構(gòu)建利用數(shù)學(xué)輔助工具的問題解決模型

王治才

摘 要：小學(xué)生抽象思維能力薄弱，在解題過程中常常面臨著諸多困境.鑒于此，可充分借助線段圖這一輔助工具，將抽象問題具體化、直觀化，幫助學(xué)生讀懂題意，明確其中蘊含的數(shù)量關(guān)系，厘清解題思路等.本論文就以此作為研究的新視角，結(jié)合線段圖在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用進行了詳細的探究，最終提出了在日常教學(xué)中小學(xué)生運用線段圖的重要價值.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；小學(xué)數(shù)學(xué)；線段圖；解題教學(xué)；應(yīng)用價值

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，問題解決是最為重要的組成部分.學(xué)生在解決問題的過程中，不僅對所學(xué)的知識進行了鞏固、內(nèi)化，也逐漸形成了系統(tǒng)化的知識體系，為新知識的學(xué)習(xí)提供了深厚的“土壤”；同時，解決問題的過程，也是數(shù)學(xué)思維活動的過程，更是知識遷移和應(yīng)用的過程，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、知識應(yīng)用能力的重要途徑.但是在具體的教學(xué)中，問題解決題目形式多種多樣、涉及面非常廣泛，對小學(xué)生的理解能力提出了更高的要求.在部分的數(shù)學(xué)題目中，條件常常是隱藏在題目中，學(xué)生必須要經(jīng)過分析，才能獲得明確的解題思路.鑒于小學(xué)生思維能力薄弱的現(xiàn)狀，唯有充分借助線段圖這一輔助性的解題工具，將抽象的文字直觀化，幫助學(xué)生順利找到隱藏的條件，才能逐漸形成明確的解題思路.

1 基于線段圖理解題目含義

理解題目是解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，學(xué)生只有讀懂題目意思，弄清楚題目要求，才能借助數(shù)量關(guān)系分析，形成正確的解題思路.但就目前而言，許多小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字語言描述比較抽象，學(xué)生往往讀完一遍，都不知道題目的真正含義，甚至還會出現(xiàn)誤解的現(xiàn)象.面對這一現(xiàn)狀，在引導(dǎo)小學(xué)生進行解題時，就可充分發(fā)揮線段圖這一輔助工具的作用，將題目的意思形象地表達出來.

例1 周末，媽媽去超市買了一袋水果，其中有20個梨，香蕉的數(shù)量是梨的2倍，獼猴桃的個數(shù)則比梨多3倍.問：媽媽買的水果中，有多少根香蕉？多少個獼猴桃？獼猴桃比梨多多少個？

解析：學(xué)生在閱讀這一題目的時候，受到自身思維發(fā)展水平的制約，常常出現(xiàn)一定的錯誤：部分學(xué)生只要一看到“誰比誰多”，潛意識中就會想到加法運算；一看到“誰比誰少”，潛意識中就會選擇減法進行運算，但是這種解題思維卻是錯誤的.而在題目中給出了“獼猴桃的個數(shù)則比梨多3倍”，學(xué)生在讀題的時候，常常將其理解為獼猴桃是梨的3倍.面對這一現(xiàn)狀，在引導(dǎo)學(xué)生理解題意的時候，就可指導(dǎo)學(xué)生一邊讀題，一邊繪制線段圖（如下圖1所示），將題目的意思正確地表達出來，使得學(xué)生結(jié)合線段圖清晰地認(rèn)識到“多3倍的含義”.

例2 （1） 有一桶油，其重量為50kg，第一次將桶中的油倒出了四分之一，第二次又倒出油的二分之一，這一桶油還剩下多少千克？

（2） 有一桶油，其重量為50kg，第一次將桶中的油倒出了四分之一，第二次又倒出余下油的二分之一，這一桶油還剩下多少千克？

解析：在對這兩道題目進行解答的時候，學(xué)生常常會出現(xiàn)錯誤，其主要原因就是在對題意進行判斷的時候出現(xiàn)了誤差.學(xué)生在解題的時候，常常忽視題目（2）中“余下”的二分之一，而是按照題目（1）的解題思路進行解答.鑒于此，在帶領(lǐng)學(xué)生分析題目意思的時候，就可充分借助線段圖這一工具，將文字轉(zhuǎn)化成為直觀、形象的線段圖（如圖2、3）.

如此，在線段圖的直觀表示下，學(xué)生就可迅速理解題目含義.在針對（1）分析中，將一桶油一分為四，第一次用去了四分之一，即：50×1/4；第二次用去油的二分之一，即：50×2/4；在（2）題目中，第一次用去了四分之一，即：50×1/4；第二次用去的量轉(zhuǎn)變?yōu)槭Ｓ嗟亩种唬矗?0×（1-1/4）×1/2.如此一來，在線段圖的輔助下，學(xué)生就可精準(zhǔn)判斷題目的含義，有效規(guī)避了解題中的錯誤現(xiàn)象^［1］.

2 基于線段圖明確數(shù)量關(guān)系

在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，精準(zhǔn)找出題目中的數(shù)量關(guān)系，是打開解題思路的“鑰匙”.但是在具體的解題中，部分?jǐn)?shù)學(xué)題目中的數(shù)量關(guān)系不甚明確，學(xué)生往往讀了兩三遍都毫無頭緒，致使其難以找到具體的解題思路.鑒于此，在開展解題教學(xué)時，就可充分發(fā)揮線段圖的輔助價值，將題目中隱含的數(shù)量關(guān)系直觀地展示出來，幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)關(guān)系模型構(gòu)建出來.

例3 王大媽家中養(yǎng)90只雞，鴨比雞的數(shù)量多1/3，養(yǎng)的鵝則比鴨少1/3.那么，王大媽家中養(yǎng)的雞和鵝的數(shù)量一樣多嗎？如果不一樣多，是雞多還是鵝多，多多少？

解析：在對這一題目進行解答的過程中，由于小學(xué)生剛剛接觸分?jǐn)?shù)的相關(guān)問題，在理順這一題目關(guān)系時，關(guān)鍵點在于對“多1/3、少1/3”的理解，而學(xué)生常常將其誤認(rèn)為一致，導(dǎo)致學(xué)生解題出現(xiàn)錯誤.面對這一現(xiàn)狀，在引導(dǎo)學(xué)生明確數(shù)量關(guān)系時，就可借助線段圖這一輔助工具，將其直觀地表示出來（如圖4所示）.

從這一線段圖中，學(xué)生就會清晰地認(rèn)識到“多1/3、少1/3”所代表的含義有所不同，鴨比雞多1/3，多的是雞的1/3；鵝比鴨少1/3，少的是鴨的1/3.在理順題目中的數(shù)量關(guān)系之后，就可計算出：鴨的數(shù)量=90×（1+1/3）=120；鵝的數(shù)量=120×（1-1/3）=80，最終順利解答這一問題.

例4 甲、乙兩輛車分別從A、B兩地同時出發(fā)，兩車相向而行.已知A、B兩地之間的距離為180km，甲車的速度為60km/h，乙車的速度為40km/h，甲、乙兩輛車經(jīng)過幾個小時之后，兩者之間相距30km？

解析：這一題目相對比較難，主要是因為甲乙兩輛車處于不斷的運動之中，而在運動的過程中，符合題意的現(xiàn)象包括兩種，即：兩車相遇之前距離30m、兩車相遇之后再次相距30m.在針對這一題目解答時，如果不借助線段圖，小學(xué)生幾乎無法找到其中蘊含的數(shù)量關(guān)系.鑒于此，就可指導(dǎo)學(xué)生運用線段圖將這兩種現(xiàn)象表示出來（如下圖5所示）^［2］.

通過這一線段圖，就將題目中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系直觀、形象地展示出來，學(xué)生則可結(jié)合分析，將題目中的數(shù)量關(guān)系明確出來：相遇前：（180-30）÷（60+40），相遇后：（180+30）÷（60+40），最終完成這一題目的順利解答.

3 基于線段圖形成解題思路

小學(xué)數(shù)學(xué)解題的過程，也是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的過程.同時，學(xué)生在審題、分析問題、理順數(shù)量關(guān)系時，唯有具備極強的思維能力，才能順利解決相關(guān)問題.但是在具體的解題教學(xué)中，由于小學(xué)生當(dāng)前思維特點以具體形象思維為主，教師應(yīng)充分發(fā)揮線段圖的價值.

例5 今年，父親的年齡是兒子年齡的4倍，20年后父親的年齡為兒子年齡的2倍.問：父親和兒子今年的年齡是多少？

解析：這一道數(shù)學(xué)題目在小學(xué)階段尤為常見.在具體解題的時候，如果不借助線段圖，學(xué)生在閱讀題目時就會產(chǎn)生各種疑惑的現(xiàn)象.鑒于此，就可指導(dǎo)學(xué)生一邊閱讀題目，一邊結(jié)合題目的含義畫線段圖（如圖6所示）.根據(jù)題目意思得知：今年父親的年齡是兒子的4倍，可將兒子的年齡用一份線段圖表示出來；父親是兒子年齡的4倍，則為4個線段圖.再過20年之后，就是在兒子和父親年齡的線段圖之后各增加20.之后，再結(jié)合“20年后父親的年齡為兒子年齡的2倍”這一含義，得出數(shù)量關(guān)系：（1份年齡+20歲）×2=（4份年齡+20歲），最終順利解決這一問題^［3］.

例6 小麗從家去學(xué)校，走到全程5/6處是光明超市.小麗放學(xué)回家的時候，走到全程1/3處是兒童醫(yī)院.已知兒童醫(yī)院和光明超市之間的距離為120m.問：從小麗家到學(xué)校一共有多少米？

解析：在對這一道常見題目進行解答的時候，學(xué)生常常一籌莫展，不知道如何解答.面對這一現(xiàn)狀，就可充分發(fā)揮線段圖的輔助價值，引導(dǎo)學(xué)生在閱讀題目的時候，利用線段圖將小麗家、光明超市、兒童醫(yī)院、學(xué)校的位置標(biāo)示出來，形成形象的感知（如圖7所示）.如此，借助線段圖的輔助，結(jié)合題目中給出的已知條件，引導(dǎo)學(xué)生思考只要確定了“兒童醫(yī)院和光明超市之間的距離”占據(jù)全部距離的幾分之一即可.如此，在線段圖的輔助下，學(xué)生就很快找到了解題的“突破口”，計算出兒童醫(yī)院和光明超市之間的距離占據(jù)全部距離的：1/3-（1-5/6）=1/6，最終計算出全部距離.

4 基于線段圖培養(yǎng)學(xué)生規(guī)避解題錯誤

在小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，還應(yīng)在日常教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生逐漸養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣.針對小學(xué)生來說，受到思維特點的制約，小學(xué)生在解題時常常遇到固定的字眼，就會不假思索運用定勢思維進行解題.這是一種非常危險的信號，若不及時進行糾正，就會對學(xué)生日后的數(shù)學(xué)解題產(chǎn)生很大的影響.鑒于此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師在日常解題訓(xùn)練中，就應(yīng)立足于線段圖的價值，培養(yǎng)學(xué)生的畫圖意識和習(xí)慣.

例7 姐姐有10支鉛筆，弟弟有4支鉛筆.姐姐給了弟弟幾支鉛筆之后，兩個人的鉛筆數(shù)量一樣多？

解析：這是一道小學(xué)二年級的數(shù)學(xué)題目，二年級的小學(xué)生在解題的時候，極容易受到固定思維的影響，一看到題目中的固定字眼，首先就會想到運用減法進行計算.如果教師按照學(xué)生的錯誤思路進行追問，學(xué)生才會意識到自己已經(jīng)算錯了.面對這一現(xiàn)狀，教師在引導(dǎo)學(xué)生開展錯題分析的時候，就可充分發(fā)揮線段圖的價值，帶領(lǐng)學(xué)生結(jié)合題目進行畫圖（如下圖8所示）.

通過這一線段圖，小學(xué)生就會恍然大悟，原來要想兩人一樣多，就是要把多出部分的一半分給弟弟即可.如此，不僅幫助小學(xué)生順利解決這一問題，也促使其在學(xué)習(xí)的過程中，逐漸形成了強烈的畫圖意識和習(xí)慣，為日后的學(xué)習(xí)奠定了堅實的基礎(chǔ).

例8 媽媽和小紅兩個人的年齡之和是44歲，媽媽比小紅年齡的4倍小1歲.問：小紅和媽媽的年齡各為多少歲？

解析：這是一道三年級的數(shù)學(xué)題目，小學(xué)生在解答這一問題的時候，依然會受到固定思維的影響，看到“4倍小1歲”，就理所當(dāng)然地選擇了減1的方式.為了規(guī)避學(xué)生在解題中出現(xiàn)常見錯誤，在日常教學(xué)中，就可引導(dǎo)學(xué)生繪制線段圖（如下圖9所示）.

經(jīng)過線段圖分析，學(xué)生可發(fā)現(xiàn)原來的固定思維中存在的錯誤，發(fā)現(xiàn)媽媽年齡+1之后恰恰是小紅年齡的4倍.以此作為突破口，將小紅的年齡看做是1份，媽媽的年齡+1看做是4份；之后，根據(jù)兩人年齡之和為44歲，得出44+1恰恰是5份年齡之和，最終計算出兩人的年齡.由此可見，在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中，通過線段圖的應(yīng)用，不僅規(guī)避了常見的錯誤現(xiàn)象，也有助于學(xué)生在解題時逐漸形成一定的畫圖意識，形成良好的做題習(xí)慣等，最終為其更好地開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)^［4］.

5 解題教學(xué)中應(yīng)用線段圖的反思

結(jié)合上述例題分析得知，小學(xué)線段圖在解題教學(xué)中發(fā)揮了十分重要的價值：一方面，契合了小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特點.針對小學(xué)生來說，由于其認(rèn)知思維發(fā)展水平比較低，在日常解題中常常面臨著無法正確理解題目、找不出數(shù)量關(guān)系、找不到解題突破口等困境，導(dǎo)致其在解題的時候處處碰壁.長此以往下去，就會嚴(yán)重影響小學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心.而通過線段圖的應(yīng)用，借助形象、直觀的感知，有效解決了小學(xué)生在解題時面臨的諸多困境，使其在快速解題的過程中獲得了良好的情感體驗，有助于幫助學(xué)生樹立學(xué)習(xí)自信心；另一方面，有助于提升學(xué)生的問題解決能力，促進學(xué)生思維的發(fā)展.在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)用題目是教學(xué)的重難點，通常具備一定的難度，+學(xué)生不僅要具備系統(tǒng)化的知識體系，還應(yīng)具備一定的知識遷移

和應(yīng)用能力.鑒于此，通過線段圖的應(yīng)用，幫助學(xué)生順利讀懂題意，并從不同的角度展開分析，在正確思路的引導(dǎo)下，找到問題解決的突破口.經(jīng)過一段時間訓(xùn)練之后，小學(xué)生的知識遷移、問題解決、思維能力等都會隨之提升.

鑒于此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師在日后的數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)有意識、有計劃地培養(yǎng)學(xué)生的畫線段圖習(xí)慣，使得學(xué)生在訓(xùn)練中逐漸掌握這一解題方式.尤其是在初期的時候，小學(xué)生常常面臨著無從下手的問題，教師應(yīng)借助示范和耐心指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生在閱讀題目中結(jié)合關(guān)鍵詞理清條件關(guān)系或者數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合題目中給出的數(shù)值繪出相一致的線段圖^［5］.

6 結(jié)束語

綜上所述，鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，數(shù)學(xué)學(xué)科承擔(dān)著培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力、數(shù)學(xué)思維的重任，旨在激活小學(xué)生的思維，促進其從低階發(fā)展到高階思維中，并在學(xué)習(xí)的過程中逐漸形成運用所學(xué)知識解決實際問題的能力.鑒于此，在開展問題解決教學(xué)時，必須要立足于小學(xué)生的年齡特點、思維發(fā)展水平等，融入線段圖這一輔助工具，幫助小學(xué)生順利克服解題中面臨的種種困難，最終達到順利解決問題的目的.

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