輸運(yùn)理論中原子核初始化研究

周琦雅　郭文軍

摘要：基于同位旋相關(guān)的量子分子動(dòng)力學(xué)（IQMD）輸運(yùn)理論模型，研究中能重離子碰撞的初始化問(wèn)題。成功的初始化可以很好地減少碰撞過(guò)程中出現(xiàn)的非物理漲落和虛粒子發(fā)射，有利于兩體碰撞過(guò)程順利進(jìn)行。計(jì)算發(fā)現(xiàn)，不同的對(duì)稱勢(shì)對(duì)原子核的穩(wěn)定性有一定的影響。選取不同質(zhì)量數(shù)的Fe，Kr，Sn 元素及其同位素，通過(guò)其在自身平均場(chǎng)中隨時(shí)間的演化來(lái)驗(yàn)證原子核的穩(wěn)定性，統(tǒng)計(jì)出初始化穩(wěn)定原子核的數(shù)量，選取出最為穩(wěn)定的對(duì)稱勢(shì)。發(fā)現(xiàn)平方項(xiàng)的對(duì)稱勢(shì) U2 最為穩(wěn)定，其對(duì)應(yīng)的斜率 L、不可壓縮系數(shù)Ksym都在已知的約束范圍內(nèi)，表現(xiàn)出同位旋相關(guān)平均場(chǎng)取硬勢(shì)時(shí)，原子核更為穩(wěn)定的特征。

關(guān)鍵詞：原子核初始化；IQMD 模型；對(duì)稱勢(shì)

中圖分類號(hào)：O 571.6??????????? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Nuclear initialization in transport theory

ZHOU Qiya， GUO Wenjun

（College of Science， University of Shanghaifor Science and Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract： Based? on? the? isospin? quantum? molecular? dynamics? （IQMD）? transport? theory? model，? theinitialization of intermediate energy heavy ion collisions was studied. The non-physical fluctuation andthe? emission? of? virtual? particles? in? the? collision? process? can? be? reduced? by? successful? initialization，which is conducive to the stability of the next two-body collision. Different symmetry potentials havecertain influence on the stability of nuclei. Fe， Kr， Sn and their isotopes with different mass numberswere selected， and the stability of nuclei was verified by the evolution with time in their own mean field.The? number? of? stable? nuclei? was? initialized? statistically，? and? the? most? stable? symmetry? potential? wasselected. The study shows that the symmetry potential U2 of the square term is the most stable， and itscorresponding slope L and incompressible coefficient Ksym are all within the known constraint range.When the isospin dependent mean field takes the hard potential， the nucleus is more stable.

Keywords： nuclear initialization; isospin quantum molecular dynamics （IQMD） model; symmetrypotential

對(duì)稱能是指純中子物質(zhì)與對(duì)稱物質(zhì)的平均單核子能量之差，可以導(dǎo)致質(zhì)子與中子的不同能量狀態(tài)。它描述了原子核系統(tǒng)中，中質(zhì)比變化時(shí)結(jié)合能的變化[1-2]。對(duì)稱勢(shì)與對(duì)稱能通過(guò)能量密度泛函聯(lián)系在一起，有一定的依賴關(guān)系。同位旋相關(guān)的量子分子動(dòng)力學(xué)（ isospinquantummolecular dynamics ， IQMD）模型初始化中，選用不同的對(duì)稱勢(shì)，對(duì)稱能也在變化，初始化出來(lái)的核子會(huì)產(chǎn)生差異。因而研究對(duì)稱能和對(duì)稱勢(shì)對(duì)輸運(yùn)理論有重要作用。密度依賴的對(duì)稱能對(duì)致密星有一定的影響，對(duì)斜率 L 和不可壓縮系數(shù)Ksym敏感[3-4]。研究對(duì)稱能的 L 和Ksym是十分必要的。 Li 等[5]用核狀態(tài)方程研究了核對(duì)稱能的Ksym?L （曲率?斜率），對(duì)此有利于理解中子星的性質(zhì)，例如殼核躍遷、半徑。Ksym?L 相關(guān)的天體物理性質(zhì)有助于約束難以確定的核對(duì)稱能量的高密度行為。中子星的半徑由同位旋非對(duì)稱物質(zhì)的壓力決定，壓力受對(duì)稱能斜率 L 的影響[6]。此外，對(duì)稱能的斜率 L 還提供了密度依賴的對(duì)稱能的很多重要信息[7]。

重離子在中高能的碰撞過(guò)程中可以提取出很多核性質(zhì)，其過(guò)程一般通過(guò)彈核轟擊靶核，對(duì)轟擊后的產(chǎn)物、碎片進(jìn)行分析得出結(jié)果。因而需要首先考慮初始核的穩(wěn)定性，即原子核的初始化。有研究表明，在預(yù)測(cè)反應(yīng)路徑和相應(yīng)可見(jiàn)物（如集體流）中觀測(cè)到的差異，很大一部分是由于系統(tǒng)初始化和碰撞積分處理（主要是泡利阻塞效應(yīng)）方面的差異造成的。在對(duì)同位旋敏感的重離子碰撞（ HICs ）的輸運(yùn)模型計(jì)算觀測(cè)中，原子核的初始化也起著重要作用。例如，初始化時(shí)考慮中子皮會(huì)影響外圍 HICs 中π?/π+比值的預(yù)測(cè)。對(duì)稱勢(shì)在原子核勢(shì)能中是很重要的一項(xiàng)，修正對(duì)稱勢(shì)有利于初始化更多的原子核數(shù)量[8-10]。研究中能重離子碰撞過(guò)程，通常是建立輸運(yùn)模型?，F(xiàn)如今，發(fā)展了很多輸運(yùn)模型，主流的有 Boltzmann-Uehling- Uhlenbeck（ BUU ）模型、量子分子動(dòng)力學(xué)（QMD）模型及其擴(kuò)展量子分子動(dòng)力學(xué)（ EQMD）模型、同位旋相關(guān)的量子分子動(dòng)力學(xué)（IQMD）模型、反對(duì)稱分子動(dòng)力學(xué)（ AMD ）模型、費(fèi)米分子動(dòng)力學(xué)（ FMD ）模型。 BUU 模型將核子看作點(diǎn)粒子， Gao 等基于 BUU 模型研究了在一定條件下帶電介子比比自由中質(zhì)比對(duì)稱能的敏感度大，根據(jù)研究同位旋敏感可觀測(cè)物的模型依賴關(guān)系，通過(guò)實(shí)驗(yàn)和理論模擬的比較確定核對(duì)稱能的密度依賴性[11-12]。QMD 模型描述了反應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)，提供了彈靶的碰撞和碎片的有關(guān)信息，根據(jù)哈密頓正則方程加上兩體碰撞項(xiàng)計(jì)算系統(tǒng)的時(shí)間演化，能極好地描述碰撞系統(tǒng)從中等能量到相對(duì)論能量的時(shí)間演化過(guò)程。它包含平均場(chǎng)和兩體碰撞。此外， QMD 模型追蹤了每個(gè)核子的運(yùn)動(dòng)，在處理碎片的形成上很成熟。 QMD 模型將粒子看成高斯波包，用波包代表波函數(shù)，相較于經(jīng)典的模型加入了量子概念，而中能核物理中量子效應(yīng)十分普遍，并且該模型適用于很寬的能量范圍，量級(jí)從 MeV 到 GeV 。EQMD 模型改進(jìn)了 Pauli 勢(shì)與波包寬度，在核子?核子碰撞過(guò)程中能夠增強(qiáng)動(dòng)態(tài)α的發(fā)射過(guò)程[13]。IQMD 模型是一個(gè)同位旋依賴的 QMD 模型，將質(zhì)子、中子區(qū)分開(kāi)，初始化中質(zhì)子、中子分別具有獨(dú)立的坐標(biāo)。碰撞中，分別采用不同的核子?核子碰撞截面， Pauli 阻塞中考慮同位旋效應(yīng)，勢(shì)能中除了考慮庫(kù)侖勢(shì)還考慮了對(duì)稱勢(shì)。該模型適用于多體理論中能重離子碰撞的動(dòng)力學(xué)行為，在描述中能重離子碰撞方面和核物質(zhì)性質(zhì)方面很成功[14-18]。郭文劈裂對(duì)原子核阻止有很明顯的影響，鏡像核發(fā)射率是較好的同位旋相關(guān)平均場(chǎng)的靈敏探針。 AMD 適合描述基態(tài)性質(zhì)和反應(yīng)過(guò)程[21-22]，F(xiàn)MD 是全波函數(shù)的反對(duì)稱性框架[23-24]，它們都應(yīng)用于模擬低能核反應(yīng)。本文基于 IQMD 模型，探尋初始化與對(duì)稱勢(shì)及其 L，Ksym之間的內(nèi)在關(guān)系。

1模型

描述重離子碰撞的 QMD 模型主要包含3個(gè)因素：密度相關(guān)的平均場(chǎng)、介質(zhì)中核子?核子碰撞截面、Pauli 阻塞。基于 QMD 模型成功的多體理論，結(jié)合包含同位旋的平均場(chǎng)，并加入對(duì)稱勢(shì)和庫(kù)侖勢(shì)，本文采用了 IQMD 模型。 IQMD 模型程序包含3個(gè)部分：原子核的初始化、彈靶碰撞、 Pauli 阻塞效應(yīng)。第一步為初始化，即對(duì) N 個(gè)核子的6N 個(gè)空間和動(dòng)量坐標(biāo)賦值，根據(jù)以上信息可以得到基態(tài)原子核的其他物理性質(zhì)。中高能重離子碰撞時(shí)間持續(xù)較長(zhǎng)，所模擬的原子核系統(tǒng)可能“蒸發(fā)”掉，需要初始化得到的原子核穩(wěn)定性好。大多數(shù)核反應(yīng)在200 fm/c 時(shí)間內(nèi)就已經(jīng)結(jié)束，通常檢驗(yàn)穩(wěn)定性的方法是讓其演化300 fm/c 左右，本文初始化采用的原子核穩(wěn)定時(shí)間為500 fm/s。研究核結(jié)構(gòu)需要考慮核密度，核密度與均方根半徑、結(jié)合能有關(guān)。初始化500 fm/c 后，在每個(gè)步長(zhǎng)內(nèi)計(jì)算系統(tǒng)的均方根半徑。將平均結(jié)合能以及均方根半徑與結(jié)構(gòu)模型和2020原子核結(jié)合能數(shù)據(jù)值比較，差異如果在正常范圍內(nèi)就認(rèn)為這個(gè)核在演化中沒(méi)有蒸發(fā)。本文基于2020年發(fā)布的核數(shù)據(jù)[25]（見(jiàn)表1），通過(guò)代入不同的對(duì)稱勢(shì)，挑選初始化穩(wěn)定的原子核，得到能量最小態(tài)，減少虛粒子發(fā)射，避免原子核還未碰撞就已坍塌破裂，使其后續(xù)碰撞結(jié)果更加穩(wěn)定。

核子的總有效勢(shì)為[26]

式中： USky為Skyrme勢(shì)；UYuk為表面項(xiàng)（ Yukawa 勢(shì)）；UCoul為庫(kù)侖勢(shì)； UMDI為動(dòng)量相關(guān)項(xiàng)；UPauli為 Pauli 勢(shì)；USym為對(duì)稱勢(shì)。

F（u）用來(lái)描述對(duì)稱勢(shì)的大小和變化。其中， F1（u）= u ， F2（u）= u2， F3（u）= u1/2，3種對(duì)稱勢(shì)表達(dá)形式分別為

式中： c =32 MeV ，為對(duì)稱勢(shì)強(qiáng)度系數(shù)；τz =1分別表示中子和質(zhì)子； u =ρ/ρ0是原子核約化密度，其中ρ00.16 fm一3是原子核飽和密度；6是相對(duì)中子過(guò)剩。

式中：ρ，ρn，ρp 分別為核密度、中子密度、質(zhì)子密度。對(duì)稱勢(shì)參數(shù) L 代表密度依賴曲線在飽和密度處的斜率，它與平均動(dòng)能、單核子勢(shì)、密度、對(duì)稱勢(shì)有關(guān)，是對(duì)稱勢(shì)密度依賴中的重要信息。Ksym表示曲率，又叫壓縮模量或者不可壓縮系數(shù)，它與系統(tǒng)密度關(guān)系密切，是劃分軟勢(shì)硬勢(shì)的標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)據(jù)大的稱為硬勢(shì)，反之為軟勢(shì)。值得區(qū)別的是：Ksym為對(duì)稱勢(shì)的曲率； K 為所有勢(shì)能的曲率。 L ，Ksym的計(jì)算式如下：

對(duì)稱勢(shì) U1， U2， U3在密度分布下斜率 L 和曲率Ksym是存在差異的，見(jiàn)表2。

圖1為3種對(duì)稱勢(shì)的對(duì)稱能（縱坐標(biāo)為對(duì)稱能 S，表示純中子物質(zhì)與對(duì)稱物質(zhì)的影響之差）隨密度（橫坐標(biāo)）的變化關(guān)系，大量實(shí)驗(yàn)和計(jì)算所證明3根線交點(diǎn)的地方處為飽和密度，對(duì)稱勢(shì)為32 MeV。由圖1可見(jiàn)，這些數(shù)值都在基于多體理論的預(yù)測(cè)范圍之內(nèi)。使用不同相互作用的非相對(duì)論和相對(duì)論多體方法的預(yù)測(cè)， L 和Ksym有不同的取值[27]。

2結(jié)果分析與討論

較低能量的原子核碰撞，需要較多的時(shí)間，初始原子核需要在這樣的時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定，這樣可以用來(lái)研究能量較低的原子核熔合反應(yīng)?；谏鲜?種不同的對(duì)稱勢(shì)，從輕到重初始化了3種元素 Fe ，Kr ， Sn 的同位素，利用 IQMD 模型，令每個(gè)核子在自身平均場(chǎng)中隨時(shí)間自由演化，通過(guò)比較各個(gè)時(shí)間的原子核結(jié)合能和方均根半徑與實(shí)驗(yàn)的差值，來(lái)檢驗(yàn)原子核的穩(wěn)定性，統(tǒng)計(jì)出初始化穩(wěn)定原子核的數(shù)量。

圖2給出了52-60Fe ，76-88Kr ，108-132 Sn 的核素，在 IQMD 模型給出的結(jié)合能值與2020年數(shù)據(jù)給出的結(jié)合能值均方差在5%的范圍內(nèi)，分別用3種對(duì)稱勢(shì)計(jì)算了10000次。 N 為統(tǒng)計(jì)的原子核個(gè)數(shù)。可以看出， U2勢(shì)得到的穩(wěn)定的原子核數(shù)量最多，勢(shì)函數(shù)的曲線更陡峭。 U2的 L 和Ksym值最大，體現(xiàn)了硬勢(shì)的特點(diǎn)。L 與密度依賴相關(guān)，Ksym是劃分硬勢(shì)和軟勢(shì)的標(biāo)準(zhǔn)，此值越大，結(jié)合越強(qiáng)，表面耗散越小，所以得到了更多穩(wěn)定的原子核。反之， U3的最少。圖2均為上升趨勢(shì)，不同元素、同一元素不同的同位素，原子核越重，結(jié)果越明顯。 Sn 同位素能夠初始化出來(lái)的核子最多，是因?yàn)檩p核的密度較小，結(jié)合程度較小，容易碎裂；而重核的密度趨于恒定，相互作用力相對(duì)較大，不易斷裂。

圖3、圖4、圖5分別是60Fe ，88Kr ，124 Sn 初始∑（Ecal一Eexp）2化穩(wěn)定原子核個(gè)數(shù)隨結(jié)合能均方差 A（2）VE 的演化和 N隨方均根半徑均方差 rms（2）的演化。方差2=表示穩(wěn)定程度，其值越小越符合計(jì)算的原子核的真實(shí)狀態(tài)?？梢钥闯?3 種對(duì)稱勢(shì)在60Fe ，88Kr ，124 Sn 之間的差別由 Fe 到 Sn 逐漸增大。由上述結(jié)合能及方均根半徑的對(duì)比可知， IQMD 模型采用 U2勢(shì)，能夠?qū)Ψ€(wěn)定核基態(tài)的大部分性質(zhì)給出相當(dāng)滿意的描述。

3種對(duì)稱勢(shì)下，對(duì) Sn 同位素鏈選取了最低的10個(gè)均方差取平均值，結(jié)果如圖6所示。可以看出，無(wú)論是對(duì)于結(jié)合能還是方均根半徑， U3的均方差平均值都是最大。均方差越大，表示變化量越大，偏差越大，越不穩(wěn)定。 U2的最小，因而最穩(wěn)定。圖6清晰再現(xiàn)了上述圖2、圖3、圖4、圖5的結(jié)果。

從輕到重的不同元素結(jié)果都取得很好的一致性， IQMD 模型采用對(duì)稱勢(shì) U2更穩(wěn)定。 U2對(duì)稱勢(shì)對(duì)應(yīng)的斜率 L、不可壓縮系數(shù)Ksym最大是硬勢(shì)，顯示出更高的剛性，硬度大。此外，原子核的平均密度大約是2/3倍的飽和核密度， U2對(duì)稱勢(shì)在這個(gè)密度下的對(duì)稱勢(shì)最小，導(dǎo)致核子不易被排斥出。反之， U3是軟勢(shì)，軟勢(shì)核更容易形變，不穩(wěn)定，易碎裂。

3結(jié)論

使用3種軟硬程度不同的對(duì)稱勢(shì)，選取 Fe，Kr ， Sn 元素計(jì)算穩(wěn)定的原子核數(shù)量。研究結(jié)果表明， U2勢(shì)在輕重核元素初始化時(shí)核最穩(wěn)定，并且對(duì)應(yīng)的斜率 L、不可壓縮系數(shù)Ksym都在已知的約束范圍內(nèi)，表現(xiàn)出同位旋相關(guān)平均場(chǎng)的硬勢(shì)，原子核更為穩(wěn)定，說(shuō)明選用的平方對(duì)稱勢(shì)的合理性。成功的初始化可以很好地減少碰撞過(guò)程中出現(xiàn)的非物理的漲落和虛粒子的發(fā)射，使后續(xù)兩體碰撞更穩(wěn)定。

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（編輯：董偉）