基于Frenet-Serret框架的OFDR三維形狀重構(gòu)算法研究

辛瑋　汪路軍　劉煜　張學(xué)典　劉學(xué)靜

關(guān)鍵詞：三芯光纖；分布式形狀傳感；有限元；光頻域反射儀；應(yīng)變

中圖分類號(hào)：O 439 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

引言

光纖形狀傳感是近年來一個(gè)新的研究方向，該技術(shù)在航天變形翼形狀監(jiān)測、手術(shù)導(dǎo)管跟蹤、長距離電纜變形監(jiān)測等場合都具有較高的應(yīng)用價(jià)值[1-2]。光頻域反射法（optical frequency domainreflectometry， OFDR）可以做到分布式測量，利用鋪設(shè)在被測物體上的光纖，采用分布式測量光纖曲率的方法，通過一定的算法測量物體的形狀和位置，具有較高的空間分辨率。由于多芯光纖適用于大曲率情況，具有芯間各項(xiàng)同性等優(yōu)點(diǎn)，研究其重構(gòu)算法具有很大意義。

Miller 等[3] 提出將光纖近似劃分為圓弧，根據(jù)密切圓理論重構(gòu)算法由分布式應(yīng)變測量數(shù)據(jù)研究二維光纖形狀傳感。 Duncan 等[4] 結(jié)合OFDR技術(shù)，在一根1.1 m 的多芯光纖上蝕刻光纖布拉格光柵（fiber Bragg grating， FBG），實(shí)現(xiàn)了空間分辨率為1 cm 的二維和三維傳感。Moore 等[5]采用基于空間微分幾何的Frenet框架，將FBG傳感器置于多芯光纖中測量應(yīng)變值，用數(shù)值方法求解相應(yīng)方程，從而重構(gòu)了多芯光纖的形狀。Khan 等[6] 分別在形狀各異的模具中放入帶有FBG 傳感器的螺旋芯和直芯，發(fā)現(xiàn)螺旋芯更適合扭曲的測量應(yīng)用。楊濠琨[7] 采用FBG曲面重構(gòu)算法對(duì)機(jī)器人觸手形狀進(jìn)行了重構(gòu)。張新華[8]在基于正交曲率和Frenet 方程的三維重構(gòu)算法之上設(shè)計(jì)了基于FBG的無人機(jī)翼和蒙皮形變檢測系統(tǒng)。Khan 等[9] 利用Frenet框架，提出了一種基于四芯光纖的FBG 傳感器測量數(shù)據(jù)，重建醫(yī)療導(dǎo)管中心曲線的技術(shù)。傅程[10] 利用Frenet框架對(duì)光纖二維形狀進(jìn)行了還原。國內(nèi)外研究現(xiàn)狀主要集中在FBG傳感器與二維層面，F(xiàn)BG 傳感器往往受限于環(huán)境變化的影響，而基于瑞利散射的OFDR 光纖傳感技術(shù)能帶來更高的空間分辨率，實(shí)現(xiàn)全分布式監(jiān)測[11]?，F(xiàn)有文獻(xiàn)中尚未發(fā)現(xiàn) OFDR 傳感器結(jié)合Frenet 框架的三芯光纖三維重構(gòu)的報(bào)道。

本文首先從理論上分析了光纖應(yīng)變與光譜波長漂移量之間的物理關(guān)系，定義了三芯光纖表觀曲率向量，推出曲率和撓率的計(jì)算公式，引入Frenet-Serret 公式和插值擬合處理方法計(jì)算得出三維形狀還原曲線的積分方程； 接著利用ANSYS 有限元仿真軟件對(duì)S 形應(yīng)變數(shù)據(jù)進(jìn)行建模并提取，代入算法并重建S 形光纖；最后對(duì)重構(gòu)誤差進(jìn)行分析并提出改進(jìn)措施。

1 形狀重構(gòu)算法設(shè)計(jì)

1.1 理論基礎(chǔ)

光頻域反射技術(shù)通過測量傳感量產(chǎn)生的相位改變，采用相位補(bǔ)償思想，在解調(diào)后得到的光譜變化能反映應(yīng)變、溫度等傳感量的變化程度[12]。瑞利背向散射光譜的變化受應(yīng)變與溫度的影響可表示為

要實(shí)現(xiàn)三維空間形狀的測量，需要選取均勻分布的至少3根單模光纖或者三芯光纖對(duì)物體形狀改變的應(yīng)變進(jìn)行測量[13]。三芯光纖在彎曲時(shí)不容易受到損壞，具有較高的可靠性和可操作性，相比四芯或七芯光纖，三芯光纖更容易控制和操作，使得OFDR 測量更加精準(zhǔn)、高效。此外，三芯光纖的體積小、成本低，可以更輕松地安裝在測量物體上，更好地滿足大規(guī)模的測量需求。因此，本文選擇三芯光纖作為研究對(duì)象。

在應(yīng)變測量時(shí)，同一環(huán)境下溫度基本保持不變，因此溫度的變化往往可忽略。對(duì)K_ε進(jìn)行標(biāo)定之后，得到各個(gè)芯的頻譜漂移量和應(yīng)變的對(duì)應(yīng)關(guān)系。隨后采用合適的還原算法，對(duì)三維空間的光纖進(jìn)行原始形態(tài)的還原。

郭雅美[14] 提出了基于OFDR形狀傳感重構(gòu)算法，本文在此基礎(chǔ)上，加入樣條插值擬合，具體流程如圖1 所示。

一般運(yùn)用于形狀傳感的三芯光纖的截面圖如圖2所示。這里省略了涂覆層，光纖由纖芯、包層組成，纖芯之間以周向120°排布。θ_i是局部坐標(biāo)系的y 軸正方向與第 個(gè)纖芯位置之間的角度，θ_b是局部坐標(biāo)系中y 軸與光纖彎曲方向之間的角度，r 是纖芯與光纖幾何中心之間的距離。

2 分析與討論

2.1 模型建立

本文利用Ansys workbench 建立了三芯光纖有限元模型來驗(yàn)證算法的正確性，選取有利于提高計(jì)算精度的solid186 單元，建立了如圖3 所示的簡化幾何模型，光纖總長為50 mm。三芯光纖材料的具體參數(shù)如表1 所示。

2.2 重構(gòu)分析

為了更好地展現(xiàn)出光纖的三維形變，本文設(shè)定的光纖變形情況為S 形彎曲，從平面S 形彎曲的基礎(chǔ)上拓展到空間S 形彎曲，分別測量出彎曲時(shí)的位移云圖與軸向應(yīng)變分布圖，與應(yīng)變分布的實(shí)際情況進(jìn)行比較分析。最后將初始邊界條件和纖芯彎曲數(shù)據(jù)代入相關(guān)公式，運(yùn)用本文算法重構(gòu)出三芯光纖的曲線方程。

首先在15 mm 和35 mm 處分別施加兩個(gè)方向相反的1 mm 位移載荷，使三芯光纖產(chǎn)生二維面上的S 形彎曲，求解后得到的位移云圖如圖4 所示。

結(jié)合光纖長度分別提取3 個(gè)纖芯的軸向應(yīng)變值，繪制了平面S 彎曲時(shí)3 個(gè)纖芯的軸向應(yīng)變分布曲線圖，如圖5 所示。

拓展到三維空間，將原35 mm 處所施加徑向1 mm 位移載荷轉(zhuǎn)換到正交方向，其余條件不變，使三芯光纖產(chǎn)生空間S 形彎曲，提取3 個(gè)纖芯應(yīng)變數(shù)據(jù)，通過本文算法重構(gòu)光纖的形狀。求解后得到的位移云圖如圖6 所示。

結(jié)合光纖長度分別提取3 個(gè)纖芯的軸向應(yīng)變值，繪制了空間S 彎曲時(shí)3 個(gè)纖芯的軸向應(yīng)變分布曲線圖，如圖7 所示。

由圖4、5 可知，平面S 彎曲時(shí)兩端位移較小，彎曲部位位移最大，最大值為0.001 m 左右，光纖上的位移分布與彎曲情況相符；纖芯2 和纖芯3 應(yīng)變分布曲線幾乎重疊，變化走勢趨于一致，和纖芯1 的變化趨勢相反，在光纖的末端應(yīng)變值趨于0。應(yīng)變分布符合平面上S 彎曲時(shí)纖芯的實(shí)際情況。

由圖6、7 可知，空間S 彎曲時(shí)兩端位移較小，彎曲部位位移最大，最大值為0.001 m 左右，光纖上的位移分布與彎曲情況相符。纖芯1 和纖芯2 的軸向應(yīng)變值趨勢一致，和纖芯3 相反，在光纖的末端應(yīng)變值趨于0。應(yīng)變分布符合空間S 彎曲時(shí)纖芯的實(shí)際情況。

將初始邊界條件和纖芯彎曲數(shù)據(jù)代入式（10）和式（14），即可重構(gòu)出三芯光纖的曲線方程。三芯光纖的重構(gòu)曲線方程可由初始邊界條件和纖芯應(yīng)變數(shù)據(jù)得到，對(duì)于光纖實(shí)際曲線，在ANSYS 仿真軟件的模型中間建立path，分別提取每個(gè)位置在x， y 方向的變形得到。圖8 所示為光纖實(shí)際曲線對(duì)比重構(gòu)曲線圖，由圖可知，該算法還原光纖三維形狀的效果非常好。

由圖可見，位置誤差隨著光纖長度的增加逐漸增加，最大位置誤差在末端。誤差來源主要是對(duì)彎曲曲率和彎曲方向的樣條插值誤差以及Frenet 框架還原會(huì)出現(xiàn)奇異點(diǎn)等問題。均方根誤差計(jì)算結(jié)果為0.996 mm，計(jì)算得到單位長度誤差最大值為0.082 4%。

3 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了基于Frenet-Serret 框架的OFDR三維形狀重構(gòu)算法，并利用有限元仿真軟件Ansys workbench 建模S 形彎曲時(shí)的三芯光纖，提取應(yīng)變進(jìn)行了算法驗(yàn)證。通過OFDR 瑞利散射光譜波長漂移可以得到纖芯的應(yīng)變分布數(shù)據(jù)，再結(jié)合本文的重構(gòu)算法可以重構(gòu)三芯光纖的形狀。因?yàn)檫\(yùn)用OFDR 設(shè)備進(jìn)行實(shí)驗(yàn)獲取應(yīng)變數(shù)據(jù)比較繁瑣，本文直接利用有限元軟件仿真三芯光纖三維形狀的S 形變化，并且得到每個(gè)纖芯的離散應(yīng)變數(shù)據(jù)以及空間坐標(biāo)系下的坐標(biāo)數(shù)據(jù)。本文還原算法存在累積誤差，即位置誤差隨著光纖長度的增加逐漸增加，誤差來源主要是3 次樣條插值時(shí)產(chǎn)生的誤差以及Frenet 框架還原會(huì)出現(xiàn)奇異點(diǎn)等問題。均方根誤差計(jì)算結(jié)果為0.996 mm，單位長度誤差最大值為0.0824%。未來將采用更高階的樣條插值方法，減小3 次樣條插值處理時(shí)帶來的誤差；在還原過程中將曲率限制在一個(gè)合理的范圍內(nèi)，從而有效避免還原時(shí)奇異點(diǎn)問題。本研究為更深入地研究OFDR 形狀檢測提供了重要的理論基礎(chǔ)，研究結(jié)果具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。未來將以本研究為基礎(chǔ)，進(jìn)一步探討減小算法累積誤差的方法，探究長尺寸、大形變的光纖重建。