自主光學(xué)相對導(dǎo)航中序列圖像最優(yōu)構(gòu)建方法

孫博文，王大軼，2，周海銀，李茂登，王炯琦

(1. 國防科技大學(xué)理學(xué)院，長沙 410073；2. 北京空間飛行器總體設(shè)計部，北京 100094；3. 北京控制工程研究所，北京 100094)

0 引 言

空間目標(biāo)自主相對導(dǎo)航技術(shù)在空間碎片清除[1]、航天器在軌服務(wù)[2]、深空探測[3]等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。為了獲取更多的測量信息,航天器上往往配備光學(xué)相機、激光雷達、微波雷達等多種探測敏感器設(shè)備[4]。然而,航天器結(jié)構(gòu)資源有限難以安裝過多的探測敏感器,且航天器計算資源受限難以處理過多的測量數(shù)據(jù),這兩個約束要求航天器必須精簡星載探測敏感器。

光學(xué)相機具有結(jié)構(gòu)簡單、數(shù)據(jù)豐富等特點,若僅用光學(xué)相機作為測量敏感器即可實現(xiàn)自主相對導(dǎo)航,則在降低航天器體積造價、降低計算消耗等方面具有很大的應(yīng)用空間[5]。所以僅用星載光學(xué)敏感器提供的序列圖像進行空間目標(biāo)自主相對導(dǎo)航成為空間導(dǎo)航領(lǐng)域的創(chuàng)新模式,也是當(dāng)前的研究熱點。

然而,僅用序列圖像進行自主光學(xué)相對導(dǎo)航過程中,由于光學(xué)相機無法觀測目標(biāo)的距離信息,導(dǎo)致其組成的自主相對導(dǎo)航系統(tǒng)無法通過測量直接解算得到相對位置參數(shù),所以僅用序列圖像的自主光學(xué)導(dǎo)航系統(tǒng)為欠觀測系統(tǒng)[6]。如何通過序列圖像反演出相對距離信息,使此類欠觀測系統(tǒng)滿足可觀測性,能夠?qū)崿F(xiàn)導(dǎo)航參數(shù)的完備估計,是自主光學(xué)相對導(dǎo)航面臨的難點問題[7]。

對于此問題,往往利用可觀測性理論判斷相對系統(tǒng)狀態(tài)是否可以被完備估計[8-10]。然而,Woffi-nden等[11]證明了基于Clohessy-Wiltshire (C-W)方程的自主光學(xué)相對導(dǎo)航系統(tǒng)不滿足可觀測性。為使此類系統(tǒng)滿足可觀測性(即實現(xiàn)狀態(tài)的完備估計),工程上通常有以下兩種方法:一是利用軌道機動方法,二是利用相機安裝偏置方法。兩種方法均利用虛擬預(yù)測方向與實際觀測方向的差異構(gòu)成三角形結(jié)構(gòu)(目標(biāo)點、虛擬觀測點和實際觀測點構(gòu)成的三角形),進而反演相對距離信息,實現(xiàn)相對導(dǎo)航參數(shù)的完備估計。

在軌道機動方法中,Woffinden等[12]研究了通過航天器軌道機動分析得到了目標(biāo)距離信息,Grzymisch等[13-14]討論了通過軌道機動滿足系統(tǒng)可觀測性的充要條件,在代數(shù)層面上分析了狀態(tài)預(yù)測與機動的代數(shù)關(guān)系,得到了最優(yōu)機動?；谲壍罊C動的自主光學(xué)相對導(dǎo)航方法需改變航天器軌道參數(shù),對航天器軌道控制要求高;而且軌道機動需要消耗大量的能源,不利于星上進行連續(xù)軌道控制。

在不進行軌道機動的情況下,通過光學(xué)相機安裝偏置構(gòu)建序列圖像也可實現(xiàn)自主光學(xué)相對導(dǎo)航參數(shù)的完備估計。相比于軌道機動方法,基于光學(xué)相機安裝偏置方法無需改變軌道參數(shù),同時減少了軌道機動帶來的能源消耗。Geller等[15]分析了基于C-W方程的自主光學(xué)相對導(dǎo)航不可觀測時的充要條件,利用光學(xué)相機安裝偏置構(gòu)建的序列圖像實現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)的完備估計,并通過實驗定性分析了相機安裝偏置中三軸分量對估計精度的影響。在此基礎(chǔ)上,Gong等[16]研究了估計精度對相機安裝偏置、姿態(tài)旋轉(zhuǎn)等因素的敏感性。宋亮等[17]在相機安裝偏置條件下對系統(tǒng)進行可觀測性分析,提出了一種基于擴展卡爾曼濾波的自主相對導(dǎo)航方法。

然而,在利用光學(xué)相機安裝偏置構(gòu)建光學(xué)序列圖像進行系統(tǒng)狀態(tài)完備估計時,上述文獻均沒有考慮序列圖像構(gòu)建對自主光學(xué)相對導(dǎo)航精度的影響。在測量噪聲和狀態(tài)預(yù)測協(xié)方差共同影響下,目標(biāo)點、虛擬觀測點和實際觀測點所構(gòu)成的三角形幾何屬性對相對導(dǎo)航狀態(tài)估計精度有著極其重要的影響。例如,極限條件下,若虛擬預(yù)測方向與實際測量方法重合,則無法構(gòu)成三角形結(jié)構(gòu),此時系統(tǒng)仍不滿足可觀測性。所以,為了進一步提高自主光學(xué)相對導(dǎo)航精度,需要以系統(tǒng)可觀測度為指標(biāo),探索利用光學(xué)相機安裝偏置來實現(xiàn)光學(xué)序列圖像的最優(yōu)構(gòu)建方法。

針對此問題,本文在利用光學(xué)相機安裝偏置實現(xiàn)自主相對導(dǎo)航的條件下,提出了一種基于幾何屬性量化的自主光學(xué)相對導(dǎo)航序列圖像最優(yōu)構(gòu)建方法。首先通過分析自主光學(xué)相對導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測性,探究了影響估計精度的關(guān)鍵因素,然后依據(jù)狀態(tài)估計誤差的幾何特性建立了相對導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測度指標(biāo),并在此基礎(chǔ)上量化了該指標(biāo)與序列圖像構(gòu)建方式的映射關(guān)系,研究了序列圖像最優(yōu)構(gòu)建方法,給出了相應(yīng)的導(dǎo)航濾波算法,提高了自主光學(xué)相對導(dǎo)航精度。

1 自主光學(xué)相對導(dǎo)航系統(tǒng)模型

1.1 坐標(biāo)系定義與轉(zhuǎn)換

本節(jié)定義相關(guān)坐標(biāo)系,如圖1所示。

圖1 坐標(biāo)系

軌道系FO：原點為航天器質(zhì)心,xO軸由地心指向航天器質(zhì)心,zO軸垂直于軌道平面并平行于航天器的角動量矢量,yO軸與xO,zO軸構(gòu)成右手系。

本體系FB：原點為航天器質(zhì)心,三軸固定且已知,構(gòu)成右手系。

相機系FC：原點為相機鏡頭中心,zC軸為光軸方向并指向外,xC軸與yC軸均與相機成像平面的平行,構(gòu)成右手系。

文中利用上標(biāo)O,B,C分別表示向量在FO, FB, FC下的表示。坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換定義如下:

2) FB到FC的轉(zhuǎn)換:如圖1所示,FB和FC之間不僅存在旋轉(zhuǎn)還存在平移,空間目標(biāo)在兩坐標(biāo)系下的位置矢量分別表示為rB和FC,兩者之間存在如下轉(zhuǎn)換關(guān)系

(1)

1.2 相對運動狀態(tài)方程

航天器與空間目標(biāo)在軌運行時,可以在軌道系下建立兩者的相對運動狀態(tài)方程。令rO=[x,y,z]T為軌道系下目標(biāo)的相對位置矢量,當(dāng)航天器與目標(biāo)距離遠小于地心距且航天器與空間目標(biāo)軌道均為近圓軌道時,相對運動狀態(tài)可用C-W方程表示[18]

(2)

(3)

式中:

(4)

X(t)=Φ(t,t0)X(t0)

(5)

式中:

τ=n(t-t0),s=sin(τ),c=cos(τ)

(6)

1.3 光學(xué)測量方程

(7)

由于光學(xué)相機測量僅為目標(biāo)的方向矢量,無距離信息,則測量方程為

(8)

式中:ν∈3為測量噪聲;表示向量的2-范數(shù),值為向量的歐氏模長。

根據(jù)式(7)和式(8),可知觀測矩陣為

(9)

由式(8)可知,光學(xué)相機僅測量空間目標(biāo)相對于相機的方向矢量,無距離信息,無法通過單次測量解算出相對位置矢量。為了實現(xiàn)相對導(dǎo)航狀態(tài)的完備估計,下面首先進行自主光學(xué)相對導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測性分析,并在此基礎(chǔ)上研究序列圖像的最優(yōu)構(gòu)建方法。

2 序列圖像最優(yōu)構(gòu)建

2.1 自主光學(xué)相對導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測性分析

(10)

此時光學(xué)相機測量方程為

(11)

由于光學(xué)相機無法測量距離信息,若將t0時刻的相對運動狀態(tài)擴大ρ倍,則t時刻的測量為

(12)

z(t)=zρ(t)

(13)

為了使系統(tǒng)滿足可觀測性,并可以實現(xiàn)高精度自主相對導(dǎo)航。從提升系統(tǒng)可觀測能力方面討論如何在現(xiàn)有條件下實現(xiàn)最優(yōu)估計。首先構(gòu)建相對導(dǎo)航系統(tǒng)可觀測度指標(biāo),后在其指導(dǎo)下星上自主構(gòu)建序列圖像。

2.2 自主光學(xué)相對導(dǎo)航系統(tǒng)幾何特性分析

圖2 相對導(dǎo)航三角構(gòu)型

根據(jù)三角形正弦定理可得

(14)

式中:

(15)

根據(jù)式(14),可知兩角度θ和β的關(guān)系,令

(16)

式中:

(17)

2.3 序列圖像星上自主構(gòu)建

由文獻[15]可知,圖2所示的相對導(dǎo)航三角構(gòu)型影響相對導(dǎo)航的估計精度,下面通過設(shè)定可觀測度指標(biāo),研究如何調(diào)整相對導(dǎo)航三角構(gòu)型可以得到高精度的相對導(dǎo)航估計結(jié)果,即序列圖像如何星上自主構(gòu)建。

在Kalman濾波框架下實現(xiàn)相對導(dǎo)航狀態(tài)的估計,需要利用光學(xué)相機的測量值對狀態(tài)預(yù)測值進行更新。其中狀態(tài)預(yù)測值可由C-W狀態(tài)方程遞推得到,本文主要考慮光學(xué)相機測量中序列圖像構(gòu)建方式對估計精度的影響。

濾波過程中狀態(tài)預(yù)測值存在預(yù)測誤差,光學(xué)相機對空間目標(biāo)進行觀測時存在測量誤差。假設(shè)兩誤差均服從正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)差分別表示為Δθ和Δβ。標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi),目標(biāo)相對位置的估計誤差如圖3所示的陰影部分。

圖3 相對位置估計誤差

由于目標(biāo)與航天器的距離遠遠大于相機安裝偏置長度,則圖3中陰影部分形狀細長。令陰影部分內(nèi)的點與長對角線l的最遠距離為c,滿足

(18)

易知,

a+b≥c

(19)

同理,由于目標(biāo)與航天器的距離遠遠大于相機安裝偏置長度,則可近似認(rèn)為θ+β≈π,此時對角線長度l可近似為

l≈a+b

(20)

進一步地,

(21)

此時以陰影四邊形的長對角線長度l的倒數(shù)為可觀測度,即認(rèn)為當(dāng)長對角線的長度最小時可觀測度最大。由于角度θ和β存在函數(shù)關(guān)系,如式(16)所示。則l可以看做角度θ的函數(shù),為了使得對角線長度l最小,需求

θ=argminl(θ)

(22)

長對角線l的長度最小時有

(23)

注1. 相對導(dǎo)航狀態(tài)濾波過程中,可以得到軌道系下相對位置預(yù)測值的協(xié)方差Prr,可參照文獻[19]將位置矢量的誤差轉(zhuǎn)化為方向矢量的誤差,即可計算圖3所示的平面中的角度標(biāo)準(zhǔn)差Δθ。

2.4 相對導(dǎo)航狀態(tài)估計算法

針對式(5)與式(8)組成的自主光學(xué)相對導(dǎo)航系統(tǒng),假設(shè)tk時刻的過程噪聲方差為Qk,測量噪聲方差為Rk,狀態(tài)協(xié)方差矩陣為Pk。上標(biāo)+和-分別表示變量的估計值和預(yù)測值。將tk-1時刻到tk時刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣用Φk/k-1表示。下面給出狀態(tài)濾波算法步驟。

初始化:當(dāng)k=0時,令

(24)

狀態(tài)預(yù)測:

(25)

狀態(tài)更新:

(26)

計算旋轉(zhuǎn)軸

(27)

(28)

計算旋轉(zhuǎn)角度

(29)

故旋轉(zhuǎn)矩陣對應(yīng)的四元數(shù)為

(30)

(31)

3 仿真校驗

文中設(shè)置仿真實驗驗證本文提出的基于可觀測度量化的自主光學(xué)相對導(dǎo)航序列圖像最優(yōu)構(gòu)建方法。實驗場景選自原型研究儀器與航天技術(shù)進步任務(wù)(PRISMTA)。以Mango為服務(wù)航天器,Tango為非合作目標(biāo),自主光學(xué)相對導(dǎo)航任務(wù)開始時間為2012年5月12日4∶00UTC。軌道根數(shù)如表1所示,軌道系下相對軌道與目標(biāo)距離如圖4所示。

表1 軌道根數(shù)

圖4 相對位置軌跡

設(shè)置相機安裝偏置位于航天器本體系dB=[1, 1, 1]T處,假設(shè)安裝旋轉(zhuǎn)矩陣可以轉(zhuǎn)動且已知。根據(jù)圖4可知,航天器與目標(biāo)距離遠遠大于相機安裝偏置長度,依據(jù)文中提出的可觀測度指標(biāo),仿真得到此相對導(dǎo)航場景下最優(yōu)的角度θ和角度β。

如圖5所示,角度θ和角度β滿足式(23)中得到的結(jié)論。進一步,與20組隨機設(shè)置的夾角θ進行對比實驗(服從均勻分布),相對位置估計誤差如圖6所示,相對速度估計誤差如圖7所示。

圖5 最優(yōu)角度

圖6 位置估計誤差

圖7 速度估計誤差

圖6和圖7中,紅色帶點實線表示本文提出以對角線長度為指標(biāo)的估計誤差結(jié)果?？梢钥闯霰疚奶岢鲂蛄袌D像構(gòu)建方法優(yōu)于隨機生成的序列圖像。進一步,分別統(tǒng)計本文提出方法與隨機生成中最優(yōu)的估計平均絕對誤差(MAE)。

從圖6、圖7以及表2、表3中可以看出,當(dāng)航天器與目標(biāo)距離遠遠大于相機安裝偏置長度時,相比于隨機生成的序列圖像,提出的序列圖像構(gòu)建方法可以使相對導(dǎo)航狀態(tài)估計更好地收斂,而隨機生成的序列圖像中甚至存在濾波發(fā)散現(xiàn)象。通過仿真實驗驗證了本文提出方法的有效性。

表2 相對位置平均絕對誤差

表3 相對速度平均絕對誤差

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于可觀測度量化的自主光學(xué)相對導(dǎo)航序列圖像最優(yōu)構(gòu)建方法,通過量化誤差幾何屬性并以此作為可觀測度指標(biāo)指導(dǎo)了序列圖像構(gòu)建方式,最終實現(xiàn)了高精度的自主光學(xué)相對導(dǎo)航。通過理論推導(dǎo)和仿真實驗,可以得到以下結(jié)論:

1) 系統(tǒng)可觀測度與角度θ相關(guān),可以通過量化系統(tǒng)可觀測度(狀態(tài)估計誤差幾何特性)給出最優(yōu)角度θ的值;

2) 相對于隨機構(gòu)建的序列圖像方法,本文提出的序列圖像最優(yōu)構(gòu)建方法可有效提高自主光學(xué)相對導(dǎo)航精度;

3) 本文雖以基于相機安裝偏置的自主光學(xué)相對導(dǎo)航為背景,但提出的方法也可應(yīng)用于通過軌道機動實現(xiàn)自主光學(xué)相對導(dǎo)航的方法中。