Hausdorff 分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測(cè)模型的優(yōu)化及應(yīng)用

李素珍,郭雙冰,陳玉珍

（河南科技學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,河南新鄉(xiāng)453003）

1982 年,我國學(xué)者鄧聚龍教授首次提出灰色系統(tǒng)理論,同時(shí)提出灰色系統(tǒng)理論中的第一個(gè)灰色預(yù)測(cè)模型——GM（1,1）模型.灰色系統(tǒng)理論以“部分信息已知,部分信息未知”的不確定系統(tǒng)為研究對(duì)象,通過對(duì)部分已知信息的挖掘,實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)行為、演化規(guī)律的正確描述,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)未來變化趨勢(shì)的定量測(cè)算[1].GM（1,1）模型作為灰色系統(tǒng)理論的基本模型,在解決實(shí)際問題方面發(fā)揮著重要的作用,如王英杰等[2]以四川省汶川縣1960—2010 年50 a 的泥石流災(zāi)情數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)序列,建立了灰色GM（1,1）災(zāi)變預(yù)測(cè)模型,并且用2011—2019 年9 a 泥石流災(zāi)情數(shù)據(jù)驗(yàn)證了模型預(yù)測(cè)精度;陸超超[3]為了模擬預(yù)測(cè)上海社區(qū)衛(wèi)生服務(wù)中心（站）診療人次和入院人數(shù)的動(dòng)態(tài)變化趨勢(shì),采用GM（1,1）模型對(duì)2010—2018 年診療人次和入院人數(shù)進(jìn)行了模擬,并預(yù)測(cè)了2019—2021 年的變化趨勢(shì).在GM（1,1）模型應(yīng)用于眾多領(lǐng)域之后,學(xué)者們發(fā)現(xiàn)GM（1,1）模型的預(yù)測(cè)精度有待提高,所以很多學(xué)者開始對(duì)GM（1,1）模型進(jìn)行優(yōu)化.

在模型結(jié)構(gòu)方面的優(yōu)化.GM（1,1）模型的基本形式是x(0)（k）+az(1)（k）=b.為便于敘述,把等式結(jié)構(gòu)分為兩部分:等式左邊和等式右邊.為了提高灰色模型的預(yù)測(cè)精度,眾多學(xué)者對(duì)等式右邊的結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)優(yōu)化.崔杰等[4]針對(duì)具有近似非齊次指數(shù)律特征的數(shù)據(jù)序列,把等式右邊的“b”改為“bk”提出新的灰色預(yù)測(cè)模型——NGM（1,1,k）模型.Chen 等[5]對(duì)NGM（1,1,k）模型進(jìn)行了分析研究,發(fā)現(xiàn)NGM（1,1,k）模型存在缺陷,為此對(duì)此模型進(jìn)行了改進(jìn)優(yōu)化,把NGM（1,1,k）模型中的“bk”改為“bk+c”提出新的灰色預(yù)測(cè)模型——NGM（1,1,k,c）模型.Li 等[6]對(duì)灰色模型進(jìn)行進(jìn)一步的研究,把NGM（1,1,k,c）模型中的“bk+c”改為“bk2+ck+d”提出一個(gè)新的灰色預(yù)測(cè)模型——NGM（1,1,k2）模型.錢吳永[7]針對(duì)具有部分指數(shù)特征并含有時(shí)間冪函數(shù)項(xiàng)的數(shù)據(jù)序列,把GM（1,1）模型等式右邊的“b”改為“bkα+c”提出新的灰色預(yù)測(cè)模型——GM（1,1,ta）模型.這些新模型的提出進(jìn)一步擴(kuò)大了灰色系統(tǒng)理論的應(yīng)用范圍.

在累加方式方面的優(yōu)化.GM（1,1）模型中,對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理時(shí),采用的累加生成算子為一階累加生成.2013 年Wu 等[8]分析一階累加生成算子時(shí)發(fā)現(xiàn)此種算子違反了灰色系統(tǒng)理論中“新信息優(yōu)先”的原則,他首次提出新的分?jǐn)?shù)階累加生成算子,并基于此累加方式構(gòu)建一個(gè)新的灰色預(yù)測(cè)模型——分?jǐn)?shù)階灰色模型（FGM（1,1）模型）.2020 年,Ma 等[9]認(rèn)為現(xiàn)存的分?jǐn)?shù)階累加生成算子過于復(fù)雜,給理論分析和實(shí)際應(yīng)用帶來了一定的困難, 為此他們提出了一種新的更加簡(jiǎn)便的分?jǐn)?shù)階累加生成算子——一致性分?jǐn)?shù)階累加生成算子,并基于此提出一種新的灰色預(yù)測(cè)模型——一致性分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測(cè)模型（CFGM（1,1）模型）.之后,Chen 等[10]提出一種新的Hausdorff 分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測(cè)模型（FHGM（1,1）模型）,此種模型中所用的累加生成算子是一種新的基于Hausdorff 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)子提出的更加簡(jiǎn)便的Hausdorff 分?jǐn)?shù)階累加生成算子.這些新的累加生成算子提出豐富了灰色系統(tǒng)理論,此后一系列新的分?jǐn)?shù)階灰色模型被提出并用于實(shí)際應(yīng)用[11-15].

在背景值方面的優(yōu)化.鄧教授在對(duì)GM（1,1）模型中的有關(guān)因素進(jìn)行定義時(shí),令z(1)（k）=0.5（x(1)（k）+x(1)（k-1））為GM（1,1）模型的背景值.有學(xué)者在研究時(shí)發(fā)現(xiàn),背景值會(huì)影響灰色預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度,由此許多學(xué)者開始對(duì)灰色模型的背景值進(jìn)行研究及優(yōu)化.蔣詩泉等[16]利用函數(shù)逼近的思想,結(jié)合復(fù)化梯形公式,優(yōu)化了GM（1,1）模型的背景值,并經(jīng)過驗(yàn)證優(yōu)化后的模型預(yù)測(cè)精度更高.肖利哲等[17]利用拉格朗日插值函數(shù)和變步長梯形算法對(duì)背景值進(jìn)行了優(yōu)化,通過對(duì)變步長梯形算法中步長大小的變化,形成了一種新的背景值構(gòu)造方法,降低了由背景值造成的誤差.徐寧等[18]根據(jù)GM（1,1）模型時(shí)間響應(yīng)式的函數(shù)形式,利用積分中值定理擬合真實(shí)背景值,研究了發(fā)展系數(shù)與背景值之間的關(guān)系,并構(gòu)建了新的灰色微分方程,并采用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì),且利用方程組還原原始參數(shù),使背景值同時(shí)具備無偏性和最小誤差性,達(dá)到優(yōu)化背景值的目的,提高模型的預(yù)測(cè)精度.

初始條件方面的優(yōu)化.根據(jù)GM（1,1）模型的時(shí)間響應(yīng)式為可知,影響模型預(yù)測(cè)精度的因素除背景值之外,還包括初始條件的選取.發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象之后,大量學(xué)者開始對(duì)初始條件進(jìn)行研究及優(yōu)化.譚小容等[19]首先構(gòu)建了初始條件未知的GM（1,1）模型,其次采用原始序列的最新分量求解初始條件,最后利用該模型對(duì)IGS 提供的精密鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)初始條件優(yōu)化后的GM（1,1）模型預(yù)測(cè)精度高于傳統(tǒng)GM（1,1）模型.項(xiàng)瑩瑩等[20]采用對(duì)數(shù)變換的形式對(duì)原始數(shù)據(jù)序列取對(duì)數(shù)以構(gòu)造光滑性更好的對(duì)數(shù)數(shù)據(jù)序列,后將數(shù)據(jù)序列的最新信息x(0)（n）設(shè)為時(shí)間響應(yīng)函數(shù)的初始條件,以此種方式對(duì)GM（1,1）模型進(jìn)行優(yōu)化,發(fā)現(xiàn)優(yōu)化后的模型在預(yù)測(cè)中國玉米生產(chǎn)量和消費(fèi)量方面均優(yōu)于傳統(tǒng)GM（1,1）模型.鄭雪平等[21]首先根據(jù)積分中值定理對(duì)背景值進(jìn)行優(yōu)化,然后根據(jù)均方誤差和最小準(zhǔn)則選取初始條件為x(0)（1）+c,經(jīng)過實(shí)例驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)優(yōu)化后的模型預(yù)測(cè)精度更高.

基于以上現(xiàn)有的優(yōu)化方式,本文把累加方式優(yōu)化中Hausdorff 分?jǐn)?shù)階累加生成算子和背景值優(yōu)化結(jié)合一起提出新的模型——優(yōu)化的Hausdorff 分?jǐn)?shù)階灰色模型（OFHGM（1,1）模型）,并通過三個(gè)實(shí)際案例驗(yàn)證了OFHGM（1,1）模型的高預(yù)測(cè)精度和高適用性.

1 OFHGM（1,1）模型的構(gòu)建

定義1:設(shè)原始非負(fù)序列為X(0)=(x(0)(1) ,x(0)(2), ???x(0)(n)),通過累加公式k= 1,2,???n,可得到關(guān)于X(0)的r 階累加序列X(r)

X(r)的緊鄰均值生成序列為

定義2:稱

為FHGM（1,1）模型的基本形式,稱

為FHGM（1,1）模型的白化方程,a 為發(fā)展系數(shù), b 為灰色作用量.

定理1:參數(shù)向量分別是

定理2:在初始條件x(r)(1) =x(0)(1)下,FHGM（1,1）模型的時(shí)間響應(yīng)式為

還原式為

由FHGM（1,1）模型的時(shí)間響應(yīng)式可以看出,FHGM（1,1）模型的預(yù)測(cè)性能取決于的值,而的值由背景值z(mì)（r）（k）決定,這就導(dǎo)致了FHGM（1,1）模型的預(yù)測(cè)精度有一定的偏差,主要原因如下:將FHGM（1,1）模型的白化方程的兩邊同時(shí)在區(qū)間[k-1,k]上積分可得到

化簡(jiǎn)得

通過比較式（2）和式（4）可以發(fā)現(xiàn)FHGM（1,1）模型中的背景值近似代替了（4）式中的,這也就造成了FHGM（1,1）模型的預(yù)測(cè)誤差.為了提高FHGM（1,1）模型的預(yù)測(cè)精度,本文把x(r)(k)，x(r)(k?1)的權(quán)重設(shè)為動(dòng)態(tài)的,即令(k) =ωx(r)(k) + (1 ?ω)x(r)(k? 1),以為背景值構(gòu)建新的灰色預(yù)測(cè)模型——OFHGM（1,1）模型.

定義3.稱

為OFHGM（1,1）模型的基本形式,式（5）中z1(r)(k) =ωx(r)(k) + (1 ?ω)x(r)(k?1).

定理3：參數(shù)向量分別是

定理4:初始條件x(r)(1) =x(0)(1),FHGM（1,1）模型的時(shí)間響應(yīng)式為

還原式為

2 基于量子粒子群算法的OFHGM 模型參數(shù)優(yōu)化

2.1 QPSO 優(yōu)化算法

量子粒子群算法中引入了新名詞:mbest 表示pbest 的平均值,即平均的粒子歷史最好位置.

量子粒子群算法的主要步驟:

步驟一:計(jì)算mbest

步驟二:更新粒子位置

式（7）中:gbest 表示當(dāng)前全局最優(yōu)粒子,Pi用于第i 個(gè)粒子位置的更新.

粒子位置更新的公式為

式（8）中:xi表示第i個(gè)粒子的位置,α為創(chuàng)新參數(shù),φ和u 為（0,1）上的均勻分布數(shù)值,取+和- 的概率為0.5.

量子粒子群算法的流程圖,如圖1 所示.

圖1 量子粒子群算法的流程Fig.1 The flowchart of QPSO

2.2 模型的評(píng)價(jià)指標(biāo)

本文采用相對(duì)誤差（APE）以及平均相對(duì)誤差（MAPE）檢驗(yàn)各個(gè)模型的擬合性能和預(yù)測(cè)性能,具體計(jì)算公式如下

預(yù)測(cè)精度也可以“分級(jí)”,以MAPE 為例,其等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)如表1 所示.

表1 MAPE 標(biāo)準(zhǔn)評(píng)估精度Tab.1 The accuracy of MAPE standard evaluation

3 實(shí)例應(yīng)用

本文提出的OFHGM（1,1）模型用于預(yù)測(cè)中國衛(wèi)生總費(fèi)用、中國人均衛(wèi)生費(fèi)用以及中國醫(yī)院數(shù)量,同時(shí)選擇了GM（1,1）模型、FGM（1,1）模型、FHGM（1,1）模型以及ARIMA 模型作為對(duì)比模型來評(píng)估OFHGM（1,1）模型的適用性.實(shí)際案例中均選用2013—2020 年的數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象,其中2013—2017年的數(shù)據(jù)用來建立不同的模型,2018—2020 年的數(shù)據(jù)用來檢驗(yàn)各個(gè)模型的預(yù)測(cè)精度.

3.1 中國衛(wèi)生總費(fèi)用預(yù)測(cè)

衛(wèi)生總費(fèi)用是指一個(gè)國家或地區(qū)在一定時(shí)期內(nèi),為保護(hù)人群健康,直接或間接地提供醫(yī)療衛(wèi)生服務(wù)所消耗的資源,可從全社會(huì)的角度反映在衛(wèi)生領(lǐng)域的投資與負(fù)擔(dān)[22].本文選取我國2013—2017 年的衛(wèi)生總費(fèi)用建立GM（1,1）模型、FGM（1,1）模型、FHGM（1,1）模型以及OFHGM（1,1）模型和ARIMA 模型,采用2018—2020 年數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ途?預(yù)測(cè)結(jié)果如圖2 所示.

圖2 中國衛(wèi)生總費(fèi)用擬合預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.2 Fitting and forecasting results of total health expenditure in China

觀察圖2 可以發(fā)現(xiàn)五種模型APE 的最大值是9.43%,最小值達(dá)到了0.00%,均在10%以內(nèi),說明用灰色預(yù)測(cè)模型對(duì)中國衛(wèi)生總費(fèi)用進(jìn)行擬合和預(yù)測(cè),效果都比較好.若要在五種模型中找到對(duì)中國衛(wèi)生總費(fèi)用預(yù)測(cè)效果比較好的模型,就需要明確各個(gè)模型預(yù)測(cè)值中APE 的值來說,OFHGM（1,1）模型的APE 最大值是1.69%,APE 的最小值是0.03%;GM（1,1）模型APE 的最大值、最小值分別是7.88%和1.43%;ARIMA（2,0,0）模型APE 的最大值、最小值分別是7.25%和1.05%;FHGM（1,1）模型APE 的最大值、最小值分別是2.78%和0.13%,同時(shí)FGM（1,1）模型APE 的最大值、最小值分別是2.62%和0.15%.由此可以確定五種模型中OFHGM（1,1）模型的預(yù)測(cè)效果最好.除此之外,也可以從預(yù)測(cè)值的MAPE 來看,五種模型MAPE 的值從小到大排序?yàn)?OFHGM（1,1）、FGM（1,1）、FHGM（1,1）、ARIMA（2,2,0）、GM（1,1）,由此也可以看出OFHGM（1,1）模型相比于其它4 種經(jīng)典模型,在預(yù)測(cè)我國衛(wèi)生總費(fèi)用方面的性能是最好的.

3.2 中國人均衛(wèi)生費(fèi)用預(yù)測(cè)

人均衛(wèi)生費(fèi)用是指某年衛(wèi)生總費(fèi)用與同期平均人口數(shù)之比.人均衛(wèi)生費(fèi)用是用來分析評(píng)價(jià)不同國家或地區(qū)人均衛(wèi)生資源的擁有量,是衡量公平性的重要指標(biāo)[23].本文選擇2013—2020 年我國人均衛(wèi)生費(fèi)用作為研究對(duì)象,以2013—2017 年數(shù)據(jù)建立GM（1,1）模型、FGM（1,1）模型、FHGM（1,1）模型以及OFHGM（1,1）模型和ARIMA 模型,用2018-2020 年的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測(cè)精度,擬合及預(yù)測(cè)結(jié)果如圖3 所示.

圖3 中國人均衛(wèi)生費(fèi)用擬合及預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.3 Fitting and forecast results of per capita health expenditure in China

觀察圖3 可以發(fā)現(xiàn)五種模型APE 的最大值是6.95%,最小值達(dá)到了0.00%,均在10%以內(nèi),說明用灰色預(yù)測(cè)模型對(duì)中國人均衛(wèi)生費(fèi)用進(jìn)行擬合和預(yù)測(cè),效果都比較好.由于在五種模型中找到對(duì)中國衛(wèi)生總費(fèi)用預(yù)測(cè)效果比較好的模型,因此針對(duì)各個(gè)模型預(yù)測(cè)值中APE 的值來說,OFHGM（1,1）模型的APE 最大值是0.63%,APE 的最小值是0.45%;GM（1,1）模型APE 的最大值、最小值分別是6.95%和1.26%;ARIMA（1,0,0）模型APE 的最大值、最小值分別是6.10%和3.76%;FHGM（1,1）模型APE 的最大值、最小值分別是1.55%、0.02%,同時(shí)FGM（1,1）模型APE 的最大值、最小值分別是1.11%和0.51%.由此可以確定五種模型中OFHGM（1,1）模型的預(yù)測(cè)效果最好.除此之外,也可以從預(yù)測(cè)值的MAPE 來看,五種模型MAPE 的值從小到大排序?yàn)?OFHGM（1,1）、FGM（1,1）、FHGM（1,1）、GM（1,1）、ARIMA（1,0,0）,由此也可以看出OFHGM（1,1）模型相比于其它4 個(gè)經(jīng)典模型,在預(yù)測(cè)我國人均衛(wèi)生費(fèi)用方面的性能是最好的.

3.3 中國醫(yī)院數(shù)量預(yù)測(cè)

醫(yī)院是以診療疾病、護(hù)理病人為主要目的醫(yī)療機(jī)構(gòu)[24].本文選擇2013—2020 年我國醫(yī)院數(shù)量作為研究對(duì)象,以2013—2017 年數(shù)據(jù)建立GM（1,1）模型、FGM（1,1）模型、FHGM（1,1）模型以及OFHGM（1,1）模型和ARIMA 模型,用2018—2020 年的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測(cè)精度,擬合及預(yù)測(cè)結(jié)果如圖4 所示.

圖4 中國醫(yī)院數(shù)量擬合及預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.4 Fitting and forecasting results of the number of hospitals in China

觀察圖4 可以發(fā)現(xiàn):五種模型APE的最大值是5.05%,最小值達(dá)到了0.00%,均在10%以內(nèi),說明用灰色預(yù)測(cè)模型對(duì)中國醫(yī)院數(shù)量進(jìn)行擬合和預(yù)測(cè),效果都比較好.若要在五種模型中找到對(duì)中國醫(yī)院數(shù)量預(yù)測(cè)效果比較好的模型, 就需要明確各個(gè)模型預(yù)測(cè)值中APE的值,OFHGM（1,1）模型APE的最大值是3.59%,APE的最小值是0.00%;GM（1,1）模型APE的最大值、最小值分別是5.05%和0.09%;ARIMA（2,0,0）模型APE的最大值、最小值分別是2.80%和0.62%;FHGM（1,1）模型APE的最大值、最小值分別是3.74%和0.21%,同時(shí)FGM（1,1）模型APE 的最大值、最小值分別是3.89%和0.05%.由此可以確定五種模型中OFHGM（1,1）模型的預(yù)測(cè)效果最好.除此之外,也可以從預(yù)測(cè)值的MAPE 來看,五種模型MAPE 的值從小到大排序?yàn)?OFHGM（1,1）、ARIMA（2,0,0）、FHGM（1,1）、FGM（1,1）、GM（1,1）,由此也可以看出OFHGM（1,1）模型相比于其它4 個(gè)經(jīng)典模型,在預(yù)測(cè)我國醫(yī)院數(shù)量方面的性能是最好的.

4 結(jié)論

本文對(duì)FHGM（1,1）模型的背景值進(jìn)行了分析,發(fā)現(xiàn)FHGM（1,1）模型的白化方程和基本形式之間存在跳躍關(guān)系,降低了FHGM（1,1）模型的預(yù)測(cè)精度.基于此,本文對(duì)FHGM（1,1）模型的背景值進(jìn)行了優(yōu)化,把靜態(tài)背景值改為動(dòng)態(tài)背景值,提出新的優(yōu)化模型——OFHGM（1,1）模型.相較于FGM（1,1）模型、FHGM（1,1）模型、GM（1,1）模型以及ARIMA 模型,OFHGM（1,1）模型在對(duì)中國衛(wèi)生總費(fèi)用、中國人均衛(wèi)生費(fèi)用預(yù)測(cè)以及中國醫(yī)院數(shù)量預(yù)測(cè)等方面取得良好的預(yù)測(cè)效果, 說明了優(yōu)化后的模型具有較高的預(yù)測(cè)精度以及較好的實(shí)用性.