不同溫度下含裂紋壓氣機(jī)葉片的模態(tài)特征和振動(dòng)特性分析

周震霆，賀 星，劉永葆

(海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院, 湖北 武漢 430033)

0 引 言

壓氣機(jī)葉片是燃?xì)廨啓C(jī)運(yùn)行過程中完成能量轉(zhuǎn)換的基本單元，也是燃?xì)廨啓C(jī)關(guān)鍵部件中出現(xiàn)故障的最典型部件之一。裂紋是壓氣機(jī)葉片出現(xiàn)故障的常見形式之一，裂紋的存在將會(huì)改變?nèi)~片的模態(tài)特征和振動(dòng)特性。燃?xì)廨啓C(jī)壓氣機(jī)葉片工作環(huán)境惡劣，承受著離心載荷和氣動(dòng)載荷等復(fù)雜載荷的影響，特別是高壓壓氣機(jī)，隨著壓比的升高，高壓壓氣機(jī)周圍氣流的溫度也不斷升高，同時(shí)燃燒室通過傳熱等方式也會(huì)導(dǎo)致高壓壓氣機(jī)溫度升高。在高溫的影響下，壓氣機(jī)葉片的材料和力學(xué)性能會(huì)發(fā)生變化，也會(huì)對(duì)壓氣機(jī)葉片的模態(tài)和振動(dòng)特性產(chǎn)生影響。

壓氣機(jī)葉片可被看作懸臂梁，通過裂紋懸臂梁模型模擬含裂紋的壓氣機(jī)葉片。對(duì)于含裂紋梁的模態(tài)特征和振動(dòng)特性，20 世紀(jì)便有人開始進(jìn)行了研究，并發(fā)展至今[1-9]，可見研究含裂紋梁的模態(tài)特征和振動(dòng)特性具有實(shí)際的工程意義。分析裂紋深度、裂紋位置、結(jié)構(gòu)阻尼、剛度等因素對(duì)梁的模態(tài)特征和振動(dòng)特性的影響，卻很少考慮溫度的影響[10-12]。然而在實(shí)際過程中，空氣流過各級(jí)葉片時(shí)，由于受到壓縮，壓力和溫度會(huì)逐級(jí)升高，位于后面級(jí)的壓氣機(jī)，溫度產(chǎn)生的影響很難忽略，尤其是在迫切渴求實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)和在線診斷的今天。若想在燃?xì)廨啓C(jī)工作過程中得到壓氣機(jī)葉片的狀態(tài)信息，其所處工況的環(huán)境溫度應(yīng)考慮在內(nèi)。

本文通過含裂紋懸臂梁模型模擬含裂紋的壓氣機(jī)葉片，采用無質(zhì)量扭轉(zhuǎn)彈簧等效代替裂紋。通過彈性模量引入溫度模塊，推導(dǎo)出不同溫度下含裂紋懸臂梁的模態(tài)特征方程，并通過梁的受迫彎曲振動(dòng)方程，得到溫度影響下梁的振動(dòng)特性曲線。

1 模型建立和模態(tài)分析

1.1 含裂紋懸臂梁模型建立

如圖1(a) 所示，建立一段長為L，寬為b，高為h的等截面矩形懸臂梁模擬裂紋葉片，并忽略裂紋尺寸隨溫度的變化。在該懸臂梁表面有一條深度為a的裂紋，該裂紋距離固定端的距離為R。

圖1 含裂紋葉片等效模型Fig. 1 xxxx

圖2 含裂紋懸臂梁模型Fig. 2 xxxx

如圖1（b）所示，該含裂紋懸臂梁可以等效成由1 條無質(zhì)量扭轉(zhuǎn)彈簧連接的2 段無損彈性梁。對(duì)于該懸臂梁的彎曲振動(dòng)，只考慮等效彈簧的剛度KT,該裂紋等效剛度的表達(dá)式為：

式中：L為懸臂梁的長度，η=l/L為裂紋的相對(duì)位置，ν為泊松比，ET為不同溫度下的彈性模量；r=a/h為相對(duì)裂紋深度。通過文獻(xiàn)[13] 得到材料TC11 的彈性模量如表1 所示。

表1 TC11 不同溫度下的彈性模量Tab. 1 xxxx

1.2 模態(tài)分析

圖1 為各向同性的含裂紋等截面均質(zhì)懸臂梁，則梁的自由振動(dòng)微分方程為：

式中：ρ為材料密度，ET為彈性模量，I為截面慣性矩，y(x,t)為梁的撓度，A為梁的截面面積。

假定有分離變量解存在，令y(x,t)=Y(x)T(t)，代入式（1）分離變量t可得：

Y(x)表示位移，A1,B1,C1,D1表示裂紋左側(cè)梁與邊界條件有關(guān)的未知參數(shù)，A2,B2,C2,D2表示裂紋右側(cè)梁與邊界條件有關(guān)的未知參數(shù)。

懸臂梁的邊界條件為：

固定端（x=0）的撓度和撓角

自由端（x=l）的彎矩和剪力為0：

假設(shè)裂紋所在位置為x=R，將裂紋等效成無質(zhì)量扭轉(zhuǎn)彈簧，因此，裂紋處的連續(xù)條件為：

裂紋兩側(cè)撓度相等

裂紋兩側(cè)撓角變化關(guān)系：

裂紋兩側(cè)彎矩相等

裂紋兩側(cè)剪力相等

式中，KT為扭轉(zhuǎn)彈簧剛度。由梁的自由振動(dòng)方程解和梁的邊界條件及彈簧連續(xù)條件，可得：

其中，矩陣S表達(dá)式為：

根據(jù)式（7）可得到k值，進(jìn)而得到裂紋梁的固有頻率ωg，將得到的k值代入到位移方程中，可得到含裂紋梁的模態(tài)振型。

2 振動(dòng)特性分析

2.1 建立呼吸式裂紋梁彎曲振動(dòng)方程

在圖1（a）的基礎(chǔ)上，距懸臂梁固定端lp處引入大小為F的余弦激振力，激振頻率為ωJ。

忽略裂紋對(duì)懸臂梁振動(dòng)的影響，橫向力激勵(lì)下梁的受迫彎曲振動(dòng)方程為[14]：

式中：c為阻尼系數(shù)，p為橫向激勵(lì)力的幅值，lp為激勵(lì)力離固支端的距離，ωJ為外激勵(lì)頻率，δ為Dirac 函數(shù)，x為坐標(biāo)，t為時(shí)間。

利用假設(shè)的裂紋梁橫向固有振動(dòng)形式y(tǒng)(x,t)=Y(x)T(t)，根據(jù)懸臂梁的邊界條件，得到懸臂梁的振型函數(shù)為[15]：

將y(x,t)=Y(x)T(t)代入式（8）中，左右兩端同時(shí)乘U(x)，并在0～L上積分可得：

其中：

式中：m*為廣義質(zhì)量；c*為廣義阻尼；k*為無裂紋梁的廣義剛度，即無損梁剛度；F*為廣義力。其中k*用呼吸式裂紋剛度kbr替代，從而得到呼吸式裂紋梁的彎曲振動(dòng)方程。

對(duì)于呼吸式裂紋剛度kbr，劉文光等[14]提出：

其中：

式中，ko為張開式裂紋梁模型。當(dāng)ωt=2nπ (n=1,2,…)時(shí)，裂紋完全閉合，此時(shí)呼吸梁模型等效為閉合梁模型，即kbr=k*；當(dāng)ωt= (2n-1)π，(n=1,2,…)時(shí)，裂紋完全張開，此時(shí)呼吸梁模型等效為張開梁模型，即kbr=ko。

將式（10）的k*用式（16）中的呼吸式裂紋剛度kbr替代，從而得到呼吸式裂紋梁的彎曲振動(dòng)方程：

2.2 振動(dòng)特性分析

由式（13）可知，懸臂梁的廣義剛度與彈性模量具有一定的關(guān)系，因此可知呼吸式裂紋剛度與彈性模量也具有關(guān)系。溫度的變化通過對(duì)彈性模量的影響，導(dǎo)致呼吸式裂紋剛度發(fā)生變化，進(jìn)而會(huì)對(duì)梁的振動(dòng)位移響應(yīng)造成影響。通過對(duì)梁的振動(dòng)位移及其他振動(dòng)特性與溫度的變化之間的規(guī)律進(jìn)行分析，得出相關(guān)結(jié)論。

3 結(jié)果與討論

從圖1 所示懸臂梁為例模擬含裂紋葉片，假設(shè)葉片的幾何尺寸為：長度L= 0.09 m，寬度b= 0.055 m，高度h= 0.006 m；材料參數(shù)為：密度ρ= 4 480 kg.m-3，泊松比v= 0.33，阻尼比ξ= 0.05，彈性模量ET隨溫度發(fā)生變化。

3.1 環(huán)境溫度對(duì)裂紋梁模態(tài)特征的影響

結(jié)合假設(shè)的含裂紋葉片的幾何尺寸，取裂紋的相對(duì)位置為R/L= 1/9，相對(duì)深度為環(huán)境溫度的變化范圍為T∈{20℃ 100℃ 200℃ 300℃400℃ 500℃ 600℃ }。通過數(shù)值計(jì)算得到環(huán)境溫度和不同相對(duì)裂紋深度與含裂紋梁的第1 階固有頻率之間的關(guān)系如圖3 所示。

圖3 固有頻率對(duì)環(huán)境溫度變化曲線Fig. 3 xxxx

可以看出，在懸臂梁裂紋位置和深度一定的情況下，當(dāng)環(huán)境溫度不斷增大時(shí)，懸臂梁的固有頻率不斷減少。通過比較，可知懸臂梁在環(huán)境溫度為600℃下的固有頻率比在20℃下的降低70 Hz 左右，大約為懸臂梁固有頻率的12%左右。由此可見，環(huán)境溫度對(duì)懸臂梁固有頻率具有一定的影響。而當(dāng)溫度不變的情況下，梁的相對(duì)裂紋深度越大，固有頻率越低。同時(shí)也可以看出，當(dāng)梁的相對(duì)裂紋位置不變的情況下，環(huán)境溫度對(duì)梁的一階固有頻率的影響明顯比相對(duì)裂紋深度大。

3.2 環(huán)境溫度對(duì)裂紋梁振動(dòng)特性的影響

在假設(shè)的含裂紋葉片幾何尺寸以及材料參數(shù)基礎(chǔ)上，裂紋位置R= 0.01 m，裂紋深度為a= 0.000 5 m，引入外部簡諧激振力F=pcos(ωt)，其中激振力幅值為100 N，環(huán)境溫度的變化為T∈{20℃ 300℃ 600℃} ，使梁分別在400 Hz、固有頻率及4 000 Hz 下振動(dòng)，通過數(shù)值計(jì)算得到環(huán)境溫度與含裂紋梁的振動(dòng)特性之間的關(guān)系如圖4～圖6 所示。

圖4 400 Hz 頻率下振動(dòng)特性圖Fig. 4 xxxx

由圖4 和圖5 中的位移響應(yīng)圖可以看出，在選取的低頻和固有頻率作用下，溫度越高，梁的振動(dòng)幅值越大。這是因?yàn)殡S著溫度的升高，梁的剛度和阻尼會(huì)出現(xiàn)減小的情況，在相同激振力幅值的影響下，剛度和阻尼越小，梁的位移響應(yīng)越大。從圖4 和圖5 的相圖也可以看到相關(guān)現(xiàn)象，反應(yīng)出選取的呼吸式裂紋剛度所作用的效果。同時(shí)，從圖5（b）可以看到在共振情況下阻尼產(chǎn)生明顯的響應(yīng)滯后效應(yīng)。

圖5 固有頻率下振動(dòng)特性圖Fig. 5 xxxx

在選取的高頻作用下，為溫度越高，梁的振動(dòng)幅值越大，與低頻作用下的現(xiàn)象不同，如圖6 所示。隨著溫度的升高，梁的剛度和阻尼減小，梁的位移響應(yīng)增大。在相同階數(shù)彎曲頻率下，隨著溫度的升高，梁的固有頻率下降，且下降幅度較大。在每一階頻率附近都存在一個(gè)幅值峰，各階頻率構(gòu)成了連續(xù)的幅值峰。當(dāng)梁處于300℃和600℃時(shí)，4 000 Hz 可能位于該溫度下某一高階幅值峰的中段，而位于20℃下某一高階與臨近低階間的谷底。

圖6 4 000 Hz 下振動(dòng)特性圖Fig. 6 xxxx

4 結(jié) 語

本文通過含裂紋懸臂梁模擬含裂紋壓氣機(jī)葉片，選取無質(zhì)量扭轉(zhuǎn)彈簧模擬裂紋，并引入呼吸式裂紋剛度模擬裂紋振動(dòng)過程中的呼吸效應(yīng)。通過彈性模量引入溫度模塊，研究環(huán)境溫度對(duì)含裂紋壓氣機(jī)葉片的一階固有頻率和振動(dòng)響應(yīng)之間的關(guān)系，得出以下結(jié)論：

1）環(huán)境溫度對(duì)梁的一階固有頻率具有一定的影響，隨著環(huán)境溫度的升高，梁的一階固有頻率下降，而且下降的幅度較裂紋深度帶來的影響更大。

2）在低頻及固有頻率激振力作用下，隨著環(huán)境溫度的升高，梁的位移響應(yīng)越大，但在高頻激振力作用下，出現(xiàn)了不同的現(xiàn)象。這是所選激振頻率處于不同溫度下各階頻率的距離遠(yuǎn)近導(dǎo)致的。

由此可見，環(huán)境溫度對(duì)葉片的模態(tài)特征和振動(dòng)特性具有一定影響。若想在實(shí)際工作過程中實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)和在線診斷，應(yīng)選取合適的工作頻率，需要后續(xù)進(jìn)行研究得到。