具有狀態(tài)約束的機械臂切換自適應控制

萬敏, 楊山山

(西南石油大學 機電工程學院,成都 610000)

機械臂是一個比較復雜的多輸入多輸出的非線性系統(tǒng),并且由于其具有強耦合和時變的特性,因而對機械臂的軌跡跟蹤控制一直是一個難點[1]。目前對于機械臂的控制方法一般有前饋補償法、自適應控制、變結(jié)構(gòu)控制、魯棒控制、PID控制和神經(jīng)網(wǎng)絡與模糊控制等方法[2]。目前對由于外界干擾或是自身因素引起的機械臂的參數(shù)跳變問題多是使用魯棒控制和自適應控制,但是魯棒控制有比較大的控制力矩。自適應控制通過在線辨識、學習,在線調(diào)整控制規(guī)律能夠達到不錯的控制效果,但是其每一次控制參數(shù)的變化都會重復進行一次自適應調(diào)節(jié)過程,對于實時性要求比較高的系統(tǒng)并不是很適合。實際上,針對含有參數(shù)跳變和有著未知擾動的機械臂系統(tǒng)是可以看做一個切換系統(tǒng),不同的控制參數(shù)對應著不同的子系統(tǒng),切換系統(tǒng)也彌補了自適應控制的實時性問題。近年來,對于非線性切換系統(tǒng)的跟蹤控制問題也有著大量的研究[3-6]。文獻[2]針對一類柔性機械臂在負載跳變時對其軌跡跟蹤控制進行研究,其利用多Lyapunov函數(shù)及ADT理論設計的切換滑模控制器完成了對柔性機械臂的軌跡控制。文獻[7]針對一類具有隨機切換的非線性系統(tǒng),提出了一種自適應模糊控制方案。文獻[8]針對一類非嚴格反饋不確定切換非線性系統(tǒng),提出了一種模糊自適應輸出反饋控制方法,并將該方法應用于帶有電機驅(qū)動的機械臂軌跡跟蹤控制的研究。

狀態(tài)約束是指系統(tǒng)由于安全性和性能因素等原因要求其某些狀態(tài)在暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)時都能運行在某個特定的邊界內(nèi),即滿足一定的約束條件。在實際工業(yè)生產(chǎn)中,如果忽視這些約束限制帶來的系統(tǒng)狀態(tài)“越界”的情況,可能就會引發(fā)嚴重的事故,造成不必要的財產(chǎn)損失,因此對于狀態(tài)約束控制的研究是非常有必要的。目前對于狀態(tài)約束的研究多是引入合適的Barrier Lyapunov函數(shù)防止系統(tǒng)狀態(tài)違反相應的約束。文獻[9]研究了一類全狀態(tài)約束和輸入飽和的全向三輪驅(qū)動移動機器人的軌跡跟蹤控制問題,并達到了良好的控制效果,但是其對系統(tǒng)狀態(tài)不完全可測的情況缺乏考慮。文獻[10]針對具有輸入飽和的全狀態(tài)約束非線性系統(tǒng),研究了狀態(tài)和外界干擾均不可測情況下的輸出反饋跟蹤控制,但是其關于反步法中存在的復雜性“爆炸”問題并未解決。文獻[11]針對一類具有全狀態(tài)約束和狀態(tài)不完全可測的嚴格反饋非線性系統(tǒng),提出了一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡狀態(tài)觀測器的動態(tài)面輸出反饋技術,達到了良好的控制精度,但是該文獻僅是針對單一系統(tǒng)進行控制器設計和穩(wěn)定性分析,未考慮包含多個子系統(tǒng)的情況。

本文的特點在于:首先,大多數(shù)控制器的設計都是需要所有的狀態(tài)向量是可測的,而本文僅是需要系統(tǒng)的輸出信號可測即可完成控制器的設計,實用范圍更廣;其次, 由于在反步設計方法中虛擬控制律需要在每一級的反推設計中進行重復求導,因而所設計的控制器的計算復雜度會隨著系統(tǒng)階數(shù)的增加而增加,設計的控制器也只能應用于一些低階實際系統(tǒng)。因此本文利用動態(tài)表面控制技術,即在反步設計方法中引入一階濾波器,將復雜的微分運算變?yōu)楹唵蔚拇鷶?shù)運算,從而避免了控制器設計中反復對虛擬控制律求導的情況,極大的簡化了控制器的設計過程;最后,本文設計的控制算法能夠應用于實際工程模型,有一定的實用性。

1 被控系統(tǒng)模型及準備

1.1 系統(tǒng)模型描述及基本假設

考慮如下一類嚴格反饋非線性切換系統(tǒng),其形式為:

(1)

式中:x為系統(tǒng)的狀態(tài)向量,x=[x1,x2,…,xn]T∈Rn,i=1,2,…,n-1,且只有x1是可測的;uσ(t)∈R為控制信號;σ(t):[0,∞)→M={1,2,…,m}為系統(tǒng)的切換信號,并且它是一個右分段連續(xù)函數(shù),當σ(t)=k時,即第k個子系統(tǒng)處于運行狀態(tài),uk∈R是第k個子系統(tǒng)的控制器輸入;y∈R為系統(tǒng)的輸出;fi,σ(t)(i=1,2,…,n,下文中若無其他說明,i均為此取值范圍)為一個未知非線性光滑函數(shù);di,σ(t)(t)是未知擾動。

(2)

引理2[21]對任意正常數(shù)kbi,當|zi|

(3)

控制目標:1) 設計一個自適應輸出反饋控制器,使得輸出y(t)能夠跟蹤期望軌跡yd(t),且跟蹤誤差z1=y-yd盡可能小;2) 保證閉環(huán)系統(tǒng)中所有信號有界;3) 系統(tǒng)中的所有狀態(tài)都不違反約束。

1.2 神經(jīng)網(wǎng)絡狀態(tài)觀測器設計

對于第k個子系統(tǒng),非線性切換系統(tǒng)(1)可以寫成如下形式:

(4)

(5)

式中:Qk>0與Pk>0分別是任意給定的正定對角矩陣和正定對稱矩陣,Qk>0和Pk>0。

(6)

其中

(7)

(8)

因此,最小逼近誤差可以表示為

(9)

將式(6)和式(9)代入式(4)可得:

(10)

因此對于第k個子系統(tǒng),神經(jīng)網(wǎng)絡狀態(tài)觀測器可以設計成如下形式:

(11)

(12)

2 自適應控制律設計

對于自適應控制律的推導過程包括n步,通過在每一個步驟中選擇恰當?shù)腂arrier Lyapunov函數(shù)Vi,k,k∈{1,2,…,m}來構(gòu)造虛擬控制律。控制器設計步驟如下:

定義z1為跟蹤誤差,zi為虛擬誤差,αi-1,k為虛擬控制律,同時引入一階濾波器,有:

(13)

步驟1 對z1進行求導,可得

(14)

定義如下的Lyapunov函數(shù)

(15)

(16)

根據(jù)Young′s不等式,有:

(17)

(18)

(19)

由式(17)～式(19)可得

(20)

將式(20)代入式(16)得

(21)

(22)

(23)

根據(jù)Young′s不等式,有

(24)

將式(22)和式(23)代入式(21),有

(25)

步驟i(2≤i≤n-1):對zi進行求導,可得

(26)

定義Barrier Lyapunov函數(shù)為

(27)

式中γi,k為設計參數(shù),γi,k>0。

Vi,k的時間導數(shù)為

(28)

(29)

(30)

由式(29)和式(30),有

(31)

步驟n在最后一步中,系統(tǒng)的控制輸出為u,有

(32)

定義如下的Barrier Lyapunov函數(shù)

(33)

式中γn,k為設計參數(shù),γn,k>0。

Vn,k的時間導數(shù)為

(34)

(35)

(36)

由式(35)和式(36),有

(37)

3 穩(wěn)定性分析

定義閉環(huán)系統(tǒng)的李亞普洛夫函數(shù)為Vk=Vn,k,因此可以得到Vk的導數(shù),有

(38)

根據(jù)文獻[11],有

(39)

式中B1,k(·)是連續(xù)函數(shù)。

因此,有

(40)

當Vk=p時,連續(xù)函數(shù)Bi,k(·)有界,且存在一個最大值Mi,k[11]。

根據(jù)Young′s不等式,有:

(41)

(42)

根據(jù)引理2,可得

(43)

所以由式(38),有

(44)

其中

(45)

通過選擇合適的Qk,ci,cn和νi,有

λmin(Qk)-1>0,ci,k-1>0,

(46)

式中i=1,2,…,n-1。

定義正參數(shù)

(47)

定義C=minCk和D=maxMk,因此,式(44)可寫為

(48)

證明W(t)=eCtVσ(t)(x(t))是系統(tǒng)方程式(1)的解且分段可微。根據(jù)式(48),在每一個[tj,tj+1)區(qū)間里,有

(49)

同式(16)的證明方式,有

(50)

其中μ>1,且k,l∈M。因此,可以得到

W(tj+1)=eCtj+1Vσ(tj+1)(x(tj+1))≤

μeCtj+1Vσ(tj+1)(x(tj+1))=

(51)

對于任意T>t0=0,將不等式(51)從j=0迭代到j=Nσ(T,0)-1,有

(52)

因此,可得

?T≥t≥0

(53)

由于,Nσ(T,0)-j≤1+Nσ(T,tj+1)(j=0,1,…,Nσ(T,0)),則

(54)

(55)

將式(54)和式(55)代入式(52),可得

(56)

(57)

由式(57)可得

(58)

(59)

因此,可得

(60)

式(60)表明,狀態(tài)觀測器的誤差可以通過選擇適當?shù)卦O計參數(shù)減小[11,15]。

4 與已有成果的對比分析

將提出的控制算法和已有的成果進行對比分析。

1) 文獻[11]針對一類具有全狀態(tài)約束和狀態(tài)不完全可測的嚴格反饋非線性系統(tǒng)(其結(jié)構(gòu)如式(61)所示),提出了一種自適應輸出反饋控制算法。但該控制算法僅考慮的單一系統(tǒng),未考慮被控對象存在著切換系統(tǒng)的情況。事實上,在實際生活中切換系統(tǒng)是廣泛存在的,如汽車變速系統(tǒng),智能機器人系統(tǒng)和電壓轉(zhuǎn)換系統(tǒng)等,因此,針對上述系統(tǒng),很顯然文獻[11]所提的控制算法是不適用的。而本文提出的控制算法就解決了這一類切換問題,且通過利用Lyapunov方法和平均駐留時間理論保證了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(61)

式中:x1,x2,…,xn是系統(tǒng)狀態(tài)向量;u∈R和y∈R分別為系統(tǒng)的輸入和輸出;di是有界未知擾動;令Xi=[x1,…,xi]T,假定在該系統(tǒng)中只有x1是已知可測的,fi(Xi),是一個未知的非線性光滑函數(shù)。

2) 文獻[22]針對一類嚴格反饋不確定非線性切換系統(tǒng)進行研究(其結(jié)構(gòu)如式(62)所示),提出了一種基于共同Lyapunov函數(shù)的自適應動態(tài)表面控制方法。但是,該方法由于未考慮系統(tǒng)狀態(tài)變量是否可測的問題,有著一定的局限性。因為在實際工業(yè)中通過直接測量從而得到所有狀態(tài)變量的現(xiàn)象是很少見的,大多數(shù)情況下都需要可靠地估計出不可測量的狀態(tài)變量。 因此本文通過設計神經(jīng)網(wǎng)絡狀態(tài)觀測器去估計系統(tǒng)未知狀態(tài)從而解決了這一問題。

(62)

3) 文獻[9]研究了一類具有全狀態(tài)約束和輸入飽和的全向移動機器人的軌跡控制問題,并且基于反步法設計了一種自適應輸出反饋控制方法。但是該方法沒有考慮反步設計方法中存在的“微分爆炸”問題,使得控制器的設計更為復雜且有著一定的局限性。因此,本文通過應用動態(tài)表面控制技術解決了這一問題,同時也避免了反步設計方法中要求參考信號必須是n階可導條件的限制。

綜上所述,本文同時針對一類具有狀態(tài)約束和狀態(tài)不完全可測的非線性切換系統(tǒng)進行研究,設計了一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的自適應輸出反饋控制方法,同時也解決了反步設計方法中存在的“微分爆炸”問題。相比于以上文獻提出的控制算法,本文所提算法實用范圍更廣,控制精度更高。

5 仿真

本節(jié)將對具體的算例進行仿真,對本文所提出的控制算法進行仿真驗證。考慮嚴格反饋非線性切換系統(tǒng)為:

(63)

其中:

(64)

約束邊界選擇為kc1=1.5,kc2=4。參考信號為yd=sin(t)。

設計帶有觀測器的自適應切換控制器為:

(65)

式中k=1,2。

本文采用高斯基函數(shù)作為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡基函數(shù)來進行相關算法的設計,其結(jié)構(gòu)為

(66)

式中:i=1,2…,n;k=1,2…,n。

圖1是系統(tǒng)的輸出y和參考信號yd的跟蹤軌跡,可以看到y(tǒng)和yd并未違反約束且能達到很好的控制效果。

圖1 系統(tǒng)輸出y和參考信號yd的跟蹤軌跡

圖2是跟蹤誤差z1,可以看到z1并未違反約束條件-ka1(t)

圖2 跟蹤誤差z1

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)x1和其狀態(tài)觀測值的軌跡

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)x2和其狀態(tài)觀測值的軌跡

圖5是切換系統(tǒng)的切換信號,當k=1時運行第一個子系統(tǒng),當k=2時運行第二個子系統(tǒng)。圖6是控制器輸入軌跡。仿真結(jié)果說明,所提出的控制方法是有效的。

圖5 切換信號

圖6 控制器軌跡

6 機械臂軌跡跟蹤控制

本文所提出的控制算法通過穩(wěn)定性證明和數(shù)值例子的仿真實驗進行了驗證,結(jié)果表明該算法針對一類具有全狀態(tài)約束和狀態(tài)不完全可測的嚴格反饋非線性切換系統(tǒng)有著良好的控制性能。因此,本節(jié)將所提出的控制算法應用于實際工程模型,探究其控制效果。

考慮如下一個帶有電機驅(qū)動以及未知擾動的單關節(jié)機械臂系統(tǒng)。針對其軌跡進行跟蹤控制,其動態(tài)方程[23]為:

(67)

(68)

其中:

(69)

圖7給出了單關節(jié)機械臂位置輸出信號x1和參考信號yd的跟蹤軌跡。

圖7 位置輸出信號y和參考信號yd的跟蹤軌跡

圖8給出了機械臂軌跡跟蹤誤差z1,由圖易知,該系統(tǒng)在穩(wěn)定后的軌跡跟蹤誤差在0.01以內(nèi),有著良好的控制效果,且所有的信號都在規(guī)定的約束邊界內(nèi)。

圖8 位置跟蹤誤差z1

圖9 位置輸出信號x1和其狀態(tài)觀測值的軌跡

圖10 速度信號x2和其狀態(tài)觀測值的軌跡

圖11 電機轉(zhuǎn)矩x3和其狀態(tài)觀測值的軌跡

圖12和圖13分別是機械臂系統(tǒng)的切換信號和控制器軌跡。

圖12 機構(gòu)臂切換信號

圖13 機構(gòu)臂控制器軌跡

通過以上的仿真結(jié)果表明,本文所提出的控制算法能夠有效應用于實際工程模型,且有著良好的控制效果。

7 結(jié)論

本文設計的自適應動態(tài)面輸出反饋控制器,能夠很好的控制一類具有全狀態(tài)約束和狀態(tài)不完全可測的不確定嚴格反饋非線性切換系統(tǒng)。通過Lyapunov方法、ADT理論和數(shù)值仿真分別在理論和實驗層面驗證了所提方法的有效性,同時,通過選擇恰當?shù)脑O計參數(shù),可以使跟蹤誤差和觀測器誤差保持在一個足夠小的零鄰域內(nèi)。最后,針對帶有狀態(tài)約束的機械臂進行控制,仿真結(jié)果表明,其軌跡跟蹤誤差很小,且有著良好的控制效果,也為將來將該控制算法應用于實際工業(yè)中奠定了理論基礎。