基于IDE-BPNN的快速反射鏡遲滯建模

陳子楠,秦文虎,姚紅權(quán)

(1.東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院,江蘇 南京 210096;2.南京先進(jìn)激光技術(shù)研究院,江蘇 南京 210038)

0 引言

快速反射鏡(FSM)是自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)中的關(guān)鍵執(zhí)行元件,因其具有響應(yīng)迅速,功耗低,精度高等優(yōu)點(diǎn),現(xiàn)已被廣泛用于自適應(yīng)光學(xué)的復(fù)合軸精密跟蹤、天文望遠(yuǎn)鏡、激光雷達(dá)等領(lǐng)域[1]。壓電材料自身具備的遲滯特性,在實(shí)際使用時會導(dǎo)致由其驅(qū)動的FSM輸入電壓與輸出角度之間存在遲滯特性,且更為復(fù)雜,在開環(huán)無控制條件下實(shí)際跟蹤誤差達(dá)到15%。因此,如何解決遲滯效應(yīng)成為高精度自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)的重要問題。

針對壓電材料的遲滯建模的研究成果頗豐。常見的物理模型有Jiles-Athertan模型、Ikuta模型等;常見的現(xiàn)象模型有Duhem模型、Bouce-Wen模型、Preisach模型及Prandltl-Ishlinskii等。賀一丹等[2]、Rasaienia等[3]和王博文等[4]基于以上經(jīng)典模型進(jìn)行了改進(jìn)與應(yīng)用。采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模是針對該問題的一種新興的研究方向,BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(DNN)[5]、徑向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RNN)[6]等人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型已被證實(shí)在針對壓電材料遲滯建模的問題上具有良好的精度與性能,但也存在計(jì)算復(fù)雜,參數(shù)難求解,工程實(shí)操性差等問題。差分進(jìn)化(DE)算法是Storn等[7]于1997年提出的一種元啟發(fā)式算法,作為遺傳算法的進(jìn)一步擴(kuò)展,具有優(yōu)秀的全局尋優(yōu)能力,且收斂速度更快,其思路也隨著研究的深入而不斷優(yōu)化,已被運(yùn)用于多種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)訓(xùn)練中,有效提升了效率和全局性能。Teng等[8]論證了DE算法在優(yōu)化BP網(wǎng)絡(luò)性能的可行性。

本文基于Madelung法則以最小二乘法構(gòu)建了具有基本遲滯特性的對稱遲滯主環(huán)算子,并將該算子作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擴(kuò)展空間輸入,與FSM輸入信號共同構(gòu)成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的數(shù)據(jù)集,以解決遲滯映射多對一時無法被神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合的問題,且簡化了數(shù)據(jù)采集流程。采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對遲滯特性實(shí)現(xiàn)精確建模,設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的DE算法對網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值與偏移量進(jìn)行訓(xùn)練。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該方法能較好地?cái)M合描述FSM的遲滯特性,具有良好的收斂能力和精度。

1 遲滯補(bǔ)償模型的構(gòu)建

壓電材料的遲滯非線性曲線由輸入位移信號(電壓)與實(shí)際輸出位移構(gòu)成,且輸入位移信號在一個來回運(yùn)動中曲線不重合,如圖1所示。遲滯曲線的復(fù)雜之處在于輸出位移由當(dāng)前輸入信號與歷史輸入信號共同決定,即存在記憶性。

圖1 遲滯曲線

本實(shí)驗(yàn)采用Physik Instrumente(PI)公司型號為S330的FSM,其結(jié)構(gòu)如圖2所示。該款FSM由對稱分布的4個高分辨率的壓電陶瓷作為驅(qū)動器,通過鉸鏈連接反射鏡背面,位于垂直、水平方向上的兩對壓電陶瓷串聯(lián)共享100 V固定電壓,通過改變電壓使壓電陶瓷形變,進(jìn)而驅(qū)動鏡面在兩個自由度內(nèi)轉(zhuǎn)動,以控制光束的指向,如圖3所示。

圖2 FSM驅(qū)動器位置示意圖

圖3 FSM結(jié)構(gòu)示意圖

1.1 基于Madelung法則進(jìn)行遲滯主環(huán)建模

德國科學(xué)家Madelung于上世紀(jì)初對壓電遲滯效應(yīng)進(jìn)行了總結(jié)歸納,得到了包括唯一性、閉合性和擦除性的Madelung法則。該法則也是所有科研人員在遲滯模型構(gòu)建時需要遵循的標(biāo)準(zhǔn)?；贑ao等[9]的啟發(fā),本節(jié)對FSM的復(fù)雜遲滯模型進(jìn)行了結(jié)構(gòu)上的簡化,旨在構(gòu)造一組能夠描述遲滯主環(huán)的基本遲滯算子,且易于數(shù)據(jù)處理與計(jì)算。遲滯環(huán)的兩個拐點(diǎn)是描述其遲滯特性的關(guān)鍵,本文從遲滯環(huán)的擦除性出發(fā),采用相應(yīng)的算法與硬件設(shè)備,具體數(shù)據(jù)的采集與處理流程如圖4所示。

圖4 基于單調(diào)棧存儲當(dāng)前拐點(diǎn)

假設(shè)隨機(jī)輸入信號生成了一系列拐點(diǎn)A0,A1,…,Am,與之對應(yīng)的位移x0,x1,…,xm,將所有拐點(diǎn)分成左、右拐點(diǎn),分別存入兩個基于位移嚴(yán)格遞減的棧中。若下一次要入棧的拐點(diǎn)超出了當(dāng)前棧頂?shù)墓拯c(diǎn)范圍,則會對棧頂元素進(jìn)行更新,直到兩棧重新滿足單調(diào)遞減。如圖4中的xm-2和xm-3被新入棧的xm和xm-2覆蓋,這體現(xiàn)了Madelung的擦除性。

假設(shè)一組輸入信號從點(diǎn)A0上升運(yùn)動到A′0,用fA0A′0(x)表示其軌跡,并簡潔表示為f0(x),則有:

(1)

式中ai為需要辨識的參數(shù)。運(yùn)動軌跡到達(dá)A′0后下降回到A0,即為一個完整遲滯環(huán)。因?yàn)闃?gòu)建的遲滯曲線是嚴(yán)格的中心對稱,故上升曲線fA0A′0(x)上的任意一點(diǎn)(x,fA0A′0(x))和下降曲線fA′0A0(x)上的點(diǎn)(xt,fA′0A0(xt))存在如下數(shù)學(xué)關(guān)系:

(2)

(3)

fA′0A0(x)=y′0+y0-f0(x0+x′0-x)

x∈[x0,x′0]

(4)

基于Cao等[9]給出的推論,對輸入信號依次生成的所有拐點(diǎn)A0,A1,…,Am中任意一組在點(diǎn)Ak-1到Ak的遲滯曲線fAk-1Ak(x),當(dāng)k分別為奇數(shù)和偶數(shù)時,有:

fAk-1Ak(x)=yk+y0-f0(x0+xk-x)

(5)

fAk-1Ak(x)=yk+y0+f0(x0-xk+x)

(6)

式中k=1,2,…,m。式(5)、(6)表明,任意一條遲滯曲線fAk-1Ak(x)都由起始點(diǎn)Ak-1決定,符合Madelung法則?；谏鲜龇治?適用于計(jì)算機(jī)的軌跡構(gòu)造算法流程如圖5所示。

圖5 基于單調(diào)棧的拐點(diǎn)存儲機(jī)制

1.2 基于IDE-BPNN的次遲滯環(huán)建模

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(BPNN) 是一種常用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,結(jié)構(gòu)簡單可塑性強(qiáng),但其常見的訓(xùn)練算法存在收斂較慢,全局尋優(yōu)能力不足等缺點(diǎn)。本文設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的差分進(jìn)化算法(IDE)對BPNN進(jìn)行參數(shù)訓(xùn)練,寫作IDE-BPNN。其整思路為:將預(yù)測值與實(shí)際值做差,并計(jì)算相應(yīng)的MSE值作為訓(xùn)練目標(biāo)函數(shù)。當(dāng)MSE最小時,權(quán)重和閾值對舊的權(quán)重與閾值進(jìn)行替換,依次迭代,進(jìn)而得到符合條件的權(quán)重和閾值。

BPNN方面,基于前文推論以及式(4)、 (5),對FSM的一組壓電制動軸的輸入信號x進(jìn)行空間擴(kuò)張,得到輸入量為(x,f(x)),整體的輸出為

(7)

式中θ代表所有需要辨識的權(quán)重與偏置。IDE方面,控制參數(shù)的選擇是決定其性能的關(guān)鍵因素。對于訓(xùn)練所用種群數(shù)量NP,Stron等[7]推薦范圍為5D～10D,其中D為訓(xùn)練參數(shù)維度。后續(xù)研究認(rèn)為對于低維問題,NP建議設(shè)置為100,對于高緯度問題應(yīng)設(shè)置為3D～5D。

對于變異算子F和交叉算子CR,其中F決定偏移向量縮放比例,Storn等[7]認(rèn)為其常用選擇范圍在[0.4,1],通常設(shè)置為0.5。CR代表隨機(jī)變異向量占所有向量的比例,范圍為[0,1],其值越大,收斂越快,可先用較大的CR值(0.9以上)來驗(yàn)證算法是否收斂。若種群收斂過快,則應(yīng)該增加F和NP的值。

基于以上分析,重點(diǎn)針對變異算子F和交叉算子CR的選取進(jìn)行優(yōu)化,設(shè)計(jì)的IDE算法整體流程如下:

1) 初始化

在有界區(qū)域隨機(jī)初始化種群:

θi,G=[θi,1,G,θi,2,G,…,θi,D,G]

(8)

θi,j=θmin,j+randi,j[0,1](θmax,j,θmin,j)

(9)

式中:i=1,2,…,NP;j=1,2,…,D;0≤randi,j[0,1]≤1,表明生成[0,1]范圍內(nèi)的一個隨機(jī)數(shù),NP表示總體規(guī)模,D表示參數(shù)維度,本文考慮的屬于低維問題(D<30),NP可直接設(shè)置為100;θmax,θmin表示變量θ的邊界;G=0,1,2,…,Gmax,為當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)。

2) 突變

末次給藥當(dāng)日，每組各取小鼠10只，每只小鼠ip 2%淀粉1 mL，24 h后每只小鼠ip新鮮配置的5%雞紅細(xì)胞0.5 mL［7］。處死小鼠，剪開腹部皮膚，經(jīng)腹膜注射生理鹽水2 mL，輕揉腹部1 min后，吸出腹腔洗液涂片于載玻片上。將玻片置于37℃、5%CO2培養(yǎng)箱溫育30 min，用生理鹽水漂洗、晾干，用丙酮‐甲醇溶液1∶1固定2 min。晾干后，涂片Giemsa染色30 min，蒸餾水漂洗，磷酸鹽緩沖液分色，晾干。油鏡下計(jì)數(shù)200個巨噬細(xì)胞，計(jì)算巨噬細(xì)胞吞噬百分率和吞噬指數(shù)。

每一代的突變向量由其中兩個向量的權(quán)重差與第3個獨(dú)立向量共同基于一種突變算子生成。常用突變算子有rand/1、best/1、best/2及current-to-best/1等, 其中rand/1、rand/2算子探索能力更好,而best/1、best/2類的算子開發(fā)能力更好。因此,為了綜合種群的探索能力與開發(fā)能力,本文綜合了rand/1和current-to-best/1算子,改進(jìn)了突變策略,每次迭代時設(shè)置判決閾值為0.5,并基于此判決閾值自適應(yīng)選擇算子。偽代碼如下:

突變算子修改方案:

if rand[0,1]>0.5using“rand/1”

else using“current-to-best/1”

end

3) 交叉

在變異階段后,通過交叉方式生成新的實(shí)驗(yàn)向量,以增加整個種群多樣性。

(10)

式中:i=1,2,…,NP;j=1,2,…,D。為避免F過大降低了算法效率,F太小降低了種群多樣性,故采用如下自適應(yīng)計(jì)算公式:

(11)

由式(11)可見,F在訓(xùn)練早期值會較大,保證了種群的多樣性;隨著迭代次數(shù)G的增加,F逐漸降低,在保留了較優(yōu)秀的遺傳信息,增加搜索全局最優(yōu)解能力的同時,也提升了算法效率。同樣的,CR值的選取也會在偏重種群多樣性與偏重算法效率之間產(chǎn)生矛盾,故采用如下公式:

CR=(CRmax-CRmin)×

(12)

4) 選擇

為決定實(shí)驗(yàn)向量Ui,G能否繼承到下一代,將目標(biāo)向量和實(shí)驗(yàn)向量進(jìn)行對比,適應(yīng)度更高的一方將繼承到下一代:

(13)

5) 終止條件

重復(fù)步驟2)-4),G=G+1,當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到設(shè)定值(G>Gmax),或者均方誤差滿足設(shè)定條件時,訓(xùn)練結(jié)束。

將以上IDE算法訓(xùn)練流程內(nèi)嵌入BPNN訓(xùn)練流程,并將所得最優(yōu)參數(shù)向量設(shè)為BPNN的最佳連接權(quán)值進(jìn)行前向傳播,預(yù)測并計(jì)算誤差,即為完整的算法訓(xùn)練流程。

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)采用PI公司型號為S330的快速反射鏡,工作角度范圍為±1 mrad,輸入電壓范圍為0～100 V,工控機(jī)為主控單元,CCD作為測量單元,采樣頻率為1 MHz,采樣深度為16位數(shù)據(jù)采集卡。本款快速反射鏡x、y軸的工作原理以及采用的壓電陶瓷型號均相同,相互之間耦合度很低,故可固定其中一軸于水平位置(驅(qū)動電壓置為50 V),單獨(dú)對一軸(x軸)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

在使用模型前要先進(jìn)行參數(shù)辨識,首先辨識遲滯主環(huán)參數(shù)。輸入信號為30 Hz,峰值為100 V的正弦信號,得到快速反射鏡的主遲滯環(huán)。根據(jù)前文論述,采用最小二乘法擬合曲線f0(x)。相關(guān)系數(shù)R2是衡量擬合效果的重要指標(biāo),其值越接近1,代表擬合效果越好。經(jīng)過對比運(yùn)算,選擇采用五階最小二乘法時,其R2=0.995 96,能較好地兼顧擬合精度和運(yùn)算復(fù)雜度。實(shí)際測量與最小二乘擬合的數(shù)據(jù)如圖6所示。為便于分析,對測得數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理,具體表達(dá)式為

f0(x)=-0.134 7x5+0.544 4x4-

0.794 5x3+0.713 5x2+0.671 2x

(14)

圖6 遲滯主環(huán)建模

通過遲滯內(nèi)環(huán)可辨識神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。向快速反射鏡輸入一組幅值遞減的三角信號x(t),得到輸出角度信號y(t),并將同樣的輸出加入上文構(gòu)建的遲滯算子中得到輸出為f(x(t))。實(shí)際采集到600組數(shù)據(jù),其中300組用于訓(xùn)練,剩下300組用于模型驗(yàn)證。IDE-BPNN的參數(shù)辨識框圖如圖7所示,將上述輸入、輸出數(shù)據(jù)離散化,得到集合{(xk,f(xk))}和{yk},分別作為訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)的輸入、輸出數(shù)據(jù)。其中k=1,2,…,N,N為輸入數(shù)據(jù)個數(shù),即N=300。

圖7 IDE-BPNN參數(shù)辨識框圖

基于1.2小節(jié)中介紹的方法進(jìn)行IDE-BPNN訓(xùn)練,加入經(jīng)典DE算法[7]作為對照,設(shè)置參數(shù)NP=100,F=0.6,CR=0.6;IDE基本參數(shù)保持不變:Fmax=0.9,Fmin=0.2,CRmax=0.6,CRmin=0.1,迭代次數(shù)為200,訓(xùn)練結(jié)果如表1所示。由表可見,兩種方法均表現(xiàn)出較好的性能,IDE的精度相對更高。

表1 IDE與DE算法結(jié)果對比

將剩余300組30Hz的的數(shù)據(jù)集如圖8所示輸入到訓(xùn)練好的IDE-BPNN模型中進(jìn)行驗(yàn)證,并與文獻(xiàn)[10]介紹的最小二乘建模法進(jìn)行比較,對比完整遲滯模型和實(shí)際輸出之間的誤差。為了更好地量化與評估性能,采用歸一化的思想對輸出結(jié)果進(jìn)行處理。歸一化最大誤差(NME)eN和歸一化均方根誤差(NRMSE)eR的計(jì)算公式分別為

(15)

(16)

式中yai和yi分別為實(shí)際角度與預(yù)測角度。輸入電壓信號如圖8所示。

圖8 30 Hz模型驗(yàn)證所用的輸入信號

兩組輸出數(shù)據(jù)集誤差對比如圖9所示。由圖可見,最小二乘擬合模型的最大誤差為6.63 μm,eN=2.86%,eR=2.47%。IDE-BPNN模型的最大誤差為0.745 μm,eN=0.87%,eR=0.36%,與最小二乘建模相比,誤差明顯減小,且分布更均勻合理。

圖9 IDE-BPNN與最小二乘擬合的誤差對比

3 結(jié)束語

本文針對PI公司的S330壓電驅(qū)動FSM的遲滯效應(yīng),構(gòu)建了相應(yīng)的對稱遲滯算子,并基于IDE-BPNN訓(xùn)練所得的遲滯模型進(jìn)行精確擬合。訓(xùn)練過程中,IDE相對于經(jīng)典DE算法性能更優(yōu);建模性能上,IDE-BPNN的最大誤差。eN和eR相對于最小二乘法建模有顯著減小。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,將IDE-BPNN應(yīng)用于該類FSM的遲滯擬合中是可行且有效的,可進(jìn)一步在有著相同工作機(jī)理的FSM中進(jìn)行研究與推廣。