多姿多彩的非線性回歸分析問題

■廣東省興寧市第一中學(xué) 藍(lán)云波

■廣東省梅州市教育局教師發(fā)展中心 陳啟南

回歸直線方程是高考中的高頻考點(diǎn),對(duì)大部分同學(xué)而言,掌握得比較好。但是隨著高考命題越來越注重考生的應(yīng)變能力,對(duì)應(yīng)用已學(xué)知識(shí)求解或探索創(chuàng)新問題提出了越來越高的要求。非線性回歸分析問題正是基于此而命制的一類創(chuàng)新問題。所謂非線性回歸分析問題,指的是當(dāng)兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系,但又不呈線性相關(guān)關(guān)系時(shí),可依據(jù)樣本點(diǎn)的分布選擇合適的曲線方程來模擬,并設(shè)法求得其回歸方程的一類問題。常見的非線性回歸分析問題有二次函數(shù)型、根式型、倒數(shù)型、指數(shù)型與對(duì)數(shù)型。通過研究分析,我們發(fā)現(xiàn)建立非線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型的基本步驟如下:

1.確定研究對(duì)象,明確哪個(gè)是解釋變量,哪個(gè)是響應(yīng)變量;

2.由經(jīng)驗(yàn)確定非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的模型;

3.通過變換(換元,取對(duì)數(shù),指數(shù)式、對(duì)數(shù)式互化等),將非線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型;

4.按照公式計(jì)算經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的參數(shù),得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程,需要特別注意的是,使用線性回歸方程的公式,要注意代入變換后的變量;

5.消去新元,得到非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程。

下面將對(duì)這五類問題逐一進(jìn)行闡述,希望能為同學(xué)們徹底解決非線性回歸分析問題提供一些借鑒,并幫助同學(xué)們通過學(xué)習(xí)與研究,提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力水平。

一、二次函數(shù)型回歸方程

例1(山東省濰坊市2022 屆高三核心素養(yǎng)測評(píng))2021年11月4日,第四屆中國國際進(jìn)口博覽會(huì)在上海開幕,共計(jì)2 900 多家參展商參展,420 多項(xiàng)新產(chǎn)品、新技術(shù)、新服務(wù)在本屆進(jìn)博會(huì)上亮相。某投資公司現(xiàn)從中選出20 種新產(chǎn)品進(jìn)行投資。為給下一年度投資提供決策依據(jù),需了解年研發(fā)經(jīng)費(fèi)對(duì)年銷售額的影響,該公司甲、乙兩部門分別從這20種新產(chǎn)品中隨機(jī)地選取10 種產(chǎn)品,每種產(chǎn)品被甲、乙兩部門是否選中相互獨(dú)立。

(1)求20 種新產(chǎn)品中產(chǎn)品A被甲部門或乙部門選中的概率。

(2)甲部門對(duì)選取的10種產(chǎn)品的年研發(fā)經(jīng)費(fèi)xi(單位:萬元)和年銷售額yi(i=1,2,…,10)(單位:十萬元)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到散點(diǎn)圖(圖1)及一些統(tǒng)計(jì)量的值。根據(jù)散點(diǎn)圖現(xiàn)擬定y關(guān)于x的回歸方程為=(x-3)2+,求的值(結(jié)果精確到0.1)。

表1

圖1

(3)甲、乙兩部門同時(shí)選中了新產(chǎn)品A,現(xiàn)用擲骰子的方式確定投資金額。若每次擲骰子點(diǎn)數(shù)大于2,則甲部門增加投資1萬元,乙部門不增加投資;若點(diǎn)數(shù)小于3,則乙部門增加投資2 萬元,甲部門不增加投資。求兩部門投資資金總和恰好為100萬元的概率。

二、根式型回歸方程

例2(2015年高考全國Ⅰ卷)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:千元)對(duì)年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響,對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到散點(diǎn)圖(圖2)及一些統(tǒng)計(jì)量的值(表2)。

表2

圖2

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程。

(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x。根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題:

(i)年宣傳費(fèi)x=49時(shí),年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少?

(ii)當(dāng)年宣傳費(fèi)x為何值時(shí),年利潤的預(yù)報(bào)值最大?

三、倒數(shù)型回歸方程

例 3快遞業(yè)的迅速發(fā)展導(dǎo)致行業(yè)內(nèi)競爭日趨激烈。某快遞網(wǎng)點(diǎn)需了解一天中收發(fā)一件快遞的平均成本y(單位:元)與當(dāng)天攬收的快遞件數(shù)即攬件量x(單位:千件)之間的關(guān)系,對(duì)該網(wǎng)點(diǎn)近7天的每日攬件量xi(單位:千件)與當(dāng)日收發(fā)一件快遞的平均成本yi(單位:元)(i=1,2,3,4,5,6,7)的數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步處理,得到散點(diǎn)圖(圖3)及一些統(tǒng)計(jì)量的值(表3)。

表3

表4

圖3

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y=ax+b與y=哪一個(gè)更適宜作為y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型,并根據(jù)判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程。

(2)已知該網(wǎng)點(diǎn)每天的攬件量x(單位:千件)與單件快遞的平均價(jià)格t(單位:元)之間的關(guān)系是(5.75≤t≤14.5),收發(fā)一件快遞的利潤等于單件的平均價(jià)格減去平均成本。根據(jù)(1)中建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程解決以下問題:

①預(yù)測該網(wǎng)點(diǎn)某天攬件量為2千件時(shí)可獲得的總利潤;

②單件快遞的平均價(jià)格t為何值時(shí),該網(wǎng)點(diǎn)一天內(nèi)收發(fā)快遞所獲利潤的預(yù)報(bào)值最大?

所以當(dāng)x=4時(shí),zmax=27,此時(shí)t=10.75。故單件快遞的平均價(jià)格t=10.75元時(shí),該網(wǎng)點(diǎn)一天內(nèi)收發(fā)快遞所獲利潤的預(yù)報(bào)值最大。

點(diǎn)評(píng):本題形式上與上兩道例題不一樣,但都可以直接通過換元,轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題。通過熟悉相關(guān)技巧,就能應(yīng)對(duì)自如。第二問得到的收發(fā)x千件快遞獲利z是一個(gè)三次函數(shù),故可以通過導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)實(shí)現(xiàn)問題的求解。

四、指數(shù)型回歸方程

例4(福建省泉州市2023 屆高三質(zhì)量監(jiān)測)中國茶文化博大精深,飲茶深受大眾喜愛。茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)。某數(shù)學(xué)建模小組為了獲得茶水溫度y(℃)關(guān)于時(shí)間x(min)的回歸方程模型,通過實(shí)驗(yàn)收集在25℃室溫,用同一溫度的水沖泡的條件下,茶水溫度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù),并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理得到如圖4所示散點(diǎn)圖。

圖4

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,①y=a+bx與②y=d·cx+25哪一個(gè)更適宜作為該茶水溫度y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程類型。(給出判斷即可,不必說明理由)

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立該茶水溫度y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程。

(3)已知該茶水溫度降至60℃口感最佳。根據(jù)(2)中的回歸方程,求在相同條件下沖泡的茶水大約需要放置多長時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感。

(2)參考數(shù)據(jù):e-0.08≈0.92,e4.09≈60,ln 7≈1.9,ln 3≈1.1,ln 2≈0.7。

解析:(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,其變化趨勢不是線性的,而是曲線的,因此,選②y=d·cx+25更適宜作為本題的回歸方程。

所以回歸方程為y=d·cx+25=e4.09·e-0.08x+25=e4.09-0.08x+25。

(3)當(dāng)y=60 時(shí),代入回歸方程y=e4.09-0.08x+25得60=e4.09-0.08x+25,化簡得35=e4.09-0.08x,即4.09-0.08x=ln 35。

又e-0.08≈0.92,e4.09≈60,ln 7≈1.9,ln 3≈1.1,ln 2≈0.7,所以4.09-0.08x=ln 35化為ln 60-0.08x=ln 35,即0.08x=ln 60-ln 35==ln 12-ln 7=(2ln 2+ln 3)-ln 7≈2×0.7+1.1-1.9=0.6,x≈=7.5。故大約需要放置7.5 min 才能達(dá)到最佳飲用口感。

點(diǎn)評(píng):本題直接通過換元,難以實(shí)現(xiàn)問題的求解,但在通過移項(xiàng)與取對(duì)數(shù)之后,再利用換元即可轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題,相比前幾題,難度更大。對(duì)于形如y=d·cx+k的回歸模型,都可以通過這樣的方式進(jìn)行化歸。實(shí)際上,本題中給出的信息wi=ln(yi-25)即是解題的提示,希望同學(xué)們能用心體會(huì),以達(dá)到觸類旁通的效果。

五、對(duì)數(shù)型回歸方程

例5(湖北省武漢市2021屆高三五月調(diào)考)某市號(hào)召市民接種疫苗,提出全民“應(yīng)種盡種”的口號(hào),疫苗成了重要的防疫物資。某疫苗生產(chǎn)廠不斷加大投入,高速生產(chǎn),現(xiàn)對(duì)其某月內(nèi)連續(xù)9天的日生產(chǎn)量yi(單位:十萬支,i=1,2,…,9)數(shù)據(jù)作了初步統(tǒng)計(jì),得到如圖5 所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值(表5)。

表5

圖5

點(diǎn)評(píng):本題第一問考查了利用組合知識(shí)求解古典概型的問題,難度一般。第二問可以通過指數(shù)式對(duì)數(shù)式互化后,再利用換元思想化歸為線性回歸分析問題。

通過以上的分析,我們可以發(fā)現(xiàn),解決非線性回歸分析問題,關(guān)鍵在于通過恰當(dāng)?shù)淖儞Q,轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題。而換元、取對(duì)數(shù)、指數(shù)式對(duì)數(shù)式互化是變換的常見技巧,值得大家用心體會(huì),從而做到心中有數(shù)、觸類旁通。