基于有理插值方法模擬SMAs循環(huán)加載下的變形行為

王曉明, 肖 衡

(1.寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院 應(yīng)用力學(xué)研究所,浙江 寧波 315000;2.暨南大學(xué) 力學(xué)和建筑工程學(xué)院,廣州 510632)

0 引 言

因具有獨特的形狀記憶效應(yīng)(shape memory effect,SME)、偽彈性(pseudo-elasticity,PE)、拉伸-壓縮不對稱以及生物兼容性等特征,形狀記憶合金(SMAs)被廣泛應(yīng)用于航天航空[1]、機(jī)器人制造[2]、生物醫(yī)療[3]等領(lǐng)域．SMAs構(gòu)件在實際使用過程中往往需要受到反復(fù)加載-卸載的作用,應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系從一開始的塑性變形逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)閭螐椥宰冃危ㄟ^構(gòu)建SMAs本構(gòu)模型,模擬其在循環(huán)荷載作用下的變形行為,具有十分重大的工程價值．

SMAs自從被發(fā)現(xiàn)以來就受到了巨大的關(guān)注,尤其是近幾十年來,其本構(gòu)建模的理論不斷被提出,綜述文獻(xiàn)也有很多[4-9],我們大致可以將這些理論分為三大類,即微觀模型、介觀模型和宏觀模型．微觀模型在晶格和晶粒尺度上描述晶核生長、馬氏體孿晶生長等特征．其中,Falk[10-11]基于Ginzburg-Landau理論提出了多項式[12]勢能模型．Daw等[13]運用分子動力學(xué)理論構(gòu)建了SMAs微結(jié)構(gòu)模型．介觀模型首先需要建立微觀尺度下的本構(gòu)關(guān)系,然后通過平均方法等尺度轉(zhuǎn)換方法建立宏觀本構(gòu)．其中,Wang等[14]基于馬氏體相變[15-16]和晶體塑性理論構(gòu)建了三維模型,研究了馬氏體塑性變形產(chǎn)生的不可恢復(fù)變形．Taylor等[17]引入微平面理論,認(rèn)為SMAs的多軸宏觀力學(xué)行為是不同取向微平面單軸相應(yīng)的疊加．該方法隨后被用于模擬超彈性、偽彈性行為[18]．宏觀模型不再考慮材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)理論,而是從宏觀特征出發(fā)推導(dǎo)本構(gòu)方程．其中,Tanaka[19]利用非線性彈性方法構(gòu)建了一個一維本構(gòu)模型,其馬氏體體積分?jǐn)?shù)演化方程通過一種分段方程給出;Brinson[20]進(jìn)一步發(fā)展了他的理論,將馬氏體體積分?jǐn)?shù)分解為自適應(yīng)部分和非自適應(yīng)部分;Lagoudas等[21]利用彈塑性理論構(gòu)建了SMAs宏觀本構(gòu),馬氏體相變、退孿晶等熱力學(xué)過程受到加載函數(shù)和流動法則的影響; Zaki等[22]通過熱力學(xué)勢函數(shù)構(gòu)建了三維模型,引入了三個新的內(nèi)變量來解釋循環(huán)作用下的SMAs“訓(xùn)練”(training)和雙程形狀記憶效應(yīng)(TWSME)．

近幾十年以來,關(guān)于SMAs循環(huán)荷載作用下的實驗研究有很多[22-24]．這些實驗結(jié)果表明,循環(huán)荷載下,馬氏體在正相變、逆相變作用下,塑性不可恢復(fù)變形逐漸累計,相變轉(zhuǎn)化初始應(yīng)力和耗散能逐漸減少,相變硬化逐漸增大．每一個循環(huán)下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系從初始的塑性變形,逐漸轉(zhuǎn)化為偽彈性變形．當(dāng)循環(huán)達(dá)到一定量以后,應(yīng)力-應(yīng)變滯回圈趨于一種穩(wěn)定狀態(tài),且累計的塑性變形等量變成飽和狀態(tài)．通過透射電子顯微鏡(TEM)技術(shù)研究循環(huán)作用下SMAs的微觀結(jié)構(gòu),科研工作者們發(fā)現(xiàn),不可恢復(fù)變形累積的主要微觀機(jī)制是奧氏體相的滑移和不完全擬相變形成的殘余馬氏體相[25]．

在實驗的基礎(chǔ)上,眾多學(xué)者提出了SMAs本構(gòu)模型對循環(huán)加載下的變形行為進(jìn)行模擬,可參考綜述文獻(xiàn)[26]．這些模型分別從宏觀唯象和微結(jié)構(gòu)機(jī)制兩個方向進(jìn)行建模．早期的唯象模型[4,20,27]只考慮了循環(huán)作用下的馬氏體相變,無法模擬塑性應(yīng)變累積、殘余馬氏體相退化等情況．Bo和Lagoudas[28-30]在原模型的基礎(chǔ)上,引入了新的內(nèi)變量來表征馬氏體相變和塑性變形相互作用產(chǎn)生的影響,提出了一個改進(jìn)的模型;Auricchio等[31-32]考慮了相變閥值和殘余變形量,模擬了SMAs的“訓(xùn)練”和雙程形狀記憶效應(yīng);Zaki和Moumni[33]引入了馬氏體體積分?jǐn)?shù)和馬氏體定向應(yīng)變張量兩個狀態(tài)變量來解釋偽彈性和單程形狀記憶效應(yīng),后續(xù)又提出了包括累積馬氏體體積分?jǐn)?shù)在內(nèi)的三個新的內(nèi)變量來表征循環(huán)加載下的變形特征．另外,微結(jié)構(gòu)理論從SMAs微觀機(jī)制推導(dǎo)模擬循環(huán)加載變形．Patoor等[34-35]基于物理應(yīng)變機(jī)制和局部熱力學(xué)勢的定義構(gòu)建了動力學(xué)表述的微結(jié)構(gòu)模型,馬氏體體積分?jǐn)?shù)作為內(nèi)變量用來描述內(nèi)結(jié)構(gòu)狀態(tài)的演化;Huang等[36]發(fā)展了一種單晶模型,利用一定數(shù)量隨機(jī)方向的單晶顆粒通過平均方法構(gòu)建了多晶SMAs本構(gòu)模型;Lagoudas和Entchev[37]提出了一個致密SMAs三維本構(gòu)模型,用來解釋循環(huán)荷載下的相變、塑性應(yīng)變以及滯回圈形狀和大小的演化規(guī)律;Kang等[38]通過“應(yīng)變控制”的循環(huán)加載實驗發(fā)現(xiàn)了SMAs的荊輪變形行為．隨后,Yu等[39-40]基于晶體塑性理論解釋了循環(huán)加載下的非彈性變形機(jī)制,如馬氏體相變、相變誘導(dǎo)塑性、馬氏體再定向等．

以上模型在模擬循環(huán)加載下SMAs塑性變形和偽彈性變形的時候,通常需要分別引入額外的內(nèi)變量,這些量的演化方程需要引入多個隱式參數(shù),這就給計算帶來了非常大的挑戰(zhàn)．為了解決以上問題,一種顯式方法被提出,用于構(gòu)造SMAs和類橡膠材類的本構(gòu)模型[40-49]．本文在之前研究[50]的基礎(chǔ)上,基于有理插值的方法,提出了一種新的有限彈塑性J2流模型,用來同時精確模擬SMAs在循環(huán)荷載下的塑性變形和偽彈性變形．

全文主要安排如下:首先,基于有理插值的方法給出了循環(huán)加載下的形函數(shù)形式,對任意形狀的應(yīng)力-應(yīng)變滯回圈都能精確模擬;其次,構(gòu)建了新的有限彈塑性J2流模型;再次,從單軸情況出發(fā),經(jīng)過多軸擴(kuò)展、局部因子引入等步驟,得到了多軸有效的硬化模量顯式表達(dá);最后,選取經(jīng)典的實驗數(shù)據(jù)和新模型得到的結(jié)果進(jìn)行對比,證明了該方法的有效性,并給出了結(jié)論．

1 基于有理插值的形函數(shù)

在控制最大應(yīng)力不變的前提下,對SMAs試件進(jìn)行反復(fù)加載-卸載,其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如圖1所示．先分析循環(huán)荷載下應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的特征,再分別分析每一次循環(huán)過程中,加載和卸載情況下的形函數(shù),最后利用有理插值具體給出屈服階段的形函數(shù)表達(dá),對任意形狀的應(yīng)力-應(yīng)變滯回圈都可以精確模擬．使用的應(yīng)力為Kirchhoff應(yīng)力,應(yīng)變?yōu)閷?shù)應(yīng)變,也稱為Hencky應(yīng)變,并用有效塑性功代替?zhèn)鹘y(tǒng)的塑性功．

圖1 循環(huán)荷載下的應(yīng)力-應(yīng)變示意圖 圖2 第i次循環(huán)下的應(yīng)力-應(yīng)變示意圖Fig.1 Schematic of stress-strain curves under cyclic loading Fig.2 Schematic of stress-strain curve in the ith cycle

1.1 循環(huán)荷載下的變形特征

圖1表示從第1次到第n次循環(huán)下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系．對圖1分析可知,循環(huán)荷載下SMAs應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系特征如下:

1) 每一次加載-卸載循環(huán)都會形成一個不完全封閉的滯回圈．從第一個循環(huán)到最后一個循環(huán)總共產(chǎn)生n個應(yīng)力-應(yīng)變滯回圈,其中第n個循環(huán)已經(jīng)完全封閉且穩(wěn)定．

2) 每一個應(yīng)力-應(yīng)變滯回圈由加載和卸載兩部分組成．其中,加載部分包括彈性階段和上屈服階段,卸載部分包括彈性階段和下屈服階段．

4) 當(dāng)循環(huán)次數(shù)接近甚至到達(dá)n時,應(yīng)力-應(yīng)變滯回圈穩(wěn)定,且不可恢復(fù)變形量不再繼續(xù)增加,此時

1.2 加載和卸載階段形函數(shù)

(1)

點P1表示加載部分從彈性階段變成屈服階段的過渡點,該點的應(yīng)力即為屈服強(qiáng)度,用r0表示,應(yīng)變用h0i表示,而有效塑性功與點P0一樣,為?i-1．P1P2段表示加載部分的屈服階段,也就是上屈服階段,該段的應(yīng)力-應(yīng)變形函數(shù)用

(2)

(3)

(4)

形函數(shù)中關(guān)鍵點應(yīng)力、應(yīng)變和有效塑性功如表1所示．根據(jù)式(1)—(4)可得

(5)

表1 形函數(shù)中關(guān)鍵點應(yīng)力、應(yīng)變和有效塑性功Table 1 Stresses,strains and effective plastic works of key points in the shape function

1.3 上下屈服形函數(shù)關(guān)系

筆者之前的研究中[47]用了一種線性關(guān)系來表示上下屈服應(yīng)力之間的一一對應(yīng)關(guān)系,即為

(6)

任意一個下屈服形函數(shù)中的點必然有一個點和上屈服形函數(shù)對應(yīng),比如圖2中的點T對應(yīng)點P1,點Q2對應(yīng)點S,點Q1對應(yīng)點P2．其中bi是可調(diào)參數(shù),若bi=1,則表示上下屈服形函數(shù)平行,這種情況可以處理簡單的偽彈性特性[41],而μ0i則表示圖2中點S所對應(yīng)的應(yīng)力大?。?/p>

利用方程(2)、(4)和(6),得到上下屈服形函數(shù)之間的關(guān)系為

(7)

即只要給定上屈服形函數(shù)的具體形式,就可以通過方程(7)推導(dǎo)得到下屈服形函數(shù)．

1.4 基于雙曲正切函數(shù)的有理插值方法

基于雙曲正切函數(shù)的形函數(shù)形式,可以精確匹配上屈服流的應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù),其具體形式為

(8)

(9)

將方程(8)代入到方程(7)中,可以得到下屈服段的形函數(shù),其中涉及到的兩個關(guān)鍵參數(shù)為bi和μ0i．接下來給出這兩個參數(shù)的確定方法．

(10)

從以上方程可以得到

(11)

(12)

利用方程(9)可得

(13)

2 有限彈塑性J2流模型

有限彈塑性本構(gòu)模型的類型有很多,本文采用基于對數(shù)客觀率的表述形式[51]．首先通過伸縮率分解的形式給出基本方程,然后耦合強(qiáng)化效應(yīng),改進(jìn)背應(yīng)力演化方程．

2.1 基于伸縮率分解的基本方程

基于Euler表述的有限彈塑性模型滿足自洽條件[51],其基本方程是基于伸縮率的分解的形式,即

D=De+Dp,

(14)

其中D為速度梯度的對稱部分,也就是伸縮率,De表示彈性部分,Dp表示塑性部分．

彈性部分可以通過Hooke定律給出

(15)

(16)

塑性部分通過流動法則[53]給出:

(17)

式中,ξ表示塑性指數(shù),加載情況下,其值為1,卸載情況下為0,u表示塑性模量,f表示von Mises屈服函數(shù),其表達(dá)式為

(18)

2.2 強(qiáng)化效應(yīng)耦合

有效塑性功隨著塑性流的發(fā)展單調(diào)遞增,且和熱力學(xué)內(nèi)耗散直接相關(guān)．因此本文用有效塑性功代替?zhèn)鹘y(tǒng)的塑性功,其表達(dá)為

(19)

為了使本構(gòu)模型耦合屈服面半徑大小和屈服中心移動,屈服強(qiáng)度r不僅依賴于有效塑性功?,還和背應(yīng)力相關(guān),即

r=r(?,ζ),

(20)

其中ζ的大小完全依賴背應(yīng)力張量,其表達(dá)為

(21)

背應(yīng)力的演化方程遵循新的各向異性強(qiáng)化法則:

(22)

(23)

方程(20)和(23)確保了模型耦合兩種強(qiáng)化效應(yīng),3個硬化含函數(shù)c,ω和r的具體形式將在第3節(jié)中給出．接下來需要確定塑性模量u的表示,可以由以下公式推導(dǎo)[47]:

(24)

其中4階張量H為

(25)

(26)

其中

3 硬 化 函 數(shù)

為了從第2節(jié)構(gòu)建的有限彈塑性J2流模型中推導(dǎo)得到符合要求的結(jié)果,需要給出硬化函數(shù)c,ω和r的具體形式．首先推導(dǎo)得到單個循環(huán)下的硬化函數(shù)形式,再給出有效塑性功的演化規(guī)律,最后引入依賴塑性功的局部因子,構(gòu)造統(tǒng)一光滑的硬化函數(shù)顯式表達(dá)．

3.1 單個循環(huán)下的硬化函數(shù)

單循環(huán)下的硬化函數(shù)推導(dǎo)需要從塑性坡度出發(fā),利用方程特點分別給出ci,ωi和ri,再通過推導(dǎo)相鄰循環(huán)下屈服函數(shù)的表達(dá),證明其符合內(nèi)循環(huán)一致性條件．

3.1.1 塑性坡度

由方程(17)、(18)、(19),再結(jié)合塑性模量的表達(dá)(方程(24)),推導(dǎo)得到單軸情況下有

(27)

(28)

方程(27)和(28)給定的形式只是單軸有效,為了擴(kuò)展成多軸有效,需要將塑性坡度改進(jìn)為

[ri+Λi]=0.5(ri+Λi+|ri+Λi|)．

(29)

將改進(jìn)后的塑性坡度代入到方程(27),得到單個循環(huán)下多軸有效的形式為

(30)

3.1.2ci,ωi和ri

將方程(30)轉(zhuǎn)化為以下形式:

(31)

以上方程要得到有效的ωi,必須滿足分子和分母同時為0,即

(32)

從方程(32)可以推導(dǎo)得到

(33)

將方程(33)代入到方程(31),得到

(34)

接下來考慮屈服極限r(nóng)i的表達(dá)．在Xiao[41,48]和Wang等[42]研究的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步考慮有效塑性功的局部性特點,得到屈服極限表達(dá)為

(35)

式中,r0表示初始屈服強(qiáng)度,兩個非負(fù)參數(shù)β2和β3分別表示ζ=0和?=?i(或?i+1)的局部特征,

μi=(r0-μ0i)/bi,i=1,2,3,…,n．

(36)

3.2 有效塑性功演化規(guī)律

從第1次循環(huán)開始,到第n次循環(huán)結(jié)束,每一次循環(huán)都伴隨著有效塑性功的累計,本小節(jié)給出其在循環(huán)荷載下的演化規(guī)律．用?i(i=1,2,3,…,n)表示每一次循環(huán)結(jié)束后的有效塑性功大?。?/p>

根據(jù)方程(35)和(36),在忽略局部特征的前提下,得到單循環(huán)下塑性強(qiáng)度為

(37)

(38)

根據(jù)方程(14)、(15)和(17),在單軸情況下的塑性應(yīng)變?yōu)?/p>

(39)

根據(jù)方程(6),單軸下的有效塑性功為

(40)

將方程(39)代入到方程(40),再結(jié)合屈服條件,得到

(41)

對方程(41)進(jìn)行積分,并結(jié)合方程(8)形函數(shù)的形式,可以得到單個循環(huán)下,圖2中累計的有效塑性功大小,在μ0i∈[r0,r+rmi)的情況下為

?i=?i-1+2Z1-Z2,?0=0,i=2,3,…,n,

(42)

其中

(43)

在μ0i∈[r+rmi,∞)的情況下為

?i=?i-1+2Z1-(Z0+Z3),?0=0,i=2,3,…,n,

(44)

其中

(45)

上屈服階段P1P2之間必然有一個點的應(yīng)力為r0+rmi,假設(shè)該點用M表示,如圖2所示．Z1表示P1-P2階段累計的有效塑性功,也等于Q1-T階段積累的有效塑性功;在μ0i∈[r0,r+rmi)的情況下,點S在點M前面,Z2表示P1-S階段累計的有效塑性功,也等于Q2-T階段積累的有效塑性功; 在μ0i∈[r+rmi,∞)情況下,點S在點M后面,Z3表示M-S階段累計的有效塑性功,Z0表示P1-M階段積累的有效塑性功．因此,Z0+Z3可以表示P1-S階段的有效塑性功,也等于Q2到T的有效塑性功,其效果和μ0i∈[r0,r+rmi)情況下的Z2一樣．

3.3 統(tǒng)一光滑硬化函數(shù)

式(31)、(33)和(35)分別給出了每一個循環(huán)下的ci,ωi和ri,i=1,2,3,…,n．本小節(jié)在前面的基礎(chǔ)上構(gòu)造一個光滑統(tǒng)一的硬化函數(shù)表達(dá),使其對n個循環(huán)過程均適用．

這里通過n個局部因子,將得到的所有單循環(huán)硬化函數(shù)進(jìn)行簡單的線性插值,得到

(46)

其中,局部因子具體形式為

(47)

φi具備如下特點:當(dāng)有效塑性功?∈[?i,?i+1)時,其值為1,其他情況下均為0．由此可得,在第i次循環(huán)下硬化函數(shù)自動退化為ci,ωi和ri．

4 模型結(jié)果與實驗結(jié)果對比

表2 中固定參數(shù)值Table 2 Values of fixed parameters in

(48)

其中?=0,表示第1次循環(huán)的情況,此時i=1．在本例中μ0i∈[r0,r+rmi),每一個循環(huán)下的有效塑性功結(jié)合方程(42)和(43)給出,代入到方程(48)就可以得到每一循環(huán)下的參數(shù)值．再利用方程(13)就能確定μ0i的大小,最終得到的模型結(jié)果和實驗結(jié)果如圖3所示．

(a) 第1個循環(huán) (b) 第2個循環(huán)(a) The 1st cycle (b) The 2nd cycle

(c) 第3個循環(huán) (d) 第4個循環(huán)(c) The 3rd cycle (d) The 4th cycle

(e) 第8個循環(huán) (f) 第12個循環(huán)(e) The 8th cycle (f) The 12th cycle

(g) 第20個循環(huán)(g) The 20th cycle圖3 第1、2、3、4、8、12和20次循環(huán)的模型結(jié)果和實驗結(jié)果[33]對比Fig.3 Comparation between model results and experimental data[33] for the 1st,2nd,3rd,4th,8th,12th and 20th cycles

模型預(yù)測結(jié)果如圖4所示．其中由外到內(nèi)的實線分別表示第4、5、6、7和8次的模型結(jié)果．其中第4和第8次的結(jié)果和實驗數(shù)據(jù)可以精確匹配(從圖3(d)、3(e)數(shù)據(jù)對比可得),而第5、6和7次的實驗數(shù)據(jù),新的模型可以合理地預(yù)測．第5次循環(huán)開始時的應(yīng)變和第4次結(jié)束時一致,而第7次循環(huán)結(jié)束時的應(yīng)變和第8次開始時一致．

圖4 第4至第8個循環(huán)的模型預(yù)測Fig.4 Model predictions from the 4th to the 8th cycles

5 結(jié) 論

本文通過提出新的有限彈塑性J2流方程,模擬了SMAs在循環(huán)荷載下從塑性變形逐漸轉(zhuǎn)化為偽彈性變形的過程．所得主要結(jié)論如下:

1) 新的本構(gòu)方程耦合了屈服中心的移動和屈服面的增大,使得模型可以模擬SMAs復(fù)雜的變形行為．傳統(tǒng)的金屬材料在加載后卸載,卸載階段的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系一般遵循Hooke定律．卸載應(yīng)力到0以后進(jìn)行反向加載才會開始出現(xiàn)下屈服階段,也就是Bauschinger效應(yīng)．本文通過改進(jìn)背應(yīng)力的演化方程,提出硬化模量c,ω和r的新形式,使得SMAs在卸載應(yīng)力為0之前就開始屈服,進(jìn)而產(chǎn)生滯回圈．

3) 從第2節(jié)的基本方程出發(fā),結(jié)合形函數(shù)具體形式,得到了有效塑性功的演化規(guī)律,如方程(43)和(45)所示．利用這些方程可以得到每一個循環(huán)下?的累積大小,進(jìn)而通過方程(49)給出的參數(shù)方程,確定該循環(huán)下的參數(shù)值,從而得到循環(huán)的應(yīng)力-應(yīng)變滯回圈．

4) 由局部因子構(gòu)造而成的統(tǒng)一光滑硬化模量c,ω和r如方程(47)所示,這些量在單循環(huán)下會自動退化成符合要求的形式,將這些硬化模量代入到本構(gòu)方程以后,能夠得到符合要求的結(jié)果．通過圖3的模型結(jié)果和實驗結(jié)果比較,證明了本文方法得到的結(jié)果可以精確匹配實驗結(jié)果．此外,對于沒有采集實驗數(shù)據(jù)的循環(huán),利用方程(49)推導(dǎo)的參數(shù)也可以進(jìn)行合理地預(yù)測,如圖4所示．

致謝本文作者衷心感謝寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院研究機(jī)構(gòu)專項課題(NZ21JG008)對本文的資助．