基于粒子群優(yōu)化算法的天然河道縱向離散系數(shù)估計(jì)

賀偉　荊平飛　楊輝　趙勇

摘要：明晰縱向離散系數(shù)對(duì)于研究河流污染物的遷移至關(guān)重要，目前學(xué)者對(duì)此已經(jīng)提出了許多經(jīng)驗(yàn)公式和理論公式，但是計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性并不高?；谑占目v向離散系數(shù)實(shí)測(cè)值及對(duì)應(yīng)的河道水文數(shù)據(jù)與河道形態(tài)數(shù)據(jù)，通過對(duì)縱向離散系數(shù)計(jì)算準(zhǔn)確度和計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的相關(guān)性雙重目標(biāo)的加權(quán)組合，采用粒子群優(yōu)化算法（一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的算法）對(duì)加權(quán)組合后的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，從而獲得了縱向離散系數(shù)一般表達(dá)式中的待定系數(shù)，最終提出了具有高準(zhǔn)確度和高相關(guān)性的天然河道縱向離散系數(shù)計(jì)算公式。驗(yàn)證結(jié)果表明：該公式能夠適用于縱向離散系數(shù)在0～100 m2/s之間的常見天然河道的縱向離散系數(shù)估計(jì)。

關(guān) 鍵 詞：環(huán)境水力學(xué)； 縱向離散系數(shù)； 粒子群優(yōu)化算法； 經(jīng)驗(yàn)公式； 天然河流

中圖法分類號(hào)： TV124 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： ADOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2023.06.024

0 引 言

近年來河流水污染及其治理成為了人們?nèi)找骊P(guān)注的問題。明晰污染物入河遷移擴(kuò)散的機(jī)理是進(jìn)行河流水污染治理的基礎(chǔ)和前提。根據(jù)相關(guān)研究可知，進(jìn)入河流的污染物會(huì)經(jīng)歷垂向混合、橫向混合以及縱向混合3個(gè)階段［1］。污染物的縱向混合階段是進(jìn)行水質(zhì)模型建模的關(guān)鍵，這一階段被稱為污染物的縱向離散［2］?？v向離散的本質(zhì)是，時(shí)均流速沿橫向或者垂向分布的不均勻性導(dǎo)致了污染物云團(tuán)在縱向上的傳播比在均勻流速的水體中更快［3］。在一維水質(zhì)模型中，縱向離散采用縱向離散系數(shù)進(jìn)行量化?？v向離散系數(shù)的確定方法主要有理論公式法、經(jīng)驗(yàn)公式法和示蹤實(shí)驗(yàn)法［4］。

Fischer等［5］給出了計(jì)算縱向離散系數(shù)的理論公式：

式中：K為縱向離散系數(shù)；A為斷面面積；W為水面寬度；H為水深；y為橫向位置坐標(biāo)；u為水深平均的縱向流速；U為斷面平均流速；εt為橫向混合系數(shù)。

然而，式（1）需要的縱向流速橫向分布數(shù)據(jù)在實(shí)際中較難獲取，這是采用理論公式法計(jì)算縱向離散系數(shù)的難點(diǎn)。為此，許多學(xué)者通過研究給出了縱向流速的橫向分布經(jīng)驗(yàn)公式，如Sooky［6］提出的對(duì)數(shù)和線性函數(shù)結(jié)合的經(jīng)驗(yàn)公式、Seo等［7］提出的四次多項(xiàng)式和指數(shù)函數(shù)結(jié)合的經(jīng)驗(yàn)公式、Deng等［8］提出的冪函數(shù)形式的經(jīng)驗(yàn)公式等。學(xué)者們依照不同的流速公式代入式（1），得到了適用于不同情況下的縱向離散系數(shù)公式，如陳永燦等［9］、Zhong等［10］推導(dǎo)出的適用于冰封河道的縱向離散系數(shù)公式，張文俊等［11］推導(dǎo)出的阻力線性化條件下的縱向離散系數(shù)公式，Wang等［12］推導(dǎo)出的適用于順直天然河道的縱向離散系數(shù)公式，Zhang等［13］提出的適用于水草覆蓋的河道縱向離散系數(shù)公式等。但是，由于經(jīng)驗(yàn)公式是一種對(duì)實(shí)際物理規(guī)律的近似處理，且每個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式都有其適用范圍，因此采用理論公式法計(jì)算縱向離散系數(shù)的實(shí)際應(yīng)用并不多見。

示蹤實(shí)驗(yàn)法則是在研究河段上游投放示蹤劑，并在下游進(jìn)行示蹤劑濃度的監(jiān)測(cè)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)信息和濃度數(shù)據(jù)，基于一維對(duì)流擴(kuò)散方程或其解析解進(jìn)行縱向離散系數(shù)的反演。這是典型的環(huán)境水力學(xué)參數(shù)反演問題［14］。對(duì)于穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，通常用一維對(duì)流擴(kuò)散方程描述污染物遷移擴(kuò)散的規(guī)律，具體形式如下：

式中：C是污染物的斷面平均濃度；t是時(shí)間；x是沿流向的坐標(biāo)。

針對(duì)這類參數(shù)反演問題，需要開發(fā)相應(yīng)的反演算法。許多學(xué)者在反演算法上做出了貢獻(xiàn)，如Fischer等［15］提出的演算法、郭建青等［16］提出的相關(guān)系數(shù)極值法、張娟娟等［17］提出的快速模擬退火算法、楊雙等［18］提出的分位數(shù)回歸法、楊中華等［19］提出的伴隨同化法等。示蹤實(shí)驗(yàn)法計(jì)算得到的縱向離散系數(shù)精度較高，但是由于示蹤實(shí)驗(yàn)難度大、成本高、耗時(shí)久，且結(jié)果僅適用于做實(shí)驗(yàn)的研究河段，因此示蹤實(shí)驗(yàn)法在中國(guó)的河流縱向離散系數(shù)確定中應(yīng)用較少。

經(jīng)驗(yàn)公式法則是利用河流的水力和幾何參數(shù)，如河道的寬度、水深、平均流速、剪切流速、蜿蜒程度、能坡等，在大量的實(shí)驗(yàn)和現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上確定天然河流縱向離散系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)性公式［20］。許多學(xué)者利用數(shù)據(jù)分析方法給出了相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)公式（見表1）［5，7，21-27］。這些經(jīng)驗(yàn)公式所需要的參數(shù)都可以很容易地從水文站點(diǎn)獲取或直接測(cè)量得到，且只需要簡(jiǎn)單計(jì)算即可得到粗略的縱向離散系數(shù)值，因此相較于示蹤實(shí)驗(yàn)方法易于實(shí)現(xiàn)，在中國(guó)的工程實(shí)踐中較多采用。

本文根據(jù)Nezaratian等［2］整理收集的來自全世界范圍內(nèi)不同河流的水力和幾何參數(shù)，以及對(duì)應(yīng)的縱向離散系數(shù)的實(shí)測(cè)值，組成共164組數(shù)據(jù)（見附表 1）的數(shù)據(jù)集，采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，提出了一個(gè)新的縱向離散系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式。最后，將所提出公式與已有的代表性經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行比較，證明所提縱向離散系數(shù)估算公式的優(yōu)越性。

1 方 法

1.1 公式基本形式

依據(jù)量綱分析的原理［26］，本次研究選取了水面寬度W、水深H，斷面平均流速U、剪切流速U*等參數(shù)作為縱向離散系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式的組成參數(shù)；根據(jù)Taylor［28］提出的剪切離散理論，并結(jié)合表 1中現(xiàn)有的縱向離散系數(shù)代表性經(jīng)驗(yàn)公式的具體形式，本文選取的縱向離散系數(shù)的一般表達(dá)式如下［29］：

式中：a，b，c均為常數(shù)，可以根據(jù)搜集的數(shù)據(jù)集進(jìn)行率定。W/H和U/U*分別是表征河道幾何形態(tài)和水力學(xué)特征的無量綱量，HU*的量綱為L(zhǎng)2/T，與縱向離散系數(shù)K量綱相同，也就是說式（3）保證了縱向離散系數(shù)具有正確的量綱。

1.2 粒子群優(yōu)化算法

為了獲得以上縱向離散系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式中的3個(gè)未知常數(shù)a，b，c，本次研究以水面寬度W、水深H、斷面平均流速U、剪切流速U*為自變量，以縱向離散系數(shù)K為因變量，采用粒子群優(yōu)化算法［30］對(duì)3個(gè)未知常數(shù)a，b，c進(jìn)行調(diào)整優(yōu)化。該算法具有收斂速度快、參數(shù)少、易于實(shí)現(xiàn)、天然可以并行計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)，對(duì)于解決多參數(shù)優(yōu)化問題具有較大優(yōu)勢(shì)［31］。

圖2和圖3則分別展示了縱向離散系數(shù)實(shí)測(cè)值與估計(jì)值的對(duì)比圖以及解的擬合情況。從圖2中可以看出：采用式（11）得到的縱向離散系數(shù)估計(jì)值與實(shí)測(cè)值基本吻合；當(dāng)縱向離散系數(shù)小于200 m2/s時(shí)，縱向離散系數(shù)實(shí)測(cè)值與估計(jì)值組成的點(diǎn)對(duì)均勻地分布在1∶1線的兩側(cè)，但是當(dāng)縱向離散系數(shù)大于200 m2/s時(shí)，采用式（11）得到的縱向離散系數(shù)估計(jì)值比實(shí)測(cè)值小，在圖中表現(xiàn)為點(diǎn)跡均落在1∶1線以下。這是由于本次研究在目標(biāo)函數(shù)的設(shè)定上平衡了準(zhǔn)確度和相關(guān)性，放棄了對(duì)數(shù)據(jù)集中極值的擬合，所以本次研究提出的公式（11）只適用于縱向離散系數(shù)小于200 m2/s的情況。圖 3中的縱向離散系數(shù)估計(jì)值序列與實(shí)測(cè)值序列的相關(guān)系數(shù)為0.876，準(zhǔn)確度為51.2%。結(jié)合以往的文獻(xiàn)［2］，本次研究得到的公式（11）是一個(gè)較為優(yōu)越的公式。

為了進(jìn)一步說明公式（11）的優(yōu)越性，選取表1中所列的經(jīng)驗(yàn)公式，采用第二節(jié)中給出的模型驗(yàn)證評(píng)估指標(biāo)對(duì)公式（11）和以前學(xué)者提出的公式進(jìn)行評(píng)估，具體結(jié)果見表2。由表2可知：天然河道縱向離散系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算精度普遍不高，各個(gè)公式的準(zhǔn)確度最高的為式⑨，有著54.9%的準(zhǔn)確度；準(zhǔn)確度第二高的為本文提出的公式（11），有著51.2%的準(zhǔn)確度。相關(guān)系數(shù)最大的是公式（11），有著0.876的相關(guān)系數(shù)，表明該公式可以很好地估計(jì)變化河道形態(tài)和水文條件下的縱向離散系數(shù)的變化趨勢(shì)；相關(guān)系數(shù)第二大的是式④，有著0.874的相關(guān)系數(shù)。從均方根誤差來看，式⑧擁有最小的均方根誤差0.506，其次是式⑦，有著0.543的均方根誤差。

考慮到均方根誤差容易受到極端值的影響，本次研究將準(zhǔn)確度（Accuracy）和相關(guān)系數(shù)（CC）組合成新的評(píng)價(jià)指標(biāo)，即前文中提到的目標(biāo)函數(shù)J，以此來對(duì)每個(gè)公式進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。目標(biāo)函數(shù)值最大的也是本次研究提出的公式（11），有著0.694的目標(biāo)函數(shù)值，表明該公式在縱向離散系數(shù)估計(jì)準(zhǔn)確度與相關(guān)性上具有最佳性能；第二大的是式⑧，有著0.680的目標(biāo)函數(shù)值。從表2中還可以得到：式⑤的性能是最差的，但是考慮到該公式主要是基于長(zhǎng)江流域三峽庫區(qū)的數(shù)據(jù)得到的，因此該公式在三峽庫區(qū)的縱向離散系數(shù)計(jì)算中較有優(yōu)勢(shì)，而在其他河流的縱向離散系數(shù)計(jì)算中不適用。公式（11）與以前的學(xué)者提出的式④、式⑦、式⑧、式⑨均有著較好的性能，均可被采用為估計(jì)縱向離散系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式，但是推薦采用公式（11），因?yàn)樵摴阶畲笙薅鹊乇ＷC了精度和與實(shí)測(cè)值的良好相關(guān)性。

4 討 論

在采用的數(shù)據(jù)集中，縱向離散系數(shù)的取值范圍主要在0～100 m2/s之間。在該范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為136個(gè)，約占整個(gè)數(shù)據(jù)集的83%。為了進(jìn)一步獲得更高的計(jì)算精度，本文采用粒子群優(yōu)化算法針對(duì)縱向離散系數(shù)在0～100 m2/s之間的共計(jì)136個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行重新擬合計(jì)算，得到了公式（12）。

圖4展示了縱向離散系數(shù)實(shí)測(cè)值與采用公式（12）得到的計(jì)算值的對(duì)比圖。從圖4中可以看出，縱向離散系數(shù)實(shí)測(cè)值與估計(jì)值組成的點(diǎn)對(duì)均勻地分布在1∶1線的兩側(cè)，說明采用公式（12）基本能夠較為準(zhǔn)確地計(jì)算出縱向離散系數(shù)的實(shí)際大小。

采用模型驗(yàn)證評(píng)估參數(shù)對(duì)公式（12）和性能較為優(yōu)越的代表性經(jīng)驗(yàn)公式④、⑦、⑧、⑨進(jìn)行評(píng)估，具體結(jié)果見表3。

由表3可知，由于公式（12）采用的數(shù)據(jù)集相比較公式（11）更具有針對(duì)性，因此擬合精度也更高。表中公式（12）具有最高的計(jì)算精度和最高的相關(guān)性，其高精度說明了采用公式（12）進(jìn)行0～100 m2/s之間范圍的縱向離散系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式擬合具有最佳性能。造成這一結(jié)果的原因是本次研究進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)公式擬合時(shí)，設(shè)定的目標(biāo)函數(shù)考慮了計(jì)算精度與擬合相關(guān)性雙重目標(biāo)。對(duì)比其他公式的結(jié)果，也說明了采用經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行縱向離散系數(shù)計(jì)算時(shí)要注意公式的適用范圍。

5 結(jié) 論

根據(jù)前人研究給出的縱向離散系估計(jì)的代表性經(jīng)驗(yàn)公式形式，利用收集的天然河道形態(tài)、水文數(shù)據(jù)以及實(shí)測(cè)的縱向離散系數(shù)構(gòu)成的數(shù)據(jù)集，構(gòu)建了綜合考慮縱向離散系數(shù)估計(jì)準(zhǔn)確度和估計(jì)結(jié)果與實(shí)測(cè)值相關(guān)性的目標(biāo)函數(shù)，采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)代表性經(jīng)驗(yàn)公式中的3個(gè)待定參數(shù)進(jìn)行了率定，并將本次研究提出的縱向離散系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式與前人提出的經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行性能的比較，總結(jié)出如下結(jié)論：

（1） 天然河道的縱向離散系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算精度和相關(guān)性普遍不高。

（2） 由于考慮了計(jì)算精度與相關(guān)性雙重目標(biāo)，采用本次研究提出的方法所獲得的經(jīng)驗(yàn)公式具有較高的精度和較好的相關(guān)性，具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

（3） 本次研究提出的經(jīng)驗(yàn)公式（12）僅適用于縱向離散系數(shù)在0～100 m2/s之間的情況。

（4） 采用粒子群優(yōu)化算法獲得縱向離散系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式是完全可行的，同時(shí)對(duì)于目標(biāo)函數(shù)的設(shè)定可以考慮多個(gè)目標(biāo)，這為今后縱向離散系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式的參數(shù)率定提供了新的思路。

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（編輯：胡旭東）

Estimation of natural river longitudinal dispersion coefficient based on particle swarm optimization algorithm

HE Wei1，JING Pingfei2，YANG Hui1，ZHAO Yong1

（1.Hunan Wuling Electric Power Technology Co.，Ltd.，Changsha 410029，China； 2.Changjiang Survey，Planning，Design and Research Co.，Ltd.，Wuhan 430010，China）

Abstract： The longitudinal dispersion coefficient is very important for studying the migration of river pollutants.At present，scholars have put forward many empirical formulas and theoretical formulas，but the accuracies of the calculation results are not high.In this paper，based on the measured values of the longitudinal dispersion coefficient and the corresponding river hydrological data and river morphology data，through the weighted combination of the dual objectives of the calculation accuracy of the longitudinal dispersion coefficient and the correlation between the calculated value and the measured value，the particle swarm optimization algorithm（ a data-driven algorithm ） was used to optimize the objective function after the weighted combination，so as to obtain the undetermined coefficients in the general expression of the longitudinal dispersion coefficient.Finally，a new natural river longitudinal dispersion coefficient calculation formula with high accuracy and high correlation was proposed.The verification results showed that the formula can be applied to the longitudinal dispersion coefficient estimation of common natural rivers with longitudinal dispersion coefficient between 0 and 100 m2/s.

Key words： environmental hydraulics；longitudinal dispersion coefficient；particle swarm optimization algorithm；empirical formula；natural river

收稿日期：2022-11-29

基金項(xiàng)目：國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目“大型水庫群汛期運(yùn)行水位動(dòng)態(tài)控制與洪水資源化應(yīng)用示范”（2022YFC3202805）

作者簡(jiǎn)介：賀 偉，男，工程師，主要從事水電站水情自動(dòng)測(cè)報(bào)系統(tǒng)研究。E-mail：hewei757@163.com

通信作者：荊平飛，男，工程師，博士，主要從事環(huán)境水力學(xué)反問題研究。E-mail：pfjing@whu.edu.cn