數(shù)學(xué)“微專題”教學(xué)設(shè)計的思考與探究

曹榮榮

［摘? 要］ 近年來，隨著新課改的推進(jìn)與深入，微專題復(fù)習(xí)課模式受到了廣大教育工作者的關(guān)注與認(rèn)同. 文章從微專題的主要特征“微”和“?！背霭l(fā)，以蘊(yùn)含“軌跡思想”的微專題教學(xué)為例，具體從基礎(chǔ)訓(xùn)練、典型例題等方面對微專題的實施展開討論，并從兩方面提出相應(yīng)的教學(xué)思考：主題明確，便于領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法；揭露本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生思維回歸自然.

［關(guān)鍵詞］ 微專題；軌跡思想；本質(zhì)

微專題是指立足學(xué)生的實際認(rèn)知水平、教學(xué)情況與考試大綱的要求，選擇一些角度新穎、切入口小、針對性強(qiáng)的微型復(fù)習(xí)專題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì). 近年來，筆者在高三二輪復(fù)習(xí)課中，常以微專題的形式進(jìn)行，收效頗豐.

微專題的實施主要是將某知識點或方法作為一個主題，從該知識或方法的最初階段著手探索、分析，通過一條主線將各個問題連接起來，漸漸深入到問題的核心，編制成可在一兩節(jié)課即可完成的小專題［1］. 學(xué)生通過此類短小、精悍的專題教學(xué)活動，能有效彌補(bǔ)知識盲點，強(qiáng)化對知識的理解，達(dá)到糾錯的目的.

微專題教學(xué)的主要特征

1. 微

微專題中的“微”主要凸顯在教學(xué)內(nèi)容的微，這是在既定教學(xué)主題下組織起來的教學(xué)活動，主要集中精力突破一個知識點或一類問題，由此能看出微專題的切口很小. 同時，在教學(xué)理念上，微專題強(qiáng)調(diào)的是“以生為本”的理念，教學(xué)設(shè)計都從學(xué)生的基本需求出發(fā)，挖掘出學(xué)生的知識薄弱點，并加以總結(jié)，將各個問題串聯(lián)成循序漸進(jìn)的知識鏈，構(gòu)成從真正意義上滿足學(xué)生真正需求的專題教學(xué).

微還表現(xiàn)在教學(xué)策略上，教師將一些雜亂無章的問題攏到一起，加以梳理，使得原本毫無頭緒的知識變得有章可循，學(xué)生可從重新整合的知識體系中感知、體悟整個知識系統(tǒng)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

2. 專

微專題中的“微”為形式，“專”為本質(zhì). 微專題的設(shè)計先要選擇有價值的主題，建構(gòu)有價值的主題，主要從知識點的誕生、考點的細(xì)化、易錯點的辨析、思維角度的轉(zhuǎn)變以及難點的突破等方面出發(fā)［2］.

針對性強(qiáng)、切口小的微專題設(shè)計，不僅能增強(qiáng)學(xué)生對知識理解的深度，還能幫助學(xué)生獲得良好的知識網(wǎng)與系統(tǒng)的研究方法，深化學(xué)生對知識寬度的理解，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

提出問題

軌跡思想是高三復(fù)習(xí)階段的重點思想之一. 一般是指根據(jù)問題的基本特征，探究問題中變量所對應(yīng)的動點運行軌跡，借助軌跡方程中變量的制約關(guān)系或直觀的圖形來解決問題的一類數(shù)學(xué)思想方法. 講授新課時，對照課標(biāo)要求，對曲線與方程的教學(xué)目標(biāo)不是太高，導(dǎo)致學(xué)生對用軌跡思想轉(zhuǎn)化問題的重視程度不夠，在真正應(yīng)用時變得手忙腳亂. 因此，在高三復(fù)習(xí)階段，筆者特別針對“軌跡思想的應(yīng)用”設(shè)計了一節(jié)微專題復(fù)習(xí)課，現(xiàn)呈現(xiàn)出來，與同行共享！

基礎(chǔ)訓(xùn)練

例1 已知圓（x－3）2+（y－3）2=r2（r＞0）上與直線l：3x+4y=11的距離為1的點有兩個，求r的取值范圍.

分析 本題圓的半徑是變化的，而圓心與直線的距離為2，當(dāng)圓的半徑大于1時，圓上就有兩點與直線l的距離是1，學(xué)生在此處容易忽略圓的半徑若繼續(xù)變大，就可能出現(xiàn)三個或四個點與直線l的距離是1的情況. 本題給了兩個條件：①點在動圓上；②點與直線l的距離為1. 至此，就要思考與一條定直線的距離為1的點有怎樣的軌跡.

例2 若圓C：（x－m）2+（y－2m）2=4上恒存在兩點與原點的距離為1，求實數(shù)m的取值范圍.

典型例題

例4 如圖1所示，已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（0，3），直線l：y=2x－4. 若圓心位于l上的圓C的半徑是1.

問題：（1）若圓心C也位于直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；

（2）若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C橫坐標(biāo)的取值范圍.

分析 （1）略.

不少學(xué)生獲得圓D的方程后，就將目光聚焦在點M位于圓C，D上，聯(lián)立方程x2+（1+y）2=4，（x－a）2+（y－2a+4）2=1，消掉x或y，將問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于y或x的一元二次方程，嘗試用代數(shù)法求解，最終卻無功而返.

出現(xiàn)這種問題的主要原因在于學(xué)生習(xí)慣從代數(shù)的角度去思考問題，長此以往弱化了從幾何角度分析問題的能力. 本題若從幾何的角度去分析，可知點M既在圓D上運動，又在動圓C上運動，那么本題就自然而然轉(zhuǎn)化成了兩圓存在公共點的問題，也就是兩圓呈相切或相交的關(guān)系.

解析 根據(jù)MA=2MO，可知點M的活動軌跡即阿波羅尼斯圓. 不少學(xué)生在獲得阿波羅尼斯圓D的方程后，就將目光聚焦到點M位于圓C，D上，聯(lián)立方程x2+（1+y）2=4，（x－a）2+（y－2a+4）2=1，

消掉x或y，將問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于y或x的一元二次方程，嘗試用代數(shù)法進(jìn)行求解，最終卻無功而返.

反思 從第（2）問來看，解決此問的突破口在于根據(jù)題設(shè)條件獲得點M的活動軌跡，而此軌跡正是學(xué)生所熟悉的阿波羅尼斯圓，進(jìn)而將問題化歸為兩圓的位置關(guān)系. 阿波羅尼斯圓模型在近些年的高考試題中常有出現(xiàn)，因此師生應(yīng)加強(qiáng)這部分知識的訓(xùn)練.

分析 此題為三角形問題，想要確保三角形的面積最大，常規(guī)想法是利用三角形面積公式與余弦定理等，將三角形的面積表達(dá)式處理為目標(biāo)函數(shù)，但涉及的運算有一定難度，不少學(xué)生即使知道解題方法，也卡在運算上，最終只能是半途而廢.

如圖2所示，以AB為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

例6 已知點A（0，1），B（1，0），C（t，0），點D為直線AC上的一個動點，假設(shè)AD≤2BD的關(guān)系恒成立，那么t值的最小正整數(shù)是多少？

分析 本題先要考慮如何轉(zhuǎn)化AD≤2BD這個關(guān)系，學(xué)生經(jīng)歷了之前的探究活動，對軌跡思想的內(nèi)涵已經(jīng)有了一定的了解，在此自然而然地會聯(lián)想到求點D的軌跡. 從解題經(jīng)驗與直覺出發(fā)，大部分學(xué)生都猜到了點D的軌跡和阿波羅尼斯圓有著密切聯(lián)系，點D的位置可能在圓上，也不排除在圓外的可能. 經(jīng)過探索、分析與交流，學(xué)生一致認(rèn)為點D的位置在圓上或圓外，直線AC和圓最多只有一個公共點，因此直線AC和圓應(yīng)該是相離或相切的關(guān)系.

教學(xué)思考

1. 主題明確，便于領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法

動點軌跡問題是高中階段需要研究的幾何基本問題之一，也是學(xué)生思維難點之一. 求出曲線的軌跡方程，并利用軌跡方程來研究曲線的基本性質(zhì)是解析幾何的重點. 研究此類問題的主要方法是坐標(biāo)法，即利用坐標(biāo)將幾何問題表示為代數(shù)形式，在此基礎(chǔ)上再用代數(shù)法來解決相應(yīng)的幾何問題.

設(shè)計軌跡思想應(yīng)用的微專題，能有效促進(jìn)學(xué)生學(xué)會用運動的眼光看待數(shù)學(xué)問題，并利用數(shù)形結(jié)合思想來轉(zhuǎn)化復(fù)雜的問題. 經(jīng)過本專題的實施，學(xué)生不僅掌握了與軌跡相關(guān)的解題方法和數(shù)學(xué)模型，還逐漸抽象出了軌跡思想.

如例4，解決問題的難點是如何探索出動點M的運動軌跡，而題設(shè)條件并未明確展示求動點M的軌跡或軌跡方程. 此處，學(xué)生思維卡殼的關(guān)鍵因素是未從MA=2MO這個條件中，想到點M的軌跡為圓，若能獲得點M的軌跡方程，再與圓C的方程聯(lián)立，經(jīng)過消元即可將聯(lián)立的方程組轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的一元二次方程求解，但想用判別式法來求解，卻難以完成.

因此，教師可引導(dǎo)學(xué)生從軌跡思想的角度進(jìn)行思考，把問題轉(zhuǎn)化成直觀、形象的兩圓位置關(guān)系來分析，并讓學(xué)生領(lǐng)會到，一旦遇到與阿波羅尼斯圓相關(guān)的問題時，解題的關(guān)鍵在于將問題進(jìn)行以下轉(zhuǎn)化：①將動點滿足的幾何條件，通過一定的手段轉(zhuǎn)化成動點軌跡；②將動點存在問題，應(yīng)用一定的方法轉(zhuǎn)化成兩曲線的公共點問題.

如例6為一道恒成立的問題，若應(yīng)用軌跡思想來分析，可采用數(shù)形結(jié)合方法將問題轉(zhuǎn)化成學(xué)生拿手的直線和圓位置關(guān)系的問題，如此轉(zhuǎn)化可有效減少運算量，深化學(xué)生對阿波羅尼斯圓的認(rèn)識與理解. 由此也能看出，適當(dāng)、合理的數(shù)形結(jié)合方法是解決這一類問題的重要方法.

經(jīng)過一系列探索與研究，學(xué)生不僅獲得了解決軌跡問題的常用方法，并在解決過程中形成了科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度. 不論是數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，還是軌跡思想方法，都能為學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

2. 揭露本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生思維回歸自然

微專題教學(xué)，須給學(xué)生留下充裕的思考與探索時間，鼓勵學(xué)生在回顧、梳理與反思中重構(gòu)問題，體會知識的本質(zhì)與內(nèi)涵. 軌跡思想的專題復(fù)習(xí)，關(guān)鍵是讓學(xué)生自主生成軌跡思想，深化對軌跡問題的認(rèn)識. 深切體會軌跡思想是一種在運動的視角下，探尋動點的過程.它是一種典型的運動思想，通過對問題中的數(shù)和形的研究，可發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，能為獲得解題技巧奠定基礎(chǔ).

如例5，△ABC面積的改變，主要受點C位置變化的影響，只要能獲得點C的運動軌跡，就抓住了本題的求解關(guān)鍵.

求解軌跡類問題，一般需要抓住運動中恒定不變的量，或變量間互相依賴的關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)各量間具有怎樣的聯(lián)系，通過數(shù)形互助，探索出相關(guān)規(guī)律，將問題轉(zhuǎn)向便于理解與解決的道路上. 以上三個典型例題，均可將其轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的阿波羅尼斯圓模型，以便于求解. 作為教師，最關(guān)鍵的是要有意識地帶領(lǐng)學(xué)生從問題的“變”中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，再從“不變”中探索出“變”的規(guī)律，幫助學(xué)生從多角度、多層次去理解阿波羅尼斯圓的實質(zhì).

總之，微專題教學(xué)模式的優(yōu)勢，主要凸顯在知識的整合與優(yōu)化上. 教師在充分理解、尊重學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律的基礎(chǔ)上，設(shè)計以知識與方法為主線的教學(xué)模式，不僅能提高教學(xué)的針對性，還能幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識體系，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 呂增鋒. 數(shù)學(xué)“微專題教學(xué)”到底“微”在哪［J］. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2018（04）：33-34.

［2］ 李寬珍. 數(shù)學(xué)微專題教學(xué)的特征、策略及方法［J］. 教學(xué)月刊·中學(xué)版（教學(xué)參考），2016（09）：3-7.