在數(shù)學(xué)教學(xué)中活用化歸思想三段論

俞妍

摘 要：化歸思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中很重要的思想，教師要善于運(yùn)用自主探索，動(dòng)手實(shí)踐，合作交流，從而掌握化歸思想的內(nèi)涵.化歸的關(guān)鍵在于在學(xué)生頭腦中構(gòu)建知識(shí)框架，讓學(xué)生對(duì)已學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通，從而化未知為已知，化繁為簡(jiǎn)，知易求難.

關(guān)鍵詞：自主探索;動(dòng)手實(shí)踐;化歸思想;發(fā)散思維

化歸思想是一種基本且重要的數(shù)學(xué)思想，普遍存在于數(shù)學(xué)解題中，例如將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為生活中生動(dòng)形象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，將陌生的知識(shí)轉(zhuǎn)化為已知的熟悉的知識(shí)，又或者是將抽象的知識(shí)直觀(guān)化.“新的數(shù)學(xué)方法和概念，常常比解決數(shù)學(xué)問(wèn)題本身更重要.”，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚如是說(shuō).而教師要做的就是引導(dǎo)學(xué)生去創(chuàng)造，去實(shí)踐，尋求新方法，在豐富多彩的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，體會(huì)化歸的意義，掌握化歸的思想方法.我認(rèn)為，化歸的三段論在于：掌握內(nèi)涵、培養(yǎng)意識(shí)、付諸實(shí)踐.本文將結(jié)合蘇教版七年級(jí)下冊(cè)“多邊形的內(nèi)角和”的教學(xué)探討如何在教學(xué)中滲透化歸思想.

1 深度解讀，掌握化歸內(nèi)涵

在教學(xué)過(guò)程中滲透化歸思想，要求教師自身深度解讀教材，掌握新舊知識(shí)的聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)體系，明白三點(diǎn)：為何化歸，如何化歸，如何讓學(xué)生主動(dòng)化歸.

首先對(duì)教材進(jìn)行解讀，本節(jié)課主要有兩個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)：多邊形的定義以及多邊形內(nèi)角和公式的探究.在學(xué)習(xí)多邊形定義時(shí)，先讓學(xué)生回憶三角形定義，類(lèi)比總結(jié)四邊形定義，自然而然教會(huì)學(xué)生用類(lèi)比、化歸的數(shù)學(xué)思想.當(dāng)學(xué)生遺漏前提條件：在同一平面內(nèi)時(shí)，教師要學(xué)會(huì)讓學(xué)生動(dòng)手操作，直觀(guān)地用教具展示何為在同一平面內(nèi)，從而強(qiáng)調(diào)，研究平面圖形時(shí)，是在同一平面內(nèi)這個(gè)前提條件下進(jìn)行研究的.在學(xué)習(xí)多邊形內(nèi)角和公式之前，先帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)三角形內(nèi)角和是多少？如何得到的？讓學(xué)生清楚在小學(xué)里，我們是將一個(gè)三角形的三個(gè)角剪下來(lái)，頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，邊與邊靠在一起，拼成了一個(gè)平角，得出“三角形的內(nèi)角和是180°”的結(jié)論.進(jìn)一步提出疑問(wèn)：我們能不能也將四邊形的四個(gè)角剪下來(lái)，拼拼看是多少度？讓學(xué)生動(dòng)手操作，形成程序性記憶.另外，還可以通過(guò)量一量的方法，讓學(xué)生量出任意四邊形的四個(gè)內(nèi)角，把四個(gè)角度加起來(lái)，驗(yàn)證四個(gè)內(nèi)角和是不是360°.拋出問(wèn)題：通過(guò)量一量，拼一拼的方法只能驗(yàn)證有限的幾個(gè)四邊形的內(nèi)角和是360°，那么是不是所有的四邊形內(nèi)角和都是360°呢？如何來(lái)科學(xué)地證明呢？先讓學(xué)生動(dòng)手操作，自己證明，適時(shí)引導(dǎo)：四邊形內(nèi)角和我們不會(huì)求，但是三角形內(nèi)角和我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了，同學(xué)們能不能找出他們之間的聯(lián)系？四邊形能不能分成三角形來(lái)計(jì)算內(nèi)角和呢？在教師引領(lǐng)學(xué)生用多種方法證明了四邊形內(nèi)角和之后，學(xué)生自主探究五邊形、六邊形內(nèi)角和，教師梳理思路，師生共同歸納總結(jié)出多邊形內(nèi)角和公式.化歸思想引領(lǐng)整堂課的教學(xué)活動(dòng)，在化歸中獲取新知，也在化歸中學(xué)會(huì)探究.

對(duì)于七年級(jí)的學(xué)生而言，已經(jīng)具備一定的運(yùn)用化歸思想學(xué)習(xí)、解題的經(jīng)驗(yàn)，但還沒(méi)有形成系統(tǒng)的思維，運(yùn)用而不自知.例如在學(xué)習(xí)圖形時(shí)，是從生活的具體物體中抽象出來(lái)的，再例如通過(guò)復(fù)習(xí)一元一次方程的概念，類(lèi)比歸納得到了二元一次方程的概念.學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中已經(jīng)在運(yùn)用化歸思想了，有了一定的基礎(chǔ)，教師要善于對(duì)學(xué)生的方法進(jìn)行總結(jié)，提出化歸的內(nèi)涵，讓學(xué)生明白化歸思想在數(shù)學(xué)中的普遍性和實(shí)用性，認(rèn)識(shí)到已經(jīng)多次運(yùn)用化歸思想解決問(wèn)題，并且促使其能夠在今后的學(xué)習(xí)中主動(dòng)去運(yùn)用化歸思想.

2 巧妙引導(dǎo)，培養(yǎng)化歸意識(shí)

數(shù)學(xué)思想不是生拉硬套，在深度解讀教材以及學(xué)情分析之后，教師要合理安排教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中體會(huì)并運(yùn)用化歸思想解決問(wèn)題.托馬斯·胡德曾言：“一分鐘的思考抵過(guò)一小時(shí)的嘮叨.”數(shù)學(xué)思想方法的滲透在于將課堂還給學(xué)生，重視學(xué)生的主體地位，使之成為教學(xué)活動(dòng)的中心，自主探究領(lǐng)會(huì).而教師要做的就是合理安排活動(dòng)，并引導(dǎo)其有目標(biāo)、有方向地進(jìn)行探究.

【片段一】

回顧復(fù)習(xí)三角形定義，類(lèi)比總結(jié)四邊形定義，學(xué)生容易忽略一個(gè)前提：在同一平面內(nèi).教師請(qǐng)一位學(xué)生上來(lái)一起拼一個(gè)四邊形（拿出提前準(zhǔn)備好的四把尺子）.學(xué)生拿兩把尺子擺好，教師拼上另外兩把，放在一個(gè)平面內(nèi).教師提問(wèn)學(xué)生這是不是一個(gè)四邊形，接著將尺子向前折起一定角度，提問(wèn)學(xué)生這還是不是四邊形？從而教師引導(dǎo)：探究平面圖形要在同一平面內(nèi).并請(qǐng)學(xué)生試著總結(jié)出多邊形的定義.

這個(gè)過(guò)程旨在讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐，以及復(fù)習(xí)舊知，得到多邊形的定義，從宏觀(guān)上認(rèn)識(shí)多邊形，在學(xué)生腦海中形成關(guān)于圖形與幾何的知識(shí)框架.在這里，通過(guò)類(lèi)比、歸納，初步滲透化歸思想，讓學(xué)生有一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，了解到需要運(yùn)用舊知來(lái)解決新的問(wèn)題，用已學(xué)的知識(shí)解決未知的問(wèn)題.

【片段二】

通過(guò)復(fù)習(xí)，喚醒學(xué)生的舊知：三角形內(nèi)角和為180°，接著給出幾個(gè)四邊形，讓學(xué)生量一量他們的四個(gè)內(nèi)角，再將他們加起來(lái)，計(jì)算出每個(gè)四邊形的內(nèi)角和.通過(guò)量角器測(cè)量，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些四邊形的四個(gè)內(nèi)角加起來(lái)都是360°，由此得到猜想：四邊形內(nèi)角和為360°.教師提問(wèn)：同學(xué)們還記得小學(xué)是如何得到三角形內(nèi)角和的嗎？學(xué)生能夠回憶起當(dāng)時(shí)剪紙，把三個(gè)角剪下來(lái)，拼一拼.拼成了一個(gè)平角.教師引導(dǎo)學(xué)生模仿這種探究方法，也將四邊形的四個(gè)內(nèi)角剪下來(lái)，拼在一起，看看能拼成什么角？

學(xué)生在動(dòng)手操作過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)四個(gè)角剪下來(lái)剛好拼成了一個(gè)周角，學(xué)生已知周角是360°，從而進(jìn)一步認(rèn)為四邊形內(nèi)角和就是360°.

這時(shí)，教師總結(jié)并引導(dǎo)：分別通過(guò)量一量，拼一拼的方法初步證明了這些四邊形的內(nèi)角和是360°，那是不是所有四邊形的內(nèi)角和都是360°呢？接下來(lái)老師給出一個(gè)任意的四邊形，如圖1所示如何證明一下它的內(nèi)角和是不是360°呢？同學(xué)們思考一下，能不能和已知的幾何圖形的內(nèi)角和聯(lián)系在一起呢？將證明方法寫(xiě)下來(lái)，并與同桌討論，看看誰(shuí)能想得又快又多.

學(xué)生1：連接AC.

連接AC以后就把四邊形的兩個(gè)內(nèi)角∠A和∠C分別分成了∠DAC+∠BAC，以及∠BCA+∠DCA，則四個(gè)內(nèi)角加起來(lái)就是（∠D+∠DAC+∠DCA）+（∠B+∠BAC+∠BCA）=180°×2=360°.

教師適當(dāng)鼓勵(lì)并總結(jié)：很好，這里該生將四邊形ABCD的兩個(gè)內(nèi)角∠A和∠C轉(zhuǎn)化為了△ACD和△BCA的內(nèi)角，從而將這個(gè)四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為了兩個(gè)三角形的內(nèi)角和.給出如下表格：

教師提問(wèn)：還有其他的證明方法嗎？學(xué)生2回答：在A(yíng)B上取一點(diǎn)E，連接DE、CE.（如圖3所示）

該生將四邊形分成了三個(gè)三角形.這時(shí)，四邊形ABCD的內(nèi)角和等于△ADE、△DEC、△BEC的內(nèi)角和減去∠AEB.

教師總結(jié)：在四邊形的任意一條邊上隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，與兩個(gè)角連線(xiàn)后進(jìn)而將其分割為三個(gè)三角形，將四邊形的內(nèi)角和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三個(gè)三角形的內(nèi)角和再減去一個(gè)平角的問(wèn)題，得到四邊形內(nèi)角和為180°×3-180°=360°.補(bǔ)充表格：

教師進(jìn)一步引導(dǎo)：同學(xué)們思考一下，還有沒(méi)有別的方法分割？上面分別將四邊形分別分成了兩個(gè)、三個(gè)三角形，那能不能分成四個(gè)三角形？

學(xué)生3：在四邊形內(nèi)部取了一點(diǎn)O，連接AO、BO、CO、DO.

這里他將四邊形ABCD的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為了△AOB、△COD、△AOD、△BOC的內(nèi)角和減去一個(gè)周角.

教師總結(jié)：可以看到分成的這四個(gè)三角形的內(nèi)角和加起來(lái)剛好是四邊形的內(nèi)角和加一個(gè)周角，所以只要將這四個(gè)三角形的內(nèi)角和加起來(lái)再減去一個(gè)周角就可以得到四邊形ABCD的內(nèi)角和.完善表格如下：

拋出問(wèn)題：以上通過(guò)多種方法，實(shí)際上是不是分別在四邊形的邊上、頂點(diǎn)、內(nèi)部取點(diǎn)，將四邊形分成了若干個(gè)三角形？那同學(xué)們思考一下，可否在四邊形的外部取一點(diǎn)，也來(lái)試著證明一下四邊形的內(nèi)角和為360°呢？

學(xué)生動(dòng)手操作并思考過(guò)后，教師提問(wèn)：四邊形的內(nèi)角和是不是△COD、△AOD、△BOC的內(nèi)角和加起來(lái)呢？學(xué)生可以知道還要減去∠BAO、∠ABO、∠AOB，而三角和加起來(lái)剛好是△AOB的內(nèi)角和.這時(shí)就將要求的四邊形ABCD的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為了三個(gè)三角形的內(nèi)角和，再減去一個(gè)三角形的內(nèi)角和.

接下來(lái)教師運(yùn)用幾何畫(huà)板演示分別在四邊形頂點(diǎn)、內(nèi)部、邊上、外部取點(diǎn)的過(guò)程，在學(xué)生頭腦中留下一個(gè)生動(dòng)直觀(guān)的動(dòng)態(tài)過(guò)程.

以上教學(xué)片斷，注重學(xué)生探索的自主性，由教師引導(dǎo)，學(xué)生以“將四邊形拆分轉(zhuǎn)換成若個(gè)三角形來(lái)看，將原本不能解決的四邊形內(nèi)角和問(wèn)題轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題”為目標(biāo)探索.在學(xué)生尋找解題方法的過(guò)程中，教師僅僅作為一個(gè)引路人，總結(jié)者，同時(shí)將課堂還給學(xué)生.給予學(xué)生啟發(fā)，讓學(xué)生自主探索學(xué)習(xí)，成為教學(xué)活動(dòng)的主體和推動(dòng)者.由此自發(fā)地感受并運(yùn)用化歸思想，形成程序性記憶，并掌握它.

【片段三】

我們一起探究了四邊形內(nèi)角和，運(yùn)用多種方法取點(diǎn)，將四邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為了三角形內(nèi)角和的問(wèn)題.那么同學(xué)們能不能用同樣的方法，分割圖形，并由此計(jì)算出五邊形、六邊形、n邊形的內(nèi)角和呢？

學(xué)生在畫(huà)圖操作過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)可以將五邊形分割成三個(gè)三角形，從而得到五邊形內(nèi)角和為180°×3=540°，同樣地，用分割轉(zhuǎn)化的方法，得到六邊形、七邊形的內(nèi)角和分別為180°×4=720°，以及180°×5=900°，從以上例子中找到規(guī)律：多邊形內(nèi)角和等于（邊數(shù)-2）×180°，因此可以總結(jié)公式：n邊形內(nèi)角和為180°×（n-2）.

鑒于以上關(guān)于四邊形內(nèi)角和的探究活動(dòng)，學(xué)生已經(jīng)形成了運(yùn)用化歸思想，將多邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問(wèn)題的思維模式，在自主探究中，容易想到將五邊形、六邊形等多邊形分割成若干個(gè)三角形，從而求得多邊形內(nèi)角和.整堂課由化歸聯(lián)結(jié)，讓學(xué)生體會(huì)化歸思想的用處，并運(yùn)用到以后的學(xué)習(xí)中去.

3 野蠻生長(zhǎng)，注重化歸實(shí)踐

數(shù)學(xué)思想的滲透在于讓學(xué)生自主體驗(yàn)，讓學(xué)生成為課堂的主人意味著教學(xué)活動(dòng)可能不能完全按照教師的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行，學(xué)生可能會(huì)有一些出乎教師意料的想法，教師不能因?yàn)橐凑赵O(shè)計(jì)好的活動(dòng)進(jìn)行教學(xué)而忽略的學(xué)生的想法，否則學(xué)生會(huì)在一次次的忽略中淡化自主探索的精神，變得缺少思考，完全機(jī)械地跟著教師走.相反，教師需要強(qiáng)化他們的想法，鼓勵(lì)他們勇于探索，讓課堂活起來(lái).

【片段四】

教師對(duì)于四邊形內(nèi)角和探究的設(shè)計(jì)是：分別在四邊形頂點(diǎn)、邊上、內(nèi)部、外部取點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和的問(wèn)題.但是在下去巡視的時(shí)候，看到一名平時(shí)不愛(ài)發(fā)言的女生用了一種教師沒(méi)有想到的方法，雖然課堂的時(shí)間所剩不多，但教師還是選擇鼓勵(lì)那位學(xué)生，讓她上來(lái)給大家講一講她的證明方法.教師用鼓勵(lì)的話(huà)語(yǔ)說(shuō)道：這位同學(xué)平時(shí)不愛(ài)說(shuō)話(huà)，很少發(fā)言，但老師看到今天她用了一種與眾不同的方法來(lái)證明，老師覺(jué)得很好，想讓她來(lái)給大家展示一下她的方法，同學(xué)們鼓鼓掌鼓勵(lì)鼓勵(lì)她.

這位學(xué)生有了一點(diǎn)自信，回答：我延長(zhǎng)AD、BC交于E.那么∠ADC=∠E+∠ECD，∠BCD=∠E+∠EDC，這兩個(gè)角都是△ECD的外角.這時(shí)，教師鼓勵(lì)她：很好，你用到了三角形外角的知識(shí)，接著怎么做呢？

學(xué)生回答：∠A+∠B+∠ADC+∠BCD

=（∠A+∠B+∠E）+（∠EDC+∠E+∠ECD）

=180°×2

=360°.

教師總結(jié)該生實(shí)際上是將一個(gè)四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形的內(nèi)角和.表?yè)P(yáng)她在無(wú)形之中運(yùn)用了化歸思想，將四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為了三角形的內(nèi)角和來(lái)解決問(wèn)題.

整堂課從多邊形的概念，到運(yùn)用多種方法證明四邊形內(nèi)角和為360°，再到類(lèi)比歸納出多邊形內(nèi)角和公式，以圖形的分割為主線(xiàn)，以化歸的數(shù)學(xué)思想為暗線(xiàn)，串聯(lián)起了整堂課的內(nèi)容，本節(jié)課始終圍繞已知的三角形知識(shí)，來(lái)探究得到多邊形的知識(shí).本節(jié)課是一堂探究課，定位在于讓學(xué)生發(fā)散思維，多參與，多

討論，教師只是充當(dāng)引導(dǎo)者、總結(jié)者的角色.在活躍的探究氛圍下，學(xué)生積極配合，甚至提出教師沒(méi)有想到的方法，教師也沒(méi)有為了趕進(jìn)度而忽略學(xué)生的奇思妙想，做到了讓學(xué)生成為課堂的主人，在學(xué)生動(dòng)手操作，自主歸納，合作交流中激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，同時(shí)感受、運(yùn)用化歸等數(shù)學(xué)思想方法，并能體會(huì)這些方法的妙處，做到會(huì)用、巧用、主動(dòng)去用.好的課堂是生成的課堂，一堂活力的數(shù)學(xué)課應(yīng)該讓學(xué)生的思想野蠻生長(zhǎng)，如此才能在數(shù)學(xué)世界里大放異彩.

化歸思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著普遍的運(yùn)用，教師在滲透化歸思想的過(guò)程中要抓住三段論，首先教師要深度解讀教材，熟悉知識(shí)框架，掌握化歸內(nèi)涵，接著培養(yǎng)學(xué)生的化歸意識(shí)，讓學(xué)生能夠主動(dòng)想到去運(yùn)用化歸的思想方法去解決問(wèn)題，最后付諸實(shí)踐.熟練掌握化歸三段論，可以讓教師教學(xué)，以及學(xué)生學(xué)習(xí)、解題事半功倍.

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