三軸磁強計的空間立體校正

趙育良，黃婧麗*，毛日升

（1.海軍航空大學(xué)青島校區(qū)，山東 青島 266041；2.91911 部隊，海南 三亞 572000）

三軸磁強計［1］（Three Axis Magnetometer，TAM）是測量磁場強度的傳感器，可以提供精確和可靠的近地磁場向量信息，并且不會隨時間產(chǎn)生漂移，還可以和陀螺儀等其他傳感器一起提供位置信息。因此，廣泛應(yīng)用于導(dǎo)航系統(tǒng)等領(lǐng)域。然而，由于受制造工藝的限制，TAM 的輸出有著固有誤差（如非正交誤差、尺度因素誤差、零位偏差）［2］，并且經(jīng)常受各種干擾磁場［3］（如軟磁、硬磁、測量噪聲）影響。因此，在應(yīng)用之前進(jìn)行校正具有重要意義，校正是當(dāng)前三軸磁強計研究的重點、難點以及亟需解決的關(guān)鍵問題。

磁強計校正經(jīng)典方法為搖擺算法（swing algorithm）［4］。在已知航向角的情況下，水平儀繞著唯一垂直方向的軸旋轉(zhuǎn)。這種方法雖然簡單易操作，但需要外部獨立航向測量信息。與此同時，該方法是航向校正方法，不適合除航向確定以外的其他校正。針對這一情況，文獻(xiàn)［5-6］提出了一種旋轉(zhuǎn)校正方法，該方法不需要外部獨立航向信息，并且能提供多種誤差源的校正。球形校正都是基于一個事實，即在補償?shù)攸c，無論傳感器處于什么方向，地磁場幅值應(yīng)相同。在這種情況下，通過旋轉(zhuǎn)設(shè)備的3 個軸得到的測量值應(yīng)該在一個球面上，其中球面半徑為地磁場強度。

然而由于固有誤差和干擾磁場的存在，測量值生成的是橢球而不是標(biāo)準(zhǔn)的球［7］。因此，通過經(jīng)典的最小二乘法以代數(shù)擬合的方式極小化測量值與橢球體之間的誤差，計算簡便，不需要迭代，是應(yīng)用最廣泛的方法之一［8］。但是直接擬合有可能得到任意二次曲面，并不符合實際的物理意義［9］。

針對以上這些情況，本文在建立了較完整的誤差校正模型基礎(chǔ)上，提出采用最小二乘法對校正模型參數(shù)進(jìn)行最優(yōu)估計，并加入了更符合實際物理意義的橢球約束，使得結(jié)果不是任意二次曲面，通過這種方式更完整地校正了誤差源。

1 TAM誤差校正模型

磁強計的測量誤差包括：傳感器零位偏差、尺度因素誤差、非正交誤差、測量噪聲誤差、硬磁干擾誤差和軟磁干擾誤差，下面分別加以分析。

受制造工藝限制，各個傳感器特性不一致，不同的TAM 具有不同的零位偏差chi和不同的尺度因子。尺度因素誤差矩陣Dsf可以表示為

其中，sx、sy、sz為3個軸的尺度因子。

TAM 的敏感軸不能完全正交，從而導(dǎo)致非正交誤差，誤差矩陣Dno為

其中，ρ為實際ys軸與理想軸的夾角；?為實際zs軸與理想軸的夾角在xsOszs平面的投影；λ為實際zs軸和理想軸的夾角在ysOszs平面的投影。

受熱特性和電路測量因素的影響，磁強計輸出不可避免地具有測量噪聲，可建模為高斯白噪聲為ε、服從均值為0、方差為σ2的正態(tài)分布。

由于飛行器的結(jié)構(gòu)件或電子設(shè)備中包含磁鐵性材料，所以TAM 的測量值會受到除地球磁場外的其他磁場干擾。如果干擾磁場為永久的不變磁場，則稱為硬磁干擾。硬磁干擾在磁強計的輸出中表現(xiàn)為固定零位偏移c0。如果干擾磁場是隨載體姿態(tài)變化的，則為軟磁干擾。軟磁干擾在TAM 的輸出中表現(xiàn)為變化的零位偏差，軟磁干擾誤差矩陣Dsi為

式（3）中，αij(i，j=x，y，z)為由j軸外部磁場誘導(dǎo)產(chǎn)生的磁場在i軸上的投影。軟磁干擾誤差可等效為尺度因素誤差、非正交誤差和非對準(zhǔn)誤差的綜合效應(yīng)。

綜合這幾種誤差，TAM校正數(shù)學(xué)模型可以表示為

其中，Bm和Bb為載體坐標(biāo)系下TAM 的實際輸出值與無誤差源干擾的理論真實值，它們都包含xs、ys、zs3 個軸的分量，即

令DE=DsfDnoDsi，c=DEchi+c0，則TAM 誤差校正數(shù)學(xué)模型可表示為

接下來的任務(wù)即為通過一系列已知實際的測量點求解校正模型中的未知參數(shù)DE和c，以便能夠補償磁強計輸出受誤差源干擾的部分。

2 空間旋轉(zhuǎn)立體校正

忽略ε，設(shè)

為了求解橢球參數(shù)，用代數(shù)法表示理想測量點與待求橢球之間的距離，則代價函數(shù)可以寫為

3 校正模型參數(shù)的求解

如果沒有約束存在，式（11）可求解出任意二次曲面，而在實際情況中，可能只關(guān)心某種具體類型的二次函數(shù)。由于磁強計校正模型最終形式為橢球體，因此本文加入橢球約束，使得擬合結(jié)果為嚴(yán)格的橢球體。這樣做雖然有可能犧牲了精度，但結(jié)果符合實際物理意義，更有價值。根據(jù)上文的分析，磁強計校正問題就可以轉(zhuǎn)化成下面帶橢球約束的最小二乘問題，即

這就是一個廣義特征值問題，即

矩陣T代表約束。在約束矩陣T中只涉及x2、y2、z2、xy、yz、xz這幾個非線性項，而與線性項x、y、z無關(guān)。也可以說T中的大部分元素為0。式（13）中的向量和矩陣可以分解為

其中，T1代表可以確定二次曲面為橢球的約束矩陣。則式（11）可以寫為

通過上述分析，現(xiàn)可以通過求解Ypol滿足約束1β1=const 的特征向量β1來估計磁強計誤差校正參數(shù)，求解如下廣義特征值問題：

對于橢球擬合的約束，可選擇為

當(dāng)4βJ?>0時，參數(shù)β代表橢球體。同時，橢球體短半徑長度是長半徑一半以上時，可以得到4βJ?>0，即k=4。但不是所有橢球體都滿足這個充分條件，長瘦和扁的橢球體不滿足4βJ?>0 的條件。對于任意橢球體來說，總是存在k使得kβJ?>0?？梢钥闯霎?dāng)橢球體短半徑至少是長半徑的倍時，可得到kβJ?>0。為了保證擬合結(jié)果為橢球，可以設(shè)計一種迭代方法，使k從一個較大的值開始設(shè)定T(k)，估計參數(shù)向量β，直到估計的參數(shù)向量β可以得到橢球體，這樣就可以保證擬合的是橢球體。

4 仿真驗證

為了驗證上文方法的有效性，下文進(jìn)行數(shù)值仿真實驗 。假設(shè)測量地點的地磁場為[10 000 18 000 15 000]TnT；測量噪聲為高斯白噪聲，均值為0，方差=0.94；測量點數(shù)量n=1 000；真實誤差校正模型參數(shù)如表1-2所示。

表1 誤差參數(shù)Tab.1 The error parameters

表2 軟磁干擾誤差參數(shù)Tab.2 The soft iron parameters

仿真實驗流程如下：

step 1：設(shè)定噪聲方差幅值，通過以上仿真參數(shù)及TAM誤差校正模型（11）模擬校正前的實際測量值；

step 2：由帶橢球約束的最小二乘法解得橢球參數(shù)，即可擬合出橢球體；

step 3：由橢球體求解出校正后的磁場測量強度，并與真實值B0進(jìn)行比較。

當(dāng)噪聲方差幅值μ=1 000時，進(jìn)行仿真實驗流程step 1，結(jié)果如圖1所示。

圖1中，直線表示當(dāng)?shù)卮艌鰪姸鹊恼鎸嵵?，星型線表示受到誤差干擾的實際磁場強度測量值。現(xiàn)利用這些測量值進(jìn)行橢球參數(shù)的求解。橢球擬合結(jié)果如圖2所示。

其中離散點表示當(dāng)?shù)卮艌鰧嶋H測量值，通過擬合可以得到圖中的橢球體。在橢球體參數(shù)得到之后，即可按照上文第三部分對磁場測量值進(jìn)行誤差補償，補償后的磁場強度結(jié)果如圖3所示。

圖3 磁場強度補償結(jié)果Fig.3 Compensation result of magnetic field density

圖3中橫坐標(biāo)表示測量值序號，Line 1表示當(dāng)?shù)卮艌鰪姸日鎸嵵礏0，Line 2 表示未校正的TAM 強度測量值，Line 3 表示校正后的TAM 強度測量值。從圖3 中可以看出，未進(jìn)行校正的磁強計輸出不穩(wěn)定且偏離真實值較多。校正后的磁強計測量值更接近真實值，消除了測量值偏差，基本可以穩(wěn)定在真實值周圍，誤差有了較大的減小。

5 結(jié)論

針對大噪聲未知環(huán)境下三軸磁強計校正問題，提出一種基于立體空間約束的校正方法。實驗結(jié)果表明，較補償前，噪聲補償后模型參數(shù)估計精度有了較大提高。