“數(shù)形”結(jié)合 構(gòu)建“模型”
——《轉(zhuǎn)化策略》教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析

文|陳 敏 蔣明玉（特級(jí)教師）

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版五年級(jí)下冊(cè)“轉(zhuǎn)化策略”例2。

【教學(xué)過程】

一、導(dǎo)入

●第一組：下列計(jì)算都有什么特點(diǎn)？

生：分子是1，前一個(gè)分?jǐn)?shù)是后一個(gè)分?jǐn)?shù)的2 倍。

●第二組：下列計(jì)算都有什么特點(diǎn)？

生：分子是1，前一個(gè)分?jǐn)?shù)是后一個(gè)分?jǐn)?shù)的3 倍。

【評(píng)析：讓學(xué)生從形式上感受以上分?jǐn)?shù)加法的特點(diǎn)，從不同角度去表述，既可以激發(fā)學(xué)生探索規(guī)律的興趣，又為學(xué)生之后探究規(guī)律提供了必要的基礎(chǔ)?！?/p>

二、探究

1.出示例題

2.放手探究

學(xué)生通過通分的方法得到：

3.再次探究

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生畫出如下的正方形圖，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)一步研究。

結(jié)合圖1，將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，學(xué)生很容易明白：求陰影部分的和就等于一個(gè)正方形減去空白部分的差。即：

圖1

師：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生：分子是1，前一個(gè)分?jǐn)?shù)是后一個(gè)分?jǐn)?shù)的2 倍，求這樣一組分?jǐn)?shù)的和，只要用1 減去最后一個(gè)分?jǐn)?shù)即可。

4.嘗試運(yùn)用

5.變式突破

師：下面這幾道題也能用這個(gè)規(guī)律計(jì)算嗎？把算式的意義畫

在正方形圖上。

（引導(dǎo)學(xué)生交流、展示，如下）

結(jié)合圖2～4，靈活轉(zhuǎn)化觀察角度，得到新的發(fā)現(xiàn)：

圖2

圖3

圖4

6.規(guī)律推廣

圖5

圖6

在學(xué)生舉例的基礎(chǔ)上，推廣并概括到普遍性規(guī)律，形成有關(guān)這類分?jǐn)?shù)求和的計(jì)算模型。

根據(jù)圖7，編一道前一個(gè)數(shù)依次是后一個(gè)數(shù)的2 倍，求這樣一組數(shù)的和的題目，引導(dǎo)學(xué)生從“分?jǐn)?shù)”拓展到“整數(shù)、小數(shù)”。

圖7

生：8000+4000+2000+1000+500+250=8000×2－250=15750

生：3.2+1.6+0.8+0.4+0.2=3.2×2－0.2=6.2

【評(píng)析：先讓學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的方法提出猜想：后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的，其和等于用1 減去最后一個(gè)加數(shù)。然后進(jìn)行驗(yàn)證，在驗(yàn)證過程中又產(chǎn)生新的問題，再次運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，轉(zhuǎn)換觀察視角，深入探究，大膽提出新的猜想。最后讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法仔細(xì)驗(yàn)證，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)了更為一般性、普遍性的規(guī)律，構(gòu)建了一個(gè)數(shù)學(xué)模型：后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的，其和等于第一個(gè)加數(shù)的2 倍減去最后一個(gè)加數(shù)。讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)、猜想、驗(yàn)證中體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的形成過程，初步掌握探究數(shù)學(xué)模型的一般方法?！?/p>

三、運(yùn)用

1.推廣性運(yùn)用

（1）128+64+32+16+8+4+2+1

（2）4.8+2.4+1.2+0.6+0.3+0.15

【評(píng)析：讓學(xué)生從“分?jǐn)?shù)”推廣到“整數(shù)、小數(shù)”，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律拓寬思維，培養(yǎng)學(xué)生“舉一反三”的能力?！?/p>

2.拓展性運(yùn)用

利用數(shù)形結(jié)合，用正方形圖來畫一畫（如圖8、9）。第一題的和是，剩下的是；第二題的和是，剩下的是?？梢园l(fā)現(xiàn):剩下的總比取出的多1 份。

圖8

圖9

3.你還能編出一些類似的算式，并且運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的方法發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律嗎？

四、小結(jié)（略）

【評(píng)析：運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的方法，引導(dǎo)學(xué)生由2 倍的規(guī)律拓展到3 倍的規(guī)律，培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性。最后讓學(xué)生自己獨(dú)立編寫一些有規(guī)律的算式，既有效激發(fā)了學(xué)生探究規(guī)律的興趣，又培養(yǎng)了學(xué)生獨(dú)立探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力，同時(shí)感受到數(shù)學(xué)規(guī)律的美妙和有趣?！?/p>

【全課評(píng)析】

史寧中先生強(qiáng)調(diào)：“任何一門學(xué)科都應(yīng)該把培養(yǎng)學(xué)科直覺（或直觀）作為一個(gè)根本的教育任務(wù)。數(shù)學(xué)要培養(yǎng)數(shù)學(xué)直觀，數(shù)學(xué)的結(jié)論是‘看’出來的，不是‘證’出來的，因此培養(yǎng)數(shù)學(xué)直觀是很重要的?！敝庇^的培養(yǎng)是學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的積累，而不是老師說教的結(jié)果，所以要幫助學(xué)生培養(yǎng)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。因此，本節(jié)課讓學(xué)生充分地把算式“畫”出來，引導(dǎo)學(xué)生將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，從而發(fā)現(xiàn)“計(jì)算模型”。通過題組對(duì)比，能夠使學(xué)生深刻地領(lǐng)會(huì)到“幾何直觀”的作用：發(fā)現(xiàn)了一個(gè)規(guī)律（計(jì)算模型），而運(yùn)用這個(gè)規(guī)律可以舉一反三去解決更多、更復(fù)雜的相似問題。由此，不但加深了學(xué)生對(duì)“用畫圖找轉(zhuǎn)化方法”的理解，還啟發(fā)了學(xué)生在遇到復(fù)雜問題時(shí)，先用畫圖的方法從探索簡(jiǎn)單的問題起，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，然后運(yùn)用所獲得的規(guī)律去解決復(fù)雜的問題。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)“模型意識(shí)”的內(nèi)涵是這樣闡述的：模型意識(shí)主要是指對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。知道數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不只是要記住某些規(guī)律與結(jié)論性的東西，更重要的是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。以上教學(xué)，在計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)有特點(diǎn)的分?jǐn)?shù)加法問題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，經(jīng)歷猜想與驗(yàn)證的過程，引導(dǎo)學(xué)生探索規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律和運(yùn)用規(guī)律，在探索和運(yùn)用規(guī)律的過程中培養(yǎng)學(xué)生積極探索、大膽猜想、仔細(xì)驗(yàn)證、靈活運(yùn)用的能力。這樣不斷遞進(jìn)的猜想驗(yàn)證過程不僅讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決某一道題，更重要的是能讓學(xué)生找到解決一類題的方法與規(guī)律，尤其是感悟了類比歸納性研究方法，并且因此修正得到更為科學(xué)完善的結(jié)論：如果前一個(gè)數(shù)（分?jǐn)?shù)、整數(shù)或小數(shù)）依次是后一個(gè)數(shù)的2 倍，求這樣一組數(shù)的和，只要用第一個(gè)數(shù)的2 倍減去最后一個(gè)數(shù)即可。事實(shí)上，這樣豐實(shí)的猜想驗(yàn)證過程更符合數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)在的數(shù)理邏輯，不僅使“數(shù)”與“形”各展其長(zhǎng)，實(shí)現(xiàn)抽象邏輯思維與具體形象思維完美地統(tǒng)一，也更高層次地實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)思想方法建構(gòu)以及后續(xù)“整體性”“結(jié)構(gòu)性”地遷移運(yùn)用，讓學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)更加給力。

上述這樣的拓展設(shè)計(jì)，在體驗(yàn)和感悟中，通過適時(shí)地概括、揭示和提煉，使隱性的數(shù)形轉(zhuǎn)化思想顯性化，從而被學(xué)生所認(rèn)識(shí)、理解和掌握。通過運(yùn)用，進(jìn)一步加深對(duì)數(shù)形轉(zhuǎn)化思想方法的理解和感悟，將數(shù)學(xué)思想內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。