帶Caputo導數(shù)的變分數(shù)階隨機微分方程的Euler-Maruyama方法

劉家惠, 邵林馨, 黃健飛

(揚州大學 數(shù)學科學學院,江蘇 揚州 225002)

0 引 言

分數(shù)階微積分理論是數(shù)學的一個重要分支,是一門研究任意階導數(shù)和積分的學科．在初始階段的發(fā)展過程中,它被認為是一個抽象的數(shù)學概念[1],幾乎沒有任何應用的空間．但是,隨著研究的深入,現(xiàn)如今它被認為是科學界進行數(shù)學建模最重要的工具之一[2-5]．科學工程的各種重要現(xiàn)象都可以用它來很好地描述,包括部分推移物質(zhì)輸運擴散模型、地震動力學、黏彈性系統(tǒng)、生物物理系統(tǒng)、混沌和波傳播等,并且已經(jīng)較廣泛地用于模擬控制理論研究、聚合物研究、信號和圖像處理系統(tǒng)、計算機網(wǎng)絡、數(shù)學生物學等領(lǐng)域[6-10]．

分數(shù)階微積分理論應用的日漸增加推動了分數(shù)階微分方程數(shù)值解法的發(fā)展和研究[11-13]．因為其中有不確定性因素的存在,所以大多數(shù)分數(shù)階隨機微分方程的精確解很難求得,只能提供解的數(shù)值逼近,如文獻[14]中,Jing等研究了一類由分數(shù)階噪聲驅(qū)動的分數(shù)階隨機偏微分方程的平均原理,發(fā)現(xiàn)在某種條件下,該分數(shù)階隨機偏微分方程的解可以由平均隨機系統(tǒng)的解來近似表示;在文獻[15]中,Guo等施加了一些新的平均條件來處理Caputo分數(shù)階隨機微分方程的平均原則,研究發(fā)現(xiàn):Caputo分數(shù)階隨機微分系統(tǒng)的解可以被相應的均值方程的解所逼近．由于Euler-Maruyama(EM)方法具有簡單的代數(shù)結(jié)構(gòu)、廉價的計算成本和在全局Lipschitz條件下可接受的收斂速度[16-17],因此它一直吸引著大量學者的注意力,如在文獻[18]中,錢思穎等用EM方法求解了一類帶有弱奇性核的多項分數(shù)階非線性隨機微分方程．

變分數(shù)階隨機微分方程的研究是分數(shù)階隨機微分方程領(lǐng)域的新課題,因為它具有變化的階數(shù),可對黏彈性行為進行長時間的建模[19]．本文將采用并擴展文獻[20]中的理論分析方法來研究以下帶Caputo導數(shù)的變分數(shù)階隨機微分方程的適定性問題及其EM方法:

(1)

本文的第1節(jié)將介紹文中用到的基本定理、基本引理和相關(guān)假設;第2節(jié)將對該變分數(shù)階隨機微分方程進行轉(zhuǎn)化并探索解的存在性、唯一性和連續(xù)依賴性;第3節(jié)將推導出該變分數(shù)階隨機微分方程的EM方法,并證明其強收斂性;第4節(jié)將進行數(shù)值實驗來驗證理論分析結(jié)果;第5節(jié)將給出本文的總結(jié)．

1 預 備 知 識

1.1 基本知識

定義1 設f:[0,+∞)→,則稱

為α(t)階的分數(shù)階Riemann-Liouville積分[21],其中α(t)>0,Γ(·)為Gamma函數(shù)．

定義2 設函數(shù)f∈C[0,+∞),0.5<β<1,則稱

為β階的分數(shù)階Caputo導數(shù)[22-24]．

1.2 假設條件

假設1f(t,y)和g(t,y)在上滿足Lipschitz連續(xù),存在L>0對所有x,y∈,t∈[0,T]都有

|f(t,x)-f(t,y)|∨|g(t,x)-g(t,y)|≤L|x-y|．

假設2f(t,y)和g(t,y)在 [0,T]上滿足Lipschitz連續(xù),存在L>0使得對所有x∈,t,s∈[0,T]都有

|f(t,x)-f(s,x)|∨|g(t,x)-g(s,x) |≤L|t-s|．

假設3(線性增長條件) 存在常數(shù)L>0對所有的x∈,t∈[0,T],有

|f(t,x)|∨|g(t,x)|≤L(1+|x|)．

假設4α(t)在區(qū)間 [0,T]上連續(xù)可微,0.5<β<1,且存在0<α(t)<α*<β<1,對任意的0≤α(t)≤1,都有α*+α(t)>1．

2 變分數(shù)階隨機微分方程解的適定性

2.1 方程的等價變形

對式(1)的兩邊同時作用Riemann-Liouville積分算子:

可以得到

(2)

其中

變換上面累次積分的次序,可以得到

令

(3)

則式(2)可寫成

(4)

2.2 解的適定性

本小節(jié)將采用文獻[25]中的技巧來證明方程(1)的解的適定性,即解的存在性、唯一性和連續(xù)依賴性．設G2([0,T])為所有可測過程X的空間,其中X是FT適應的,FT={Ft}t∈[0,T],且滿足

顯然,(G2([0,T]),|·|G2)是一個Banach空間．引入算子Zγ,即

(5)

其中,等號右邊的第一個積分本質(zhì)上是一個雙重積分．為了利用算子Zγ來證明方程(1) 的解的適定性,首先將驗證算子Zγ的合理性．

引理1 對于算子Zγ,若f(·,0)是L2可積的和g(·,0)是本性有界的．則當t∈[0,T]時,有下式成立:

E[|Zγu(t)|2]<∞,

即說明算子Zγ定義合理．

證明對式(5)兩邊的平方求期望,可得

(6)

首先對式(6)右側(cè)第2項進行處理,先對k(t,s)進行放縮．顯然,Γ(t)在(0,1]上遞減,所以Γ(α(τ))>Γ(1)=1,則有

A(t-s)β-α*,

(7)

其中

(8)

將式(7)代入式(6)右側(cè)的第2項,并使用H?lder不等式[26],則有

下面處理式(6)右側(cè)的第4項．由于g(·,0)是本性有界的,即有|g(·,0)|∞=supt∈[0,∞)|g(s,0)|<∞．根據(jù)It等距定理[27]可得

綜上,對于式(6)有

E[|Zγu(t)|2]<∞．

從而引理1得證,即算子Zγ的定義是合理的．下面證明解的適定性．為了證明解的存在唯一性,先在空間G2([0,T])上定義范數(shù)|·|λ,即對所有可測過程X,

其中E2β-1(·)是Mittag-Leffler函數(shù)[28]．顯然,|·|G2和|·|λ是等價的,故(G2([0,T]),|·|λ)也是一個Banach空間．下面來證明算子Zγ在范數(shù)|·|λ下是G2([0,T])上的壓縮映射[29]．

(9)

其中

(10)

(11)

根據(jù)H?lder不等式,可得式(11)右側(cè)第1項:

根據(jù)H?lder不等式和假設3(線性增長條件),可得式(11)右側(cè)第2項:

綜上,式(11)可變?yōu)?/p>

根據(jù)文獻[25]的引理5,可得

從而,算子Zγ在(G2([0,T]),|·|λ)上是一個壓縮映射,利用Banach空間的不動點定理,方程(1)存在唯一解．

下面證明方程(1)的解對初值的連續(xù)依賴性．

定理2 對于T>0,設γ,ξ是方程(1)不同的初值,則有

證明

根據(jù)|·|λ的定義以及E2β-1(λt2β-1)≥1得

由文獻[25]中的引理5,可得

從而,根據(jù)λ的范圍有

因此

3 EM方法及其強收斂性

3.1 EM方法的推導

在區(qū)間[0,T]上,定義均勻網(wǎng)格的步長h=T/N,在網(wǎng)格節(jié)點tn=nh處對式(4)等號右側(cè)的積分項進行離散．

先對式(4)右邊第2項的積分采用左矩形法進行離散:

(12)

接下來對第3項的積分項進行離散:

(13)

下面對第4項的積分項進行離散:

(14)

其中ΔWj=Wtj+1-Wtj～N(0,h)．將式(12)—(14)代入式(4),則當1≤n≤N時,有如下EM方法:

(15)

3.2 EM方法解的有界性

定理3 對于1≤n≤N,EM方法的解vn滿足如下估計:

(16)

其中

M1=A1[1+Eβ-α*+1(A2Γ(β-α*+1))],

證明

(17)

使用Cauchy不等式和假設3(線性增長條件)處理式(17)右邊的第3項,可以得到

(18)

下面處理式(17)右邊的第4項,根據(jù)ΔWj的獨立性和假設3(線性增長條件)可得

(19)

最后,使用微分中值定理計算式(17)右邊第2項的估計值,可以得到

再根據(jù)式(7)與式(12)可以推出

(20)

將化簡后的式(18)—(20)代入式(17),可得

其中,A1,A2的值見式(16)．根據(jù)Gronwall不等式[30],定理3得證．

3.3 EM方法的連續(xù)形式

(21)

引理2 設{vn}是EM方法的解,v是式(21)定義的時間連續(xù)隨機過程．那么,當0≤n≤N時,有v(tn)=vn．

證明顯然,v(0)=γ=v0．假設當0≤m≤n-1≤N-1時,v(tm)=vm．則

通過數(shù)學歸納法,引理2得證．

3.4 連續(xù)形式的收斂性

引理3 當0≤n≤N-1時,對任意t∈[tn,tn+1),式(21)中定義的隨機過程v都有以下性質(zhì):

其中

(22)

證明

通過H?lder不等式對第2項進行放縮:

(23)

基于文獻[18]中引理2的估計式,即有

(24)

其中,C為一非負常數(shù)．然后,結(jié)合假設3(線性增長條件)對第3項進行放縮:

(25)

根據(jù)假設3(線性增長條件)以及式(24)對第4項進行放縮:

(26)

最后,根據(jù)式(3)對第1項進行放縮:

6M1A2h2(β-α*+1)．

(27)

將式(23)、(25)—(27)代入式(21),可以得到

M2h2(β-α*+1)+M3hβ+1+M4h2β-1,

其中M2,M3和M4的值見式(22),故引理3得證．

3.5 強收斂性誤差估計

定理4 設u是式(4)的解,v是EM方法連續(xù)形式即式(21)的解,記

M5=A3E2β-1A4Γ(2β-1)T2β-1M2,M6=A3E2β-1A4Γ(2β-1)T2β-1M3,

M7=A3E2β-1A4Γ(2β-1)T2β-1M4,

其中

(28)

則有

(29)

同時,關(guān)于EM方法的強收斂性誤差估計也成立,即

(30)

證明對任意t∈[0,T),設t∈[tn,tn+1),0≤n≤N-1．根據(jù)式(4)與式(21)可得

(31)

結(jié)合引理3的證明過程中對各項的放縮結(jié)果,對上式右側(cè)三項進行處理,可得

故式(31)可整理為

其中A3和A4的值見式(28)．根據(jù)廣義的Gronwall不等式,定理4中的式(29)得證．若令式(29)中的t=tn,根據(jù)引理2的結(jié)論,則可知式(30)成立．

注1 根據(jù)定理4中的式(30),由于(β+1)/2 >β-0.5;β-α*+1 >β-0.5,所以EM方法(15)的強收斂階是β-0.5．

4 數(shù) 值 算 例

在本節(jié)中,我們將引入數(shù)值算例來驗證EM方法(15)的強收斂階．首先,給出誤差的計算方法:

其中u(tn,ωj)是方程(1)的第j條樣本軌道在tn處的真實解,vn(ωj)是對應的EM方法(15)得出的數(shù)值解,收斂階由κ=log2(eh/eh/2)計算獲得．在具體數(shù)值實驗中,設時間區(qū)間[0,T]=[0,1],軌道總數(shù)M=1 000,以網(wǎng)格數(shù)N=512時的數(shù)值解近似表示精確解,規(guī)定變分數(shù)階α(t)=α1t+α2．

例1 我們考慮令方程(1)中f(t,u)=g(t,u)=cos(u),初值γ=0.1．首先令Caputo分數(shù)階導數(shù)的階β=0.9,此時的計算誤差和收斂階見表1．

表1 β=0.9時,EM方法的誤差與收斂階Table 1 Errors and convergence orders of the EM method for β=0.9

從表1可以看出,隨著步長h的減小,其數(shù)值解的誤差也在不斷減小,且其EM方法的收斂階接近于β-0.5=0.4,這與定理4的結(jié)論相符．

然后,令Caputo分數(shù)階導數(shù)的階β=0.8,計算誤差和收斂階見表2．

表2 β=0.8時,EM方法的誤差與收斂階Table 2 Errors and convergence orders of the EM method for β=0.8

根據(jù)表2可以看出,隨著步長h的減小,其數(shù)值解的誤差也在逐漸減小,且其EM方法的收斂階接近于β-0.5=0.3,與定理4的結(jié)論相符,說明了定理4結(jié)論的正確性．

最后,令Caputo分數(shù)階導數(shù)的階β=0.7,計算誤差和收斂階見表3．

表3 β=0.7時,EM方法的誤差與收斂階Table 3 Errors and convergence orders of the EM method for β=0.7

由表3可以看出,EM方法的收斂階接近于β-0.5=0.2,再次驗證了定理4結(jié)論的正確性．

5 總 結(jié)

本文首先討論了變分數(shù)階隨機微分方程解的適定性,并構(gòu)造了其EM方法,然后證明了EM方法的強收斂性,并得到其收斂階為β-0.5．最后通過3組數(shù)值實驗驗證了該EM方法計算的有效性,并驗證了其理論分析結(jié)果的正確性．值得一提的是,本文給出的EM方法及理論分析框架可以拓展到向量值的變分數(shù)階隨機微分方程．