基于彎剪梁模型和Von Karman風(fēng)速譜的高層建筑風(fēng)振系數(shù)實用算法

王國硯，張福壽，馮智楷

（1.同濟大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092；2.上海史狄爾建筑減震科技有限公司，上海 200092；3.河南省交通規(guī)劃設(shè)計研究院股份有限公司，河南 鄭州 450000）

在高層建筑風(fēng)致振動分析中，結(jié)構(gòu)的振型、脈動風(fēng)的風(fēng)速譜和頻域空間相關(guān)性模型等是影響結(jié)構(gòu)風(fēng)致響應(yīng)計算的重要參數(shù)。

對于振型而言，由于高層建筑在幾何上的復(fù)雜性，如何既有效又簡單地確定其振型是個難題［1］。由于高層建筑高寬比的限制（一般最多為8∶1），所以其整體變形呈彎剪特征［2］；且不同的結(jié)構(gòu)體系，其彎剪變形的特征有所不同。目前許多國家的風(fēng)荷載規(guī)范［3-5］是借助于等截面勻質(zhì)豎向懸臂梁模型來模擬一般的高層建筑，基于梁彎曲振動理論建立其第一階振型（也稱基本振型）的簡化實用計算式，并據(jù)此根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)和結(jié)構(gòu)風(fēng)工程理論建立風(fēng)振系數(shù)（dynamic response factor，DRF）或陣風(fēng)荷載因子（gust load factor，GLF）的簡化實用計算式。然而在這一過程中，一般的做法是：首先基于忽略剪切變形的Euler-Bernoulli 梁理論建立高層建筑風(fēng)致振動分析的理論框架，然后在僅考慮基本振型響應(yīng)貢獻的情況下對基本振型進行簡化和修正，以考慮剪切變形的影響。為了盡可能簡化計算，許多國家風(fēng)荷載規(guī)范的風(fēng)振系數(shù)計算式中的振型函數(shù)都采用了極為簡單的形式［3-5］。但如何確保簡化振型在理論上的合理性是值得研究的問題［1，6-7］。理論上講，為考慮高層建筑的剪切變形影響，至少應(yīng)采用Timoshenko梁模型。但一般認為，在線彈性小變形假定下，高層建筑橫向彎曲振動中任一微段的轉(zhuǎn)動慣量效應(yīng)可以忽略不計。所以，采用彎剪型懸臂梁模型來模擬高層建筑的風(fēng)致振動應(yīng)該是合理的［2］，據(jù)此建立的簡化振型可認為是盡可能地有效反映了不同結(jié)構(gòu)的彎剪變形特征。

對于風(fēng)速譜，從目前世界上大多數(shù)國家風(fēng)荷載規(guī)范看，主要有Davenport 譜、Harris 譜、修 正 的Kaimal 譜和Von Karman 譜等［8］。前兩類風(fēng)速譜的折算譜不隨高度變化，后兩類風(fēng)速譜的折算譜則隨高度變化，且Von Karman風(fēng)速譜是唯一同時滿足風(fēng)速譜3 個主要特征的風(fēng)速譜理論模型，受到國際風(fēng)工程協(xié)會工作組（WGE）的推薦［8］。對于空間相關(guān)性模型，國際上普遍認可的模型是Davenport 模型，此外還有Shiotani 模型、ECCS（歐洲鋼鐵建造工程協(xié)會）模型等［9］。后兩類模型與頻率無關(guān)，便于簡化計算，而Davenport模型則涵蓋了頻率相關(guān)項。從目前國際主流的風(fēng)荷載理論［10-11］和國際風(fēng)工程界的評價看，Von Karman 譜和Davenport 空間相關(guān)性模型為國際上研究和應(yīng)用較多的風(fēng)速譜模型和頻域空間相關(guān)性模型。我國采用的則是Davenport譜和Shiotani頻域空間相關(guān)性模型。

經(jīng)過幾代結(jié)構(gòu)風(fēng)工程專家學(xué)者的辛勤努力，我國已經(jīng)建立體系完整的結(jié)構(gòu)風(fēng)荷載規(guī)范，為各類工程結(jié)構(gòu)的建設(shè)提供了有力保障。然而，我國目前正在擴大對外開放，積極推進“一帶一路”建設(shè)，我們國家的風(fēng)荷載規(guī)范也面臨走出去和國際接軌的現(xiàn)狀。顯然，從與國際接軌考慮，采用Von Karman 譜和Davenport頻域空間相關(guān)性模型應(yīng)該是有利的，但這會帶來幾方面的問題：首先是會給風(fēng)振系數(shù)的計算帶來很大困難，其次還要考慮與國內(nèi)現(xiàn)行規(guī)范如何銜接等問題。

本文作者于2018 年基于彎剪梁理論建立了一種新的高層建筑基本振型簡化算式［6］，于2019 年基于這種新的簡化振型建立了符合我國現(xiàn)行荷載規(guī)范［3］（以下簡稱“規(guī)范”）的風(fēng)振系數(shù)實用算式［12］，在此基礎(chǔ)上又進一步采用Von Karman 風(fēng)速譜和Davenport空間相關(guān)性模型，建立了新的風(fēng)振系數(shù)實用計算式。

1 高層建筑橫向彎曲振動基本振型簡化算式

根據(jù)形狀比較規(guī)則的高層建筑的變形特點，采用等截面勻質(zhì)彎剪型豎向懸臂梁作為其力學(xué)模型。據(jù)此，在進行該結(jié)構(gòu)橫向彎曲振動的自振特性分析時，相應(yīng)的運動微分方程為［2，6］

式中：E和G分別為材料的彈性模量和剪切模量；I和A分別為梁橫截面的主慣性矩和面積；EI和GA分別為彎剪梁橫截面的彎曲剛度和剪切剛度，也即高層建筑的整體抗彎和抗剪剛度；m為梁的線質(zhì)量密度，也即高層建筑的單位高度質(zhì)量；χ為考慮梁橫截面上剪應(yīng)力分布不均勻而引入的修正系數(shù)；y（z，t）為梁的橫向線位移，也即高層建筑的側(cè)移；z為從支座算起的沿梁軸線（即建筑高度）方向的豎向坐標(biāo)。

同時，引入如下的剛度特征值［2，6］：

式中：λ為反映高層建筑彎剪型變形特征的重要參數(shù)，為量綱一參數(shù)，λ值越小，結(jié)構(gòu)越呈剪切變形特征，λ值越大，結(jié)構(gòu)越呈彎曲變形特征；H為梁高度，也即建筑物的高度。

需要注意的是，由式（2）定義的剛度特征值和常見高層建筑設(shè)計計算理論中針對高層建筑框架剪力墻和剪力墻等結(jié)構(gòu)體系定義的剛度特征值［13］不同，其內(nèi)涵（即剛度特征值與結(jié)構(gòu)變形特征之間的關(guān)系）甚至相反。本文以下所說的剛度特征值均是指由式（2）定義的剛度特征值。

通過求解方程（1），同時考慮彎剪型懸臂梁的邊界條件，可以求出該梁的第j階振型函數(shù) （j= 1，2，…）為［2，6］

式中：k1j和k2j均為與固有頻率相關(guān)的系數(shù)，具體取值詳見文獻［2］或文獻［6］。

由式（3）可知，該振型的表達式和計算過程均十分復(fù)雜。因此，為能在工程中得到廣泛應(yīng)用，必須對其進行簡化。由于在求高層建筑位移和內(nèi)力等風(fēng)致響應(yīng)時主要由基本振型響應(yīng)貢獻所控制，所以在計算風(fēng)振系數(shù)時各國規(guī)范一般只考慮基本振型。本文作者經(jīng)過大量的數(shù)值計算分析和非線性擬合研究，基于式（3）獲得該梁（也即高層建筑）的基本振型簡化算式如下［6］：

式中：β是振型指數(shù)，可根據(jù)λ值按下式計算［6］：

或者，也可以根據(jù)結(jié)構(gòu)的前兩階固有頻率f1和f2按下式計算［6］：

也就是說，在已知高層建筑剛度特征值λ或前兩階固有頻率f1和f2的情況下，可通過式（5）或式（6）計算出振型指數(shù)β，然后即可通過式（4）得出具有各種彎剪變形特征的高層建筑的基本振型簡化算式。驗算結(jié)果表明，由此得出的基本振型簡化算式與具有等截面勻質(zhì)特征的高層建筑的基本振型十分吻合［6］。

綜上所述，確定高層建筑基本振型簡化算式的關(guān)鍵在于振型指數(shù)β的計算，可采用兩種途徑：第一種是根據(jù)結(jié)構(gòu)的剛度特征值λ，基于式（5）計算，這種方法在λ取值為零（剪切型）到無窮大（純彎型）的范圍內(nèi)都是有效的，且相應(yīng)的振型指數(shù)β取值在（0.957，1.918）之間變化；第二種是根據(jù)結(jié)構(gòu)的前兩階固有頻率f1和f2，基于式（6）計算，但這種方法要求f2和f1的比值至少不低于2.950。但根據(jù)懸臂梁的振動理論，即使是在純剪切梁的極端情況下，前兩階頻率比最小也為3.000；在彎剪梁的情況下，前兩階頻率比會越來越大，直至純彎梁（即Euler-Bernoulli梁）的前兩階頻率比為6.267。所以，在一般近似具有等截面勻質(zhì)特征，可簡化為懸臂梁的高層建筑情況下，要求前兩階頻率比大于3.000并不苛刻。

如果結(jié)構(gòu)的前兩階頻率比小于3.000，理論上已不適用于懸臂梁模型，但如果差別在10%以內(nèi)，可近似按3.000 考慮。為驗證這一點，本文結(jié)合文獻［14］等列出的實際工程案例，選取32組高度在25～400 m 之間的典型高層建筑樣本，其中12 棟為一階振型偏剪切的框架結(jié)構(gòu)，建筑高度在24～90 m之間。經(jīng)統(tǒng)計，非框架結(jié)構(gòu)的固有頻率比均大于3.000；12棟框架結(jié)構(gòu)的X、Y向各自前兩階平動頻率比在2.770～3.410 之間，其中有4 棟的頻率比低于3.000。本文分別取前兩階頻率比為3.000 和3.350，采用式（6）和式（4）進行計算，做出與這兩個頻率比對應(yīng)的歸一化振型，然后將這4 棟頻率比低于3.000的建筑對應(yīng)的4組振型與之比較，結(jié)果如圖1 和圖2 所示?？梢姡@4 組振型基本落在頻率比取3.000和3.350對應(yīng)的振型之間。4棟建筑按有限元計算的X、Y方向振型與按式（6）和式（4）計算的頻率比為3.000 對應(yīng)的振型相比，在絕大部分高度范圍內(nèi)均偏小。因此，當(dāng)頻率比小于3.000 但不低于2.800 時，近似按3.000 計算振型，據(jù)此計算風(fēng)振系數(shù)應(yīng)屬偏保守。

圖1 4棟建筑X向振型比較Fig.1 Comparison of modes in X-direction of 4 buildings

圖2 4棟建筑Y向振型比較Fig.2 Comparison of modes in Y-direction of 4 buildings

2 脈動風(fēng)的風(fēng)速譜與頻域空間相關(guān)性模型

根據(jù)目前的結(jié)構(gòu)風(fēng)工程理論［2-3，9-10］，在進行高層建筑順風(fēng)向風(fēng)振響應(yīng)計算時，一般是基于片條理論和準(zhǔn)定常假定，根據(jù)來流風(fēng)速動力特性建立風(fēng)振系數(shù)計算式；在此基礎(chǔ)上，建立高層建筑等效靜力風(fēng)荷載（即風(fēng)荷載標(biāo)準(zhǔn)值）的計算式。其中，反映來流風(fēng)速動力特性的主要參數(shù)有湍流度、湍流積分尺度、脈動風(fēng)速譜和頻域空間相關(guān)性函數(shù)等。

在我國目前的結(jié)構(gòu)風(fēng)荷載理論中［2-3，9］，湍流度一般按下式計算［3］：

式中：I10為10 m 高度處的湍流度，與地面粗糙度有關(guān)；α為指數(shù)律風(fēng)剖面理論中反映地面粗糙度的指數(shù)。

在我國目前的結(jié)構(gòu)風(fēng)荷載理論中未見明顯反映湍流積分尺度的參數(shù)，而是以Davenport風(fēng)速譜模型中的L=1 200 m作為衡量脈動風(fēng)湍流積分尺度的一個參數(shù)；采用Davenport 的與高度無關(guān)的風(fēng)速譜，其計算式如下［9］：

Davenport 譜［2］與真實情況比較吻合，且計算比較簡單（紊流尺度與高度無關(guān)）。但Von Karman 譜是唯一同時滿足風(fēng)速譜3個主要特征的風(fēng)速譜理論模型，受到國際風(fēng)工程協(xié)會工作組（WGE）的推薦［8］。日本、澳大利亞、新西蘭等國，以及國際標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO），均采用Von Karman 風(fēng)速譜［8，15-16］。所以，從與國際接軌角度考慮，本文在我國風(fēng)荷載理論的基礎(chǔ)上采用Von Karman歸一化風(fēng)速譜，其具體表達式如下［8］：

式中：vˉ(z)為離地z高度處的平均風(fēng)速，可通過基本風(fēng)壓w0和風(fēng)壓高度變化系數(shù)μz(z)按下式計算［3］：

正因為如此，Von Karman 譜被認為隨高度變化；L(z)為湍流積分尺度。一般認為，湍流積分尺度取值的離散性較大［10］。根據(jù)日本規(guī)范［15］和國際標(biāo)準(zhǔn)化組織規(guī)范［16］，可給出如下被廣泛認可的算式：

關(guān)于頻域空間相關(guān)性函數(shù)，國際上普遍認可的模型有與頻率有關(guān)的Davenport模型，此外還有與頻率無關(guān)的Shiotani、ECCS（歐洲鋼鐵建造工程協(xié)會）模型［9］。我國規(guī)范中采用的是其中應(yīng)用最簡便的Shiotani模型［2，9］，即

而國際上研究和應(yīng)用較多的還是Davenport 模型，所以從與國際接軌角度考慮，本文在我國風(fēng)荷載理論的基礎(chǔ)上采用Davenport 模型，其表達式如下［2］：

式中：Cx=8、Cz=7，vˉz1和vˉz2分別為z1、z2兩個高度處的來流平均風(fēng)速；n為頻率變量。

本文的風(fēng)振系數(shù)實用算式主要是在式（4）、式（10）～（12）和式（14）基礎(chǔ)上，經(jīng)大量數(shù)值計算和非線性擬合分析后建立的。需要說明的是，在目前風(fēng)工程理論文獻中，頻率變量一般采用n表示，而本文用f表示。

3 高層建筑風(fēng)振系數(shù)實用算式

可以證明，在采用彎剪梁模型的情況下，基于結(jié)構(gòu)順風(fēng)向風(fēng)振理論得到的風(fēng)振系數(shù)理論表達式仍與我國規(guī)范條文說明［3，9］中用積分形式給出的風(fēng)振系數(shù)表達式相同。所以，將式（4）、（10）～（12）、（14）代入我國規(guī)范條文說明中用積分形式給出的風(fēng)振系數(shù)表達式，最終可得出如下形式的風(fēng)振系數(shù)實用算式：

式中：g為峰值因子；?1為與結(jié)構(gòu)基本振型對應(yīng)的阻尼比；μz（z）為風(fēng)壓高度變化系數(shù)，它們均可按我國規(guī)范取值或計算；φ1（z）為結(jié)構(gòu)沿順風(fēng)向的基本振型函數(shù)，可按式（4）計算；BS和RS分別為背景響應(yīng)分量因子和共振響應(yīng)分量因子。

（1）背景響應(yīng)分量因子BS

式中：B為建筑物寬度；α為地面粗糙度指數(shù)，按我國規(guī)范取值；Kb為考慮振型形狀影響的修正系數(shù)，可根據(jù)振型指數(shù)β按下式計算：

式（16）、（17）中：b1、b2、b3為擬合參數(shù)，根據(jù)我國規(guī)范規(guī)定的4類抗風(fēng)地貌取值，見表1。

表1 背景響應(yīng)分量因子中的擬合參數(shù)取值Tab.1 Fitting parameters in the factor of background response component

（2）共振響應(yīng)分量因子RS

式中：href為參考高度；Kr可根據(jù)結(jié)構(gòu)沿順風(fēng)向的第一階固有頻率（也簡稱基頻）f1、振型指數(shù)β、建設(shè)場地10 m高度處的風(fēng)壓w0a（w0a=μz0w0，w0為基本風(fēng)壓、μz0為離地10 m高度處的風(fēng)壓高度變化系數(shù)）等參數(shù)計算，即

本文取參考高度為href=0.75H；r1為擬合參數(shù)，根據(jù)我國規(guī)范規(guī)定的4類抗風(fēng)地貌取值，見表2。

表2 共振響應(yīng)分量因子中的擬合參數(shù)取值Tab.2 Fitting parameters in the factor of resonant response component

4 誤差分析

4.1 風(fēng)振系數(shù)理論算式

基于隨機振動理論對采用彎剪梁模擬的高層建筑順風(fēng)向風(fēng)振進行分析，采用等效風(fēng)振力法［2］，可得出如下我國規(guī)范條文說明中給出的風(fēng)振系數(shù)計算式［3］：

式中：ν為脈動影響系數(shù)，計算式［3］為

其中，n1為結(jié)構(gòu)沿順風(fēng)向的基頻；φ1（z）為結(jié)構(gòu)相應(yīng)的基本振型；|H1(in)|為與結(jié)構(gòu)基本振型對應(yīng)的頻率響應(yīng)函數(shù)的模，i 是虛單位；μz（z）為來流平均風(fēng)壓的高度變化系數(shù)；I?(z)為來流脈動風(fēng)的湍流度系數(shù)；S0v(z，n) 為來流脈動風(fēng)速的歸一化風(fēng)速譜；(x1，z1；x2，z2；n)為反映來流脈動風(fēng)速頻域空間相關(guān)性的函數(shù)。

在對式（22）進行計算時，φ1（z）按式（4）計算；|H1(in)|可根據(jù)基頻n1和對應(yīng)的阻尼比?1計算

4.2 本文風(fēng)振系數(shù)實用算式

本文建立的風(fēng)振系數(shù)實用算式即為式（15）～（20），它們是在式（21）的基礎(chǔ)上采用非線性最小二乘法擬合得到的。在擬合計算過程中，為和我國規(guī)范保持一致，對于高層建筑也乘以了0.7 的折減系數(shù)［3］。

4.3 比較結(jié)果

由于本文由式（15）給出的風(fēng)振系數(shù)實用算式是在式（21）基礎(chǔ)上建立的，所以只需比較這兩式之間計算結(jié)果的差別，即可對本文風(fēng)振系數(shù)實用算式的誤差進行分析。對比式（15）和式（21）時，只需比較式（15）中根號部分（也可視為脈動影響系數(shù)）的計算結(jié)果與式（22）的計算結(jié)果即可。但式（22）的計算既涉及到地貌類別，也涉及基本風(fēng)壓、振型指數(shù)、建筑高度和寬度、基頻和對應(yīng)阻尼比6個參數(shù)?？紤]4種地貌類別，對這6 組參數(shù)在我國規(guī)范常見取值范圍內(nèi)進行取值，通過排列組合，共計選擇了15 360個樣本。通過計算分析，得出式（15）中根號部分計算結(jié)果與式（22）計算結(jié)果之間的最大和最小相對誤差，如表3所示。

表3 本文風(fēng)振系數(shù)中脈動影響系數(shù)實用算式相對于理論算式的誤差Tab.3 Relative error between the practical algo?rithm of fluctuate influential factor in DRF of this paper and the theoretical formula

由表3 可知，本文風(fēng)振系數(shù)實用算式相對于理論算式的正負誤差均不超過6.0%，表明本文實用算式既具有很好的精度又簡單實用。

5 本文風(fēng)振系數(shù)算式與規(guī)范中風(fēng)振系數(shù)算式的比較

以兩個較典型的橫截面均為矩形且質(zhì)量和剛度沿高度分布比較均勻的高層建筑為例，對本文的和我國規(guī)范中的風(fēng)振系數(shù)實用算式進行比較分析。為使比較更為全面，將文獻［12］中基于彎剪梁模型，按我國風(fēng)荷載規(guī)范理論建立的風(fēng)振系數(shù)實用算式也納入比較范圍。

5.1 算例Ⅰ

算例Ⅰ為框架剪力墻結(jié)構(gòu)體系高層建筑，高度H=290.40 m，迎風(fēng)面寬度B=57.00 m，順風(fēng)向長度D=34.20 m，共73 層；用于有限元計算的結(jié)構(gòu)計算簡圖如圖3 所示。建筑物位于B 類地貌地區(qū)，100年重現(xiàn)期的基本風(fēng)壓為0.5 kN?m?2。

圖3 算例Ⅰ的有限元模型Fig.3 FEM model of Example Ⅰ

基于有限元分析得到的結(jié)構(gòu)沿順風(fēng)向前兩階固有頻率分別為f1=0.146 Hz、f2=0.545 Hz，各階振型阻尼比均取0.02；該結(jié)構(gòu)與f1對應(yīng)的基本振型為沿順風(fēng)向的側(cè)移振型，且呈彎剪型。根據(jù)結(jié)構(gòu)的前兩階固有頻率可推算出該結(jié)構(gòu)的剛度特征值為λ=3.03。

首先，進行振型形狀對比。如果按規(guī)范進行計算，該結(jié)構(gòu)的基本振型可按規(guī)范附錄G 的表G.0.3計算；另外，規(guī)范中還提供了一個由正切函數(shù)表達的振型φ1(z)=tan[0.25π(z/H)0.7]。若按本文給出的彎剪梁簡化振型計算，可先根據(jù)前兩階固有頻率通過式（6）計算出振型指數(shù)β=1.59，然后按式（4）算出該結(jié)構(gòu)的基本振型值。按沿高度10 等分計算的振型值列于表4，相應(yīng)的振型圖如圖4所示。圖4中，“實際振型”是基于有限元計算得到的振型；“彎剪梁振型”是按本文方法得到的振型；“規(guī)范振型Ⅰ”是規(guī)范表G.0.3 給出的振型；“規(guī)范振型Ⅱ”是規(guī)范正切函數(shù)給出的振型。需要說明的是，該高層建筑雖然總高度為290.40 m，但考慮到部分樓層在地下以及地面以上裙房部分的約束作用，本文取有效高度h= 261.70 m，按10等分計算振型值。

表4 算例Ⅰ的基本振型值Tab.4 Data of the first mode of ExampleⅠ

圖4 算例Ⅰ的基本振型Fig.4 Shape of the fundamental mode of Example Ⅰ

從表4的數(shù)據(jù)和圖4可以看出，本文基于彎剪梁理論計算的振型與有限元計算的結(jié)果相比，在下部區(qū)域大約70%的高度范圍內(nèi)都比較吻合，只有在頂部附近大約20%左右的區(qū)域偏大，最大的絕對偏差為0.054，對應(yīng)的相對偏差為7.27%（底部的相對偏差達到?28.00%左右，這是因為底部振型值的比較基數(shù)太小）。規(guī)范表G.0.3 的振型與有限元計算結(jié)果相比，在下部區(qū)域大約70%的高度范圍內(nèi)差別都比較大（尤其是0.6h處），最大的絕對偏差為?0.071，對應(yīng)的相對偏差為?13.91%，只有在頂部附近大約20%左右的區(qū)域比較吻合。相比而言，規(guī)范提供的正切函數(shù)振型明顯具有剪切型特征，與有限元振型偏差都比較大，所以對本例而言不太適用。

通過分析可見，對于本例而言，基于彎剪梁的簡化振型和規(guī)范表G.0.3 的振型，都與實際振型比較吻合；相對而言，基于彎剪梁的簡化振型更具有通用性。

其次，進行風(fēng)振系數(shù)的對比。本例對風(fēng)振系數(shù)的計算考慮以下幾種情形：

（1）完全采用規(guī)范中的風(fēng)振系數(shù)算式進行計算，振型采用規(guī)范表G.0.3給出的數(shù)值，計算結(jié)果稱為“GF?Now”（注：鑒于正切函數(shù)振型不適合于本例，所以就不再采用該振型函數(shù)計算風(fēng)振系數(shù)）。

（2）將振型替換為彎剪梁簡化振型，其余完全按規(guī)范中的算式計算，相應(yīng)的計算結(jié)果稱為“WJL?DS?GF?Now”。

（3）進而采用彎剪梁簡化振型，以規(guī)范中的風(fēng)荷載理論模型（即“Davenport風(fēng)速譜+Shiotani 空間相關(guān)性模型”、等效風(fēng)振力法），擬合出與規(guī)范一致的風(fēng)振系數(shù)算式（僅參數(shù)不同，詳見文獻［12］）進行計算，計算結(jié)果稱為“WJL?DS?GF?New”。

（4）采用彎剪梁簡化振型，同時采用“Von Karman 風(fēng)速譜+Davenport 空間相關(guān)性”的風(fēng)荷載理論模型、等效風(fēng)振力法，擬合出本文的風(fēng)振系數(shù)算式（即式（15））進行計算，計算結(jié)果稱為“WJL?VD?GF?NH”。

相應(yīng)的風(fēng)振系數(shù)按高度h的10 等分計算，結(jié)果見表5，風(fēng)振系數(shù)沿高度變化的曲線如圖5所示。

表5 算例Ⅰ的風(fēng)振系數(shù)值Tab.5 Data of the DRF of Example Ⅰ

圖5 算例Ⅰ的風(fēng)振系數(shù)Fig.5 DRF of Example Ⅰ

由表5和圖5可見，如果以完全采用規(guī)范中風(fēng)振系數(shù)計算式的計算結(jié)果（GF?Now）作為比較基準(zhǔn)，則

（1）如果僅僅將振型由規(guī)范表G.0.3 修改為彎剪梁簡化振型（即式（4）），其余完全按規(guī)范中的風(fēng)振系數(shù)算式計算，則可使得風(fēng)振系數(shù)計算值（WJL?DS?GF?Now）均有所提高，但提高幅度不大，除在0.6h處偏差為6.2%（與此處振型值有關(guān)），其余偏差均不超過3.5%；但由于規(guī)范在建立風(fēng)振系數(shù)計算式時采用的振型函數(shù)為正切函數(shù)，并未與結(jié)構(gòu)彎剪變形特征有依賴關(guān)系，所以這種算法的合理性值得商榷。

（2）如果在建立風(fēng)振系數(shù)計算式時就引入彎剪梁簡化振型，建立與規(guī)范形式一致的風(fēng)振系數(shù)算式（僅參數(shù)不同，詳見文獻［12］），則風(fēng)振系數(shù)計算值（WJL?DS?GF?New）還會有進一步提高，但提高幅度不大，除在0.6h處偏差為7.9%外，其余偏差均不超過5.0%。

（3）如果采用彎剪梁簡化振型函數(shù)和“Von Karman 風(fēng)速譜+Davenport 空間相關(guān)性”的風(fēng)荷載理論模型、等效風(fēng)振力法，在此基礎(chǔ)上建立與規(guī)范相似的風(fēng)振系數(shù)算式，則風(fēng)振系數(shù)計算結(jié)果（WJL?VD?GF?NH）與完全按規(guī)范中風(fēng)振系數(shù)算式計算的結(jié)果差別總體最小（最大相對偏差不超過4.3%）；但在結(jié)構(gòu)頂部，本文計算的風(fēng)振系數(shù)值偏小。

至于按本文方法，基于“Von Karman 風(fēng)速譜+Davenport空間相關(guān)性”模型計算的風(fēng)振系數(shù)在結(jié)構(gòu)頂部偏小的原因，分析如下：① Von Karman 譜沿高度變化，越往高處，脈動風(fēng)湍流度越小，從而譜值應(yīng)相對越?。欢鳧avenport 譜沿高度不變化，況且在高頻區(qū)域Davenport 譜偏大［10］，所以按Davenport譜計算風(fēng)振系數(shù)偏大。② Davenport 空間相關(guān)性與頻率有關(guān)，頻率越高則相關(guān)性越小，也會導(dǎo)致計算風(fēng)振系數(shù)的積分結(jié)果相對變??；而Shiotani空間相關(guān)性與頻率無關(guān)，當(dāng)在整個頻域內(nèi)積分時，其值也會偏大。所以，綜合來看，并不能認為基于“Von Karman風(fēng)速譜+Davenport空間相關(guān)性”計算的風(fēng)振系數(shù)偏小就一定不合理。

5.2 算例Ⅱ

算例Ⅱ為框架結(jié)構(gòu)體系高層建筑，高度H=107.60 m，迎風(fēng)面寬度B=56.00 m，順風(fēng)向長度D=40.00 m，共26層；用于有限元計算的結(jié)構(gòu)計算簡圖如圖6所示。建筑物位于C類地貌地區(qū)，100年重現(xiàn)期的基本風(fēng)壓為0.45 kN?m?2。

圖6 算例Ⅱ的有限元模型Fig.6 FEM model of Example Ⅱ

基于有限元分析得到的結(jié)構(gòu)沿順風(fēng)向前兩階固有頻率分別為f1=0.184 Hz、f2=0.553 Hz，各階振型阻尼比均取0.03；結(jié)構(gòu)與f1對應(yīng)的基本振型為沿順風(fēng)向的側(cè)移振型，且呈偏剪切型。根據(jù)結(jié)構(gòu)的前兩階固有頻率可推算出該結(jié)構(gòu)的剛度特征值為λ=0.354。

同理，首先進行振型形狀的對比。如果按規(guī)范進行計算，考慮到結(jié)構(gòu)體系及其變形特征，該結(jié)構(gòu)的基本振型已不再適合按規(guī)范表G.0.3 計算；相比而言，正切函數(shù)φ1(z)=tan[0.25π(z/H)0.7]可能更適合一些。所以，本文以正切函數(shù)振型作為“規(guī)范振型”。若按本文給出的彎剪梁簡化振型計算，可先根據(jù)前兩階固有頻率通過式（6）計算出振型指數(shù)β=1.00，然后按式（4）算出該結(jié)構(gòu)的基本振型值。按層數(shù)計算的振型值列于表6，相應(yīng)的振型圖如圖7 所示。同樣需要說明的是，該高層建筑雖然總層數(shù)為26 層，但考慮到3 層在地下以及地面以上裙房部分的約束作用，本文取4層高度為地面（對應(yīng)的有效高度為h= 87.60m），列出偶數(shù)層的振型值。

表6 算例Ⅱ的基本振型值Tab.6 Data of the first mode of Example Ⅱ

圖7 算例Ⅱ的基本振型Fig.7 Shape of the fundamental mode of Example Ⅱ

從表6的數(shù)據(jù)和圖7可以看出，本文的彎剪梁簡化振型與有限元計算結(jié)果相比，在整個高度范圍內(nèi)都比較吻合，只有局部區(qū)域差別稍大。其中，位于10層附近絕對偏差最大，為0.033，對應(yīng)的相對偏差為8.59%；最大的相對偏差為11.07%，位于8層附近。相比而言，規(guī)范提供的正切函數(shù)振型（即“規(guī)范振型Ⅱ”）與有限元振型之間在大部分高度范圍內(nèi)差別都比較大，且偏小，最大相對偏差達到?21.93%，所以應(yīng)認為該振型不適合于本例的結(jié)構(gòu)。至于規(guī)范表G.0.3 的振型，比較圖4 和圖7 即可看出，它對本例明顯不適用。

其次，進行風(fēng)振系數(shù)的對比。本例風(fēng)振系數(shù)計算也考慮和算例Ⅰ相同的4 種情形，計算結(jié)果的表達形式也相同；只不過，在完全采用規(guī)范中風(fēng)振系數(shù)算式進行計算時，振型采用規(guī)范提供的正切函數(shù)振型值（即“規(guī)范振型Ⅱ”）；同理，鑒于規(guī)范表G.0.3振型不適合于本例，所以就不再采用該振型函數(shù)計算風(fēng)振系數(shù)。相應(yīng)的風(fēng)振系數(shù)按高度h的10 等分計算，結(jié)果列于表7，風(fēng)振系數(shù)沿高度變化的曲線如圖8所示。

表7 算例Ⅱ的風(fēng)振系數(shù)值Tab.7 Data of the DRF of Example Ⅱ

圖8 算例Ⅱ的風(fēng)振系數(shù)Fig.8 DRF of Example Ⅱ

由表7和圖8可見，如果以完全采用規(guī)范中風(fēng)振系數(shù)計算式的計算結(jié)果（GF?Now）作為比較基準(zhǔn)，則

（1）如果僅僅將振型由正切振型修改為彎剪梁簡化振型（即式（4）），其余完全按規(guī)范中的風(fēng)振系數(shù)算式計算，則風(fēng)振系數(shù)計算值（WJL?DS?GF?Now）在除底部外的絕大部分區(qū)域均有較大提高，最大相對偏差達到12.79%，位于0.5h高度處。這是由于規(guī)范在建立風(fēng)振系數(shù)算式時采用的振型函數(shù)為正切函數(shù)，與本文給出的基于彎剪梁模型的簡化振型（即式（4））差別較大。

（2）如果在建立風(fēng)振系數(shù)計算式時就引入彎剪梁簡化振型，建立與規(guī)范形式上一致的風(fēng)振系數(shù)算式（僅參數(shù)不同，詳見文獻［12］），則風(fēng)振系數(shù)計算值（WJL?DS?GF?New）在底部和頂部附近區(qū)域均小于完全按規(guī)范并采用正切函數(shù)振型的計算結(jié)果（GF?Now），而在中間大部分區(qū)域則大于（GF?Now）值；最大相對偏差為?7.33%，位于頂部。

（3）如果采用彎剪梁簡化振型函數(shù)和“Von Karman 風(fēng)速譜+Davenport 空間相關(guān)性”的風(fēng)荷載理論模型、等效風(fēng)振力法，在此基礎(chǔ)上建立與規(guī)范相似的風(fēng)振系數(shù)算式（即式（15）～（20）），則風(fēng)振系數(shù)計算結(jié)果（WJL?VD?GF?NH）全面小于完全按規(guī)范中風(fēng)振系數(shù)算式計算的結(jié)果（GF?Now）；最大相對偏差達到?15.98%，位于頂部附近。

從圖8 還可看出，當(dāng)采用彎剪梁簡化振型函數(shù)進行計算時，均出現(xiàn)了在頂部附近區(qū)域風(fēng)振系數(shù)變小的現(xiàn)象。其原因分析如下：① 從按我國風(fēng)荷載理論［2-3，9］建立的風(fēng)振系數(shù)計算式來看，在脈動風(fēng)荷載項部分，隨高度z變化的項只有分子上的振型函數(shù)φ1（z）和分母上的風(fēng)壓高度變化系數(shù)μz（z），所以如果μz（z）大于φ1（z），就會出現(xiàn)風(fēng)振系數(shù)減小的結(jié)果。② 從圖7 的振型函數(shù)曲線來看，無論是有限元振型還是彎剪梁簡化振型，越往結(jié)構(gòu)頂部區(qū)域φ1（z）變化梯度越小；反之，對于C 類抗風(fēng)地貌來說，風(fēng)壓高度變化系數(shù)μz（z）在結(jié)構(gòu)頂部區(qū)域仍維持一定的變化梯度。所以，在結(jié)構(gòu)頂部區(qū)域出現(xiàn)風(fēng)振系數(shù)變小的現(xiàn)象。

通過本例的分析可以看出以下幾點：

（1）由于根據(jù)式（6）和式（4）得出的彎剪梁簡化振型與結(jié)構(gòu)實際振型最吻合，又由于文獻［12］中給出的和本文中給出的風(fēng)振系數(shù)算式都是在根據(jù)等效風(fēng)振力建立的風(fēng)振系數(shù)解析式基礎(chǔ)上擬合出的實用算式，且有很好的精度，所以按此振型，并采用文獻［12］和本文給出的風(fēng)振系數(shù)算式計算的結(jié)果應(yīng)認為與按結(jié)構(gòu)實際振型計算的結(jié)果吻合，因而是合理的。

（2）完全按規(guī)范給出的風(fēng)振系數(shù)算式計算時，無論是采用表G.0.3的振型值還是采用正切函數(shù)給出的振型值，其計算結(jié)果與按結(jié)構(gòu)實際振型計算的結(jié)果相比，都會有較大差別。本例結(jié)果表明，正切函數(shù)振型并不適合于以本例為代表的偏剪切型建筑，這與文獻［7］的觀點吻合，所以在其基礎(chǔ)上計算的風(fēng)振系數(shù)的合理性有待進一步探討。

（3）若在采用彎剪梁簡化振型的基礎(chǔ)上采用“Von Karman 風(fēng)速譜+Davenport 空間相關(guān)性”的風(fēng)荷載理論模型，按本文給出的擬合算式進行計算，則計算出的風(fēng)振系數(shù)值均小于按“Davenport 風(fēng)速譜+Shiotani 空間相關(guān)性模型”計算的結(jié)果（即文獻［12］的結(jié)果）。即使都采用等效風(fēng)振力法和彎剪梁振型，基于“Von Karman 風(fēng)速譜+Davenport 空間相關(guān)性”風(fēng)荷載模型的風(fēng)振系數(shù)計算結(jié)果也明顯小于基于“Davenport風(fēng)速譜+Shiotani 空間相關(guān)性”風(fēng)荷載模型的風(fēng)振系數(shù)計算結(jié)果，這體現(xiàn)了不同風(fēng)荷載模型對的風(fēng)振系數(shù)計算結(jié)果的影響［17］。

6 結(jié)論

本文在前期工作［6，12］的基礎(chǔ)上，從與國際接軌的角度出發(fā)，采用能夠反映高層建筑結(jié)構(gòu)變形特征的彎剪梁簡化振型函數(shù)和“Von Karman風(fēng)速譜+Davenport空間相關(guān)性”的風(fēng)荷載理論模型，根據(jù)我國風(fēng)荷載理論，建立風(fēng)振系數(shù)實用算式；在我國規(guī)范中風(fēng)振系數(shù)計算參數(shù)選取的范圍內(nèi)，通過與風(fēng)振系數(shù)理論算式比較，檢驗了本文實用算式的合理性。在此基礎(chǔ)上，通過兩個比較典型的工程算例，將本文計算方法與我國規(guī)范中的算法以及本文作者在前期工作中建立的算法進行比較。得出以下結(jié)論：

（1）對可簡化為等截面勻質(zhì)豎向懸臂梁模型的高層建筑，規(guī)范表G.0.3 給出的振型函數(shù)可以反映振型偏彎曲的彎剪型高層建筑（λ>3，一般為框架剪力墻結(jié)構(gòu)或剪力墻結(jié)構(gòu)）的振型特征，但不能較好地反映振型偏剪切型的高層建筑（λ<0.5，一般為框架結(jié)構(gòu)）的振型特征，規(guī)范的正切函數(shù)振型不能有效地反映偏剪切或者偏彎曲的建筑振型特征。本文采用文獻［6］給出的彎剪梁簡化振型則能較好地反映各種變形特征高層建筑的振型特征，此簡化振型既可以提高風(fēng)振系數(shù)計算的適應(yīng)性和計算精度，又簡單實用。

（2）采用彎剪梁簡化振型，按我國目前的風(fēng)荷載理論建立的風(fēng)振系數(shù)實用算式，對于偏彎曲型振型的建筑，比按規(guī)范的計算結(jié)果偏大，但相對偏差總體可控制在5.0%左右；對于偏剪切型振型的建筑，與按規(guī)范且基于正切振型的計算結(jié)果相比，最大偏差的絕對值在7.0%左右，差別應(yīng)屬不大。

（3）采用彎剪梁簡化振型、“Von Karman 風(fēng)速譜+Davenport空間相關(guān)性”風(fēng)荷載模型和等效風(fēng)振力法建立本文的風(fēng)振系數(shù)實用算式，對于偏彎曲型振型的建筑，與按規(guī)范計算的結(jié)果偏差也可控制在5.0%左右，其中在上部區(qū)域偏小一些，與文獻［12］的實用算式相比，整體偏小，但相對偏差可控制在6.0%左右；對于偏剪切型振型的建筑，本文的風(fēng)振系數(shù)實用算式與按規(guī)范且基于正切振型的計算結(jié)果相比較，整體偏小，差別較大，與文獻［12］的實用算式相比，雖然也整體偏小，但相對偏差較小。

作者貢獻聲明：

王國硯：全文構(gòu)思與實施，理論推導(dǎo)，算例計算。

張福壽：理論推導(dǎo)和實用算法推導(dǎo)，算例計算。

馮智楷：算例計算。