帶多參數(shù)的Bézier曲線擴(kuò)展及參數(shù)幾何意義

程黃和　王鳳蘭

摘 要：提出一類新的帶多參數(shù)的Bernstein基函數(shù)，該類基函數(shù)具有與Bernstein基函數(shù)相類似的非負(fù)性、規(guī)范性、對(duì)稱性和端點(diǎn)性，并定義了一類帶多形狀參數(shù)的Bézier曲線，分析了該類曲線中形狀參數(shù)的幾何意義，通過選取不同的形狀參數(shù)，對(duì)曲線形狀的調(diào)整可以精確偏向某一確定的控制頂點(diǎn)，使曲線形狀的調(diào)整更加靈活多變．

關(guān)鍵詞：Bézier曲線；調(diào)配函數(shù)；形狀參數(shù)

中圖分類號(hào)：TP 391.41文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1007-6883（2023）03-0006-07

DOI：10.19986/j.cnki.1007-6883.2023.03.002

Bézier曲線是自由型曲線曲面設(shè)計(jì)中常用的曲線之一．雖然Bézier曲線具有諸多優(yōu)點(diǎn)，但也有一些不足．例如：對(duì)于Bézier曲線曲面而言，當(dāng)選定曲線曲面次數(shù)以后，其形狀便由控制頂點(diǎn)唯一確定，當(dāng)對(duì)曲線的形狀不滿意時(shí)，只能通過調(diào)整控制頂點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)．但有理Bézier曲線［1］和有理B-樣條曲線［2］中的權(quán)因子以及帶形狀參數(shù)的均勻B樣條曲線［3］中的形狀參數(shù)都具有調(diào)整曲線形狀的作用．為此，近年來學(xué)者們提出了多種帶形狀參數(shù)的Bézier曲線曲面［3-19］．這些曲線曲面有的定義在多項(xiàng)式函數(shù)空間上［2-15］，利用多項(xiàng)式思想對(duì)Bézier曲線進(jìn)行拓展，有的定義在非多項(xiàng)式函數(shù)空間上［15-20］，利用代數(shù)雙曲思想對(duì)Bézier曲線進(jìn)行拓展［15-19］，或利用三角多項(xiàng)式思想對(duì)Bézier曲線進(jìn)行拓展［20］．按形狀參數(shù)的個(gè)數(shù)劃分，有帶單形狀參數(shù)的擴(kuò)展曲線［2-8］，帶雙形狀參數(shù)的擴(kuò)展曲線［12-14］，帶三形狀參數(shù)的擴(kuò)展曲線［11］，還有形狀參數(shù)的個(gè)數(shù)隨著曲線的次數(shù)變化而變化的多參數(shù)曲線擴(kuò)展［9-10］．帶形狀參數(shù)的曲線曲面在自由曲線曲面設(shè)計(jì)中有著廣泛的應(yīng)用［20-21］．

這些曲線曲面的共同點(diǎn)是通過構(gòu)造含參數(shù)的調(diào)配函數(shù)，然后用調(diào)配函數(shù)與控制頂點(diǎn)來定義曲線曲面．正是因?yàn)檎{(diào)配函數(shù)中含有參數(shù)，參數(shù)值的選取不同，即使不改變控制頂點(diǎn)的情況下，曲線曲面的形狀依然可以通過改變形狀參數(shù)的取值來進(jìn)行調(diào)整．

針對(duì)現(xiàn)有帶形狀參數(shù)Bézier曲線曲面中形狀參數(shù)的幾何意義不明確，本文首先分析一類二次擴(kuò)展Bézier曲線中形狀參數(shù)的幾何意義，然后根據(jù)其形狀參數(shù)的幾何意義提出了一類帶多參數(shù)的Bézier曲線，并分析了各形狀參數(shù)的幾何意義．

1 擴(kuò)展二次Bézier曲線中形狀參數(shù)的幾何意義

文獻(xiàn)［4］中定義了以下帶參數(shù)的二次Bernstein基函數(shù)

即曲線需要偏向控制頂點(diǎn)[Pi]還是偏向控制頂點(diǎn)[Pi-1]，通過調(diào)整[ωni（i=1，2，…，n）]的值，對(duì)[P2（t）]的形狀進(jìn)行微調(diào)，同時(shí)帶多形狀參數(shù)的Bézier曲線[P（t）]的形狀也會(huì)做類似的調(diào)整．

圖3和圖4是具有相同控制頂點(diǎn)[P0（-0.8，0）]，[P1（-0.5，0.8）]，[P2（0.5，0.8）]，[P3（0.8，0）]，和參數(shù) [λ=ω32=0.5]，圖4中[ω33=0.5，][ω31]依次取[1，0.8，0.6，0.4，0.2，0]，而圖4中[ω31=0.5，][ω33]依次取1，0.8，0.6，0.4，0.2，0的帶多形狀參數(shù)的三次Bézier曲線．比較圖3和圖4可以看出，隨著參數(shù)[ωni]取值的改變，帶多形狀參數(shù)的三次Bézier曲線的形狀會(huì)得到調(diào)整，與圖2比較發(fā)現(xiàn)，形狀參數(shù)[ωni]取值的改變對(duì)曲線形狀的調(diào)整與形狀參數(shù)[λ]取值的改變對(duì)曲線形狀的調(diào)整具體不同的效果．形狀參數(shù)[ωni]取值的改變對(duì)曲線形狀的調(diào)整形狀的調(diào)整可以偏向某一確定的控制頂點(diǎn)，更加靈活多變．因此通過改變參數(shù)[ωni]的取值，可以更好的對(duì)曲線形狀進(jìn)行更加精細(xì)的微調(diào)．

圖5是花瓣圖形．每片花瓣都是由若干條帶多形狀參數(shù)的三次Bézier曲線構(gòu)成，其首末端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，中間控制頂點(diǎn)為六邊形的邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)頂點(diǎn)．每片花瓣的形狀略有不同．這是因?yàn)槊科ò陮?duì)應(yīng)的帶多形狀參數(shù)的三次Bézier曲線中，參數(shù)[λ]都依次取0.2，1，1.4，1.8，且每片花瓣參數(shù)[λ]的都取相同值，這樣確保了每片花瓣的整體形狀相同，但每片花瓣對(duì)應(yīng)的參數(shù)[ωni]取值不同，花瓣Ⅰ至花瓣Ⅵ，[ωni]的取值為以下[ω]矩陣所對(duì)應(yīng)的行向量，因此每片花瓣的形狀可以細(xì)微的調(diào)整．

5 總結(jié)

文章分析了一類擴(kuò)展二次Bézier曲線中形狀參數(shù)的幾何意義，提出一類帶多參數(shù)的Bernstein基函數(shù)，定義了一種帶多形狀參數(shù)的Bézier曲線，指出了帶多形狀參數(shù)Bézier曲線中形狀參數(shù)的幾何意義，在自由曲線曲面設(shè)計(jì)時(shí)，可以通過調(diào)整不同形狀參數(shù)，更好地對(duì)曲線形狀進(jìn)行微調(diào)．

參考文獻(xiàn)：

［1］Farin G．Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design［M］．New York：Academic press，1988：219-246．

［2］Piegl L．Modifying the shape of rational B-splines，part 1：Surfaces［J］．Computer-Aided Design，1989，21（9）：538-546．

［3］王文濤，汪國昭．帶形狀參數(shù)的均勻B-樣條曲線［J］．計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2004，16（5）：783-788．

［4］韓旭里，劉圣軍．二次Bézier曲線的擴(kuò)展［J］．中南工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003，34（2）：214-217．

［5］程黃和．逼近插值于一體的二次Bézier曲線同次擴(kuò)展［J］．韓山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2020，41（3）：7-10．

［6］嚴(yán)蘭蘭，梁炯豐，黃濤．帶形狀參數(shù)的Bézier曲線［J］．合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，32（11）：1783-1788．

［7］嚴(yán)蘭蘭，鄔國根．Bézier方法的新擴(kuò)展［J］．合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，36（5）：625-631．

［8］程黃和，曾曉明．帶形狀參數(shù)的Bézier曲線［J］．廈門大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科版，2006，45（3）：320-322．

［9］鄔弘毅，夏成林．帶多個(gè)形狀參數(shù)的Bézier曲線與曲面的擴(kuò)展［J］．計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2005，17（12）：2607-2612．

［10］劉植，陳曉彥，江平．帶多形狀參數(shù)的廣Bézier曲線曲面［J］．計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2010，22（5）：838-844．

［11］王成偉，張卷美．三次Bézier曲線另一種帶三參數(shù)的新擴(kuò)展及其應(yīng)用［J］．北京電子科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2021，29（1）：47-53．

［12］杭后俊，余靜，李汪根．三次Bézier曲線的一種雙參數(shù)擴(kuò)展及應(yīng)用［J］．計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2010，46（31）：178-180+205．

［13］李軍成，劉成志．帶兩個(gè)形狀參數(shù)的同次Bézier曲線［J］．計(jì)算數(shù)學(xué)，2017，39（2）：115-128．

［14］葸海英，張貴倉．帶兩個(gè)參數(shù)的擬Bézier曲線［J］．計(jì)算機(jī)科學(xué)，2014，41（11A）：100-102+122．

［15］張貴倉，拓明秀，蘇金鳳．一種帶形狀參數(shù)的奇異混合擬Bézier曲線［J］．計(jì)算機(jī)工程與科學(xué)，2021，43（5）：897-906．

［16］陳素根，黃有度．帶多形狀參數(shù)的雙曲Bézier曲線［J］．工程圖學(xué)學(xué)報(bào)，2009，30（1）：75-79．

［17］張錦秀，檀結(jié)慶．代數(shù)雙曲Bézier曲線的擴(kuò)展［J］．工程圖學(xué)學(xué)報(bào)，2011，32（1）：31-38．

［18］嚴(yán)蘭蘭，韓旭里，周其華．二次雙曲Bézier曲線曲面［J］．計(jì)算機(jī)工程與科學(xué)，2015，37（1）：162-167．

［19］吳蓓蓓，殷俊鋒，金猛，等．基于新指數(shù)基函數(shù)的有理二次三角Bézier曲線［J］．上海師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2017，46（3）：410-416．

［20］王曾珍，劉華勇，查東．帶形狀參數(shù)的三角β-B曲線的漸進(jìn)迭代逼近［J］．山東大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2021，56（6）：821-94．

［21］李軍成，宋來忠．利用帶形狀參數(shù)的有理勢函數(shù)構(gòu)造基于Metaball的過渡曲線［J］．浙江大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2017（3）：307-313．

Extension of Bézier Curves with Multiple Parameters and

Geometric Significance of the Parameters

CHENG Huang-he1， WANG Feng-lan2

（1. Department of Public Basic Course Education， Shantou Preschool Education College in Guangdong， Shantou， Guangdong， 515078；2. College of Electronic and Information Engineering， Shantou Polytechnic， Shantou， Guangdong， 515078）

Abstract：In this paper，a new class of Bernstein basis functions with multiple parameters is proposed，which have non-negativity，normality，symmetry and endpoint property similar to Bernstein basis functions. A class of Bézier curves with multiple shape parameters is defined，and the geometric significance of shape parameters in these curves is analyzed. By selecting different shape parameters，the curve shape can be adjusted to precisely favor a certain defined control vertex，making the curve shape adjustment more flexible and variable.

Key words：Bézier curves；blending functions；shape parameters

責(zé)任編輯 朱本華

收稿日期：2022-09-01

作者簡介：程黃和（1980-），男，安徽安慶人，廣東汕頭幼兒師范高等?？茖W(xué)校公共基礎(chǔ)課教學(xué)部講師．