基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究

田鮮麗 常春鋒 陳華威

教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)不斷踐行深度學(xué)習(xí)的教學(xué)理念，培養(yǎng)學(xué)生具有批判性、創(chuàng)新性思維的能力，使其養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)的習(xí)慣，最終，完成新課程核心素養(yǎng)教學(xué)，實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人根本任務(wù)。

一、問(wèn)題提出

新課標(biāo)指出，普通高中的培養(yǎng)目標(biāo)是進(jìn)一步提升學(xué)生的綜合素質(zhì)，著力發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，使學(xué)生具有理想信念和社會(huì)責(zé)任感，具有科學(xué)文化素養(yǎng)和終身學(xué)習(xí)能力，具有自主發(fā)展能力和溝通合作能力。高中數(shù)學(xué)在基礎(chǔ)學(xué)科拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)方面承擔(dān)著重要的歷史使命。新課程背景下，如何更好地完成教學(xué)目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)教師專業(yè)發(fā)展是高中教學(xué)改革的重中之重。為此，我?guī)ьI(lǐng)團(tuán)隊(duì)深挖教材，從概念教學(xué)出發(fā)，幫助學(xué)生把抽象概念簡(jiǎn)單化，深度思考數(shù)學(xué)思想。下面以全概率公式教學(xué)設(shè)計(jì)為例進(jìn)行逐步探究。

二、教材剖析

本節(jié)課選自普通高中教科書北師大版數(shù)學(xué)（選擇性必修一）第六冊(cè)“概率”第一節(jié)“隨機(jī)事件的條件概率”。全概率公式是概率論中的重要公式，通過(guò)互斥事件的概率加法公式和條件概率的乘法公式計(jì)算概率，抽象出全概率公式。在“條件概率”的基礎(chǔ)上，從已知簡(jiǎn)單事件的概率推算出未知復(fù)雜事件的概率，蘊(yùn)含了“化整為一、積零成整”，將受多個(gè)因素影響的復(fù)雜事件概率分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單事件概率之和，反映了部分與整體、數(shù)據(jù)優(yōu)化、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單的辯證思想，核心是培養(yǎng)學(xué)生拆分整合、抽象概括、用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。教學(xué)重點(diǎn)是“以學(xué)生為本”，利用“問(wèn)題串”等引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究、合作交流，通過(guò)模型演示、案例分析，使學(xué)生探索知識(shí)的來(lái)龍去脈，理解其本質(zhì)，學(xué)會(huì)應(yīng)用情境和借助全概率公式來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，達(dá)到切實(shí)學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)、提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目的，實(shí)現(xiàn)授人以漁的育人理念。

三、目標(biāo)解析

本節(jié)課通過(guò)尋找隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律并從數(shù)學(xué)上加以刻畫，了解全概率公式的背景來(lái)源、基本思想，掌握全概率公式的適用環(huán)境、解決方法和實(shí)際應(yīng)用。

為達(dá)成教學(xué)目的，教研組采取模型演示的方法，用“三門問(wèn)題”創(chuàng)設(shè)情境， 用“問(wèn)題串”引導(dǎo)學(xué)生自主思考、自主學(xué)習(xí)、合作探究，步步深入。通過(guò)探究過(guò)程，學(xué)生體會(huì)和模型有關(guān)的隨機(jī)思想、部分與整體的轉(zhuǎn)化，有利于培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，以及提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

通過(guò)深化概念的形成、消化及應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，通過(guò)深度學(xué)習(xí)逐步提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)。借助小組合作探究和課后資料查閱、報(bào)告整理，逐步培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和科研興趣。

四、學(xué)情分析

概率的應(yīng)用性和實(shí)踐性較強(qiáng)，為了讓學(xué)生掌握全概率公式的計(jì)算和使用環(huán)境，教學(xué)中可以讓學(xué)生自主探究，抽象總結(jié)出全概率公式的概念。重點(diǎn)是幫助學(xué)生完成概念的構(gòu)建，突破對(duì)全概率公式的理解及應(yīng)用難點(diǎn)，讓學(xué)生深度理解樣本空間的劃分。通過(guò)反思，深度學(xué)習(xí)概念及本質(zhì)、靈活掌握概念的應(yīng)用環(huán)境、使用方法。讓學(xué)生學(xué)會(huì)拆分樣本空間，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化和計(jì)算能力，實(shí)現(xiàn)學(xué)以致用。

五、教學(xué)策略

首先，從模型演示引入“三門問(wèn)題”，從特殊到一般，層層遞進(jìn)，用“問(wèn)題串”啟發(fā)和引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)、探究，達(dá)到理解、掌握知識(shí)的目的。選擇實(shí)例，設(shè)計(jì)問(wèn)題。問(wèn)題驅(qū)動(dòng)興趣，讓學(xué)生主動(dòng)參與知識(shí)探究，養(yǎng)成習(xí)慣，提升能力。其次，通過(guò)探究式教學(xué)提出探究問(wèn)題，確定探究方案，完成探究過(guò)程。獨(dú)立思考和小組合作為不同認(rèn)知基礎(chǔ)的學(xué)生提供了交流的機(jī)會(huì)，能實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的目的。探究過(guò)程中重視學(xué)生思維的形成，通過(guò)探究，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生真正成為知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)者”和“探索者”。最后，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，培育學(xué)生科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。通過(guò)知識(shí)與生活的深度融合，提高教學(xué)的有效性，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值。教師建立多元評(píng)價(jià)體系，增強(qiáng)學(xué)生自信，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)自我，完善并改進(jìn)教學(xué)。

六、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

教師拿出山羊、汽車、三扇門模型。汽車放置于三扇門其中一扇的后面，其他門后均為山羊。讓學(xué)生選定任意一扇門，不允許打開(kāi)，教師將打開(kāi)另外一扇門，打開(kāi)的既不是學(xué)生選定的，也不是學(xué)生想要的汽車。教師問(wèn)：同學(xué)們是否要改變你的選擇，改選另一扇沒(méi)有打開(kāi)的門呢？讓學(xué)生親自參與教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過(guò)“問(wèn)題串”啟發(fā)學(xué)生思考：

作為參與者的你，是否要改變你的選擇，改選另一扇沒(méi)有打開(kāi)的門？你決策的依據(jù)是什么？怎樣求改選另一扇沒(méi)有打開(kāi)的門獲得汽車的概率？

然后讓學(xué)生展開(kāi)小組討論、合作探究并展示成果。其中一個(gè)小組回答：

記：B1：選擇山羊1;B2：選擇山羊2;B3：選擇汽車; A：改選汽車

由分析知：P（B1）=P（B2）=P（B3）=，P（A|B1）=

P（A|B2）=1，P（A|B3）=0

由全概率公式得：P（A）=P（AB1）+ P（AB2）+

P（AB3）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+P（B3）P（A|B3）=×1+×1+×0=

設(shè)置意圖：讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，服務(wù)于生活。讓知識(shí)融入生活，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，從多個(gè)維度去發(fā)現(xiàn)、解決問(wèn)題，探究感知概念，深入思考問(wèn)題的本質(zhì)。

（二）更新情境，認(rèn)識(shí)概念

教師讓學(xué)生觀察教材184頁(yè)問(wèn)題6，展開(kāi)自主學(xué)習(xí)、獨(dú)立思考，舉手回答。（一分鐘時(shí)間讓學(xué)生發(fā)言）

生：設(shè)事件Bi表示“所取到的產(chǎn)品是由第i家工廠提供的”（i=1，2，3），事件A表示“取到的是一件次品”，其中B1，B2，B3兩兩互斥，A發(fā)生總是伴隨著B(niǎo)1，B2，B3之一同時(shí)發(fā)生，即A=B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A兩兩互斥，同樣，運(yùn)用互斥事件概率的加法公式和乘法公式得到

P（A）=P（B1A）+P（B2A）+P（B3A）

=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+P（B3）P（A|B3）

=0.0125

設(shè)置意圖：讓學(xué)生運(yùn)用互斥事件概率的加法公式和條件概率的乘法公式進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，歸納出問(wèn)題的共性，將其一般化，為抽象概括全概率公式做準(zhǔn)備，為理解全概率公式的意義奠定基礎(chǔ)。讓學(xué)生時(shí)刻圍繞教材展開(kāi)思考，進(jìn)行深度拓展。

師：請(qǐng)同學(xué)們思考并總結(jié)。

生：通過(guò)上面的問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)其中隨機(jī)事件概率的共性。如果B是由原因Ai（i=1，2，…n）所引起，則B發(fā)生的概率是P（BAi）= P（Ai）P（B|Ai），由于每一個(gè)原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，且各原因彼此互斥并涵蓋所有可能的情形，故事件B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即P（B）=[][n][i=1]P（Ai）P（B|Ai）。

（三）抽象概括，構(gòu)建新知

經(jīng)過(guò)剛才的總結(jié)，請(qǐng)各小組進(jìn)行樣本空間劃分。

第三小組：設(shè)Ω是試驗(yàn)E的樣本空間，A1，A2，…，An為樣本空間Ω的一組事件，若（1）AiAj=Φ，其中i≠j（i，j=1，2，…，n），

（2）A1∪A2∪…∪An=Ω，則A1，A2，…，An稱為樣本空間Ω的一個(gè)劃分。

請(qǐng)學(xué)生總結(jié)并寫出全概率公式的概念。

設(shè)A1，A2，…，An為樣本空間Ω的一個(gè)劃分，若

P（Ai）>0（i=1，2，…n），則對(duì)任意一個(gè)事件B ?Ω 有

P（B）=[][n][1]P（Ai）P（B|Ai），該公式為全概率公式。

教師抽查后發(fā)現(xiàn)，全班40個(gè)學(xué)生中有38個(gè)學(xué)生完整寫出，達(dá)到了預(yù)期目標(biāo)。

教師總結(jié)：全概率公式本質(zhì)上是綜合運(yùn)用加法公式和乘法公式解決“多因一果”的概率問(wèn)題。它告訴我們，事件B發(fā)生的概率恰好是事件B在各種可能“原因”下發(fā)生的條件概率的加權(quán)平均。

設(shè)置意圖：讓學(xué)生自己感悟知識(shí)，深度學(xué)習(xí)知識(shí)的來(lái)龍去脈，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力，并領(lǐng)悟知識(shí)的本質(zhì)，深度理解概念本質(zhì)，學(xué)會(huì)概念的使用方法。

設(shè)置以下“問(wèn)題串”引導(dǎo)學(xué)生深度思考：（1）你認(rèn)為全概率公式的推導(dǎo)過(guò)程蘊(yùn)含了哪些數(shù)學(xué)思想？（2）你認(rèn)為利用全概率公式求隨機(jī)事件的概率關(guān)鍵是什么呢？

設(shè)置意圖：讓學(xué)生回顧知識(shí)，總結(jié)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程，啟發(fā)學(xué)生搭建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

（四）應(yīng)用公式，鞏固新知

例：一項(xiàng)血液化驗(yàn)用來(lái)鑒別是否患有某種疾病，在患有此種疾病的人群中，通過(guò)化驗(yàn)有95%的人呈陽(yáng)性反應(yīng)，而健康的人通過(guò)化驗(yàn)也會(huì)有1%呈陽(yáng)性反應(yīng)，某地區(qū)此病患者人數(shù)占0.5%，則：某人化驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性的概率是多少？請(qǐng)各組派代表板書解答。

五個(gè)小組板書全部正確。（答案：由全概率公式可知：P（A）=0.5%×95%+99.5%×1%=1.47%）

開(kāi)展課堂小組對(duì)抗賽進(jìn)行概念的深度學(xué)習(xí)：教師下發(fā)課前準(zhǔn)備的定時(shí)練，出示10個(gè)關(guān)于全概率公式的選擇題，讓五個(gè)小組展開(kāi)比賽，10分鐘后進(jìn)行互換批改，結(jié)果發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)確率達(dá)到95%，超出課前估計(jì)水平。

（五）課題小結(jié)，提煉過(guò)程

教師再次提出問(wèn)題：同學(xué)們，本節(jié)課你有什么收獲？在這個(gè)過(guò)程中你有什么體會(huì)？

設(shè)置意圖：通過(guò)談過(guò)程、體會(huì)，讓學(xué)生重溫知識(shí)的形成過(guò)程，進(jìn)行課堂反思，深度理解全概率公式概念的應(yīng)用環(huán)境、使用方法，把知識(shí)連貫化、系統(tǒng)化。

（六）布置作業(yè)，課后探究

1.課本188頁(yè)練習(xí)1。

2.實(shí)踐探索：課余時(shí)間，小組通過(guò)查閱“波利亞罐子問(wèn)題”談?wù)劊翰ɡ麃喒拮訂?wèn)題與傳染病的關(guān)系，我們?nèi)绾巫龊梅揽卮胧?進(jìn)行小組探究，提交探究報(bào)告或成果。

設(shè)置意圖：鞏固知識(shí)，熟練利用全概率公式;培養(yǎng)學(xué)生查閱資料、閱讀文獻(xiàn)的能力;根據(jù)研究報(bào)告完成情況組織評(píng)選，通過(guò)評(píng)委、專家審核，評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)全概率公式的理解、掌握情況。對(duì)本節(jié)課的教學(xué)進(jìn)行評(píng)估，完善教學(xué)策略;根據(jù)新課標(biāo)要求，落實(shí)改革創(chuàng)新、完善人格、培育人才、造福人民的目標(biāo)，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，提高數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，為國(guó)家培養(yǎng)創(chuàng)新型拔尖人才奠定基礎(chǔ)。

七、反思評(píng)價(jià)

本節(jié)課在條件概率的基礎(chǔ)上，通過(guò)多個(gè)簡(jiǎn)單事件的概率，推算出未知復(fù)雜事件的概率，是本章內(nèi)容的總結(jié)和綜合應(yīng)用。教學(xué)中采用學(xué)生自主學(xué)習(xí)、小組合作探究的教學(xué)方法，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)了學(xué)生的求知欲。利用“問(wèn)題串”引導(dǎo)學(xué)生思考，使其進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，以問(wèn)題為導(dǎo)向，深度挖掘知識(shí)的形成過(guò)程，圍繞新課程核心素養(yǎng)要求，使學(xué)生輕松學(xué)會(huì)知識(shí)、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。同時(shí)也有助于教師改進(jìn)教學(xué)，提高教學(xué)質(zhì)量。由于時(shí)間的把控，部分學(xué)生的發(fā)言要求沒(méi)有得到滿足，一部分極好的思路沒(méi)有得到吸納。實(shí)踐證明，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、參與度得以提高，實(shí)現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)，達(dá)成了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求，落實(shí)了以生為本、立德樹(shù)人的根本任務(wù)。

八、總結(jié)

高中數(shù)學(xué)教改源于教材，高于教材，以生為本，學(xué)為中心。在教師的精心組織下，學(xué)生經(jīng)歷思考、探究、驗(yàn)證、應(yīng)用等環(huán)節(jié)，自然地得到新知識(shí)、新方法。通過(guò)深度學(xué)習(xí)，經(jīng)歷深層次思考，感悟?qū)W習(xí)方法，達(dá)成教育目的。以后，我們會(huì)積極開(kāi)發(fā)校本課程，融合深度學(xué)習(xí)概念，完成培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新型人才的教育使命。

參考文獻(xiàn)：

[1]何玲，黎加厚.促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)[J].現(xiàn)代教育，2005（5）：29-30.

[2]田鮮麗.高中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)的策略研究[D].北京：首都師范大學(xué)，2012.

（作者單位：河南省上蔡第一高級(jí)中學(xué)）

編輯：趙飛飛