探討有限莫利秩的域的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)

楊年西

摘 要：環(huán)具有加法群和乘法群的二元代數(shù)運算結(jié)構(gòu)，利用有限莫利秩的群的性質(zhì)具有降鏈條件，與在無限域上的代數(shù)擴張的伽羅瓦理論結(jié)合，來研究有限莫利秩的無限域的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，主要成果為：有限莫利秩的無限域K，任意a∈K，整數(shù)n＞0，方程xn=a在域K中有解；假設(shè)域K是有限莫利秩的無限域，那么域K一定是代數(shù)閉域.

關(guān)鍵詞：無限域；有限莫利秩的群；代數(shù)擴域；代數(shù)閉域

模型論是數(shù)理邏輯的分支，與代數(shù)學(xué)聯(lián)系非常密切.近代很多學(xué)者用模型論的方法和理論來研究其他數(shù)學(xué)學(xué)科，如A. Robinson用模型論的理論開創(chuàng)了非標(biāo)準(zhǔn)分析，國內(nèi)學(xué)者王世強用模型論理論一直研究數(shù)論，試圖用模型論的理論來證明孿生素數(shù)猜想［1］.模型論主要研究一階邏輯形式語言中的模型完全理論和理論的完全性，而現(xiàn)代模型論熱點研究方向穩(wěn)定理論及其應(yīng)用，ω-穩(wěn)定理論是一階邏輯形式語言中完全性理論的一種特殊形式，有很高的研究價值，能夠應(yīng)用于群論、環(huán)論及代數(shù)幾何等基礎(chǔ)數(shù)學(xué)學(xué)科和計算機理論中，來解決其他學(xué)科的一些問題.尤其A. Borovik發(fā)現(xiàn)了秩群的結(jié)構(gòu)和ω穩(wěn)定的群結(jié)構(gòu)一致的，隨后學(xué)者Poizat證明了這個結(jié)論，就稱秩群是有限莫利秩的ω穩(wěn)定的群，簡稱有限莫利秩的群；類似有限莫利秩的ω穩(wěn)定的環(huán)，簡稱有限莫利秩的環(huán).伽羅瓦為多項式方程的根解提供新的判別方法，開創(chuàng)研究域的結(jié)構(gòu)和域的擴張與群論相結(jié)合的方法.本文把有限莫利秩的群研究的理論成果與伽羅瓦理論相結(jié)合，探討有限莫利秩的域的代數(shù)結(jié)構(gòu)和性質(zhì).

1 預(yù)備知識

二十世紀(jì)初，伽羅瓦的思想和方法才被重視，解決多項式的根解問題，如果方程f（x）=0是否有根式解，轉(zhuǎn)化成判別域E對于域F的擴域的伽羅瓦群是否可解.有關(guān)有限莫利秩的群的相關(guān)成果，如有限莫利秩2的群一定是可解群；群G含有最小的有限指數(shù)的確定子群G0，稱子群G0是群G的連通部分，且群G0是群G的正規(guī)子群和連通的分支是唯一的，有限莫利秩的無限群含有確定的無限交換子群，K*表示域K的全體非零元素組成乘群，RM（X）表示集合X的莫利秩的數(shù)量.

反證法，假設(shè)K不是代數(shù)閉域，在域K上存在次數(shù)n＞1不可分多項式f（x），設(shè)域L是K的代數(shù)擴域，且L是K上的不可分多項式f（x）的分裂域.根據(jù)引理1.4，L：k是有限的.又由引理1.5，RM（K）=RM（L），根據(jù)引理1.6，可知域L和域K都是連通的，且KL，可得域K=L，推出f（x）多項式在域K上可分的.與前提假設(shè)矛盾，即任何次數(shù)大于1的多項式f（x）都是可分的，在域K上不存在代數(shù)擴域，即域K是代數(shù)閉域.

參考文獻：

［1］ 王世強.一些4次數(shù)環(huán)的具有Goldbach性質(zhì)的擴環(huán)［J］.北京師范大學(xué)學(xué)報，2005，41（4）：343345.