格物致知，體悟數(shù)學(xué)之道

從小學(xué)到大學(xué)，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)教學(xué)，回顧幾十年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)教學(xué)生涯，使我感受最深的就是數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不但需要“格物”——堅持不懈、持之以恒，更需要“致知”——深入探究的精神，才能體悟“數(shù)學(xué)之道”。中國宋明時代理學(xué)家有“格物致知、窮理明辨”之說，而“數(shù)理之學(xué)”是不分家的，數(shù)學(xué)是基于抽象結(jié)構(gòu)，通過符號運算、形式推理、模型構(gòu)建等，來表達現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律和原理，這就是格物的過程。悟“道”的過程包含著：學(xué)習(xí)、實踐、反思、研究、歸納、提煉……“格物”之研究助我成長，“致知”之悟“道”助我發(fā)展，格物致知使我在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教育教學(xué)過程中走得更遠。

數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)需要格物而練就

我從小就喜歡數(shù)學(xué)，曾經(jīng)在高考中以縣單科數(shù)學(xué)第一名的成績考入師范大學(xué)數(shù)學(xué)系。數(shù)學(xué)成績之所以出眾，得益于我在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，喜歡做題、善于思考，不斷總結(jié)不同類型題的規(guī)律，舉一反三、觸類旁通。每做對一道難題，我都能感受到成功的快樂，也不斷激發(fā)著我學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和積極性。

對數(shù)學(xué)概念、公式、性質(zhì)、定理的學(xué)習(xí)，我常常會探究其形成的過程、產(chǎn)生的歷史背景與蘊含的思想方法，甚至有時對某些概念提出換個角度來定義是否可行等。比如在學(xué)習(xí)數(shù)列極限的分析定義時，我就在想為什么這樣定義，換一種表述方法或研究問題的角度是否可行？經(jīng)過多次嘗試，發(fā)現(xiàn)不可行的原因?，F(xiàn)在看來當(dāng)時作為學(xué)生探討數(shù)學(xué)概念非常幼稚。但卻使我看到了前輩的偉大，并且讓我能更深入地理解這一理論，進一步激發(fā)了自己熱愛數(shù)學(xué)的熱情，也為學(xué)習(xí)在極限基礎(chǔ)上衍生出來的微積分理論鋪平了道路，同時，也讓我在實際教學(xué)中能“換位思考”，分析學(xué)情、把握教學(xué)。

出于自己對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深切體會，我經(jīng)常教育學(xué)生要體會知識、方法的形成過程，多角度地分析和認識數(shù)學(xué)問題，這樣才能做到融會貫通，提升自己的解題能力；只有獨立地思考和探究數(shù)學(xué)問題，才能達到對知識的自主建構(gòu)和深度理解。比如，對于解排列組合的題目，我非常反對學(xué)生作題之前看解答，因為這樣學(xué)生總會通過猜測別人的解題思路來校對自己的想法，從而忽視了對自己獨立思考能力的培養(yǎng)。實際上，對于這一類問題，隨著考慮問題角度的不同，解決問題方法也就不同，即可能一題多解。我總是鼓勵學(xué)生，要相信自己，大膽嘗試，只要計算、推理符合邏輯，一般來說，其結(jié)果是正確的。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)首先要正確地理解數(shù)學(xué)概念，它是掌握好數(shù)學(xué)知識的前提，許多數(shù)學(xué)試題是圍繞著概念進行命制的，考查學(xué)生對概念的內(nèi)化和理解程度；再者是性質(zhì)、定理、公式及其應(yīng)用等。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，適當(dāng)?shù)淖鲱}量是需要保證的，當(dāng)然，重要的還是要引導(dǎo)學(xué)生認真研究，及時總結(jié)，反復(fù)推敲，這樣才會在成功的體驗中生發(fā)興趣，激發(fā)學(xué)習(xí)動力，在日積月累中，就能體悟數(shù)學(xué)的神奇和學(xué)習(xí)規(guī)律，在成功的體驗中找到無窮的樂趣。

數(shù)學(xué)課程教學(xué)需要致知而研究

作為教師離不開教材，鉆研教材是我多年的習(xí)慣。任何一本教材、一個單元甚至一節(jié)課的內(nèi)容，只有抓住主線和中心思想，才能使課堂教學(xué)變得游刃有余。在我剛步入中學(xué)教師的行列時，往往反復(fù)通讀教材、研究教材。但并不是直接去閱讀、學(xué)習(xí)教參和課程標(biāo)準(zhǔn)，而是在提煉教材內(nèi)容的主題、地位、作用等基礎(chǔ)上，比對教參和課程標(biāo)準(zhǔn)，尋找差距和不足，進一步來校正和逐步提升自己對學(xué)科本質(zhì)的認識水平。

只有通過不斷的學(xué)習(xí)和鍛煉，貫通知識之間橫向和縱向的聯(lián)系，逐步建構(gòu)知識體系，把握學(xué)科本質(zhì)，才不會讓教材束縛手腳，使教材變成選取素材的一種資料，從而真正提高把握教材、駕馭教材、用好教材的能力。

數(shù)學(xué)教學(xué)是我的主陣地，也是我思考和研究最多的地方。我在教學(xué)中，始終以學(xué)生發(fā)展為本，認真研究和分析學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力，自覺踐行課程改革的理念，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中，發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，去追求更高的數(shù)學(xué)境界。由于數(shù)學(xué)是一門比較抽象的學(xué)科，認知水平較差的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，就像學(xué)生學(xué)習(xí)英語差不多，他需要把英語句子和詞匯翻譯成漢語才能理解，如果一節(jié)課上數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用過多，會限制學(xué)生的思維和學(xué)習(xí)效率。

而數(shù)學(xué)來源于生活，我特別注重觀察和積累生活的事例，以此作為教學(xué)情境應(yīng)用到課堂教學(xué)中，幫助學(xué)生理解概念的內(nèi)涵和外延，引導(dǎo)學(xué)生更好地落實核心素養(yǎng)的發(fā)展。注重提煉、歸納和總結(jié)一些經(jīng)過自己反復(fù)在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中認為成熟的案例和方法，進而不斷完善和優(yōu)化教學(xué)策略和方法。比如在講樣本方差時，通過分析比較兩個女生小合唱隊身高的整齊和美觀程度，誘導(dǎo)學(xué)生找到解決問題的方法，進而建立方差公式、體會方差的意義。在教學(xué)中將數(shù)學(xué)融入生活中，使學(xué)生感到生活與數(shù)學(xué)密切相關(guān)的道理，感到數(shù)學(xué)就在身邊，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生親切感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的熱情和積極性。

數(shù)學(xué)試題的研究需要窮理而悟“道”

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)離不開解題，歷年的高考試題是很好的研究素材。通過做題，對試題進行歸類、類比、研究，找尋這些試題所滲透的數(shù)學(xué)思想和方法，既能夠提升自己的解題能力，又能夠更好地服務(wù)于教學(xué)。比如，前些年許多考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題目實際上是考查分類討論的思想方法，在不斷學(xué)習(xí)和教學(xué)的實踐應(yīng)用中，我會一直思考這些考題的共性是什么？引起討論的原因是什么？我把分析和研究的成果寫成了論文《導(dǎo)函數(shù)的有理因式中含參量時函數(shù)單調(diào)性的討論》發(fā)表。再比如，北京高考的壓軸題，考查學(xué)生對數(shù)學(xué)定義閱讀理解和數(shù)學(xué)運算的能力， 嚴密的邏輯思維和推理論證能力，綜合運用所學(xué)知識和方法解決問題的能力， 形成了淡化解題技巧、突出數(shù)學(xué)思想方法和核心素養(yǎng)發(fā)展的命題風(fēng)格，體現(xiàn)著北京高考命題的特色。而目前的高中數(shù)學(xué)教材中有關(guān)“新定義、新運算”的創(chuàng)新題目少之又少，這就更加激發(fā)了我對這類題目的探究欲望，覺得如何解決這類問題，還應(yīng)從思維方法上找原因。依據(jù)“由特殊到一般，再由一般到特殊”的認識規(guī)律，應(yīng)從特例入手尋找解決問題的突破口，通過對特例的演算、觀察、類比、歸納，甚至猜想，以及對題目證明要求和解答暗示的分析，盡可能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律性和一般性質(zhì)，最終完成題目的推理論證過程，探究的成果被我寫成了論文《從“特例入手”分析和解答高考數(shù)學(xué)北京卷壓軸題》發(fā)表。

為使自己的實踐經(jīng)驗和研究成果能夠固化下來，并且應(yīng)用到教育教學(xué)中，我認為最好的辦法是通過撰寫論文，固化成果，推動課堂教學(xué)更上一層樓。

我發(fā)表的論文，有的看似一蹴而就，比如《兩類特殊矩陣的逆》，只用了兩個小時的書寫時間，其實是自己平時不斷總結(jié)、日常積累的結(jié)果。而《由兩道高考題引出的探究結(jié)果》，花了整整兩個月的時間，可以說廢寢忘食，但我樂在其中。其價值一方面應(yīng)用到自己的教學(xué)中，另一方面對教研組和區(qū)里研修的老師利用幾何畫板作圖有著一定的指導(dǎo)作用。專業(yè)發(fā)展的前提是要善于發(fā)揮自己的長處，但貴在堅持。

正是由于不斷地總結(jié)、思考和研究數(shù)學(xué)問題，我才積累了大量的素材和研究成果來改進教學(xué)。我的課堂教學(xué)，能夠不斷引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識、方法和思想體系，培養(yǎng)學(xué)生從運動變化、聯(lián)系與轉(zhuǎn)化、回歸概念等多角度發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題能力，練就關(guān)鍵品格，培養(yǎng)關(guān)鍵能力。

基于自己在數(shù)學(xué)教學(xué)和科研方面取得的一些成績，我獲得北京市特級教師稱號，晉升為北京市正高級教師。但我覺得更重要的是，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)過程中，格物致知，深入研究，厚積薄發(fā)。把我對數(shù)學(xué)的熱愛轉(zhuǎn)化到教學(xué)實踐中，引導(dǎo)學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)；同時，發(fā)表我的研究成果，讓更多的人與我分享在教學(xué)中體會到的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和研究數(shù)學(xué)的快樂。

范先榮

北京市中學(xué)數(shù)學(xué)特級教師、北京市正高級教師、海淀區(qū)高中數(shù)學(xué)兼職教研員、海淀區(qū)高中數(shù)學(xué)學(xué)科督學(xué)。曾獲北京市中學(xué)數(shù)學(xué)骨干教師、數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人等榮譽稱號。