一種衛(wèi)星姿軌一體化模型預測容錯控制方法

孫楚琦，肖 巖，葉 東，孫兆偉

(哈爾濱工業(yè)大學航天學院衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱 150080)

0 引 言

隨著航天技術(shù)不斷革新,大部分衛(wèi)星在研制過程中加入了標準化外部插件接口的設(shè)計,以適應未來計劃內(nèi)或計劃外的在軌升級、維護和搶救等空間任務(wù)。諸多在軌服務(wù)任務(wù)的實現(xiàn)都需要進行六自由度機動,用于對接或抵近目標衛(wèi)星,并調(diào)整至滿足任務(wù)需求的姿態(tài)[1-2]。近年來,關(guān)于此類六自由度姿軌一體化建模與控制的研究一直是航天領(lǐng)域的研究熱點。對于六自由度相對運動建模,考慮衛(wèi)星軌道運動和姿態(tài)運動間有著強耦合,傳統(tǒng)方法將軌道運動和姿態(tài)運動分開處理的方式難以妥善處理兩者之間的耦合關(guān)系[3-5]。此外,考慮在軌衛(wèi)星長期處于空間惡劣環(huán)境,衛(wèi)星上的執(zhí)行機構(gòu)因老化或其它不可抗力所導致的效能下降將大大降低衛(wèi)星機動能力[6-7]。綜合上述問題,針對衛(wèi)星的姿軌一體化容錯控制策略具有一定的工程實踐意義,并能夠為在軌服務(wù)的完成提供技術(shù)保障。

針對航天器軌道和姿態(tài)運動一體化的建模方法現(xiàn)階段主要分為三種。1)首先是姿軌獨立建模方法,其思想為將描述軌道運動和姿態(tài)運動的動力學模型聯(lián)立,形成姿軌一體化動力學模型[8-11]。上述研究中雖然實現(xiàn)了軌道和姿態(tài)運動的一體化描述,但是仍然需要通過軌道和姿態(tài)之間的耦合關(guān)系往復運算,并沒有從姿軌耦合特性的本質(zhì)上進行動力學建模。2)第二種是基于Lie群SE(3)的姿軌一體化建模方法。通過由旋轉(zhuǎn)矩陣與位置矢量構(gòu)成的三維歐幾里得空間里的Lie群,一體化描述剛體在三維空間中的平動和轉(zhuǎn)動。文獻[12]借助李群SE(3)指數(shù)坐標模型設(shè)計了一種魯棒自適應控制方法。文獻[13]研究了SE(3)模型下的考慮執(zhí)行機構(gòu)延遲和飽和下的無人機位姿穩(wěn)定控制方法。文獻[14]研究了基于李代數(shù)SE(3)和一致擴展卡爾曼濾波的剛體運動一致估計。這種數(shù)學工具的缺點是建模中包含較為復雜的矩陣運算,加大了控制器設(shè)計的復雜度。3)第三種是基于螺旋位移理論的對偶四元數(shù)描述,將四元數(shù)和對偶數(shù)結(jié)合形成一個統(tǒng)一框架的矢量,用于一體化描述平動和轉(zhuǎn)動。文獻[15-18]研究了對偶四元數(shù)應用于機器人和衛(wèi)星的六自由度運動建模的狀態(tài)控制和估計。針對非合作滾轉(zhuǎn)目標,文獻[19]設(shè)計了一種柔性航天器交會的自適應迭代學習控制。文獻[20]建立了基于對偶四元數(shù)的電磁配置衛(wèi)星模型,用于衍射成像任務(wù)。李群SE(3)是對偶四元數(shù)的齊次變換形式,但是基于對偶四元數(shù)的姿軌動力學模型能夠給出更簡潔的狀態(tài)空間形式,從而降低控制器設(shè)計難度。

航天器姿軌一體化控制通常選取自適應控制、反步法控制、變結(jié)構(gòu)控制等方法進行設(shè)計[21]。由于姿軌一體模型具備強耦合、強非線性的特點,相應的控制方法復雜程度高、設(shè)計難度大。模型預測控制(Model predictive control,MPC)作為一種能夠同時處理約束滿足、優(yōu)化指標、魯棒性及模型適應性的先進控制綜合技術(shù),已經(jīng)逐步在航天領(lǐng)域中得到應用。當今MPC在航天領(lǐng)域的應用主要體現(xiàn)在航天器交會機動控制和姿態(tài)控制中,在基于姿軌耦合動力學模型的位姿控制研究中較少。文獻[22]針對六自由度的近距離機動過程,設(shè)計了基于序列凸優(yōu)化的滾動時域制導與控制策略。文獻[23]以火星登陸為背景,設(shè)計了在若干火星著陸的關(guān)鍵約束條件下的模型預測控制方法。

一般來說,航天器設(shè)計采用冗余配置的硬件設(shè)施提高系統(tǒng)的可靠性,但是這種措施只能在一定程度上以空間體積為代價換取系統(tǒng)可靠性。為進一步提高系統(tǒng)的可靠性和適用性,在對系統(tǒng)進行控制器設(shè)計時考慮系統(tǒng)潛在故障,使控制器具備一定容錯能力十分必要。本文研究的主要動機在于試圖將MPC與容錯控制相結(jié)合,設(shè)計一種針對航天器姿軌一體控制系統(tǒng)的模型預測容錯控制方法。常規(guī)MPC在航天領(lǐng)域的研究大多用于根據(jù)不同場景約束設(shè)計相應的優(yōu)化算法,解決控制或路徑規(guī)劃問題。相比于文獻[23]所使用的常規(guī)MPC控制策略,顯式模型預測控制方法對常規(guī)MPC進行了一定改進,能夠?qū)?yōu)化求解的在線計算放到離線進行,在線實施時只需查詢狀態(tài)量和控制量對應的仿射關(guān)系即可得出對應的控制量,能夠降低計算量,更適用于在線過程[24]。現(xiàn)有研究中對于具備容錯性能的MPC研究較少,文獻[25]針對執(zhí)行機構(gòu)存在部分故障的線性系統(tǒng),提出了一種基于閉環(huán)辨識的模型預測容錯控制方法。文獻[26]以吸氣式高超音速飛行器為控制對象,當執(zhí)行機構(gòu)發(fā)生故障時,根據(jù)故障對參考控制指令進行二次重構(gòu),提出了一種基于模型預測控制策略的容錯控制方法。上述研究中,對系統(tǒng)故障的處理均基于優(yōu)化思想對執(zhí)行機構(gòu)的輸出能力進行估計,受此啟發(fā),本文將引入MPC算法過程機制衍生出的一種先進狀態(tài)估計方法——滾動時域估計(Moving horizon estimation,MHE)方法處理容錯控制問題,該方法能夠方便地處理系統(tǒng)的非線性特性,能夠利用時域約束及測量信息進行在線估計。針對MHE的相關(guān)研究并不多見,文獻[27]基于滾動時域估計理論和隨機最小二乘理論,提出了一種分布式滾動時域估計算法,研究了數(shù)據(jù)傳輸丟失情況下的參數(shù)不確定無人機系統(tǒng)狀態(tài)估計問題。當在軌服務(wù)航天器執(zhí)行機構(gòu)發(fā)生故障時,需要引入準確的系統(tǒng)模型才能解算使系統(tǒng)穩(wěn)定的控制信號,此時需要引入一種基于在線數(shù)據(jù)的參數(shù)估計方法,提取系統(tǒng)發(fā)生故障后的模型參數(shù),為MPC盡可能減少模型參數(shù)突變的影響,從而賦予MPC容錯能力。與現(xiàn)有研究成果相比,本文的創(chuàng)新性可以總結(jié)為:針對航天器姿軌一體化控制問題,提出了一種基于姿軌一體化的顯式模型預測控制策略,此外,將滾動時域估計方法與該模型預測控制方法相結(jié)合,提出了一種模型預測容錯控制策略,共同實現(xiàn)執(zhí)行機構(gòu)輸出效能退化情況下的航天器姿軌一體化容錯控制。

綜上所述,為了實現(xiàn)可靠穩(wěn)定的衛(wèi)星姿軌一體化容錯控制,本文將利用MHE方法對執(zhí)行機構(gòu)的輸出能力進行估計,同時與MPC相結(jié)合,從而實現(xiàn)模型預測容錯控制策略。該方法能夠在系統(tǒng)發(fā)生執(zhí)行機構(gòu)退化失效故障時迅速估計執(zhí)行機構(gòu)的輸出能力,并在故障工況下完成對期望狀態(tài)的跟蹤,有效提高了衛(wèi)星姿軌控制系統(tǒng)的實時性和可靠性。最后通過數(shù)值仿真驗證了所提出控制方法的有效性,并通過與另一研究中的容錯控制方法進行對照,體現(xiàn)了本文所提出方法的優(yōu)越性。

1 相對姿軌一體化模型

1.1 坐標系定義及對偶四元數(shù)

首先定義相關(guān)坐標系,如圖1所示。定義地心慣性坐標系O-XIYIZI的原點為地心,OXI軸在赤道平面內(nèi),方向由原點指向春分點,OZI軸垂直于地球赤道平面且與地球自轉(zhuǎn)角速度矢量方向相同,OYI軸方向由右手法則確定。定義目標衛(wèi)星本體坐標系O-XTYTZT的原點為目標航天器質(zhì)心OT,三個坐標軸方向分別與航天器的慣量主軸重合。服務(wù)衛(wèi)星本體坐標系O-XSYSZS定義與目標衛(wèi)星一致。

圖1 坐標系定義示意圖

根據(jù)Chasles定理[28],剛體的運動可看作不經(jīng)過原點的軸旋轉(zhuǎn)并沿著該軸平移的合成螺旋運動。基于該螺旋運動的運動參數(shù),由元素為對偶數(shù)的四元數(shù)表示,也可看作是元素為四元數(shù)的對偶數(shù)。具體描述為:

(1)

式中:qr,qd分別為對偶四元數(shù)的實部和對偶部。ε為對偶單位。

對偶四元數(shù)的運算法則與四元數(shù)類似,對于四元數(shù)運算法則和對偶四元數(shù)性質(zhì)的詳細介紹可參考文獻[15]。本文關(guān)于所運用到的對偶四元數(shù)運算及相關(guān)定義如下:

四元數(shù):

(2)

式中:θ為歐拉角;n為歐拉軸單位矢量。

矢量a=[a1,a2,a3]T的叉乘算子:

(3)

對偶四元數(shù)加法:

(4)

對偶四元數(shù)乘法:

(5)

式中:“° ”為四元數(shù)乘法運算,對偶四元數(shù)乘法的矩陣描述形式為:

(6)

式中:“[°]”表示為對應的乘法矩陣描述。

對偶四元數(shù)叉乘:

(7)

其矩陣描述形式由四元數(shù)叉乘運算得出,表示為:

(8)

對偶四元數(shù)的共軛:

(9)

對偶四元數(shù)的范數(shù):

(10)

(11)

1.2 基于對偶四元數(shù)的姿軌一體化動力學

基于對偶四元數(shù)的誤差運動學方程為:

(12)

基于對偶四元數(shù)的誤差動力學模型方程為:

(13)

(14)

式中:m為質(zhì)量,J為轉(zhuǎn)動慣量。

為在該動力學模型中描述執(zhí)行機構(gòu)退化效能下降的故障,將控制輸入對系統(tǒng)的對偶合力擴展為以下形式:

(15)

2 控制器設(shè)計

2.1 顯式模型預測控制方法設(shè)計

為便于模型預測控制器設(shè)計,將基于對偶四元數(shù)的誤差動力學與運動學整理成狀態(tài)空間的形式。同時為了處理動力學中的冗余維度,可將該動力學系統(tǒng)狀態(tài)空間形式記為

(16)

式中:

(17)

其中A(x)和B包含的矩陣運算算子為

(18)

采用前向歐拉法將該連續(xù)時變系統(tǒng)進行離散化,記為

x(k+1)=(A(x(k))·δt+I)x(k)+

(19)

基于式(19),可以遞推出在k時刻下,預測時域為p的狀態(tài)序列,記為

(20)

為方便后續(xù)優(yōu)化過程描述,定義如下的狀態(tài)序列和控制序列:

(21)

基于狀態(tài)序列的預測方程為:

Xk=Ψx(k)+ΘUk

(22)

式中:

(23)

定義需跟蹤的參考狀態(tài)軌跡為:

Rk=[rT(k+1),…,rT(k+p)]T

(24)

此時,對于狀態(tài)和控制量的代價函數(shù)可設(shè)計為:

(25)

(26)

式中:Ξ?R14,υ?Rm+l,Ξf∈Ξ為狀態(tài)容許集,控制約束集和終端約束集。上標*指代價函數(shù)最優(yōu)時對應的參數(shù)值。通過求解該優(yōu)化問題即可得到該顯式模型預測控制策略的控制序列。

2.2 基于滾動時域估計的模型預測容錯控制方法

基于式(16)的帶有故障信息的系統(tǒng)模型可簡寫為:

(27)

對于衛(wèi)星執(zhí)行機構(gòu)的故障在線辨識過程,需要由故障系統(tǒng)的歷史狀態(tài)數(shù)據(jù)和控制序列進行估計。本文通過引入滾動時域估計方法,采用系統(tǒng)測量的固定窗口的歷史狀態(tài)對控制量進行求解。將該固定窗口定義為估計時域NI。滾動時域估計方法通過優(yōu)化求解如下辨識代價函數(shù)求解執(zhí)行機構(gòu)的故障系數(shù):

(28)

式中:S為正定的對稱矩陣,Υk為估計時域內(nèi)的歷史狀態(tài)量和控制序列。

Υk={x(k-n),u(k-n)n=1,2,…,NI}

(29)

相似地,執(zhí)行機構(gòu)的故障系數(shù)序列可定義為:

(30)

該滾動時域估計器對于執(zhí)行機構(gòu)故障系數(shù)的估計可化為如下優(yōu)化問題的求解:

(31)

圖2 模型預測容錯控制流程圖

3 仿真校驗

表1 仿真參數(shù)與初值

本文算例中服務(wù)星的執(zhí)行配置選擇了推力器和反作用飛輪的組合形式。服務(wù)星總計安裝了4個可提供雙向輸出的推力器對及4個反作用力飛輪。

推力器和反作用飛輪的最大輸出值分別為1 N和0.2 N·m。推力器和反作用飛輪的配置結(jié)構(gòu)如圖3所示:

圖3 執(zhí)行機構(gòu)配置示意圖

基于這種配置,服務(wù)星的對偶控制分配矩陣為:

模型預測控制器參數(shù)為

表2 故障工況下兩種不同控制器對比

圖4 故障情況示意圖

圖5 執(zhí)行機構(gòu)故障時狀態(tài)響應及控制輸出響應

圖6 MHE故障估計性能曲線

需要說明的是,估計器在故障估計時產(chǎn)生了抖振,這是因為在模型預測控制器的作用下,所解算的力或力矩輸出與上一時刻的控制輸出方向相反且差值較大,表現(xiàn)為系統(tǒng)狀態(tài)運行到狀態(tài)拐點處。抖振后的估計系數(shù)仍能夠快速收斂至準確的故障系數(shù)值。仿真表明,雖然受執(zhí)行機構(gòu)故障影響,系統(tǒng)收斂速度較執(zhí)行機構(gòu)完全正常時變慢,但是仍能保證收斂性能?？偨Y(jié)來說,仿真結(jié)果證明了本文提出的算法具備執(zhí)行機構(gòu)故障時的容錯能力,能夠?qū)崿F(xiàn)誤差的快速收斂。

4 結(jié) 論

本文面向衛(wèi)星在軌服務(wù),基于對偶四元數(shù)框架下的姿軌一體化模型進行了模型預測容錯控制方法研究。通過引入滾動時域估計器在線估計執(zhí)行機構(gòu)發(fā)生效率減退時的故障系數(shù),設(shè)計了一種模型預測容錯控制方法。最終通過數(shù)學仿真,驗證了該控制方法在執(zhí)行機構(gòu)正常和故障兩種工況下對衛(wèi)星位置和姿態(tài)的跟蹤控制能力,證明了所提出方法的有效性。