柔性失效衛(wèi)星能量耗散與運(yùn)動(dòng)演化特性研究

盛 超, 宋 超, 沈紅新

1. 宇航動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 西安 710043 2. 西安衛(wèi)星測(cè)控中心, 西安 710043

0 引 言

隨著人類(lèi)科技水平的不斷進(jìn)步,世界各國(guó)對(duì)太空的探索也愈發(fā)頻繁與深入.在軌航天器的種類(lèi)、數(shù)量不斷提升,航天任務(wù)逐漸呈現(xiàn)出復(fù)雜化、精細(xì)化的發(fā)展趨勢(shì),航天器在遙感成像、通信中繼、深空探測(cè)與授時(shí)定位等領(lǐng)域起到了難以取代的作用,但太空環(huán)境具有高真空、強(qiáng)輻射與溫度變化劇烈等特性[1],這對(duì)航天器上儀器設(shè)備的正常工作提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn).合理利用并及時(shí)維護(hù)航天器,具有十分重要的科學(xué)價(jià)值與經(jīng)濟(jì)效益.

20世紀(jì)以來(lái),全世界范圍內(nèi)衛(wèi)星及其應(yīng)用產(chǎn)業(yè)發(fā)展十分迅速.據(jù)統(tǒng)計(jì),2022年世界航天共實(shí)施186次發(fā)射任務(wù),發(fā)射航天器2 505個(gè),均創(chuàng)歷史新高.隨著在軌航天器數(shù)量的不斷增加以及空間任務(wù)的不斷復(fù)雜,在軌衛(wèi)星故障事件的數(shù)量與復(fù)雜度不斷增長(zhǎng)[2].為盡快恢復(fù)失效衛(wèi)星功能,一方面需要地面衛(wèi)星測(cè)控部門(mén)分析預(yù)測(cè)衛(wèi)星的姿軌位置,在合適時(shí)機(jī)發(fā)送遙控指令以重啟衛(wèi)星,例如2006年我國(guó)某型號(hào)衛(wèi)星在入軌后的太陽(yáng)帆板展開(kāi)階段突然信號(hào)中斷,專(zhuān)家分析后認(rèn)為該事件起因是帆板故障導(dǎo)致衛(wèi)星斷電,后經(jīng)專(zhuān)業(yè)技術(shù)人員推測(cè)斷電時(shí)刻并預(yù)估衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)狀態(tài),利用衛(wèi)星帆板對(duì)日時(shí)可短暫接受地面遙控指令的時(shí)機(jī),調(diào)整帆板姿態(tài)使其能持續(xù)供電,最終成功使衛(wèi)星恢復(fù)正常[3].另一方面,可利用空間機(jī)械臂實(shí)施在軌維修、捕獲與回收等操作,避免失效衛(wèi)星長(zhǎng)期占用軌道位置,影響其他衛(wèi)星正常工作,例如歐空局針對(duì)其失效衛(wèi)星Envisat啟動(dòng)了e.Deorbit項(xiàng)目[4],擬采用新型機(jī)械臂、飛網(wǎng)、魚(yú)叉等機(jī)構(gòu)對(duì)Envisat進(jìn)行捕獲并實(shí)施離軌處置[5],但目前仍未有實(shí)質(zhì)性的操作進(jìn)展.

為快速有效開(kāi)展失效衛(wèi)星的地面搶救與在軌維護(hù)任務(wù),需要準(zhǔn)確把握衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律并預(yù)測(cè)衛(wèi)星姿軌狀態(tài),從而在恰當(dāng)時(shí)機(jī)發(fā)送遙控指令或?qū)嵤┎东@操作[6].蔡立鋒等[7]對(duì)衛(wèi)星受到重力梯度力矩作用下的自旋運(yùn)動(dòng),特別是自旋軸和章動(dòng)角的變化特性進(jìn)行了分析,能夠?qū)匦l(wèi)星姿態(tài)失控后的姿態(tài)確定和運(yùn)動(dòng)預(yù)測(cè)提供參考.EFIMOV等[8]針對(duì)太陽(yáng)同步軌道上衛(wèi)星受到電渦流阻尼力矩的情況,根據(jù)剛體運(yùn)動(dòng)的Hamilton函數(shù)建立了航天器運(yùn)動(dòng)的精確模型,分析了航天器姿態(tài)與角動(dòng)量矢量的演化情況.COCHRAN[9]采用一種基于Lie代數(shù)生成近似正則變換的一般攝動(dòng)方法,分析了重力梯度力矩作用下航天器長(zhǎng)期自旋運(yùn)動(dòng)的演化情況.劉延柱[10]基于Serret-Andoyer變量建立了剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程,并分析了受微弱力矩作用的剛體或高速旋轉(zhuǎn)剛體的運(yùn)動(dòng)特征.

圖1 近年來(lái)在軌衛(wèi)星故障情況統(tǒng)計(jì)Fig.1 Statistics of satellite failures in orbit in recent years

上述研究均針對(duì)外部環(huán)境攝動(dòng)作用下航天器的運(yùn)動(dòng)演化過(guò)程展開(kāi)研究,隨著空間任務(wù)的不斷深入與復(fù)雜,航天器逐漸向著大型化、復(fù)雜化和柔性化的方向發(fā)展,太陽(yáng)帆板、機(jī)械臂與天線(xiàn)等大型柔性附件得到了廣泛的應(yīng)用[13],攜帶這類(lèi)柔性附件航天器的姿軌運(yùn)動(dòng)與彈性振動(dòng)之間存在著復(fù)雜的耦合關(guān)系[12],并且柔性附件的彈性振動(dòng)會(huì)持續(xù)耗散航天器的能量,相比于外部空間環(huán)境造成的擾動(dòng)[15],這種內(nèi)部因素對(duì)航天器運(yùn)動(dòng)演化的影響更為顯著.以攜帶大型太陽(yáng)帆板的典型失效衛(wèi)星Envisat為例,其觀測(cè)數(shù)據(jù)表明,截至2013年5月份,Envisat的角速度曾有一段迅速增加的時(shí)期,目前學(xué)界對(duì)這一現(xiàn)象的成因仍無(wú)統(tǒng)一解釋,隨后Envisat的角速度呈緩慢降低趨勢(shì),研究表明這是由于衛(wèi)星電渦流與地磁場(chǎng)相互作用,不斷損耗衛(wèi)星能量所致.目前學(xué)界關(guān)于Envisat的自旋運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)以及主要影響因素雖達(dá)成一定共識(shí),但仍未有能夠準(zhǔn)確描述其運(yùn)動(dòng)演化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型[16],這進(jìn)一步提升了Envisat后續(xù)處理任務(wù)的設(shè)計(jì)難度.

本文以柔性失效衛(wèi)星的搶救與維修任務(wù)設(shè)計(jì)需求為牽引,針對(duì)一類(lèi)攜帶大型柔性附件的失效航天器,分析其能量損耗過(guò)程與對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)演化規(guī)律,首先基于拉格朗日方程建立柔性航天器的姿態(tài)-振動(dòng)耦合動(dòng)力學(xué)模型,然后根據(jù)能量耗散規(guī)律分析柔性航天器不同自旋狀態(tài)的穩(wěn)定性,最后分析了衛(wèi)星初始角速度、柔性附件的安裝位置、柔性附件的初始振動(dòng)狀態(tài)、柔性結(jié)構(gòu)與材料特性等因素對(duì)能量耗散速率的影響,并從能量耗散規(guī)律的角度分析了航天器的運(yùn)動(dòng)演化趨勢(shì).

1 攜帶柔性附件航天器的動(dòng)力學(xué)建模

首先對(duì)航天器動(dòng)力學(xué)模型推導(dǎo)過(guò)程中使用的坐標(biāo)系進(jìn)行說(shuō)明:

(1)中心體坐標(biāo)系fb(ObXbYbZb):原點(diǎn)在中心體質(zhì)心,坐標(biāo)軸為中心體慣量主軸;

(2)柔性附件坐標(biāo)系ff(OfXfYfZf):原點(diǎn)在附件與中心體的連接點(diǎn),坐標(biāo)軸固連于附件上;

(3)航天器坐標(biāo)系fs(OsXsYsZs):原點(diǎn)在航天器質(zhì)心,坐標(biāo)軸為航天器慣量主軸.

圖2 航天器動(dòng)力學(xué)模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of spacecraft dynamics model

(1)

利用假設(shè)模態(tài)法將變形量展開(kāi),即有:ufi=Φfiq,其中:Φfi為某一質(zhì)量微元處前l(fā)階振型所對(duì)應(yīng)的變形量,為3×l階矩陣,僅與微元位置相關(guān);q為柔性附件的模態(tài)坐標(biāo),為l×1階矩陣,僅與時(shí)間相關(guān).利用模態(tài)坐標(biāo)與變形量的關(guān)系可將質(zhì)量微元的位置與速度寫(xiě)為

(2)

(3)

柔性附件的動(dòng)能為

(4)

其中,

上述推導(dǎo)過(guò)程中忽略了部分量級(jí)較小且不影響演化過(guò)程衛(wèi)星守恒量的耦合項(xiàng),并且認(rèn)為柔性部件固連于中心體,連接處無(wú)間隙且無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng).式(4)中右側(cè)3項(xiàng)分別為柔性附件隨中心體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、振動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)-振動(dòng)耦合動(dòng)能.

另外,柔性附件在振動(dòng)過(guò)程,其彈性形變會(huì)產(chǎn)生彈性勢(shì)能,可表示為[17]

V=UTKUU=qTKqq

(5)

其中:U為所有柔性附件質(zhì)量微元變形量組成的矢量;KU為所有質(zhì)量微元對(duì)應(yīng)的剛度矩陣,維數(shù)與質(zhì)量微元個(gè)數(shù)相關(guān);Kq為模態(tài)坐標(biāo)q對(duì)應(yīng)的剛度矩陣,維數(shù)與模態(tài)坐標(biāo)維數(shù)相關(guān).

航天器的總動(dòng)能為中心體動(dòng)能與柔性附件動(dòng)能之和,總能量為航天器的總動(dòng)能和柔性附件彈性勢(shì)能之和,航天器的拉格朗日量為總動(dòng)能和柔性附件彈性勢(shì)能之差,根據(jù)式(1)、式(4)與式(5),航天器總能量Es和拉格朗日量L具體寫(xiě)為

(6)

(7)

為便于后續(xù)分析,對(duì)各附件的運(yùn)動(dòng)描述方式進(jìn)行調(diào)整:

(8)

2)對(duì)模態(tài)坐標(biāo)進(jìn)行歸一化處理[17],選取新的模態(tài)坐標(biāo)η并令q=Fη,其中F為2類(lèi)模態(tài)坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換矩陣,且滿(mǎn)足FTMfF=E3.

那么式(7)所示的拉格朗日量可以寫(xiě)作

(9)

其中:ωs=Asbωb,是系下航天器的角速度;Rsf=FRf;Λ為柔性附件頻率對(duì)角陣.

本文認(rèn)為帆板振動(dòng)過(guò)程中的阻尼作用強(qiáng)度與彈性形變成正比,即采用線(xiàn)性阻尼模型,并且認(rèn)為能量耗散僅由柔性部件振動(dòng)引起,忽略星上液體晃動(dòng)引起的能量耗散.根據(jù)文獻(xiàn)[18],柔性附件能量耗散的瑞利耗散函數(shù)可以寫(xiě)作

(10)

其中,ξ為柔性附件阻尼比.

根據(jù)拉格朗日方程,不考慮外部輸入時(shí)航天器動(dòng)力學(xué)方程可以表示為

(11)

(12)

(13)

將式(12)與式(13)合寫(xiě)成矩陣形式,有

(14)

2 航天器不同自旋狀態(tài)穩(wěn)定性分析

根據(jù)控制論,當(dāng)系統(tǒng)處于能量最低點(diǎn)時(shí),系統(tǒng)是穩(wěn)定的,本節(jié)將分析航天器能量最低時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

根據(jù)角動(dòng)量定理,航天器不受外力矩時(shí),慣性系下角動(dòng)量的大小與方向均保持恒定.由式(3)與式(9),航天器在系下的角動(dòng)量可以表示為

(15)

引入拉格朗日函數(shù)

(16)

其中,λ為拉格朗日乘子.

顯然,當(dāng)L′取得最小值時(shí),航天器處于能量最低狀態(tài).當(dāng)式(17)～(19)均為0時(shí),航天器總能量Es取得極值

(17)

(18)

(19)

根據(jù)計(jì)算,航天器總能量處極值時(shí)有3組可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài):

(20)

上述分析中Isx、Isy與Isz分別為航天器繞Xs軸、Ys軸與Zs軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.顯然航天器自旋軸慣量越大,總能量越小,故航天器只有繞其最大慣量軸的自旋運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的.并且由于柔性附件振動(dòng)過(guò)程會(huì)逐漸耗散能量,經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后,航天器運(yùn)動(dòng)狀態(tài)均會(huì)收斂至繞最大慣量主軸自旋.

另外根據(jù)文獻(xiàn)[17],對(duì)于滿(mǎn)足Isx=Isy=It

(21)

3 能量耗散影響因素分析

上一節(jié)的定性分析表明,航天器在柔性部件能量耗散作用下,經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期運(yùn)動(dòng)演化將穩(wěn)定于繞最大慣量軸自旋的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),本節(jié)將基于數(shù)值仿真分析影響能量耗散速率的因素,并從能量耗散角度分析柔性衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)演化趨勢(shì).

柔性附件的安裝方式如圖3所示,部分仿真參數(shù)如下:

圖3 柔性附件的安裝示意圖Fig.3 Installation diagram of flexible attachments

柔性附件前三階固有頻率分別為0.5 Hz、1.8 Hz和6.2 Hz,柔性附件的前三階振型如圖4所示.

圖4 柔性附件前三階振型Fig.4 First three vibration modes of flexible attachments

(1) 航天器初始角速度對(duì)能量耗散速率的影響

圖5中給出了不同初始角速度條件下,航天器能量耗散的趨勢(shì),其中橫坐標(biāo)為時(shí)間,縱坐標(biāo)為當(dāng)前時(shí)刻能量與初始時(shí)刻能量的比值,可以看出,航天器初始角速度越大,能量耗散速度越快.

圖5 衛(wèi)星初始角速度對(duì)能量耗散速率的影響Fig.5 Influence of initial angular velocity on energy dissipation rate

圖5中的5組算例中,航天器在初始時(shí)刻均處于自旋與章動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)狀態(tài),且根據(jù)各算例角速度初值可知其章動(dòng)角均相同(7°左右).當(dāng)航天器三軸角速度均為2(°)/s左右時(shí),經(jīng)過(guò)50天航天器仍具有初始時(shí)刻99.89%的能量,即航天器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)幾乎沒(méi)有改變;而當(dāng)三軸初始角速度為10(°)/s左右,50天后航天器只具有初始時(shí)刻77.4%的能量,根據(jù)相應(yīng)曲線(xiàn)可知此時(shí)航天器章動(dòng)已經(jīng)大幅收斂,接近繞最大慣量主軸自旋的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài).根據(jù)航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程式(12),考慮到長(zhǎng)期無(wú)控運(yùn)動(dòng)過(guò)程中柔性附件振動(dòng)較弱,忽略模態(tài)坐標(biāo)相關(guān)項(xiàng)后可以得到

(22)

(2)柔性附件的安裝位置對(duì)能量耗散速率的影響

圖6給出了柔性附件安裝位置不同時(shí),航天器能量耗散的趨勢(shì).其中Yf是柔性附件距中心體的距離,如圖3所示.根據(jù)式(4)中If的表達(dá)式與式(8)中航天器慣量主軸坐標(biāo)系的分析,柔性附件不同的安裝位置會(huì)影響航天器的質(zhì)量分布,而不同的質(zhì)量分布特性會(huì)導(dǎo)致式(22)右側(cè)各角速度乘積項(xiàng)的系數(shù)不同,從而改變航天器能量耗散速度.航天器質(zhì)量分布越分散,各主軸慣量之差越大,航天器能量耗散速率就越快.

圖6 柔性附件的安裝位置對(duì)能量耗散速率的影響Fig.6 Influence of installation status of flexible attachments on energy dissipation rate

(3)柔性附件初始振動(dòng)狀態(tài)對(duì)能量耗散速率的影響

圖7給出了柔性附件初始振動(dòng)狀態(tài)不同時(shí),航天器能量耗散的趨勢(shì).Ef0為柔性附件的初始振動(dòng)能量,包括彈性勢(shì)能與振動(dòng)動(dòng)能.從圖7左上子圖中可以看出,當(dāng)柔性部件在初始時(shí)刻存在彈性形變時(shí),航天器將在100 s內(nèi)迅速耗散掉初始彈性勢(shì)能,并在被自旋運(yùn)動(dòng)激發(fā)的受迫振動(dòng)過(guò)程中繼續(xù)耗散航天器能量,此時(shí)的能量耗散速度與初始振動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān),而圖7右下子圖說(shuō)明不同初始振動(dòng)狀態(tài)的航天器在末狀態(tài)時(shí)剩余能量基本一致,故航天器初始振動(dòng)狀態(tài)對(duì)能量耗散速率基本無(wú)影響.

圖7 初始振動(dòng)狀態(tài)對(duì)能量耗散速率的影響Fig.7 Influence of initial vibration state on energy dissipation rate

(4)柔性附件材料特性對(duì)能量耗散速率的影響

圖8給出了柔性附件阻尼比不同時(shí),航天器能量耗散的趨勢(shì),當(dāng)阻尼比為0.009時(shí),航天器可在22天左右時(shí)收斂至繞最大慣量主軸的運(yùn)動(dòng);而阻尼比為0.005時(shí),航天器在45天左右時(shí)收斂至繞最大慣量主軸的運(yùn)動(dòng),阻尼比為0.001時(shí),航天器在50天時(shí)仍未收斂至繞最大慣量主軸的運(yùn)動(dòng).也就是說(shuō),柔性附件阻尼比越大,能量耗散速度越快,這一結(jié)論可以由式(10)的能量耗散函數(shù)直接得到.

圖8 柔性附件材料特性對(duì)能量耗散速率的影響Fig.8 Influence of material characteristics of flexible attachments on energy dissipation rate

4 結(jié) 論

本文針對(duì)失效衛(wèi)星的救援與維護(hù)任務(wù)設(shè)計(jì)需求,建立了適用于攜帶柔性附件航天器長(zhǎng)期在軌演化分析的姿態(tài)-振動(dòng)耦合動(dòng)力學(xué)模型,從理論上分析了不同自旋狀態(tài)的穩(wěn)定性,并研究了航天器能量耗散速度的3種主要影響因素.所得出的主要結(jié)論如下:

1)針對(duì)所研究的不同問(wèn)題背景,應(yīng)有選擇地簡(jiǎn)化航天器動(dòng)力學(xué)模型,在失效衛(wèi)星長(zhǎng)期運(yùn)動(dòng)演化分析中,為保障分析結(jié)果的精度,應(yīng)保持航天器角動(dòng)量守恒,故研究中應(yīng)避免簡(jiǎn)化掉過(guò)多耦合項(xiàng);

2)航天器繞不同空間軸自旋時(shí),若航天器角動(dòng)量一定,則自旋軸慣量越大,航天器能量越小,并且由于柔性附件振動(dòng)會(huì)導(dǎo)致持續(xù)的能量耗散,航天器經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間的運(yùn)動(dòng)演化后均會(huì)收斂至繞最大慣量軸的自旋運(yùn)動(dòng),但這一過(guò)程耗時(shí)很長(zhǎng);

3)根據(jù)理論分析與數(shù)值仿真,柔性航天器能量耗散速率主要與衛(wèi)星初始角速度、柔性附件的安裝位置、柔性附件材料特性等因素相關(guān),而柔性附件的初始振動(dòng)狀態(tài)對(duì)能量耗散速率影響很小.