2021年亞賽理論第一題“水錘效應”的解答

陳倉佚 吳 波 宋 峰

(1.成都天府第七中學 610218；2.南開大學物理科學學院 300071)

2021 年亞洲物理奧林匹克競賽理論第一題以水錘效應(或水擊現(xiàn)象)為背景求解不同情境下壓力管道中液體壓強和流速的變化，本文在參考答案的基礎上對該題進行詳細分析與解答。

第一部分：壓強變化和壓強波傳播

問題1.1

如圖1所示，壓強為P0的流體，在閥門出口突然受阻時，壓強突變?yōu)镻1=P0+ΔPs，并產生向上游(向左)傳播的壓強波，其傳播速度為c，振幅為ΔPs?？拷y門的流體單元速度從v0變?yōu)関1(v1≤0)，即速度的變化為Δv=v1-v0。取向右為x正方向。

在以速度c向左移動(沿x負方向)的參考系中，壓強波中流體的速度為c+v1。而壓強波前方迎面流入的流體速度為c+v0。壓強波中流體的密度為ρ1。根據質量守恒，由流體連續(xù)性方程可得

令密度變化Δρ≡ρ1-ρ0，則有

圖1 速度為c的壓強波(陰影部分)

在閥門關閉后極短的時間間隔τ內，對于在時間τ內流過的單位面積內流體質量微元Δm=ρ0(c+v0)τ，施加給它的沖量必須等于其動量變化。因此運用動量定理有

題目中給出壓強變化ΔPs與速度的改變量Δv的關系可表示為ΔPs=αρ0cΔv，因此可以得到系數(shù)

式(4)和(5)中的負號是因為壓強波的傳播方向與x軸正方向相反。此外還需注意，對于壓縮波(ΔPs＞0)，傳遞給流體單元的速度與波的傳播方向一致，而對于膨脹波(ΔPs＜0)則與波傳播方向相反。

聯(lián)立式(2)和(4)可得

根據題目中體積模量B的定義ΔP=，其中V0為流體微元在壓強下P0的體積，假設B為常數(shù)，可得

聯(lián)立式(6)和(7)可得

因此壓強波速度表示為

第一部分評述

第一部分為整個題目的基礎物理模型，要求定量分析均勻圓柱形管道中的水流在閥門突然全部關閉時流體壓強變化和壓強波的傳播速度。流速改變量已知時，對流體微元進行分析，運用動量定理可導出壓強變化量與波速、流速變化量的關系。根據連續(xù)性方程可求得流體密度變化量與波速、流速變化量的關系。最后根據壓強變化與體積變化的關系可以得出壓強波波速與流體體積模量、密度和穩(wěn)定流速之間的關系，從而求出題目中三個系數(shù)的表達式。代入水流的相關數(shù)據計算得閥門突然關閉時產生的水擊壓強可以達到大氣壓強的幾十倍。

第二部分：流量控制閥模型

問題2.1

假設流體不可壓縮，忽略重力影響，由理想流體的伯努利方程可得

其中Pin、Pa表示管道內流體壓強和大氣壓強，vin、vc表示管道內流體流速和閥門出口處流體流速。由流體體積不可壓縮有，根據收縮系數(shù)的定義代入可得

式(17)表明壓強改變量ΔPin是關于vin的二次函數(shù)。

第二部分評述

圖2 閥門尺寸和噴射口的收縮示意圖

本部分是對水擊壓強傳遞基礎模型的進一步研究，根據理想流體伯努利方程和連續(xù)性方程計算閥門噴射口外徑收縮至最小值時流體壓強的變化量[1]。該變化量與流體截面收縮系數(shù)、管道內流速有關；收縮系數(shù)則由閥門幾何尺寸(傾角和內外徑比值)決定。本部分結論將直接用于研究壓力管道內的水擊壓強傳播時在閥門附近的變化規(guī)律。

第三部分：流量控制閥快速關閉引起的水錘效應

問題3.1

儲液器底端靠近管道的液體壓強Ph=Pa+ρ0gh，根據流體伯努利方程可得：

上式中，h為儲液器液面相對于管道的高度。閥門外流體速度vc可根據自由落體運動表示為。再根據不可壓縮流體體積不變的特點可得出

完全打開閥門時Cc(r=R)=1.0，代入得流體流速為v0=vc=

因此有流體壓強

問題3.2

當閥門打開時，管道中的流體以速度v0和壓強P0穩(wěn)定流動。閥門突然關閉時，閥門附近的流體單元停止運動(v1=0)，壓強的變化量為ΔPs，速度的變化量則為Δv=v1-v0=-v0。由式(5)可得流體的壓強變化量

儲液器與管道連接位置的恒定液體靜壓強為Ph=P0+ρ0gh。當向左傳播的壓縮波(ΔPs＞0)到達儲液器端時，流體壓強下降，壓縮波將反射為膨脹波向右傳播。與靜壓強Ph相比，向左的壓縮波振幅為ΔP1r=P1-Ph，因此向右反射的膨脹波(ΔPs＜0)振幅為ΔP'1=-ΔP1r，

于是有

此處壓強波振幅可正可負，其中負振幅表示膨脹波。根據式(5)可知管道儲液器端流體的速度變化為(壓強波的傳播方向為x軸正方向)：

因此管道儲液器端的流體速度變?yōu)?/p>

在管道內反射膨脹波未傳播到的位置，流體速度和壓強未發(fā)生改變，速度仍然為v1=0，流體壓強仍為P1=P0+ΔPs，但反射膨脹波到達處的流體微元速度變?yōu)?/p>

也就是說管道中的流體正在向儲液器方向倒流。

第三部分評述

本部分內容與壓力管道中水錘效應導致的液體壓強和流速變化直接相關，分別討論了閥門完全打開和閥門立即完全關閉兩種情況下管道流體的壓強和速度。實際問題中，水錘效應發(fā)生最常見的原因就是流體管道閥門突然關閉。利用第一部分的結論可求解出壓強波到達儲液器端時管道內的流體壓強和速度。壓強波在向上游儲液器端傳播時壓強增大，又與管道中原定的流體流動方向相反，稱為增壓逆波。儲液器與管道連接位置的恒定液體靜壓強較低，因此壓強波在儲液器端發(fā)生反射后從壓縮波變?yōu)榕蛎洸ā８鶕瓷渑蛎洸ǖ奶攸c可解出管道在儲液器端的流體壓強和速度變化，再根據入射波與反射波的疊加(包括壓強和流體速度)可得反射波到達閥門時管道中的流體壓強和速度。本部分題目內容難度不高，需要提前掌握流體受擾動形成的壓強壓縮波和膨脹波的基本特點。

第四部分：流量控制閥緩慢關閉引起的水錘效應

問題4.1

本題目中，取儲液器底端流體靜壓強Ph與P0近似相等(Ph=P0+ρ0gh≈P0)，相當于把所有結果中h的值取為0。

(1)關閉步驟n=1

在閥門處，啟動關閉步驟n=1 后，流體壓強立刻從P0突變?yōu)镻1，使流速從v0變?yōu)関1。壓強和速度的變化關系由式(5)ΔPs=-ρ0cΔv給出：

在壓強波剛好被儲液器反射之前，整個管道中的流體壓強為P1，速度為v1。從被儲液器反射后(即成為壓強波的自由端)到關閉步驟n=2 前，將式(28)中h取為0，則整個管道中的流體壓強為

(2)關閉步驟n=2

啟動關閉步驟n=2 后，閥門壓強立刻從P0突變?yōu)镻2，流速從＇變?yōu)関2。壓強和速度的變化關系由式(5)和(33)可得：

代入式(31)可將上式改寫為

在壓強波剛好被儲液器反射之前，整個管道中的流體壓強為P2，速度為v2。從被儲液器反射后到關閉步驟n=3前，整個管道中的流體壓強為

(3)關閉步驟n=3

啟動關閉步驟n=3 后，閥門壓強立刻從P0突變?yōu)镻3，使流速從＇變?yōu)関3。壓強和速度的變化關系由式(5)和(37)可得：

利用式(34)，可以將上式改寫為

在壓強波剛好被儲液器反射之前，整個管道中的流體壓強為P3，速度為v3。從被儲液器反射后到關閉步驟n=4前，整個管道中的流體壓強為

(4)關閉步驟n=4

關閉步驟n=4啟動時，閥門被完全關閉，此時閥門變成一個固定端，因此流體速度從v3＇ 變?yōu)関4=0。壓強和速度的變化關系由式(5)和(41)可得：

代入式(38)可將上式改寫為

根據以上四個關閉步驟的結果可得所有閥門關閉步驟中壓強增量和速度變化量的關系式都有著相同的形式：

上式中ΔP0和v4的大小分別為ΔP0=0和v4=0。

根據第二部分中式(16)和(18)，可以得到ΔPn和vn的另一個關系式：

用Cn表示r=rn時的收縮系數(shù)Cc，則式(18)中的系數(shù)kn表示為

將式(45)代入式(44)，可以得到關于vn的二次方程：

利用一元二次方程求根公式求解方程(47)得：

由式(45)可知ΔPn-1是關于vn-1的二次函數(shù)。當vn-1已知時，可求出ΔPn-1。ΔPn-1和vn-1都已知的情況下，則可通過式(48)計算vn，最后ΔPn通過式(45)得出。因此，式(44)可以從n=1 迭代到n=3 進行求解。對于關閉步驟n=4 的情況，將vn=0 代入式(44)可直接得出ΔPn。

問題4.2

本題將根據問題4.1 的結果，選取流速為v0=4.0 m/s的水作為管道中的流體，通過繪制ΔP-ρ0cv圖像求解問題。為便于用圖像法求解式(44)和(45)，我們將這兩式改寫為：

在ΔP-ρ0cv曲線中，式(49)和(50)分別表示為一條過點(ρ0cvn-1，-ΔPn-1)且斜率為-1 的直線和一條過原點的拋物線。根據圖像我們可以通過確定兩條曲線的交點來獲得閥門每一個關閉步驟過程中對應的壓強變化和流速。所得結果如下圖3和表1所示。

第四部分評述

表1 閥門緩慢關閉過程中閥門處流體壓強增量和流速( ρ0c=1.50×106 kg·m-2·s-1 v0=4.0m s)

本部分描述的物理情境與實際生產生活中壓力管道內由水擊引發(fā)的壓強波傳播過程比較接近。將壓力管道閥門的關閉分為4 個過程，每個過程的持續(xù)時間與壓強波在管道中往返一次所需的時間相等。問題4.1 的解答過程看似繁瑣，實際上在將管道靠近儲液器一端的靜壓強近似為大氣壓強后，利用第三部分中壓強波到達儲液器端和反射回閥門端時流體壓強和速度的公式，即可導出閥門不同關閉過程中壓強增量和速度變化量的關系式；再利用第二部分中的管道內流體壓強增量與流速的關系式，可以得出連續(xù)兩次關閉過程中管道內流體流速、壓強增量的關系；代入初始流體壓強和流速即可迭代求解出任意閥門關閉過程中的流速和壓強增量。從結果可得，緩慢關閉閥門時水擊壓強增量比瞬間關閉閥門造成的水擊壓強增量小得多。問題4.2則可看作借助函數(shù)圖像進行求解方程的一個范例。

水擊壓強波的傳播速度很大，因此水擊循環(huán)一次所需的時間很短，所以管道受到迅速變化的一脹一縮的交變力的作用。但由于實際流體具有黏性，摩擦及管道變形均需要消耗能量，所以水擊波不可能無休止地傳播下去，而是逐漸衰減直至消失。實際上與水擊相關的理論研究較多，過程中涉及流體動力學理論模型建立以及計算方法，需要具備較好的數(shù)理能力[2]。

水錘效應的危害與防治

實際中壓力管道內的水擊遠比本題目中考慮的情況復雜。閥門的突然關閉或開啟，水泵的突然啟動或停止，水輪機或液壓油缸突然變化負載等都有可能引起管道中液體的運動狀態(tài)突然改變，從而導致壓強的突變，并在管長范圍內傳播，形成水錘效應。當閥門迅速關閉時，管內流速急劇下降，壓強迅速上升，稱為正水擊，可能使管道爆裂。而當閥門迅速開啟時，管內流速急劇上升，壓強迅速下降，稱為負水擊，可使管道產生真空和汽蝕，導致管道變形[3,4]。

由于對管路系統(tǒng)十分有害，因此工業(yè)應用中必須設法削弱它的作用，具體可采用以下幾方面的措施：

(1)延長閥門的關閥或開啟時間，或縮短管長，盡量將直接水擊變?yōu)殚g接水擊。

(2) 限制管路流速，一般液壓系統(tǒng)中最大流速限制在5～7 m/s左右。

(3)閥門前設置空氣室或溢流閥，水擊發(fā)生時，空氣室里的空氣受到壓縮，或在水擊發(fā)生時，將部分液體從管中放出，從而使水擊壓強降低。

(4)增加管道彈性，例如液壓系統(tǒng)中，銅管鋁管就比鋼管有更好的防水擊性能；或采用彈性較大的軟管，如橡膠或尼龍管吸收沖擊能量，則可更明顯地減輕水擊。