基于LMS-SPWVD的非平穩(wěn)振動(dòng)信號(hào)時(shí)頻分析方法

武 鵬,李占龍,李 虹 ,秦 園,王 瑤

(1.太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院,太原 030024;2.太原科技大學(xué) 車輛與交通工程學(xué)院,太原 030024)

時(shí)頻分析技術(shù)是一種研究非平穩(wěn)信號(hào)的主要方法之一[1],已經(jīng)被應(yīng)用到工程的各個(gè)領(lǐng)域,如工程機(jī)械[2]、軌道交通[3]、雷達(dá)和聲吶[4]等。傳統(tǒng)的時(shí)頻分析方法大致分為線性和非線性兩種。其中線性方法主要有快速傅里葉變換(FFT)、短時(shí)傅里葉變換(STFT)和小波變換(WT)[5-7],因受限于時(shí)間窗函數(shù),此類算法無(wú)法在時(shí)頻分辨率與時(shí)頻聚集性同時(shí)達(dá)到最優(yōu)。維格納威爾分布(WVD)是最常用的非線性時(shí)頻分析方法之一,然而,嚴(yán)重的交叉頻率干擾信號(hào)、信號(hào)頻率分量丟失阻礙了其發(fā)展。為了解決這些問題,偽維格納威爾分布(PWVD)、平滑偽維格納威爾分布(SPWVD)相繼被提出,雖然此類算法均有效抑制交叉頻率干擾信號(hào)并改善了時(shí)頻分辨率,但信號(hào)中心頻率能量發(fā)散、波形易受噪聲信號(hào)影響已成為此類算法在諸多應(yīng)用領(lǐng)域的主要缺點(diǎn)[8-10]。

針對(duì)傳統(tǒng)時(shí)頻分析方法的不足,許多有效的時(shí) 頻分析方法被提出。胡振邦等[11]提出了諧波小波變換與短時(shí)傅里葉變換相結(jié)合的方法,通過提取轉(zhuǎn)頻振動(dòng)信號(hào),采用短時(shí)傅里葉變換對(duì)其進(jìn)行分析,實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)幅值的精確測(cè)量。文獻(xiàn)[12]提出了最小均方短時(shí)傅里葉變換算法(LMS-STFT),提高了信號(hào)計(jì)算量、信噪比、收斂速度及穩(wěn)態(tài)誤差,具有較好的實(shí)際應(yīng)用意義。李志農(nóng)等[13]提出了經(jīng)驗(yàn)小波變換(EWT),改善了故障信號(hào)識(shí)別精度,但模態(tài)混疊及時(shí)頻聚集性需進(jìn)一步提高。張鳳萍等[14]提出將LMS-WVD算法應(yīng)用于引信信號(hào)分析中,改善了測(cè)距精度,但時(shí)頻分辨率較弱、中心頻率能量發(fā)散。

針對(duì)現(xiàn)有SPWVD、LMS-STFT、LMS-WVD等方法模態(tài)混疊嚴(yán)重、中心頻率能量發(fā)散、時(shí)頻分辨率與時(shí)頻聚集性無(wú)法同時(shí)兼得等問題,本文在SPWVD基礎(chǔ)上,引入LMS算法改善模態(tài)混疊、中心頻率能量發(fā)散及干擾信號(hào),提出了一種基于LMS與SPWVD相結(jié)合的非平穩(wěn)振動(dòng)信號(hào)時(shí)頻分析方法。首先通過LMS濾波算法對(duì)非平穩(wěn)含噪信號(hào)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行處理,獲取最優(yōu)信號(hào)時(shí)域波形;然后采用SPWVD對(duì)其進(jìn)行分析,構(gòu)建時(shí)頻分布模型;最后將分析結(jié)果與SPWVD、LMS-STFT、LMS-WVD比較,驗(yàn)證該方法的有效性。

1 基本理論

1.1 LMS

LMS算法因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算量小、穩(wěn)定性好的特點(diǎn),被廣泛用于信號(hào)處理、系統(tǒng)辨識(shí)及目標(biāo)跟蹤等領(lǐng)域[15-17]。

LMS算法的基本原理結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。其中x(n)為含噪輸入信號(hào),y(n)為濾波輸出信號(hào),d(n)為期望信號(hào),e(n)為期望信號(hào)與濾波信號(hào)之間的誤差。自適應(yīng)LMS算法通過e(n)調(diào)節(jié)濾波器權(quán)值矩陣系數(shù),使得濾波輸出信號(hào)y(n)接近期望信號(hào)d(n),達(dá)到最優(yōu)濾波效果。

圖1 最小均方誤差濾波算法基本原理結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Least mean square error filtering algorithm basic principle structure diagram

LMS算法步驟如下:

(1)獲取濾波輸出信號(hào):

y(n)=WT(n)x(n)

(1)

(2)獲取誤差信號(hào):

e(n)=d(n)-y(n)

(2)

(3)權(quán)值矩陣系數(shù)迭代更新:

W(n+1)=W(n)+2μe(n)x(n)

(3)

其中,μ為步長(zhǎng)因子;n為迭代序列;W(n)為濾波器權(quán)值矩陣;WT(n) 為W(n)的轉(zhuǎn)置;x(n)為含噪信號(hào);y(n)為濾波輸出信號(hào);e(n)為誤差信號(hào);W(n+1)為迭代更新權(quán)值矩陣。

1.2 SPWVD

平滑偽維格納威爾分布(SPWVD)針對(duì)傳統(tǒng)WVD交叉頻率干擾信號(hào)提出的一種優(yōu)化算法,能夠在一定程度上抑制交叉頻率干擾信號(hào),是分析非平穩(wěn)信號(hào)的重要工具。其數(shù)學(xué)模型為:

每次來(lái)送貨卡車時(shí)，登子一早守候在營(yíng)業(yè)部大門邊，小阿布硬是跟著來(lái)了。甲洛洛每次把小阿布帶在身邊，給他一些自己收藏給兒子們的糖果，有時(shí)也帶回家里，把剩菜剩飯熱一下，讓小阿布吃個(gè)飽。慢慢的，登子不到營(yíng)業(yè)部卸貨，小阿布也守在營(yíng)業(yè)部大門邊，只要看到甲洛洛出來(lái)，便歡叫著撲進(jìn)甲洛洛懷里：爺爺，我肚子餓！

(4)

其中,t為時(shí)域;ω為頻域;Z(t)為離散原始輸入含噪信號(hào);Z*(t)為離散原始復(fù)共軛含噪輸入信號(hào);時(shí)域變換窗為h(τ);g(ω)為頻域變換窗;τ/2為時(shí)移因子;e-jωτ為傅里葉變換因子。

2 LMS-SPWVD算法

LMS-SPWVD算法主要由LMS和SPWVD組成,該算法首先采用LMS濾波算法對(duì)含噪信號(hào)時(shí)域波形進(jìn)行濾波,獲取濾波信號(hào)時(shí)域波形。之后采用SPWVD對(duì)其進(jìn)行分析,構(gòu)建LMS-SPWVD算法時(shí)頻分布模型。

如圖2所示,LMS-SPWVD算法步驟如下:

圖2 LMS-SPWVD算法基本原理流程圖Fig.2 Flow chart of LMS-SPWVD algorithm

步驟(1):選取步長(zhǎng)因子μ作為濾波器初始參數(shù)輸入;

步驟(2):將初始權(quán)值設(shè)定為W(0)=0,后面的權(quán)值系數(shù)W(n)根據(jù)計(jì)算結(jié)果更新;

步驟(3):輸入含噪信號(hào)序列,計(jì)算濾波信號(hào);

步驟(4):將濾波信號(hào)與期望信號(hào)進(jìn)行對(duì)比,獲取誤差信號(hào);

步驟(5):判斷濾波信號(hào)是否為最優(yōu)濾波信號(hào)。若是,輸出最優(yōu)濾波信號(hào);反之,則進(jìn)行權(quán)值矩陣迭代更新及誤差收斂,直至達(dá)到當(dāng)前最優(yōu)濾波效果;

LMS-SPWVD(t,ω)=

|Zy*(t)|2

(5)

步驟(7):將輸出時(shí)域信號(hào)分解為低頻段和高頻段雙信號(hào)時(shí)域序列,之后并將雙頻段時(shí)域序列:

Zy*(t)=Zy1*(t)+Zy2*(t)

(6)

其中,Zy*(t)為輸出時(shí)域信號(hào);Zy1*(t)代表低頻段信號(hào);Zy2*(t)代表高頻段信號(hào)。

步驟(8):將式(6)帶入式(5),得LMS-SPWVD算法時(shí)頻分布特性:

LMS-SPWVD(t,ω)=

LMS-SPWzy1*(t,ω)+LMS-SPWzy2*(t,ω)+

Re[LMS-SPWzy1*·zy2*(t,ω)]

(7)

其中,LMS-SPWy1*(t,ω)為L(zhǎng)MS-SPWVD算法低頻段輸出信號(hào);LMS-SPWy2*(t,ω)為L(zhǎng)MS-SPWVD算法高頻段輸出信號(hào);Re[LMS-SPWy1·y2(t,ω)]為L(zhǎng)MS-SPWVD算法高低頻輸出交叉頻率干擾信號(hào)。

步驟(9):驗(yàn)證該算法時(shí)頻分布特性是否達(dá)到最優(yōu)模態(tài)混疊及干擾信號(hào)抑制效果。若達(dá)到,則輸出當(dāng)前時(shí)頻分布模型;反之,則重新選取濾波器參數(shù)并重復(fù)步驟3～9,直至達(dá)到最優(yōu)效果。

3 算例驗(yàn)證

根據(jù)前期工作發(fā)現(xiàn),實(shí)際非平穩(wěn)振動(dòng)信號(hào)為多分量頻率含噪信號(hào),其頻率區(qū)間為(20～100)Hz,幅值區(qū)間為(-2～2)mm.為驗(yàn)證LMS-SPWVD算法對(duì)模擬非平穩(wěn)振動(dòng)信號(hào)的有效性,構(gòu)造了多分量頻率含噪組合信號(hào)及調(diào)幅調(diào)頻含噪組合信號(hào)兩種測(cè)試函數(shù)。之后采用SPWVD及LMS-STFT、LMS-WVD、LMS-SPWVD算法對(duì)其進(jìn)行時(shí)頻分析,對(duì)比SPWVD、LMS-STFT、LMS-WVD、LMS-SPWVD四種時(shí)頻分析方法的模態(tài)混疊及干擾信號(hào)抑制效果,進(jìn)一步評(píng)價(jià)LMS-SPWVD算法的有效性。

3.1 測(cè)試函數(shù)1

振動(dòng)信號(hào)測(cè)試函數(shù)1由多分量正弦信號(hào)及高斯白噪聲信號(hào)組成,該測(cè)試函數(shù)1數(shù)學(xué)模型及時(shí)域波形圖如式8和圖3所示:

圖3 測(cè)試函數(shù)1的時(shí)域波形圖Fig.3 The time domain waveform of test function 1

(8)

其中,S1(t)為含噪振動(dòng)信號(hào)測(cè)試函數(shù)一,F(t)為多分量組合正弦信號(hào),F1(t)、F2(t)、F3(t)、F4(t)、F5(t)為單分量正弦信號(hào),N(t)為噪聲干擾信號(hào),fs= 300 Hz,f1= 20 Hz,f2= 40 Hz,f3= 60 Hz,f4= 80 Hz,f5= 100 Hz;CSNR為信噪比系數(shù),n(t)為高斯白噪聲信號(hào)。

使用本文方法對(duì)圖3含噪信號(hào)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行時(shí)頻分析。首先采用LMS算法對(duì)含噪信號(hào)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行抑噪處理,獲取最優(yōu)濾波信號(hào)測(cè)試函數(shù)時(shí)域波形。然后通過SPWVD對(duì)最優(yōu)濾波信號(hào)進(jìn)行分析,獲取LMS-SPWVD算法信號(hào)頻率分量。最后將濾波信號(hào)頻率分量呈現(xiàn)到一張時(shí)頻分布圖像中,構(gòu)建LMS-SPWVD算法時(shí)頻分布模型并與SPWVD、LMS-STFT、LMS-WVD進(jìn)行對(duì)比,如圖4所示。

圖4 SPWVD、LMS-SPWVD、LMS-STFT、LMS-WVD測(cè)試函數(shù)1仿真結(jié)果圖Fig.4 Simulation results of test function 1 of SPWVD,LMS-SPWVD,LMS-STFT and LMS-WVD

由圖4可知,LMS-STFT、LMS-WVD算法相比SPWVD具有良好的時(shí)頻分辨率與時(shí)頻聚集性及干擾信號(hào)抑制能力,但中心頻率信號(hào)未明顯突出、虛假信號(hào)頻率分量較多,而LMS-SPWVD克服了三者的缺點(diǎn),具有較好的時(shí)頻分析效果。

3.2 測(cè)試函數(shù)2

為了進(jìn)一步驗(yàn)證LMS-SPWVD算法的有效性,現(xiàn)構(gòu)建非平穩(wěn)振動(dòng)信號(hào)測(cè)試函數(shù)2。該測(cè)試函數(shù)根據(jù)文獻(xiàn)[13]修改,由調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)、調(diào)幅信號(hào)及高斯白噪聲信號(hào)組成。其數(shù)學(xué)模型及時(shí)域波形圖見式9及圖6:

(9)

其中,S2(t)為含噪振動(dòng)信號(hào)測(cè)試函數(shù)2,f1(t)為調(diào)幅調(diào)頻信號(hào),f2(t)為調(diào)幅信號(hào),N(t)為噪聲信號(hào),fs=300 Hz,f1=2 Hz,f2=90 Hz,f3=10 Hz,f4=2 Hz,f5=50 Hz;CSNR為信噪比系數(shù),n(t)為高斯白噪聲信號(hào)。該測(cè)試函數(shù)含噪信號(hào)時(shí)域波形如圖5所示。

圖5 測(cè)試函數(shù)2的時(shí)域波形圖Fig.5 The time domain waveform of text function 2

同理,本文仍使用上述方法對(duì)圖5含噪信號(hào)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行分析。仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 SPWVD、LMS-STFT、LMS-WVD、LMS-SPWVD測(cè)試函數(shù)2仿真結(jié)果圖Fig.6 Simulation results of test function 2 of SPWVD,LMS-STFT,LMS-WVD and LMS-SPWVD

由圖6可知,該算法相比SPWVD、LMS-STFT、LMS-WVD抑制了模態(tài)混疊及干擾信號(hào),改善了時(shí)頻分辨率與時(shí)頻聚集性,具有較好的時(shí)頻分布意義。

4 結(jié)論

本文提出了基于LMS-SPWVD的時(shí)頻分析算法,以兩種非平穩(wěn)振動(dòng)信號(hào)為測(cè)試函數(shù),對(duì)比分析了LMS-SPWVD與SPWVD、LMS-STFT和LMS-WVD的時(shí)頻分析效果。結(jié)果表明:

(1)與SPWVD相比,LMS-SPWVD有效抑制干擾信號(hào)、中心頻率能量發(fā)散、模態(tài)混疊現(xiàn)象,是一種有效的時(shí)頻分析算法。

(2)對(duì)比LMS-STFT、LMS-WVD算法可知,LMS-SPWVD算法的時(shí)頻分辨率、時(shí)頻聚集性及抗干擾能力更好,具有較好的時(shí)頻分布意義。

綜上,本文所提的LMS-SPWVD時(shí)頻分析算法與SPWVD、LMS-STFT、LMS-WVD相比有一定的優(yōu)越性;同時(shí)存在濾波延遲、信號(hào)頻率分量丟失、抗干擾能力較弱等不足,仍需要進(jìn)一步研究。