基于邏輯蘊(yùn)涵算子的汽輪機(jī)故障診斷研究

夏 陽, 于 鵬

(陜西科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710021)

汽輪機(jī)是電力生產(chǎn)的主要設(shè)備,由于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和運(yùn)行環(huán)境的特殊性,汽輪機(jī)的故障率較高,造成的損失較大,所以對(duì)汽輪機(jī)的故障診斷和監(jiān)測(cè)一直是國(guó)內(nèi)外發(fā)展機(jī)械故障診斷技術(shù)的重點(diǎn)。

汽輪機(jī)故障診斷的常用方法有模糊診斷、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)診斷、專家系統(tǒng)診斷等。上述方法的優(yōu)點(diǎn)比較突出,但也有一定缺陷。例如基于模糊集的模糊故障診斷方法,雖然有效地解決了故障類型與故障參數(shù)之間關(guān)系的不確定性問題,但單一的隸屬度表示只能表達(dá)單一信息,不能同時(shí)表達(dá)肯定、否定和不確定信息,從而造成信息丟失,診斷效率降低[1]?；谏窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)的故障診斷方法,雖然能夠通過數(shù)據(jù)積累,實(shí)現(xiàn)對(duì)模型的不斷修正、自我進(jìn)化,但存在小樣本環(huán)境下故障識(shí)別精度不高的問題[1,2]?；趯＜蚁到y(tǒng)的故障診斷方法在實(shí)際應(yīng)用過程中,由于多故障并存致使單一故障診斷方法很難實(shí)現(xiàn)精確診斷,導(dǎo)致診斷效率降低[1,3]。

為克服以上方法的不足,近年來一些新的方法被相繼提出,并得到了廣泛應(yīng)用。例如張棟良等[4]提出了基于變分模態(tài)分解和改進(jìn)的模糊支持向量機(jī)相結(jié)合的故障診斷模型。宋棟[5]采用單值中智集方法,有效表達(dá)了汽輪機(jī)故障診斷中的各種不確定性信息,克服了模糊集在處理故障診斷中的不足。而YE[6]則在中智集環(huán)境下給出了余切相似性度量方法,并證明該方法在汽輪機(jī)的故障診斷中優(yōu)于余弦相似度量方法。

與此同時(shí),距離度量作為一種有效的故障診斷方法,其基本思路是度量未知樣本與已知樣本的距離,與已知樣本距離越小,故障類型也就越清晰。因此,尋找一種合適的距離是利用距離進(jìn)行故障診斷的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)[7]。但需要指出的是,現(xiàn)有汽輪機(jī)故障診斷方法中,基于余弦相似度量、余切相似度量、歐式距離等方法,從邏輯推理的角度講,缺乏一定的邏輯基礎(chǔ)。Hamming距離作為一種常見的距離定義方式,其對(duì)應(yīng)的是ukasiewicz模糊邏輯系統(tǒng)中公式間的偽距離[8]。Hamming距離在ukasiewicz邏輯系統(tǒng)中可以進(jìn)行有效解釋,但其它的一些距離卻缺乏這種解釋。因此,從邏輯推理的角度去定義模糊集以及廣義模糊集間的距離模式,以此來解釋相關(guān)距離就顯得很有意義。本文就是從邏輯推理的可解釋性著手,通過聚合邏輯蘊(yùn)涵算子的方式,在單值中智集間引入了一種新的距離模式,使得故障診斷在邏輯推理中有了一定的可解釋性,解決了現(xiàn)有方法邏輯基礎(chǔ)不強(qiáng)的問題。

1 基礎(chǔ)理論

本節(jié)介紹本文將要用到的一些基本知識(shí),包括單值中智集、三角模、模糊蘊(yùn)涵算子、聚合算子等概念。

單值中智集是在模糊集與直覺模糊集的基礎(chǔ)上,通過增加元素對(duì)集合的不確定程度的信息表示而引入的一種廣義模糊集。目前,單值中智集已被廣泛用于多屬性決策、故障診斷等領(lǐng)域[9,10]。其定義如下:

定義1.1[11]設(shè)X是一個(gè)對(duì)象(點(diǎn))集,x∈X,X上的一個(gè)單值中智集A可用真隸屬函數(shù)TA(x)、不確定隸屬函數(shù)IA(x)和假隸屬函數(shù)FA(x)表示:

A={〈x,TA(x),IA(x),FA(x)〉|x∈X}

其中,TA(x):X→[0,1],IA(x):X→[0,1],FA(x):X→[0,1],對(duì)于?x∈X,滿足0≤TA(x)+IA(x)+FA(x)≤3。

下文中,論域X上的單值中智集組成的集合簡(jiǎn)記為SVNS。

定義1.2[11]對(duì)于兩個(gè)單值中智集A={〈x,TA(x),IA(x),FA(x)〉|x∈X}和B={〈x,TB(x),IB(x),FB(x)〉|x∈X},有以下關(guān)系:

1) 包含:A?B當(dāng)且僅當(dāng)x∈X,TA(x)≤TB(x),IA(x)≤IB(x),FA(x)≤FB(x);

2) 相等:A=B當(dāng)且僅當(dāng)A?B且B?A;

3) 補(bǔ)集:AC={〈x,FA(x),1-IA(x),TA(x)〉|x∈X};

4) 并集:A∪B={〈x,TA(x)∨TB(x),IA(x)∧IB(x),FA(x)∧FB(x)〉|x∈X};

5) 交集:A∩B={〈x,TA(x)∧TB(x),IA(x)∨IB(x),FA(x)∨FB(x)〉|x∈X}。

定義1.3[12]設(shè)映射d:SVNS×SVNS→[0,1]滿足條件(DP1～ DP4):

DP1:0≤d(A,B)≤1;

DP2:d(A,B)=0當(dāng)且僅當(dāng)A=B;

DP3:d(A,B)=d(B,A);

DP4:若A?B?C,則d(A,C)≥d(A,B)且d(A,C)≥d(B,C)。

則稱d(A,B)為兩個(gè)單值中智集A和B的距離測(cè)度。

三角模是一類重要的二元聚合函數(shù),它來源于概率度量空間。后來作為多值與模糊邏輯系統(tǒng)的語義解釋基礎(chǔ)而備受關(guān)注[13]。從邏輯聯(lián)結(jié)詞角度講,連續(xù)三角?？梢钥闯墒荁L邏輯系統(tǒng)中合取聯(lián)結(jié)詞的解釋,左連續(xù)三角?？梢钥闯墒荕TL邏輯系統(tǒng)中合取聯(lián)結(jié)詞的解釋。

定義1.4[14]函數(shù)T:[0,1]2→[0,1]稱為三角模(用?表示),若對(duì)任意a,b,c∈[0,1],?滿足:

1)a?b=b?a;

(交換性)

2)a?(b?c)=(a?b)?c;

(結(jié)合性)

3) 當(dāng)b≤c時(shí),有a?b≤a?c;

(單調(diào)性)

4)a?1=a。

(邊界性)

例1.5[14]四種常見的三角模:

2) 取小三角模:a?Gb=a∧b;

3) 乘積三角模:a?πb=ab;

4) 冪零取小三角模:

模糊蘊(yùn)涵從模糊邏輯角度講是經(jīng)典蘊(yùn)涵算子的拓展,它是不同模糊邏輯系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別之一,也是設(shè)計(jì)模糊推理算法的核心[14]。

定義1.6[14]二元函數(shù)I:[0,1]2→[0,1]稱為模糊蘊(yùn)涵。若I滿足以下條件(I1～ I5):

I1:I是第一變?cè)獑握{(diào)遞減的,即如果a1≤a2,則I(a1,b)≥I(a2,b);

I2:I是第二變?cè)獑握{(diào)遞增的,即如果b1≤b2,則I(a,b1)≤I(a,b2);

I3:I(0,0)=1;

I4:I(1,1)=1;

I5:I(1,0)=0。

例1.7[15]四種常見的模糊蘊(yùn)涵:

注1:

2) 上述模糊蘊(yùn)涵算子均可由相應(yīng)邏輯系統(tǒng)中的合取算子?通過I(x,y)=sup{t|x?t≤y}的形式誘導(dǎo)而出。在模糊蘊(yùn)涵的生成類中,上述蘊(yùn)涵稱為R-蘊(yùn)涵。

定義1.8[16]若蘊(yùn)涵算子→與三角模?具有關(guān)系:x?y≤z當(dāng)且僅當(dāng)x≤y→z,則稱(?,→)構(gòu)成伴隨對(duì)。

在模糊邏輯系統(tǒng)中,當(dāng)?與→構(gòu)成伴隨對(duì),且→滿足關(guān)系(a→b)∧(b→a)+(b→c)∧(c→b)≤1+(a→c)∧(c→a)時(shí),以?為合取聯(lián)結(jié)詞、→為蘊(yùn)涵聯(lián)結(jié)詞的邏輯系統(tǒng),可以通過引入命題公式的真度,對(duì)命題的可靠性進(jìn)行量化。進(jìn)一步,可以通過引入命題間的相似度與偽距離的方式構(gòu)建邏輯度量空間[17-18],以此來研究邏輯系統(tǒng)的性質(zhì)。此時(shí),由公式偽距離誘導(dǎo)的[0,1]區(qū)間上的距離就有了邏輯可解釋性,這也是本文所用方法的基礎(chǔ)。下文出現(xiàn)的蘊(yùn)涵算子,如無特殊聲明,均為滿足上述條件的邏輯蘊(yùn)涵算子。

定義1.9[16]設(shè)(?,→)是[0,1]上的伴隨對(duì),其中?是三角模,→是蘊(yùn)涵。則

d(a,b)=1-(a→b)∧(b→a)

(1)

是[0,1]上的距離測(cè)度。

定義1.10[19]設(shè)映射f:[0,1]n→[0,1](n>1)滿足條件(P1、P2):

P1:f在(0,0,…,0)和(1,1,…,1)上冪等,即f(0,0,…,0)=0且f(1,1,…,1)=1;

P2:f的每個(gè)分量單調(diào)遞增,即xi≤yi(i∈1,2,…,n)時(shí),f(x1,x2,…,xn)≤f(y1,y2,…,yn)。

則稱f為n-元聚合函數(shù)。

例1.11[19]幾種常見的聚合函數(shù):

3) 取小聚合函數(shù):min(x)=min{x1,…,xn};

4) 取大聚合函數(shù):max(x)=max{x1,…,xn}。

定義1.12[19]如果對(duì)于任意i∈1,2,…,n,存在某些X∈(0,1]n使得X的第i個(gè)元素是xi=a,且f(X)=0成立,則稱元素a∈(0,1]是零因子。即對(duì)于某些X>0,且a在任意位置上,等式f(x1,…,xi-1,a,xi+1,…,xn)=0成立。

2 基于邏輯蘊(yùn)涵算子的單值中智集間的距離

正如引言所述,單純從距離的角度講,現(xiàn)有距離都是有意義且有效的距離,但從邏輯推理角度講,部分距離度量缺乏邏輯可解釋性。本節(jié)將從邏輯推理的角度去定義單值中智集間的距離。

命題2.1 設(shè)A和B是兩個(gè)單值中智集,f是一個(gè)n-元聚合函數(shù),定義A和B之間的距離為:

df(A,B)=f(d1(TA(x),TB(x)),d2(IA(x),IB(x)),d3(FA(x),FB(x)))

(2)

其中,dn(n=1,2,3)是由→L、→G、→π、→0誘導(dǎo)的距離測(cè)度。

證明：以下說明式(2)滿足條件DP1～DP4。

DP1:因?yàn)閒:[0,1]2→[0,1],顯然有0≤df(A,B)≤1。

DP2:如果A=B,則TA(x)=TB(x),IA(x)=IB(x),FA(x)=FB(x),所以df(A,B)=f(0,0,0)=0。

如果df(A,B)=0,則由df無零因子可知d1(TA(x),TB(x))、d2(IA(x),IB(x))、d3(FA(x),FB(x))中至少有一個(gè)為0,進(jìn)一步由A和B的任意性可知A=B。

DP3:?A,B∈SVNS,

DP4:

如果A?B?C,有:

TA(x)≤TB(x)≤TC(x);

IA(x)≥IB(x)≥IC(x);

FA(x)≥FB(x)≥FC(x)。

所以

d1(TA(x),TB(x))≤d1(TA(x),TC(x));

d2(IA(x),IB(x))≤d2(IA(x),IC(x));

d3(FA(x),FB(x))≤d3(FA(x),FC(x))。

因?yàn)閒單調(diào)遞增,所以df(A,B)≤df(A,C)。

同理得df(B,C)≤df(A,C)。

綜上所述,df(A,B)是單值中智集A和B之間的距離。

由文獻(xiàn)[20]～[21]可知,s(A,B)=1-df(A,B)是單值中智集A和B之間的相似度量。

3 基于邏輯蘊(yùn)涵算子的單值中智集間的距離在汽輪機(jī)故障診斷中的應(yīng)用

在汽輪機(jī)的故障診斷問題中,汽輪機(jī)發(fā)電機(jī)組的振動(dòng)受多種因素的影響,比如機(jī)組的機(jī)械結(jié)構(gòu)、機(jī)組的負(fù)荷、真空度、缸體和轉(zhuǎn)子的熱膨脹、網(wǎng)絡(luò)負(fù)荷波動(dòng)、溫度、流體、地面等,而且相互作用均表現(xiàn)為機(jī)組的振動(dòng)。

3.1 故障類型及測(cè)試樣本

常見的汽輪機(jī)故障模式有[6]:A={A1(不平衡),A2(氣動(dòng)力偶),A3(不對(duì)中),A4(油膜渦動(dòng)),A5(轉(zhuǎn)子徑向碰摩),A6(共生松動(dòng)故障),A7(推力軸承損壞),A8(喘振),A9(軸承座松動(dòng))和A10(不等軸承剛度)}。

汽輪機(jī)在不同頻率下的故障模式均可由一個(gè)單值中智集加以表示,例如在頻率范圍(0.01～0.39f)下,不平衡模式A1可表示為<0,0,1>,意思是肯定是不平衡模式的程度是0,否定是不平衡模式的程度是1,不確定的程度是0。一般而言,同一故障模式在不同頻率范圍內(nèi)有不同的表示。表1給出了不同故障模式在九個(gè)頻率范圍(C1～C9)內(nèi)的表示。

表1 系統(tǒng)故障知識(shí)樣本Tab.1 System fault knowledge samples

以下為兩個(gè)真實(shí)待測(cè)樣本[22],分別以單值中智集的形式表示:

B1={<0,0,1>,<0,0,1>,<0.1,0,0.9>,<0.9,0,0.1>,<0,0,1>,<0,0,1>,<0,0,1>,<0,0,1>,<0,0,1>};

B2={<0.39,0,0.61>,<0.07,0,0.93>,

<0,0,1>,<0.06,0,0.94>,<0,0,1>,<0.13,0,0.87>,<0,0,1>,<0,0,1>,<0.35,0,0.65>}。

針對(duì)以上兩個(gè)待測(cè)樣本展開故障診斷。

3.2 對(duì)不同待測(cè)樣本的診斷

診斷步驟:

1) 選取蘊(yùn)涵算子→∈{→L,→G,→π,→0};

2) 根據(jù)式(1)分別計(jì)算d1(TAi(Cj),TBs)、d2(IAi(Cj),IBs)、d3(FAi(Cj),FBs)(i=1,2,…,10;j=1,2,…,9;s=1,2);

3) 選取不同的聚合算子計(jì)算df(Ai,Bs);

4) 故障類型排序。

例3.1 以計(jì)算df(Ai,B1)為例(其余實(shí)驗(yàn)計(jì)算過程類似)。

1) 蘊(yùn)涵算子的選取:TA與TB之間的蘊(yùn)涵取→L,IA與IB之間的蘊(yùn)涵取→0,FA與FB之間的蘊(yùn)涵取→G。

2) 根據(jù)式(1)計(jì)算出d1(TA1(Cj),TB1)(j=1,2,…,9)分別為:0、0、0.10、0.90、0.85、0.40、0.40、0、0。

計(jì)算d1(IA1(Cj),IB1)(j=1,2,…,9)分別為:0、0、0、0、0.15、0.02、0.03、0、0。

計(jì)算d1(FA1(Cj),FB1)(j=1,2,…,9)分別為:0、0、0.10、0.90、1.00、0.06、0.07、0、0。

=0.2144;

=0.0222;

=0.2367。

再算出

=0.1578。

同理依次計(jì)算出

df(A2,B1)=0.090 4;df(A3,B1)=0.172 6;df(A4,B1)=0.141 1;df(A5,B1)=0.140 7;df(A6,B1)=0.157 0;df(A7,B1)=0.045 2;df(A8,B1)=0.080 0;df(A9,B1)=0.151 9;df(A10,B1)=0.152 6。

根據(jù)df(Ai,B1)的大小值排序:

df(A7,B1)≤df(A8,B1)≤df(A2,B1)≤df(A5,B1)≤df(A4,B1)≤df(A9,B1)≤df(A10,B1)≤df(A6,B1)≤df(A1,B1)≤df(A3,B1)。

4) 未知樣本與已知故障模式距離越近,則未知樣本故障模式越清晰,由此可得樣本B1可能的故障模式排序?yàn)?A7→A8→A2→A5→A4→A9→A10→A6→A1→A3。

進(jìn)一步,對(duì)兩個(gè)待測(cè)樣本分別做5次實(shí)驗(yàn),可得如下診斷結(jié)果。

1) 待測(cè)樣本B1的診斷

根據(jù)診斷步驟計(jì)算Ai(i=1,2,…,10)和B1之間的距離,得到如下診斷結(jié)果(見表2)。

表2 待測(cè)樣本B1的診斷Tab.2 Diagnosis of sample B1 to be tested

根據(jù)表2的結(jié)果可知:待測(cè)樣本B1的振動(dòng)故障原因首先是推力軸承損壞A7,其次是喘振A8,然后是氣動(dòng)力偶A2,依此類推。

2) 待測(cè)樣本B2的診斷

根據(jù)診斷步驟計(jì)算Ai(i=1,2,…,10)和B2之間的距離,得到如下診斷結(jié)果(見表3)。

表3 待測(cè)樣本B2的診斷Tab.3 Diagnosis of sampleB2 to be tested

根據(jù)表3的結(jié)果可知:待測(cè)樣本B2的振動(dòng)故障原因首先是軸承座松動(dòng)A9,然后是轉(zhuǎn)子徑向碰摩A5和共生松動(dòng)故障A6,依此類推。

3.3 比較分析

為驗(yàn)證本文定義方法的正確性與可行性,進(jìn)行如下比較分析:首先介紹文獻(xiàn)[6]與文獻(xiàn)[23]提出的余弦相似度與余切相似度方法。

設(shè)A與B是論域U上的兩個(gè)單值中智集,定義A與B間的余弦相似度為:

(3)

定義A與B間的余切相似度為:

(4)

為與本文保持一致,可將上述相似性度量轉(zhuǎn)化為距離度量加以比較,即通過計(jì)算1-Cos(Ai,B1)與1-Cot(Ai,B1)進(jìn)行比較。

對(duì)待測(cè)樣本B1,利用式(3)計(jì)算1-Cos(Ai,B1)分別為:0.210 9、0.020 1、0.171 8、0.176 4、0.094 3、0.128 6、0.000 5、0.022 7、0.202 1、0.190 1。

因此,十種故障排序?yàn)?A7→A2→A8→A5→A6→A1→A4→A10→A9→A3。

利用式(4)計(jì)算1-Cot(Ai,B1)分別為:0.251 3、0.118 9、0.289 2、0.224 5、0.229 5、0.278 4、0.018 4、0.102 2、0.242 8、0.249 1。

因此,十種故障排序?yàn)?A7→A8→A2→A4→A9→A10→A5→A1→A6→A3。

由表2可知,利用本文方法做5次實(shí)驗(yàn),其故障排序依次為:

1)A7→A8→A2→A5→A4→A9→A10→A6→A1→A3;

2)A7→A8→A2→A4→A5→A9→A10→A6→A1→A3;

3)A7→A8→A2→A5→A4→A9→A10→A6→A1→A3;

4)A7→A8→A2→A4→A5→A9→A10→A6→A1→A3;

5)A7→A8→A2→A5→A4→A9→A10→A6→A1→A3。

本文方法與上述方法的比較分析結(jié)果見圖1。

對(duì)于待測(cè)樣本B1而言,運(yùn)用余切相似度方法進(jìn)行診斷,位居前三的故障原因依次為推力軸承損壞A7、喘振A8、氣動(dòng)力偶A2,最不可能的原因是不平衡A1、共生松動(dòng)A6、不對(duì)中A3。運(yùn)用本文方法進(jìn)行故障診斷,位居前三的故障原因依次為推力軸承損壞A7、喘振A8、氣動(dòng)力偶A2,最不可能的原因是共生松動(dòng)A6、不平衡A1、不對(duì)中A3。上述結(jié)果與文獻(xiàn)[6]及文獻(xiàn)[23]所提方法的診斷結(jié)果雖有差異,但基本保持一致,這說明本文所提方法是正確與可行的。不同的是,本文方法有了一定的邏輯背景,更具有說服力。

對(duì)待測(cè)樣本B2,利用式(3)計(jì)算1-Cos(Ai,B2)分別為:0.143 2、0.087 2、0.093 4、0.104 7、0.026 2、0.043 3、0.128 0、0.079 9、0.059 7、0.106 2。

因此,十種故障排序?yàn)?A5→A6→A9→A8→A2→A3→A4→A10→A7→A1。

利用式(4)計(jì)算1-Cot(Ai,B2)分別為:0.261 3、0.247 0、0.281 7、0.210 0、0.198 3、0.197 0、0.253 4、0.250 1、0.179 5、0.242 6。

因此,十種故障排序?yàn)?A9→A6→A5→A4→A10→A2→A8→A7→A1→A3。

由表3可知,利用本文方法做5次實(shí)驗(yàn),其故障排序依次為:

1)A9→A5→A6→A4→A2→A8→A10→A7→A1→A3;

2)A9→A5→A6→A4→A8→A10→A7→A2→A1→A3;

3)A9→A5→A6→A4→A8→A10→A2→A7→A1→A3;

4)A9→A5→A6→A4→A8→A10→A7→A2→A1→A3;

5)A9→A5→A6→A4→A8→A10→A2→A7→A1→A3。

本文方法與上述方法的比較分析結(jié)果見圖2。

圖2 對(duì)B2的診斷Fig.2 Diagnosis of B2

對(duì)于待測(cè)樣本B2而言,運(yùn)用余切相似度方法進(jìn)行診斷,位居前三的故障原因依次為軸承座松動(dòng)A9、共生松動(dòng)故障A6、轉(zhuǎn)子徑向碰摩A5,最不可能的原因是不對(duì)中A3、不平衡A1、推力軸承損壞A7。運(yùn)用本文方法進(jìn)行故障診斷,位居前三的故障原因依次為A9、A5、A6,最不可能的原因是A7、A1、A3。上述結(jié)果與文獻(xiàn)[6]及文獻(xiàn)[23]所提方法的診斷結(jié)果雖有差異,但基本一致,說明本文所提方法正確可行。

4 結(jié) 語

通過聚合邏輯蘊(yùn)涵算子的方式,在單值中智集間定義了一種新的距離模式,并應(yīng)用于汽輪機(jī)的振動(dòng)故障診斷中。針對(duì)汽輪機(jī)的兩種待測(cè)樣本B1和B2,利用新提出的距離算法分別進(jìn)行了5次實(shí)驗(yàn),將所得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與余弦距離度量、余切距離度量的故障診斷結(jié)果進(jìn)行了比較分析,驗(yàn)證了本文方法的有效性和合理性?；谶壿嬏N(yùn)涵算子的故障診斷方法不僅為單值中智集環(huán)境下汽輪機(jī)的故障診斷提供了一種新的途徑,而且擴(kuò)展了邏輯蘊(yùn)涵算子的應(yīng)用范圍。在后續(xù)工作中,有必要將基于邏輯蘊(yùn)涵算子的單值中智集間的距離算法擴(kuò)展到其他應(yīng)用,如決策、模式識(shí)別和醫(yī)學(xué)診斷等。