時(shí)變系統(tǒng)基于KDE的剩余壽命預(yù)測(cè)研究

張衛(wèi)貞,石 慧,石冠男,吳 斌

(太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院,太原 030024)

近年來,隨著機(jī)械系統(tǒng)不斷向復(fù)雜化、大型化方向發(fā)展,對(duì)系統(tǒng)安全系數(shù)的要求也越來越高,系統(tǒng)的突然故障,可能導(dǎo)致其運(yùn)行停止,甚至危及人身或財(cái)產(chǎn)安全[1]。因此,在工業(yè)大數(shù)據(jù)背景下,對(duì)系統(tǒng)健康狀態(tài)進(jìn)行有效監(jiān)測(cè)、評(píng)估并準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)其剩余壽命具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義[2]。

現(xiàn)有的剩余壽命(RUL,Remaining Useful Life)預(yù)測(cè)方法主要有:物理模型、基于專家知識(shí)的模型和基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的預(yù)測(cè)模型等[3]。對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng),物理模型的建立往往十分困難[4],專家知識(shí)也不夠齊備[5],因此,數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法在實(shí)際中應(yīng)用較多。Yan M等[6]利用支持向量機(jī)建立剩余壽命預(yù)測(cè)中的退化模型。Liu Q等[7]將部件的退化過程建模為離散的半馬爾科夫過程。Si[8]對(duì)近年來基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的預(yù)測(cè)模型進(jìn)行了綜述。但這些基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的預(yù)測(cè)方法,在進(jìn)行預(yù)測(cè)模型假設(shè)與參數(shù)估計(jì)時(shí),往往與實(shí)際存在較大誤差[9]。

另外,實(shí)際運(yùn)行中機(jī)械系統(tǒng)的參數(shù)隨時(shí)間不斷演化。Bian等[10]將時(shí)變運(yùn)行條件描述為均勻的馬爾科夫鏈,并通過建立線性維納過程分析其對(duì)退化過程的影響。Zheng Zhou等[11]將剩余壽命預(yù)測(cè)化為時(shí)變軌跡建模問題,并提出了一種動(dòng)態(tài)控制網(wǎng)絡(luò)來識(shí)別壽命觀測(cè)序列中RUL軌跡的方法。Junqi Long等[12]提出了一種隨機(jī)混合系統(tǒng)方法,但隨著工況狀態(tài)數(shù)的增加,預(yù)測(cè)精度會(huì)不斷降低。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在訓(xùn)練過程需要大量高質(zhì)量觀測(cè)數(shù)據(jù),但實(shí)際中卻無法或較難獲得,以及人工智能技術(shù)的“黑匣子”特性,使得智能學(xué)習(xí)方法透明度低。

核密度估計(jì)(KDE,Kernel density estimation),對(duì)數(shù)據(jù)分布的形式不作任何假定,從數(shù)據(jù)本身出發(fā)研究數(shù)據(jù)分布的特征[13]。Xu J等[14]利用KDE對(duì)實(shí)時(shí)壽命預(yù)測(cè)時(shí)參數(shù)的先驗(yàn)分布進(jìn)行估計(jì)。Wang J[15]利用KDE對(duì)氣缸故障時(shí)循環(huán)次數(shù)服從的概率密度進(jìn)行估計(jì)。Zhang W等[16]基于時(shí)不變系統(tǒng)考慮了突變點(diǎn)檢測(cè)的KDE剩余壽命預(yù)測(cè)。

針對(duì)以上問題,本文以疲勞齒輪為研究對(duì)象,采用時(shí)變系統(tǒng)基于KDE的剩余壽命預(yù)測(cè)方法,最終進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證。

1 退化量分布的時(shí)變KDE

1.1 退化增量分布的時(shí)變KDE

根據(jù)時(shí)變系統(tǒng)中退化特征增量分布隨時(shí)間變化而變化的特點(diǎn),考慮引入時(shí)變權(quán)重的概念,分析樣本時(shí)序性對(duì)KDE的影響,進(jìn)而對(duì)剩余壽命預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性的影響。具體來說,隨著時(shí)間的推移,距離當(dāng)前時(shí)刻越近的樣本點(diǎn),越能反映當(dāng)前退化系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài);反之,距離當(dāng)前時(shí)刻越遠(yuǎn)的樣本點(diǎn),則對(duì)當(dāng)前運(yùn)行狀態(tài)的影響越小。為了考慮時(shí)變權(quán)重的影響,在傳統(tǒng)KDE模型的基礎(chǔ)上引入時(shí)變權(quán)重因子,則t時(shí)刻的時(shí)變權(quán)重KDE可表示為:

(1)

式(1)中,T′為當(dāng)前監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的壽命;K為核函數(shù),由于核函數(shù)對(duì)密度之間平均積分均方誤差(MISE,Mean Integrated Squared Error)的影響非常小,選擇應(yīng)用最為廣泛的高斯核;wt,i為時(shí)變權(quán)重因子,根據(jù)歷史樣本ΔXi(i=1,2,…,t)與當(dāng)前樣本ΔXi間隔越大,對(duì)當(dāng)前分布影響越小的規(guī)律,定義wt,i為:

wt,i=(1-ω)ωt-i,i=1,2,…,t

(2)

式(2)中,ω為遺忘因子,滿足0≤ω<1,通過已知樣本時(shí)變KDE的極大似然估計(jì)求得。

h為平滑窗寬,為避免實(shí)際采集的樣本密度不均時(shí)固定平滑窗寬造成的過擬合或欠擬合問題,在初始h的基礎(chǔ)上,根據(jù)樣本密度引入局部窗寬因子,得到自適應(yīng)窗寬:

(3)

因此,可進(jìn)一步建立基于自適應(yīng)窗寬的時(shí)變權(quán)重KDE模型:

(4)

1.2 實(shí)時(shí)遞推更新

(5)

1.3 退化增量預(yù)測(cè)

由于時(shí)變系統(tǒng)中樣本數(shù)據(jù)具有時(shí)序性,即距離當(dāng)前越近的樣本越能反映系統(tǒng)當(dāng)前的運(yùn)行狀態(tài),因此,本文利用指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均(EWMA,Exponentially Weighted Moving Average)法對(duì)退化增量樣本進(jìn)行預(yù)測(cè)。

設(shè)t為當(dāng)前時(shí)刻,則t時(shí)刻隨機(jī)時(shí)間序列ΔXt的預(yù)測(cè)模型可表示成:

(6)

(7)

式(7)中,β為衰減因子(decay factor),滿足0≤β<1[17].

在實(shí)際運(yùn)行系統(tǒng)中,設(shè)t(t=1,2,…,T′)為當(dāng)前時(shí)刻,則該時(shí)刻時(shí)間序列ΔXt的預(yù)測(cè)模型可表示為:

(8)

這樣t之后任意時(shí)刻退化增量的預(yù)測(cè)值,都可根據(jù)歷史樣本的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型求得。

1.4 退化量分布的時(shí)變KDE

(9)

隨著實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)過程中退化量的不斷變化,為減少重復(fù)計(jì)算,式(9)可以表示成遞推的形式以提升時(shí)變KDE的計(jì)算效率:

(10)

2 實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)模型

設(shè)當(dāng)前壽命預(yù)測(cè)的機(jī)械系統(tǒng)其退化特征曲線示意圖如圖1所示。其中,設(shè)t為當(dāng)前時(shí)刻,xth為失效閾值。

圖1 退化特征曲線示意圖Fig.1 Degraded characteristic curve diagram

設(shè)T為監(jiān)測(cè)系統(tǒng)在當(dāng)前時(shí)刻t的剩余壽命,則時(shí)變系統(tǒng)基于核密度估計(jì)的剩余壽命的概率分布Ft(T)為:

(11)

(12)

(13)

同理,監(jiān)測(cè)系統(tǒng)實(shí)時(shí)運(yùn)行中t時(shí)刻之后任意時(shí)刻的剩余壽命均可實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)。

3 實(shí)例分析

試驗(yàn)數(shù)據(jù)采用圖2所示的齒輪疲勞壽命試驗(yàn)臺(tái)。其中齒輪箱中心距為150 mm,電機(jī)轉(zhuǎn)速為1 200 r/min.試驗(yàn)對(duì)齒輪箱體的振動(dòng)、噪聲等信號(hào)進(jìn)行監(jiān)測(cè),共布置8 個(gè)加速度傳感器,其中,1#～4#位于主試箱軸承座徑向,5#、6#位于陪試箱軸承座徑向,7#、8#位于主試箱軸向,如圖3、圖4所示。試驗(yàn)恒載的方式進(jìn)行,轉(zhuǎn)矩為822.7 N.M.當(dāng)試驗(yàn)齒輪發(fā)生斷齒時(shí)即判定該齒輪失效。

圖2 齒輪試驗(yàn)臺(tái)架Fig.2 Gear test bench

圖3 主試箱傳感器位置圖Fig.3 Sensors placement scheme of the main gearbox

圖4 陪試箱加速度傳感器位置圖Fig.4 Sensors placement scheme of the accompany gearbox

由于均方根(RMS,Root Mean Square)在試驗(yàn)齒輪磨損退化過程中不受其個(gè)體差異的影響,不但能真實(shí)準(zhǔn)確地反映齒輪的性能變化,而且易于計(jì)算。這里對(duì)4#的全部振動(dòng)信號(hào)(2016組)進(jìn)行特征提取。

監(jiān)測(cè)信號(hào)的均方根可表示為:

(14)

式(14)中,Δt為采樣時(shí)間,n為采樣點(diǎn)數(shù),滿足n=Fs×Δt(Fs為采樣頻率),將采樣點(diǎn)數(shù)換算為監(jiān)測(cè)時(shí)間,則可得到均方根曲線圖,如圖5所示。

圖5 RMS-MT變化曲線圖Fig.5 RMS-MT change curve

由圖5可看出,該變化曲線圖為齒輪全生命周期曲線圖。10 h之前齒輪處于嚙合階段;t∈[10,68]h時(shí),齒輪正常磨損;68 h之后,磨損加劇,直至齒輪斷齒失效。下面利用齒輪磨損試驗(yàn)樣本數(shù)據(jù),驗(yàn)證本文模型的合理性和有效性。

3.1 退化特征增量預(yù)測(cè)

由于時(shí)變系統(tǒng)中的參數(shù)隨時(shí)間不斷演化,因此要對(duì)剩余壽命進(jìn)行較準(zhǔn)確地估計(jì),對(duì)未知的退化增量進(jìn)行預(yù)測(cè)是必要的。圖6為不同監(jiān)測(cè)時(shí)刻,由EWMA法預(yù)測(cè)的退化增量值求得的均方根退化曲線圖。

圖6 不同時(shí)刻預(yù)測(cè)的退化曲線Fig.6 Degradation curves predicted at different times

由圖6可看出,不同運(yùn)行時(shí)間的均方根退化曲線預(yù)測(cè)圖均有所差別。具體來說,在運(yùn)行時(shí)間較短的時(shí)候,均方根預(yù)測(cè)曲線圖與實(shí)際曲線圖之間的誤差較大。隨著運(yùn)行時(shí)間的持續(xù)增加,樣本數(shù)據(jù)不斷增多,均方根預(yù)測(cè)曲線圖與實(shí)際退化曲線圖之間的誤差逐漸減小,直至接近實(shí)際的均方根退化曲線。從不同運(yùn)行時(shí)間的均方根退化曲線,可以驗(yàn)證基于EWMA法預(yù)測(cè)退化增量值的適應(yīng)性和有效性。

3.2 基于固定窗寬與自適應(yīng)窗寬的MTTF比較

由于實(shí)際采集的樣本數(shù)據(jù)密度分布不均,為提高剩余壽命預(yù)測(cè)中退化分布的準(zhǔn)確性,根據(jù)實(shí)際采集到的樣本數(shù)據(jù)分布自適應(yīng)選擇平滑窗寬,即樣本數(shù)據(jù)分布密集的地方自適應(yīng)選擇較小窗寬,避免過擬合造成的密度估計(jì)不準(zhǔn)確;反之,樣本數(shù)據(jù)分布稀疏的地方自適應(yīng)選擇較大窗寬,避免欠擬合造成的密度估計(jì)不準(zhǔn)確問題。

表1給出了不同運(yùn)行時(shí)間兩種窗寬下基于本文模型預(yù)測(cè)的剩余壽命概率密度的平均故障時(shí)間(MTTF,Mean Time To Failure)比較結(jié)果:

表1 兩種方法的預(yù)測(cè)結(jié)果比較Tab.1 Comparison of prediction results of two methods

(15)

從表1的比較可看出,隨著運(yùn)行時(shí)間的增加,兩種窗寬下預(yù)測(cè)的MTTF與實(shí)際剩余壽命之間的誤差均逐漸減小,且從計(jì)算的誤差結(jié)果顯示,基于自適應(yīng)窗寬方法的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際剩余壽命之間的誤差更小。

3.3 基于KDE的剩余壽命概率密度比較

圖7給出了時(shí)變系統(tǒng)不同運(yùn)行時(shí)間基于本文模型的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果。

圖7 不同監(jiān)測(cè)時(shí)刻RUL的概率密度Fig.7 Probability density of RUL at different monitoring times

通過圖7中不同運(yùn)行時(shí)間預(yù)測(cè)的平均剩余壽命與實(shí)際剩余壽命的比較可以看出,隨著運(yùn)行時(shí)間的持續(xù)增加,預(yù)測(cè)的平均剩余壽命與實(shí)際剩余壽命之間的誤差逐漸減小,同時(shí),預(yù)測(cè)的剩余壽命概率密度曲線不斷變窄,說明方差逐漸減小,從而驗(yàn)證了本文模型的有效性。

3.4 本文方法與基于Kalman濾波預(yù)測(cè)結(jié)果的比較

由于Kalman濾波從統(tǒng)計(jì)角度預(yù)測(cè)實(shí)時(shí)剩余壽命,預(yù)測(cè)結(jié)果優(yōu)于當(dāng)前許多壽命預(yù)測(cè)方法。因此,為進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的合理性,與基于Kalman濾波狀態(tài)空間模型方法的預(yù)測(cè)結(jié)果[18]進(jìn)行了比較,結(jié)果如表2所示。

表2 兩種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果比較Tab.2 Comparison of prediction results of the two models

從表2可以看出,與基于Kalman濾波的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果相比,本文方法不同時(shí)刻的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際剩余壽命之間的相對(duì)誤差更小,說明本文方法的預(yù)測(cè)性能更優(yōu)。

4 結(jié)論

實(shí)際運(yùn)行的系統(tǒng)往往都是時(shí)變系統(tǒng),本文以時(shí)變系統(tǒng)為研究對(duì)象,針對(duì)實(shí)際運(yùn)行中自身樣本數(shù)據(jù)不夠,同類系統(tǒng)故障樣本數(shù)據(jù)缺少導(dǎo)致的剩余壽命預(yù)測(cè)時(shí)模型結(jié)構(gòu)假設(shè)不夠準(zhǔn)確的問題,提出了一種基于KDE的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)模型。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)與當(dāng)前時(shí)刻的距離不同,分別在樣本數(shù)據(jù)的核密度估計(jì)過程中賦予不同的權(quán)重。具體來說,距離當(dāng)前時(shí)刻越近的樣本賦予越大的權(quán)重;距離當(dāng)前時(shí)刻越遠(yuǎn)的樣本則賦予越小的權(quán)重。同時(shí),由于時(shí)變系統(tǒng)中的參數(shù)隨時(shí)間不斷演化,根據(jù)樣本的時(shí)序性利用EWMA法對(duì)其未來的樣本進(jìn)行預(yù)測(cè)。另外,由于實(shí)時(shí)運(yùn)行過程中,樣本數(shù)據(jù)不斷增多,建立時(shí)變系統(tǒng)基于KDE的遞推更新模型,減少密度估計(jì)中不必要的重復(fù)計(jì)算。最后,通過實(shí)際齒輪箱體監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了本文方法的有效性和競(jìng)爭(zhēng)性。