定矩陣。觀測向量L的條件分布f(L|X)=N(AX,Σ),可得到參數(shù)向量X的驗后分布為[9]:

(L-AX)TP(L-AX)]}

(3)

式中,∝表示成正比例關系。由Bayes估計的準則[10],f(X|L)=max,因此有:

(L-AX)TP(L-AX)+

(X-X0)TS(X-X0)=min

(4)

由式(4)對X求極值,由矩陣的微分法得:

(ATPA+S)X=ATPL+SX0

(5)

(6)

可以看出,X的Bayes線性無偏估計是先驗信息X0和觀測信息L的一個線性組合。當觀測信息的先驗信息和觀測信息可靠(觀測誤差服從正態(tài)分布)時,參數(shù)極大驗后估計是一個線性無偏最小方差估計[3]。

2 平衡準則下的參數(shù)估計

為了平衡觀測信息與先驗信息的權比,控制不準確的先驗信息對參數(shù)解的影響,在式(4)的基礎上給先驗信息賦予一個權值:

(L-AX)TP(L-AX)+

α(X-X0)TS(X-X0)=min

(7)

對參數(shù)向量X求極值:

-ATP(L-AX)+αS(X-X0)=0

(8)

(9)

(10)

3 平衡因子的計算

(11)

(12)

下面是根據(jù)統(tǒng)計量構造的一個兩段函數(shù)平衡因子,其原理類似于Huber函數(shù)[11]:

(13)

4 模擬算例

為了驗證平衡估計在參數(shù)解算中的效果,設計如下算例:設有一測邊網(wǎng)(圖1),P0為起算點,P1、P2、P3、P4、P5的真實坐標已知(表1),邊長的觀測值是利用真實坐標與隨機誤差計算得到的,誤差范圍為(-0.05 m, 0.05 m),觀測邊長視為同精度(表2)。相對于近似坐標的改正數(shù)構成的未知向量為X=[x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4,x5,y5]T。

表1 點的坐標Tab.1 Coordinates of the points

圖1 測邊網(wǎng)Fig.1 Distance-measuring network

對觀測方程進行線性化可以得到相應平差模型L=AX+e,其中,A和L為別為:

L=(-0.158 9,0.436 8,-2.535 2,-1.430 0,-0.041 1,-0.774 4,

2.870 3,0.058 1,-0.637 9,-0.360 0,-1.774 4,-1.154 8)T

計算結果見表3,算例分析與說明如下。

表3 幾種平差算法的比較Tab.3 Comparison of several adjustment methods

2)表3中的m(X)表示如下的均方誤差:

式中,Xreal為真值。

5)利用平衡估計準則可以很好地改善參數(shù)估計的性能,提高參數(shù)估計的準確性。α1=0.919 9說明當先驗信息準確度高時,平衡因子給予觀測信息的權大;α2=0.587 9說明當先驗信息準確度低時,平衡因子給予觀測信息更小的權,驗證了本文方法具有按照先驗信息自適應調(diào)節(jié)平衡的功能。

5 結 語