結(jié)構(gòu)恢復(fù)力非參數(shù)化模型識(shí)別的改進(jìn)容積卡爾曼濾波方法

杜義邦 許斌 趙冶 鄧百川

摘要 對(duì)地震等強(qiáng)動(dòng)力荷載作用過程中結(jié)構(gòu)損傷的發(fā)生發(fā)展過程進(jìn)行識(shí)別，必須考慮結(jié)構(gòu)行為的非線性。本文運(yùn)用相對(duì)位移和相對(duì)速度的冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式表征結(jié)構(gòu)恢復(fù)力模型，提出一種基于改進(jìn)的容積卡爾曼濾波算法（Updated Cubature Kalman Filter， UCKF）和結(jié)構(gòu)部分自由度上加速度響應(yīng)時(shí)程的結(jié)構(gòu)參數(shù)、未知響應(yīng)及恢復(fù)力非參數(shù)化模型識(shí)別方法。以一個(gè)含磁流變阻尼器的多自由度數(shù)值模型為例，考慮20%的加速度響應(yīng)測(cè)量噪聲影響，識(shí)別出模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)、未知響應(yīng)及阻尼力。并將本文方法所得結(jié)果分別與基于擴(kuò)展卡爾曼濾波算法、傳統(tǒng)容積卡爾曼濾波算法及含記憶衰退的擴(kuò)展卡爾曼濾波算法所得結(jié)果進(jìn)行比較。對(duì)一個(gè)帶磁流變阻尼器的四層剪切型框架模型進(jìn)行激振試驗(yàn)，基于部分自由度上的加速度響應(yīng)時(shí)程實(shí)測(cè)值，識(shí)別出結(jié)構(gòu)參數(shù)、未知?jiǎng)恿憫?yīng)以及阻尼器阻尼力的非參數(shù)化模型，通過與實(shí)測(cè)結(jié)果的比較，驗(yàn)證了本文方法的可行性。

關(guān)鍵詞 非線性恢復(fù)力; 改進(jìn)的容積卡爾曼濾波; 非參數(shù)化識(shí)別; 冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式; 磁流變阻尼器

引 言

土木工程結(jié)構(gòu)在服役過程中，除了因材料劣化等因素會(huì)出現(xiàn)結(jié)構(gòu)損傷和性能退化外，也往往會(huì)因地震等強(qiáng)動(dòng)力荷載的作用出現(xiàn)不同程度損傷甚至破壞。對(duì)強(qiáng)動(dòng)力荷載作用過程中結(jié)構(gòu)損傷的發(fā)生發(fā)展過程進(jìn)行識(shí)別，并據(jù)此對(duì)結(jié)構(gòu)剩余承載力和剩余壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)是亟待解決的課題。嚴(yán)格來講，基于結(jié)構(gòu)特征值和特征向量抽取的結(jié)構(gòu)識(shí)別方法僅適用于線性系統(tǒng)，可近似應(yīng)用于材料劣化等引起的結(jié)構(gòu)剛度緩慢變化情況下的識(shí)別問題。但結(jié)構(gòu)在地震等強(qiáng)動(dòng)力荷載作用過程中損傷的發(fā)生發(fā)展過程是一個(gè)典型的非線性過程，不同結(jié)構(gòu)構(gòu)件在不同時(shí)刻進(jìn)入非線性階段，構(gòu)件和結(jié)構(gòu)層次的剛度并非保持不變，運(yùn)用特征值或特征向量來識(shí)別剛度，并用其描述不斷發(fā)展的損傷存在不合理性。不同于剛度，結(jié)構(gòu)或構(gòu)件在振動(dòng)過程中的恢復(fù)力是其非線性行為的最直接描述，結(jié)合結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)識(shí)別結(jié)果，不僅可以評(píng)價(jià)不同構(gòu)件在不同時(shí)刻和不同變形情況下的損傷狀態(tài)，還可以定量計(jì)算振動(dòng)過程中的耗能［1?2］。此外，由于實(shí)際土木工程結(jié)構(gòu)材料和類型的多樣性，結(jié)構(gòu)恢復(fù)力往往難以通過某一事先假定的統(tǒng)一參數(shù)化數(shù)學(xué)模型來準(zhǔn)確描述。因此，針對(duì)強(qiáng)動(dòng)力荷載作用后或?yàn)?zāi)后結(jié)構(gòu)損傷的識(shí)別問題，通過建立恢復(fù)力的非參數(shù)化模型并識(shí)別結(jié)構(gòu)恢復(fù)力具有重要意義。

相較于線性結(jié)構(gòu)，由于結(jié)構(gòu)材料和類型的多樣性，非線性結(jié)構(gòu)的識(shí)別問題難度更大，因而得到國內(nèi)外學(xué)者的重視。針對(duì)非線性結(jié)構(gòu)的識(shí)別問題，Masri等［3］提出了恢復(fù)力曲面法并將其推廣應(yīng)用到了多自由度非線性動(dòng)力系統(tǒng)。隨后，Smyth等［4］提出了一種基于最小二乘的結(jié)構(gòu)參數(shù)的在線自適應(yīng)識(shí)別方法，并估計(jì)了結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力。Xu等［5?6］基于線性等效思想，運(yùn)用最小二乘法識(shí)別了結(jié)構(gòu)恢復(fù)力，并運(yùn)用一個(gè)具有磁流變（Magneto Rheological， MR）阻尼器的多自由度剪切型框架模型的動(dòng)力試驗(yàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了該方法的可行性?？紤]實(shí)際結(jié)構(gòu)恢復(fù)力參數(shù)化模型難以預(yù)先確定的問題，許斌等［7?8］分別運(yùn)用冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式和切比雪夫多項(xiàng)式作為結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力的非參數(shù)化模型，提出了恢復(fù)力的非參數(shù)化識(shí)別方法，并分別通過含有MR阻尼器和形狀記憶合金阻尼器（Shape Memory Alloy， SMA）的非線性多自由度系統(tǒng)的數(shù)值模擬和模型試驗(yàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了所提出方法的有效性。

基于狀態(tài)空間模型遞推的卡爾曼濾波類算法被廣泛用于解決實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中激勵(lì)與系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)信息不完全已知情況下結(jié)構(gòu)的識(shí)別問題。Jazwinski［9］利用擴(kuò)展卡爾曼濾波方法（Extended Kalman Filter， EKF）對(duì)加速度測(cè)量進(jìn)行濾波，并通過預(yù)測(cè)與估計(jì)識(shí)別得到了結(jié)構(gòu)參數(shù)。Hoshiyam等［10］提出了加權(quán)全局迭代擴(kuò)展卡爾曼濾波算法（Extended Kalman Filter?Weighted Global Iteration， EKF?WGI）。王祥建等［11］又引入記憶衰退技術(shù)提高了EKF算法的穩(wěn)定性。Lei等［12?13］和Liu等［14］基于等效線性方法，實(shí)現(xiàn)了部分觀測(cè)下結(jié)構(gòu)參數(shù)及非線性恢復(fù)力的識(shí)別。張肖雄等［15?16］則通過引入投影矩陣，推導(dǎo)了改進(jìn)的觀測(cè)方程，實(shí)現(xiàn)了外激勵(lì)的實(shí)時(shí)識(shí)別。Xu等［17］基于勒讓德多項(xiàng)式和位移與加速度的數(shù)據(jù)融合方法，對(duì)結(jié)構(gòu)恢復(fù)力和未知激勵(lì)進(jìn)行識(shí)別。

EKF通過一階泰勒級(jí)數(shù)將非線性函數(shù)線性化，該方法存在精度不高、易于發(fā)散以及只適用于弱非線性系統(tǒng)的缺點(diǎn)。由于對(duì)概率分布進(jìn)行近似要比對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行近似容易得多，基于該思想，Julier等［18?19］提出了無跡變換（Unscented Transform， UT）與無跡卡爾曼濾波算法（Unscented Kalman Filter， UKF）。UKF對(duì)非線性函數(shù)的概率密度分布進(jìn)行近似，用一系列確定樣本來逼近狀態(tài)的后驗(yàn)概率密度。Wan等［20］驗(yàn)證了UKF的有效性。Wu等［21?22］的研究結(jié)果表明，在噪聲更大的情況下對(duì)高維系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，UKF相較于EKF具有更高的識(shí)別精度。Xie等［23］運(yùn)用迭代無跡卡爾曼濾波（Iterated Unscented Kalman Filter， IUKF） 對(duì)Bouc?Wen滯回系統(tǒng)進(jìn)行識(shí)別，結(jié)果表明，相較于UKF，IUKF的識(shí)別精度更高和算法魯棒性更好。針對(duì)地震作用下結(jié)構(gòu)剛度突變的識(shí)別問題，Bisht等［24］提出了一種具有跟蹤結(jié)構(gòu)參數(shù)突變能力的自適應(yīng)無跡卡爾曼濾波算法（Adaptive Unscented Kalman Filter， AUKF），數(shù)值模擬結(jié)果表明，該方法能對(duì)多個(gè)結(jié)構(gòu)構(gòu)件在不同時(shí)刻的參數(shù)突變進(jìn)行有效識(shí)別。實(shí)際應(yīng)用卡爾曼濾波時(shí)，模型誤差、噪聲誤差、計(jì)算誤差均可能會(huì)造成預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣和增益矩陣隨迭代次數(shù)增加而減弱修正狀態(tài)估計(jì)的情況（即數(shù)據(jù)飽和或者觀測(cè)老化），并進(jìn)而導(dǎo)致濾波發(fā)散。針對(duì)此問題，漸消記憶濾波的擴(kuò)展卡爾曼濾波算法（Extended Kalman Filter?Memory Fading， EKF?MF）被提出，該算法通過增大新數(shù)據(jù)的作用而降低舊數(shù)據(jù)的負(fù)面影響［25?26］。為準(zhǔn)確估計(jì)系統(tǒng)的噪聲統(tǒng)計(jì)特性，Sage等［27］提出了一種可實(shí)時(shí)估計(jì)系統(tǒng)及測(cè)量噪聲的自適應(yīng)濾波算法，該方法在濾波的同時(shí)利用觀測(cè)量信息，對(duì)模型參數(shù)、噪聲特性進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)整，進(jìn)一步提高了濾波精度。

為克服UFK在高維系統(tǒng)中出現(xiàn)濾波精度低和數(shù)值計(jì)算不穩(wěn)定的問題，加拿大學(xué)者Arasaratnam等［28］于2009年首次提出了基于Cubature變換的容積卡爾曼濾波算法（Cubature Kalman Filter， CKF）?；谌A球面徑向容積準(zhǔn)則（Cubature準(zhǔn)則），使用2n個(gè)（n為擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)向量的維數(shù)）權(quán)值相同的容積點(diǎn)（Cubature點(diǎn)），經(jīng)非線性系統(tǒng)方程轉(zhuǎn)換后進(jìn)行加權(quán)處理，來逼近具有附加高斯噪聲的非線性系統(tǒng)的狀態(tài)均值和協(xié)方差。常宇健等［29］對(duì)比了EKF，UKF和CKF的濾波性能，結(jié)果表明EKF的濾波性能最差，而UKF對(duì)于高維非線性系統(tǒng)不僅調(diào)解參數(shù)困難，且在濾波過程中可能會(huì)出現(xiàn)協(xié)方差非正定的情況，使濾波結(jié)果不穩(wěn)定甚至發(fā)散，而CKF的濾波結(jié)果優(yōu)于EKF與UKF。孫楓等［30］比較了CKF與UKF的濾波精度，并通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了對(duì)于高維（n>3）的非線性系統(tǒng)，CKF的精度、穩(wěn)定性均高于UKF，建議選擇CKF作為濾波方法。CFK是理論上當(dāng)前最接近貝葉斯濾波的近似算法，是解決非線性系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的強(qiáng)有力工具。其中，將積分形式變換成球面徑向積分形式和三階球面徑向準(zhǔn)則是最為重要的兩個(gè)步驟。CKF方法一經(jīng)提出便在姿態(tài)估計(jì)、導(dǎo)航、連續(xù)系統(tǒng)和混合濾波等領(lǐng)域得到應(yīng)用［30］。

本文將記憶衰退權(quán)重、奇異值分解及Sage?Husa自適應(yīng)濾波算法引入CKF，提出一種運(yùn)用改進(jìn)的容積卡爾曼濾波算法（Updated Cubature Kalman Filter， UCKF）及部分加速度測(cè)量，適用于結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度和阻尼參數(shù)均未知情況，不依賴于結(jié)構(gòu)恢復(fù)力參數(shù)化模型的非線性結(jié)構(gòu)識(shí)別方法。該方法基于UCKF，利用冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式表征結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力的非參數(shù)化模型，利用部分加速度測(cè)量響應(yīng)，預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度、阻尼系數(shù)，識(shí)別未知速度和位移響應(yīng)以及冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式的系數(shù)，建立恢復(fù)力的非參數(shù)化模型，進(jìn)而可以得到結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過程中恢復(fù)力時(shí)程曲線及滯回曲線。為驗(yàn)證所提出方法的可行性，首先建立了一個(gè)含MR阻尼器的四自由度的集中質(zhì)量非線性數(shù)值模型，考慮20%的加速度測(cè)量噪聲的影響，通過本方法的識(shí)別結(jié)果與其理論值的比較，驗(yàn)證本文所提出方法的有效性與精確性。其次，將基于本文UCKF方法的識(shí)別結(jié)果與基于EKF，CKF，EKF?MF方法的識(shí)別結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證了本文方法的優(yōu)點(diǎn)。最后，通過一個(gè)帶MR阻尼器的四自由度非線性鋼框架模型的動(dòng)力試驗(yàn)，利用部分自由度上的加速度響應(yīng)觀測(cè)值，對(duì)模型的質(zhì)量、剛度、阻尼系數(shù)、未測(cè)量動(dòng)力響應(yīng)時(shí)程及MR阻尼器阻尼力的非參數(shù)化模型進(jìn)行識(shí)別，通過比較識(shí)別所得MR阻尼力與與試驗(yàn)實(shí)測(cè)值，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文方法的識(shí)別結(jié)果的準(zhǔn)確性。

1 基于UCKF與冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式的恢復(fù)力非參數(shù)化模型識(shí)別方法

1.1 等效線性化

在外激勵(lì)作用下，一個(gè)含非線性元件的多自由度動(dòng)力系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)平衡方程可寫為：

式中 M，K和C分別為結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣；x¨（t），x（t）和x˙（t）分別為加速度、位移和速度響應(yīng)向量；fnon（t）為非線性元件的恢復(fù)力；f（t）為外激勵(lì)。

將式（1）進(jìn)行等效線性化［31］，可得到如下方程：

式中 ME，CE和KE分別表示等效線性結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣。

在結(jié)構(gòu)非線性的發(fā)展過程中，可合理認(rèn)為結(jié)構(gòu)質(zhì)量是不變的，故可將ME視為結(jié)構(gòu)質(zhì)量的識(shí)別值。一般而言，式（1）中結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力會(huì)體現(xiàn)在等效線性結(jié)構(gòu)參數(shù)CE與KE的變化上。

1.2 恢復(fù)力非參數(shù)化模型的冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式表示

式（2）可進(jìn)一步表達(dá)為：

式中 Rnon（t）為結(jié)構(gòu)總非線性恢復(fù)力，可表示為：

對(duì)于鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，兩個(gè)自由度間的非線性恢復(fù)力可通過一組相對(duì)速度及相對(duì)位移的冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式來表達(dá)［31］，如下式所示：

式中 Rnoni，i?1（t）表示結(jié)構(gòu)第i個(gè)與第i?1個(gè)自由度間總非線性恢復(fù)力；vi，i?1與si，i?1分別表示結(jié)構(gòu)第i個(gè)與第i?1個(gè)自由度間的相對(duì)速度及相對(duì)位移；rnoni，i?1，k，j為冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式的系數(shù)。J取整數(shù)，K的取值與結(jié)構(gòu)的非線性程度相關(guān)，本文中取K=3。

根據(jù)式（5），結(jié)構(gòu)第i個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)平衡方程可離散為：

式中 mi為第i自由度的層間質(zhì)量。

式（6）中結(jié)構(gòu)質(zhì)量、部分未知加速度響應(yīng)、速度和位移響應(yīng)以及恢復(fù)力非參數(shù)化模型中的參數(shù)有待識(shí)別。識(shí)別所得冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式即為結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力的非參數(shù)化模型。將識(shí)別所得速度和位移響應(yīng)代入該模型即為恢復(fù)力的識(shí)別結(jié)果，可分別與數(shù)值模擬中的理論值和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中的實(shí)測(cè)值進(jìn)行比較。

需要指出的是，本文的數(shù)值模擬及試驗(yàn)驗(yàn)證均選擇在線彈性結(jié)構(gòu)中引入MR阻尼器來模擬結(jié)構(gòu)的非線性行為。此時(shí)，MR阻尼器的阻尼力Fnon（t），需要從所識(shí)別的Rnon（t）中減去線性結(jié)構(gòu)本身所提供的線彈性恢復(fù)力與阻尼力，即

在本文的數(shù)值模擬和試驗(yàn)驗(yàn)證中，F(xiàn)non（t）將分別與數(shù)值模型中阻尼力的理論值及試驗(yàn)中阻尼力的實(shí)測(cè)值進(jìn)行比較，以驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性。

1.3 基于UCKF的非線性結(jié)構(gòu)識(shí)別方法

非線性結(jié)構(gòu)在動(dòng)力作用下的系統(tǒng)狀態(tài)方程和觀測(cè)方程可表示為：

式中 k為時(shí)間步數(shù)；Xk為第k步的狀態(tài)值；f（?）表示系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)，服從一階馬爾可夫假設(shè)；wk?1表示協(xié)方差為Qk?1的系統(tǒng)過程噪聲；Zk為第k步的觀測(cè)值；h（?）表示系統(tǒng)的觀測(cè)函數(shù)，服從觀測(cè)獨(dú)立假設(shè)；vk表示協(xié)方差為Rk的系統(tǒng)觀測(cè)噪聲。

若k?1時(shí)刻的后驗(yàn)概率p（Xk?1∣Z1：k?1）?N（Xk?1;X?k?1，Pk?1），其中，X?k?1為k?1時(shí)刻狀態(tài)估計(jì)值，Pk?1為k?1時(shí)刻誤差協(xié)方差矩陣，則UCKF的遞推算法如下：

（1）基本容積點(diǎn)及對(duì)應(yīng)權(quán)值的計(jì)算

根據(jù)三階容積原則，有：

式中 j表示容積點(diǎn)序號(hào)，l表示容積點(diǎn)總數(shù)，取j=1， 2，…，l；ξj和ωj分別為基于三階容積規(guī)則獲得的第j個(gè)基本容積點(diǎn)和相應(yīng)權(quán)值；nx表示系統(tǒng)維數(shù)。

記nx維單位向量為e=[1， 0， 0，……， 0]T，[1]表示對(duì)e的元素進(jìn)行全排列和改變?cè)胤?hào)產(chǎn)生的點(diǎn)集，稱為完整全對(duì)稱點(diǎn)集，[1]j表示點(diǎn)集中的第j個(gè)點(diǎn)［32?33］。

（2）時(shí)間更新

①計(jì)算k－1時(shí)刻第j個(gè)容積點(diǎn)Xj，k?1：

式中 Sk?1為Pk?1的平方根形式，可根據(jù)Pk?1=Sk?1STk?1得到。

但在實(shí)際情況中，由于矩陣Pk?1往往非半正定，使用傳統(tǒng)的Cholesky變換會(huì)導(dǎo)致濾波發(fā)散，故在本文UCKF算法中，對(duì)矩陣Pk采用奇異值分解［34］，即

式中 svd（?）為求解的奇異值分解矩陣。

式中 b為遺忘因子，根據(jù)文獻(xiàn)［35］可確定b的取值范圍為0.95

在k時(shí)刻至k+1時(shí)刻的計(jì)算中，根據(jù)式（26）計(jì)算所得到的Rk代入式（21）中，進(jìn)行后續(xù)計(jì)算，并按上述步驟對(duì)Rk進(jìn)行更新。

1.4 算法實(shí)現(xiàn)

本文提出的識(shí)別方法的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

（1）假設(shè)結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度、阻尼系數(shù)初始值；

（2）運(yùn)用等效線性化及UCKF算法，在已知部分加速度觀測(cè)量的條件下，對(duì)結(jié)構(gòu)各物理參數(shù)及未知結(jié)構(gòu)速度、位移響應(yīng)時(shí)程進(jìn)行識(shí)別；

（3）收斂判斷：本文采用一種弱化的收斂判斷條件。結(jié)構(gòu)各層前后兩次質(zhì)量識(shí)別的差與前一次識(shí)別質(zhì)量的比值，其最大值小于1%，或上述各層質(zhì)量前后誤差的絕對(duì)值之和小于3%，停止迭代，否則將上一次識(shí)別值當(dāng)做下一次識(shí)別初始值，并循環(huán)以上步驟；

（4）根據(jù)結(jié)構(gòu)參數(shù)及動(dòng)力響應(yīng)識(shí)別結(jié)果，對(duì)冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)行識(shí)別，得到結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力的非參數(shù)化模型。

2 多自由度非線性結(jié)構(gòu)的模擬驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提出算法對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)、動(dòng)力響應(yīng)以及非線性結(jié)構(gòu)恢復(fù)力模型的識(shí)別效果，以圖1所示的一個(gè)配置有MR阻尼器的四層剪切型集中質(zhì)量框架數(shù)值模型為例，開展數(shù)值模擬驗(yàn)證。同時(shí)，將相關(guān)識(shí)別結(jié)果分別與EKF，CKF及EKF?MF的識(shí)別結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證本文方法識(shí)別結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確性以及算法的收斂性。

圖1表示含MR阻尼器的非線性框架數(shù)值模型，其中MR阻尼器模擬結(jié)構(gòu)的非線性行為。結(jié)構(gòu)各層的質(zhì)量mi=150 kg，層間剛度ki=2.0×105 N/m，阻尼系數(shù)ci=160 N?s/m，其中i=1，2，3，4。不失一般性，在結(jié)構(gòu)第三層施加如圖2所示的水平激勵(lì)。結(jié)構(gòu)響應(yīng)由四階Runge?Kutta法計(jì)算，計(jì)算時(shí)間步長設(shè)置為0.001 s。觀測(cè)結(jié)構(gòu)第一、三、四層加速度響應(yīng)，在識(shí)別過程中向加速度響應(yīng)信號(hào)中加入20%的較高水平的測(cè)量噪聲，以考慮測(cè)量噪聲對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響。

在數(shù)值模擬中，MR阻尼器恢復(fù)力模型取為Bingham模型，其表達(dá)式為：

式中 FBhnon為MR阻尼器恢復(fù)力，fBhc=20 N，CBh0=600 N?s/m，fBh0=0。

值得指出的是，該參數(shù)化模型在識(shí)別中是不需要用到的，只是在計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)時(shí)用到。

將結(jié)構(gòu)的狀態(tài)向量定義為：

識(shí)別開始時(shí)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度、阻尼系數(shù)初始值均為理論值的70%，各層位移、速度的初始值均取為0。

圖3表示采用不同濾波算法時(shí)質(zhì)量識(shí)別結(jié)果收斂過程的比較。圖3（a）～（b）中的EKF與CKF不考慮記憶衰退權(quán)重系數(shù)的影響。圖3（c）與（d）分別表示采用EKF?MF與UCKF時(shí)結(jié)構(gòu)質(zhì)量識(shí)別的收斂過程。表1表示質(zhì)量識(shí)別結(jié)果與理論值的比較。由圖3及表1可知，當(dāng)質(zhì)量的初始值為理論值的70%，且加速度時(shí)程中含20%的噪聲時(shí)，EKF的收斂速度最慢，迭代6次才滿足收斂要求，且第一、二層誤差較大。CKF需迭代5次，僅第二層識(shí)別結(jié)果誤差較大。EKF?MF僅需迭代3次即收斂，質(zhì)量識(shí)別結(jié)果最大誤差為4.16%，最小誤差為0.86%。UCKF需迭代4次收斂，但實(shí)際上，在迭代至第3次時(shí)已經(jīng)具有很好的精度，收斂時(shí)質(zhì)量識(shí)別最大誤差為0.84%，最小誤差為0.00%。由此可見，加入記憶衰退技術(shù)的EKF?MF與UCKF收斂速度更快且精度更高，且UCKF的質(zhì)量識(shí)別誤差最小。

為表明本文采用的僅根據(jù)質(zhì)量識(shí)別結(jié)果來判斷識(shí)別過程的收斂過程的合理性，對(duì)基于本文方法的結(jié)構(gòu)剛度和阻尼系數(shù)的識(shí)別結(jié)果的收斂情況進(jìn)行了了分析。

圖4為基于本文方法的結(jié)構(gòu)剛度和阻尼系數(shù)的識(shí)別迭代過程。由圖4（a）和（b）可以看出，各層層間剛度和阻尼系數(shù)在第3次迭代時(shí)已滿足精度要求，并在第4次迭代時(shí)滿足迭代停止的判定條件，與質(zhì)量識(shí)別結(jié)果基本同時(shí)收斂。由圖4（b）可知，第四層的阻尼系數(shù)識(shí)別值與線性結(jié)構(gòu)的阻尼系數(shù)差別較大，這與非線性結(jié)構(gòu)中MR阻尼器位于結(jié)構(gòu)第四層而提供阻尼力的實(shí)際情況吻合。

如圖3所示，由于基于EKF與CKF的濾波和收斂精度相對(duì)較差，故下文僅將本文方法與EKF?MF算法的等效剛度與等效阻尼系數(shù)的識(shí)別結(jié)果進(jìn)行比較。表2為兩種方法識(shí)別結(jié)果的比較，從中可以看出，基于UCKF的識(shí)別結(jié)果相較EKF?MF更準(zhǔn)確。兩種方法對(duì)第四層等效阻尼值的識(shí)別結(jié)果均表明MR阻尼器位于結(jié)構(gòu)第四層，其對(duì)應(yīng)阻尼系數(shù)與線性結(jié)構(gòu)相比明顯增大。

但由于CKF利用了大量容積點(diǎn)近似后驗(yàn)均值，將不可避免地導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間大幅增加。在同樣的計(jì)算環(huán)境下，本文中EKF?MF迭代一次的計(jì)算時(shí)間約為0.9 s，而UCKF迭代一次的計(jì)算時(shí)間約為32 s。

圖5和6分別給出結(jié)構(gòu)位移、速度響應(yīng)時(shí)程識(shí)別結(jié)果與理論值的比較，圖7為結(jié)構(gòu)第二層加速度響應(yīng)時(shí)程識(shí)別結(jié)果與理論值的比較?？梢园l(fā)現(xiàn)，識(shí)別結(jié)果與理論值均吻合較好，本文方法可準(zhǔn)確識(shí)別結(jié)構(gòu)未測(cè)量的位移、速度和加速度響應(yīng)。

同時(shí)，基于所識(shí)別的結(jié)構(gòu)參數(shù)及響應(yīng)，可繼續(xù)識(shí)別冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式模型中的系數(shù)，而得到第四層的層間恢復(fù)力的非參數(shù)化冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式模型。結(jié)果見下式：

根據(jù)MR阻尼器恢復(fù)力時(shí)程與層間位移時(shí)程的識(shí)別值，可得到MR阻尼器阻尼力的滯回環(huán)識(shí)別值，其與理論值的對(duì)比結(jié)果如圖8所示。由圖8可以看出，即使結(jié)構(gòu)參數(shù)初始值僅設(shè)置為理論值的70%，且加速度觀測(cè)值含有較高水平的噪聲，MR阻尼器阻尼力滯回環(huán)的識(shí)別結(jié)果與理論值仍吻合較好。

圖9為依據(jù)MR阻尼力滯回環(huán)理論值與識(shí)別值計(jì)算的MR阻尼器的耗能時(shí)程曲線對(duì)比圖，可以看出，根據(jù)本文方法識(shí)別得到的MR阻尼器阻尼力滯回環(huán)可較精確地定量計(jì)算其在振動(dòng)過程中的耗能。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提出方法在不同隨機(jī)外激勵(lì)情況下的識(shí)別效果，設(shè)置相同的初始值，開展了10組不同外激勵(lì)作用下的數(shù)值模擬驗(yàn)證。在每組不同外激勵(lì)作用下，比較基于EKF?MF與UCKF算法的結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別結(jié)果。

圖10表示的是結(jié)構(gòu)各層質(zhì)量在不同外激勵(lì)作用下的識(shí)別結(jié)果與理論值的比較。由圖10可知，在10組數(shù)值模擬中，與EKF?MF方法相比，基于UCKF的結(jié)構(gòu)質(zhì)量識(shí)別結(jié)果更精確。特別是對(duì)于第三層而言，本文方法的質(zhì)量識(shí)別結(jié)果幾乎與理論值重合。由于篇幅限制，剛度等參數(shù)識(shí)別結(jié)果的比較在此不再贅述。

對(duì)于恢復(fù)力的識(shí)別結(jié)果，通過均方根誤差（Root Mean Square Error， RMSE）來衡量，其定義如下式所示：

式中 Zi為恢復(fù)力理論值；Z?i為恢復(fù)力識(shí)別值。該誤差指標(biāo)越小表示恢復(fù)力識(shí)別結(jié)果越好。

表3給出在10組不同隨機(jī)外激勵(lì)作用下，EKF?MF與UCKF兩種算法所識(shí)別的MR阻尼器恢復(fù)力與理論值的誤差的RMSE平均值?？梢钥闯?，基于UCKF的非線性恢復(fù)力的識(shí)別結(jié)果誤差小，UCKF優(yōu)于EKF?MF。

3 非線性鋼框架模型動(dòng)力試驗(yàn)驗(yàn)證

在以上數(shù)值模擬驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，為進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)模型中非線性元件阻尼力的識(shí)別效果，對(duì)一個(gè)含MR阻尼器的四層框架結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行動(dòng)力試驗(yàn)。運(yùn)用部分加速度響應(yīng)時(shí)程對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)、未知響應(yīng)和所用MR阻尼器的非參數(shù)化模型進(jìn)行識(shí)別，并與試驗(yàn)實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證本文所提出方法的識(shí)別效果。

四層剪切型鋼框架模型如圖11所示。在其第四層引入一個(gè)MR阻尼器模擬非線性行為，并開展強(qiáng)迫振動(dòng)試驗(yàn)。由于該結(jié)構(gòu)在外激勵(lì)方向的抗側(cè)剛度遠(yuǎn)小于另一方向的抗側(cè)剛度，且樓板剛度可視為無限大，將結(jié)構(gòu)模型簡(jiǎn)化為四自由度集中質(zhì)量剪切型框架模型是合適的。

在結(jié)構(gòu)第三層樓板中點(diǎn)位置施加激勵(lì)，并運(yùn)用力傳感器測(cè)量激勵(lì)力時(shí)程，其時(shí)程曲線如圖12所示。在結(jié)構(gòu)各層布置加速度傳感器和位移傳感器，但僅用第一、三、四層的加速度時(shí)程作為觀測(cè)量用于識(shí)別。同時(shí)運(yùn)用力傳感器測(cè)量MR阻尼器在振動(dòng)過程中提供的阻尼力的大小，其水平方向分量用于與識(shí)別值進(jìn)行比較。

為從總層間恢復(fù)力中得到MR阻尼器阻尼力的水平分量，首先需要對(duì)不含阻尼器的線性框架結(jié)構(gòu)自身的質(zhì)量、層間剛度及阻尼系數(shù)進(jìn)行測(cè)量。結(jié)構(gòu)各層質(zhì)量通過稱重得到，每層質(zhì)量為模型樓面板的質(zhì)量加上上下各半層柱以及連接螺栓等的質(zhì)量。線性結(jié)構(gòu)剪切剛度由靜力試驗(yàn)測(cè)得。在結(jié)構(gòu)頂層施加一靜力荷載，通過拉壓力傳感器和位移傳感器得到靜力荷載值和各層的位移值，求得結(jié)構(gòu)各層剪切剛度。結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)則通過自由衰減試驗(yàn)獲得。采集結(jié)構(gòu)在自由振動(dòng)下的衰減信號(hào)，經(jīng)傅里葉變換提取第一階、第二階自振頻率和相應(yīng)的阻尼比，進(jìn)而求得瑞利阻尼系數(shù)。所得結(jié)構(gòu)參數(shù)如表4所示。

需要指出的是，在非線性結(jié)構(gòu)中，由于引入阻尼器，結(jié)構(gòu)第三、四層的集中質(zhì)量將有所增大，阻尼器與其連接件的質(zhì)量為3.06 kg，該部分質(zhì)量應(yīng)平均分散到第三、四層，得到集中質(zhì)量的理論值。

對(duì)模型開展動(dòng)力試驗(yàn)，運(yùn)用實(shí)測(cè)加速度時(shí)程，基于本文方法對(duì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量及非線性恢復(fù)力非參數(shù)化模型進(jìn)行識(shí)別。在識(shí)別中，將結(jié)構(gòu)初始質(zhì)量、剛度、阻尼初始值均設(shè)置為實(shí)測(cè)值的120%，取記憶衰退權(quán)重系數(shù)G=1.0002。圖13所示為基于CKF與UCKF的質(zhì)量識(shí)別迭代過程，圖中虛線表示實(shí)測(cè)值，可發(fā)現(xiàn)UCKF的識(shí)別結(jié)果更準(zhǔn)確。圖14表示基于UCKF的結(jié)構(gòu)第二層的加速度識(shí)別值與試驗(yàn)實(shí)測(cè)值的比較。

表5與6分別給出基于UCKF的結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度和阻尼系數(shù)的識(shí)別結(jié)果，可以看出，在各參數(shù)初始誤差為20%的情況下，結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度識(shí)別結(jié)果較好。

對(duì)比表4與6可知，非線性結(jié)構(gòu)第四層的阻尼系數(shù)相較于原線性結(jié)構(gòu)的阻尼系數(shù)值出現(xiàn)明顯增大，其余各層阻尼系數(shù)識(shí)別誤差均不大。這一識(shí)別結(jié)果與MR阻尼器位于結(jié)構(gòu)第四層的實(shí)際情況相吻合，MR阻尼器提供的阻尼力使得第四層等效阻尼系數(shù)明顯變大。

基于各參數(shù)與動(dòng)力響應(yīng)的識(shí)別結(jié)果，可識(shí)別MR阻尼力的冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式模型的系數(shù)，并得到結(jié)構(gòu)第四層的非線性恢復(fù)力的非參數(shù)化模型表達(dá)式。結(jié)果如下式所示：

根據(jù)以上非參數(shù)化模型以及結(jié)構(gòu)第四層的層間位移時(shí)程，可得到MR阻尼器的阻尼力滯回曲線，其與實(shí)測(cè)阻尼力的水平分量的比較如圖15所示。由圖15可知，雖然結(jié)果不可避免地受模型誤差、測(cè)量噪聲等因素的影響，運(yùn)用模型試驗(yàn)動(dòng)力實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，MR阻尼器阻尼力的識(shí)別值與實(shí)測(cè)值仍較為接近。

4 結(jié) 論

本文運(yùn)用冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式描述結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的恢復(fù)力，提出了一種運(yùn)用結(jié)構(gòu)部分自由度上的加速度觀測(cè)信息，基于UCKF的非線性恢復(fù)力非參數(shù)化模型識(shí)別方法。本文的UCKF算法通過將記憶衰退權(quán)重、奇異值分解、及Sage?Husa自適應(yīng)濾波算法引入CKF而形成。在介紹該方法的實(shí)現(xiàn)過程的基礎(chǔ)上，通過含MR阻尼器的多自由度結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬和試驗(yàn)，驗(yàn)證了本文方法對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)、未知?jiǎng)恿憫?yīng)和非線性恢復(fù)力非參數(shù)模型的識(shí)別效果。

在一個(gè)設(shè)置有MR阻尼器的四自由度集中質(zhì)量非線性剪切型框架的數(shù)值模型中，運(yùn)用部分自由度上的加速度響應(yīng)，考慮測(cè)量噪聲及參數(shù)初始誤差的影響，識(shí)別結(jié)構(gòu)線性部分的質(zhì)量、剛度、阻尼系數(shù)以及未知加速度、速度和位移時(shí)程，進(jìn)而得到MR阻尼器阻尼力的非參數(shù)化模型。通過將識(shí)別結(jié)果與理論值進(jìn)行比較，結(jié)果表明本方法識(shí)別結(jié)果準(zhǔn)確度高。通過將本文方法的結(jié)果與EKF，EKF?MF及CKF算法的識(shí)別結(jié)果進(jìn)行比較，說明本文方法在識(shí)別準(zhǔn)確性和收斂性方面的優(yōu)越性。

對(duì)一個(gè)設(shè)置有MR阻尼器的四層鋼框架非線性結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行動(dòng)力試驗(yàn)，運(yùn)用外激勵(lì)信息與部分自由度上加速度響應(yīng)信息，基于本文所提出的算法，對(duì)框架結(jié)構(gòu)本身的質(zhì)量、剛度和阻尼系數(shù)、未測(cè)量加速度時(shí)程進(jìn)行了識(shí)別，并得到MR阻尼器提供的阻尼力的非參數(shù)化模型。通過將結(jié)構(gòu)參數(shù)、未測(cè)量動(dòng)力響應(yīng)以及MR阻尼力與試驗(yàn)實(shí)測(cè)值的對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法對(duì)非線性結(jié)構(gòu)恢復(fù)力非參數(shù)化模型的識(shí)別能力。

結(jié)構(gòu)在強(qiáng)動(dòng)力荷載作用下的恢復(fù)力或滯回性能是其非線性行為的最直接描述，能反映結(jié)構(gòu)構(gòu)件或子結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用過程中損傷的發(fā)生發(fā)展過程，且可直接用于定量計(jì)算對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)構(gòu)件在動(dòng)力荷載作用過程中的耗能。運(yùn)用結(jié)構(gòu)的部分動(dòng)力響應(yīng)識(shí)別結(jié)構(gòu)恢復(fù)力的非參數(shù)化模型，對(duì)工程結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用過程中的損傷識(shí)別和災(zāi)后性能評(píng)估具有重要意義。今后還需要考慮不同材料和類型的結(jié)構(gòu)及不同激勵(lì)情況，并對(duì)本文方法識(shí)別不同非線性恢復(fù)力模型的效果進(jìn)行進(jìn)一步數(shù)值模擬和試驗(yàn)驗(yàn)證研究。

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Nonparametric identification of structural nonlinear restoring force based on an updated cubature Kalman filter

DU Yi-bang 1 ?XU Bin 1，2 ?ZHAO Ye 1DENG Bai-chuan 3

1. College of Civil Engineering， Huaqiao University， Xiamen 361021， China；

2. Key Laboratory for Intelligent Infrastructure and Monitoring of Fujian Province， Huaqiao University， Xiamen 361021， China；

3. Department of Civil， Structural and Environmental Engineering， University at Buffalo， the State University of New York， Buffalo， NY 14260， USA

Abstract Structural nonlinear behavior under the excitation of strong dynamic loadings should be considered for structural damage initiation and propagation identification of engineering structures. In this study， a power series polynomial of relative displacement and velocity is employed to model the nonlinear restoring force （NRF） of a structure in a nonparametric way and structural mass， stiffness， damping coefficients and NRF are identified based on an updated cubature Kalman filter （UCKF） algorithm using acceleration response at limited degrees of freedoms （DOFs） of the structure during dynamic excitation. Then， a multi-degree-of-freedom （MDOF） numerical model equipped with a magnetorheological （MR） damper mimicking structural nonlinearity is employed to validate the proposed approach numerically. By adding 20% measurement noise to the acceleration measurements， the stiffness， damping coefficients and mass of the structure， the unmeasured response and the NRF are identified. The effectiveness of the proposed method is validated by comparing the theoretical values with the identified values. Moreover， the identification results of the proposed approach are also compared with them of the approach with the traditional extended Kalman filter （EKF）， cubature Kalman filter （CKF）， and extended Kalman filter with memory fading （EKF-MF）. Dynamic test on a four-story shear frame model with a MR damper is carried out. The structural parameters of the frame structure itself， the unused dynamic response in identification and the NRF provided by the MR damper are identified with the proposed approach using acceleration responses at certain floors. The identified results are compared with the test measurements directly and the performance of the proposed identification approach is experimentally validated.

Keywords nonlinear restoring force; updated cubature Kalman filter; nonparametric identification; power series polynomial; magnetorheological damper