基于實(shí)值Root-MUSIC和MP的間諧波檢測(cè)算法

郭啟明 朱 武 花赟昊 金立鑫 靳一奇 焦哲晶

(上海電力大學(xué)電子與信息工程學(xué)院 上海 200090)

0 引 言

近幾年來(lái),隨著高鐵等大規(guī)模沖擊性負(fù)荷,使用新能源的電力設(shè)備以及大量非線性的電力電子精密設(shè)備被投入使用,電網(wǎng)中遭受諧波與間諧波的污染量也不斷地增加,從而導(dǎo)致電壓波形畸變,進(jìn)而導(dǎo)致設(shè)備過(guò)熱,甚至影響設(shè)備的使用壽命。尤其間諧波的危害更大,會(huì)引起電壓驟升驟降、波動(dòng)閃變等擾動(dòng)問(wèn)題[1],影響用電客戶的正常使用。因此,對(duì)于諧波與間諧波的準(zhǔn)確檢測(cè)對(duì)于電力系統(tǒng)來(lái)說(shuō)有著重要的意義。

目前廣泛使用的快速傅里葉變換(FFT)[2]由于其簡(jiǎn)便實(shí)用的特性而備受青睞,但由于非同步情況下的頻譜泄露與柵欄效應(yīng),識(shí)別精度較低。加窗差值FFT[3-4]通過(guò)對(duì)頻點(diǎn)相鄰兩個(gè)或更多譜線的關(guān)系進(jìn)行分析,可以進(jìn)一步修正FFT的計(jì)算結(jié)果,同時(shí)不會(huì)降低過(guò)多的時(shí)效性。然而差值的精度仍然會(huì)受到相近間諧波的影響,如果使用不恰當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù),即使校正后頻率仍會(huì)有誤差,進(jìn)一步影響幅值與相位的測(cè)量與計(jì)算。全相位FFT(APFFT)[5]有著良好的抗頻譜泄露和抗噪聲能力,而且具有相位不變性。但是在諧波與間諧波過(guò)于接近時(shí)譜線會(huì)存在干擾,影響幅值校正的精度[6]?；谏窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)與FFT的檢測(cè)算法[7]通過(guò)機(jī)器學(xué)習(xí)的方法建模,能夠在短時(shí)間內(nèi)得到較為精確的結(jié)果,但該方法需要通過(guò)大量的訓(xùn)練樣本,而且僅對(duì)整數(shù)次諧波有著較好的結(jié)果,對(duì)于非整數(shù)次諧波效果較差。

多重信號(hào)分類法(MUSIC)是一種由陣列接收的信號(hào)來(lái)估計(jì)波達(dá)方向的現(xiàn)代譜估計(jì)算法,其廣泛運(yùn)用于通信、雷達(dá)等領(lǐng)域。近年來(lái),逐漸開始被應(yīng)用于電力諧波分析[8]。其原理是對(duì)信號(hào)自相關(guān)矩陣或協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解,將信號(hào)的特征空間分解為正交互補(bǔ)的信號(hào)子空間和噪聲子空間,然后將信號(hào)向量投影到噪聲子空間,通過(guò)搜索偽譜函數(shù)峰值獲得實(shí)際頻率值。由于MUSIC法既不會(huì)被非同步采樣影響,也可以檢測(cè)鄰近的間諧波分量,因而有著較高的準(zhǔn)確率與穩(wěn)定性。求根多重信號(hào)分類法(Root-MUSIC)[9-10]將MUSIC算法的譜搜索用求多項(xiàng)式的方法代替,在減少計(jì)算量的同時(shí)提高了計(jì)算精度。由于傳統(tǒng)的MUSIC算法是針對(duì)陣列的復(fù)信號(hào)進(jìn)行處理,在應(yīng)用于諧波分析時(shí)不得不將信號(hào)拆分為兩組共軛復(fù)信號(hào)進(jìn)行分析,不僅使諧波分析量加倍,還增加了計(jì)算量。

匹配追蹤算法(MP)是一種利用貪心算法將復(fù)信號(hào)用稀疏信號(hào)進(jìn)行表示的算法。其原理是在一個(gè)過(guò)完備原子庫(kù)中通過(guò)不斷選擇與信號(hào)最匹配的原子,將信號(hào)逐層分解,直到殘差小于給定精度,最終將給定信號(hào)分解為一系列稀疏信號(hào)的組合。文獻(xiàn)[11]將該算法用于諧波和間諧波的檢測(cè)。但由于對(duì)整個(gè)信號(hào)空間進(jìn)行MP算法的計(jì)算量過(guò)大,難以保證實(shí)時(shí)性。

基于Root-MUSIC算法與MP算法,本文提出一種實(shí)值Root-MUSIC和MP的間諧波檢測(cè)算法。首先采用實(shí)值Root-MUSIC法估計(jì)出信號(hào)中諧波與間諧波的頻率,然后采用MP算法計(jì)算出幅值與相位。相比于傳統(tǒng)的MUSIC與MP算法,在時(shí)效性和精確度上有較大改善。

1 基于實(shí)值Root-MUSIC的諧波信號(hào)頻率估計(jì)

考慮干擾的電網(wǎng)余弦信號(hào)模型為:

(1)

式中:Ai和φi為第i次諧波分量的幅值與相位;ωi=2πfi/fs,fi為第i次諧波分量的頻率,fs為采樣頻率;n=0,1,2,…,N-1,N為采樣點(diǎn)數(shù);v(n)為與s(n)不相關(guān)的均值為0且方差為σ2的白噪聲。

將連續(xù)M個(gè)采集量(M>2P)表示為觀察向量X,即:

X=[X(n),X(n+1),…,X(n+M-1)]T

(2)

則由N個(gè)采樣數(shù)據(jù)構(gòu)成的觀察向量矩陣為:

(3)

該觀察向量矩陣為實(shí)值矩陣,相比傳統(tǒng)MUSIC復(fù)值矩陣能夠有效降低運(yùn)算復(fù)雜度,便于后續(xù)計(jì)算。

求解觀測(cè)矩陣x(n)的自相關(guān)矩陣Rx。Rx的自相關(guān)矩陣可以表示為x(n)外積的期望函數(shù),有:

Rx=E{XXT}

(4)

對(duì)矩陣Rx做特征值分解,可得:

(5)

其中:

UN=(S1,S2,…,SM-2P)

US=(SM-2P+1,SM-2P+2,…,SM)

ΣN=diag(λ1,λ2,…,λM-2P)

ΣS=diag(λM-2P+1,λM-2P+2,…,λM)

式中:λl和Sl為Rx第l個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量,且有λ1≈λ2≈…≈λM-2P≤λM-2P+1≤λM;依據(jù)特征值的大小關(guān)系可判斷出信號(hào)源數(shù)為P;UN是由Rx的前M-2P個(gè)特征值擴(kuò)張成的噪聲子空間;US是由Rx的后2P個(gè)特征值擴(kuò)張成的信號(hào)子空間?？梢?jiàn),隨M的增大,噪聲子空間的維數(shù)也增加,計(jì)算精度越高,但運(yùn)算復(fù)雜度也越高。

通過(guò)噪聲特征向量提取信號(hào)參數(shù)信息,構(gòu)造Root-MUSIC多項(xiàng)式:

(6)

考慮到式(6)并不完全是z的多項(xiàng)式,因其存在z*的冪次項(xiàng),可令pH(z)=pT(z-1)。將函數(shù)等號(hào)右邊左乘zM-1,可以避免出現(xiàn)z-(M-1)項(xiàng)。綜上,可將式(6)修正為:

(7)

(8)

2 基于MP的幅值相位估計(jì)

MP算法也稱為原子分解算法,其原理是利用貪心算法的思想。從一個(gè)過(guò)完備的原子庫(kù)中選擇最佳的原子信號(hào),就可以將復(fù)雜的信號(hào)用較少的原子進(jìn)行準(zhǔn)確表示。傳統(tǒng)的MP算法需要同時(shí)對(duì)頻率、幅值和相位三個(gè)變量求解,但是該方法收斂速度較慢,而且頻率的誤差會(huì)極大地影響相位與幅值的計(jì)算。本文通過(guò)使用實(shí)值Root-MUSIC算法,預(yù)先求出頻率的精確估計(jì),再使用MP算法求解幅值與相位,縮減了變量數(shù),減少了計(jì)算量的同時(shí)提高了結(jié)果的準(zhǔn)確度。

Pseudo-Newton法[12]是一種一元線性搜索算法,適合小范圍內(nèi)的優(yōu)化問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單且搜索精度高。該方法的尋優(yōu)策略為:首先將待求量增加0.5倍,計(jì)算目標(biāo)函數(shù)。若目標(biāo)函數(shù)適應(yīng)度更高,則更新待求量。否則,將原待求量減少0.25倍,重新計(jì)算目標(biāo)函數(shù)。重復(fù)該步驟直到增加量或者目標(biāo)函數(shù)的變化量小于給定閾值。

因此,本文應(yīng)用MP算法對(duì)信號(hào)的幅值和相位進(jìn)行估計(jì)的步驟如下:首先需要構(gòu)造符合諧波/間諧波特性的過(guò)完備原子庫(kù)。通過(guò)本文構(gòu)造的諧波模型以及利用MUSIC算法估計(jì)出的頻率,可以構(gòu)造諧波原子庫(kù)D的表達(dá)式為:

gγ(t)=cos(ωt+φ)

(9)

式中:γ=[ω,φ];ω=2πfk,fk=f1,f2,…,fP為MUISC算法估計(jì)的諧波頻率;φ為相位;原子的幅值恒為1。經(jīng)過(guò)離散化后,ω=2πfk/fs。

設(shè)經(jīng)過(guò)第n次分解的殘差信號(hào)為R(n)x,R(0)x=f(n)。通過(guò)Pseudo-Newton法搜索出最佳匹配原子gγn,滿足:

(10)

則該諧波分量的頻率為fi,相位為φi,幅值為:

(11)

從fk中剔除fi,從f(n)中剔除該篩選出的諧波分量,重復(fù)以上分解過(guò)程,直到所有諧波頻率都被分解,即完成諧波信號(hào)的幅值與相位檢測(cè),剩余殘差信號(hào)則為噪音信號(hào)。

因此,本文基于實(shí)值Root-MUSIC與MP算法的思想,對(duì)于N點(diǎn)采樣的電網(wǎng)信號(hào),首先通過(guò)Root-MUSIC法求出諧波信號(hào)的個(gè)數(shù)與頻率,然后通過(guò)MP法計(jì)算諧波的幅值與相位。整體算法流程如圖1所示。

圖1 整體算法流程

3 算例分析

3.1 算例1

為了驗(yàn)證本文算法的有效性,構(gòu)造假設(shè)諧波信號(hào),基波與各次諧波參數(shù)如表1所示,采樣頻率為1 500 Hz,數(shù)據(jù)長(zhǎng)度1 500點(diǎn),陣元個(gè)數(shù)M=40。

表1 算例中諧波信號(hào)參數(shù)設(shè)置

使用本文算法對(duì)該諧波信號(hào)的頻率、幅值與相位的估計(jì)結(jié)果及誤差如表2所示。本文算法在無(wú)噪聲情況下,能夠得到十分精確的頻率、幅值和相位估計(jì),對(duì)于相近的53 Hz間諧波、355 Hz間諧波也能夠精準(zhǔn)識(shí)別,頻率和幅值的估計(jì)幾乎沒(méi)有誤差,對(duì)于相位的估計(jì)誤差也在0.01%以內(nèi)。

表2 算例信號(hào)估計(jì)結(jié)果

3.2 算例2

在算例1的信號(hào)中分別混入信噪比為70 dB與50 dB的高斯白噪聲,其他條件不變。使用本文方法進(jìn)行諧波估計(jì),仿真結(jié)果分別如表3和表4所示。

表3 SNR為70 dB時(shí)信號(hào)估計(jì)結(jié)果

表4 SNR為50 dB時(shí)信號(hào)估計(jì)結(jié)果

對(duì)表3和表4的估計(jì)結(jié)果分析,結(jié)果表明本文算法在一定噪聲干擾下仍具有較好的識(shí)別精度,在50 dB噪聲下除53 Hz的頻率估計(jì)誤差為0.065%以外,其他頻率誤差均小于0.01%,有較好的抗噪性。

3.3 算例3

使用文獻(xiàn)[13]中的電壓信號(hào)數(shù)據(jù),在相同條件下與復(fù)值Root-MUSIC算法[14-15]、實(shí)值MUSIC算法[13]進(jìn)行比較。電網(wǎng)諧波模型的參數(shù)如表5所示,仿真時(shí)疊加40 dB高斯白噪聲,采樣頻率1 500 Hz,采樣點(diǎn)數(shù)1 500。仿真結(jié)果比較如表5所示。

通過(guò)表5中的數(shù)據(jù)比較可知,相比傳統(tǒng)的復(fù)值Root-MUSIC算法和實(shí)值MUSIC算法,本文算法在保持頻率精度的情況下,能夠更為準(zhǔn)確地檢測(cè)各個(gè)諧波信號(hào)的幅值。在常規(guī)算法下誤差較大的相位,本文算法也能保持較高的準(zhǔn)確度。同時(shí),MP算法在計(jì)算信號(hào)的幅值與相位時(shí),有著較低的運(yùn)算復(fù)雜度,能夠進(jìn)一步地提升算法效率。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文提出一種基于實(shí)值Root-MUSIC算法與MP算法結(jié)合的間諧波檢測(cè)方法。該方法利用MUSIC算法不受非同步采樣影響的特性,精確估計(jì)出信號(hào)所含間諧波的頻率,進(jìn)而通過(guò)MP算法估計(jì)信號(hào)的幅值與相位參數(shù)。通過(guò)構(gòu)建間諧波信號(hào)模型對(duì)算法進(jìn)行仿真,由仿真結(jié)果以及與其他文獻(xiàn)的算法進(jìn)行比較可以得出:本文算法在檢測(cè)間諧波信號(hào)時(shí)有著很好的精確度與抗噪能力,與傳統(tǒng)的MUSIC檢測(cè)方法相比,在同樣的條件下有著更高的檢測(cè)精度。