基于解析幾何的無人機(jī)編隊(duì)定位與調(diào)整策略

付天一, 丁根宏, 田王達(dá), 楊雅朝

(1.河海大學(xué) 能源與電氣學(xué)院, 江蘇 南京 211100; 2.河海大學(xué) 理學(xué)院, 江蘇 南京 211100)

有源雷達(dá)是領(lǐng)土防空的重要支撐,但是有源雷達(dá)面臨著電了干擾、反輻射武器攻擊、低空/超低空突防等一系列威脅。有源探測定位技術(shù)的觀測站需要不斷向外發(fā)出電磁信號,很容易被敵方發(fā)現(xiàn)并遭到針對性的打擊和干擾,即暴露出隱蔽性差、抗干擾和抗偵察能力差等問題[1-2]。無源定位技術(shù)采用被動的探測方式工作,各觀測站并不主動向外發(fā)射信號,而是接收來自輻射源的電磁信號并進(jìn)行處理和分析進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的定位和跟蹤。具有無需主動發(fā)射脈沖、可全時(shí)工作、不受發(fā)射機(jī)靜默周期限制、安全性高、性能更加穩(wěn)定可靠的優(yōu)勢[3-5],是現(xiàn)代一體化防空系統(tǒng)的重要組成部分,并正在成為定位技術(shù)的主流研究方向。

根據(jù)觀測站的數(shù)量不同,無源定位系統(tǒng)可以分為單站無源定位系統(tǒng)和多站無源定位系統(tǒng)。單站無源定位系統(tǒng)僅利用一個(gè)觀測站對被測目標(biāo)輻射源的狀態(tài)參數(shù)進(jìn)行估計(jì),不需要多個(gè)觀測站之間的信息通信及時(shí)鐘同步,雖然成本較低,機(jī)動性強(qiáng),但是為獲得較高的定位精度需要對輻射源進(jìn)行長時(shí)間多次測量,因此定位所需時(shí)間較長,且收斂速度較慢,難以及時(shí)獲取目標(biāo)的實(shí)時(shí)精確參數(shù)。而多站無源定位系統(tǒng)利用多個(gè)無源觀測站協(xié)同對目標(biāo)進(jìn)行定位,可以獲得更多的觀測信息量,以保證定位精度,其缺點(diǎn)在于各站之間時(shí)間同步與空間校準(zhǔn)難,通信帶寬受限和數(shù)據(jù)交互頻繁,系統(tǒng)復(fù)雜度比較高,一定程度上降低了其實(shí)用性和時(shí)效性[6-8];單站定位系統(tǒng)可有效規(guī)避時(shí)間同步、空間校準(zhǔn)等問題[9-13]。

無人機(jī)(unmanned aerial vehicle,UAV)具有行動靈活、機(jī)動性高、使用簡便、隱蔽性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),可以實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的偵查、定位跟蹤甚至精確打擊,成為現(xiàn)代戰(zhàn)場上不可或缺的重要力量。此外,由于無源探測設(shè)備簡單、重量輕,可以與載重量較小的UAV很好地適配,而UAV也在無源定位領(lǐng)域開始發(fā)揮越來越重要的作用[14-18]。在執(zhí)行任務(wù)的過程中,單一無人機(jī)存在成功率相對較低、容錯(cuò)率低以及在緊急情況下應(yīng)對能力較差的問題。無人機(jī)群具有高立體性和高信息性,可以將其作為無源定位的載體進(jìn)而發(fā)揮團(tuán)體協(xié)作優(yōu)勢,實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的實(shí)時(shí)監(jiān)控和定位。采用無人機(jī)群進(jìn)行無源定位的方式具有成本低、定位精度高、反應(yīng)時(shí)間短等優(yōu)勢。能夠有效解決采用雷達(dá)數(shù)字信號進(jìn)行無源定位時(shí)存在的時(shí)差以及通信尺度不唯一的問題。

純方位無源定位可作為無人機(jī)編隊(duì)飛行過程中有效減少向外發(fā)射電磁波信號的方案。在該方法中,部分無人機(jī)向外發(fā)射信號,其余無人機(jī)接收并實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的定位。然而現(xiàn)有的純方位量測模式下仍存在問題,如多UAV協(xié)同定位以及對跟蹤快速移動的目標(biāo)時(shí)誤差不能收斂到零。因此,對于如何提高針對快速移動目標(biāo)的定位精度和減小定位誤差有待研究[19-23]。

本文基于三角函數(shù)原理進(jìn)行了無源定位問題的推導(dǎo),建立了無人機(jī)編隊(duì)定位的幾何模型,并利用三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合解析法,討論了僅已知部分無人機(jī)編號的情況;之后基于幾何模型給出了無人機(jī)編隊(duì)初始略有偏差的調(diào)整策略;在編隊(duì)隊(duì)形發(fā)生改變的情況下,利用解析幾何構(gòu)建定位模型,實(shí)現(xiàn)新隊(duì)形下的精確定位。

1 問題描述

研究最常見的無人機(jī)圓形編隊(duì),一架無人機(jī)(編號為F0)位于圓心處,其余無人機(jī)(編號F1～FN)均勻分布在某圓周上,整個(gè)編隊(duì)的無人機(jī)在飛行時(shí)均保持在同一高度。

問題A:位于圓心的無人機(jī)F0和編隊(duì)中另2架無人機(jī)發(fā)射信號,其余位置略有偏差的無人機(jī)接收信號,當(dāng)發(fā)射信號的無人機(jī)位置無偏差且編號已知時(shí),如何確定接收信號的無人機(jī)的定位模型?

問題B:某位置略有偏差的無人機(jī)除了接收到F0和F1發(fā)射的信號,還另接收到編隊(duì)中編號未知的無人機(jī)發(fā)射的信號,若發(fā)射信號的無人機(jī)位置無偏差,除F0和F1外,如何確定能實(shí)現(xiàn)無人機(jī)有效定位的需要發(fā)射信號的無人機(jī)數(shù)量?

問題C:若圓形編隊(duì)的半徑為100 m,且初始時(shí)刻無人機(jī)的位置略有偏差。現(xiàn)要求選擇F0無人機(jī)和圓周上的最多3架無人機(jī)來發(fā)射信號,其余無人機(jī)接收信號并調(diào)整到理想位置,使所有無人機(jī)最終均勻分布在某個(gè)圓周上,如何設(shè)計(jì)出具體合理的無人機(jī)位置調(diào)整方案?本文符號含意見表1。

表1 符號說明Tab.1 Symbol description

2 研究方法

2.1 模型假設(shè)

被動接收信息的無人機(jī)的位置“略有偏差”是指:偏差沒有小到可以基本認(rèn)為在目標(biāo)位置,也沒有大到無法判斷其他各個(gè)無人機(jī)的相對位置。處于某一較小的合適范圍。不考慮無人機(jī)內(nèi)接收信息測量夾角的傳感器接收信息的噪聲以及測量角度的誤差。同時(shí),為闡述清晰,以中等規(guī)模的無人機(jī)編隊(duì)為例,選取無人機(jī)架數(shù)為10架。

2.2 模型建立

問題A的分析:在問題A中,初始為圓形編隊(duì),各自編號已知,且基準(zhǔn)隊(duì)形固定,圓心的F0無人機(jī)及圓周上發(fā)射信號的無人機(jī)位置不會有偏差,圓周上其余不發(fā)射電磁波的無人機(jī)位置略有偏差,且無人機(jī)僅能探測各個(gè)信號之間的夾角信息。由于圓心的無人機(jī)始終會發(fā)射信號,與其余圓周上的兩架無人機(jī)始終會構(gòu)成以半徑為腰的等腰三角形,各個(gè)三角形之間可以僅僅利用頂角大小區(qū)分。如上,可建立極坐標(biāo)系,依據(jù)發(fā)射信號的三架無人機(jī)構(gòu)成的等腰三角形頂角的大小來進(jìn)行分類討論。同時(shí),其余某一無人機(jī)與三點(diǎn)連線的夾角也為已知量。在極坐標(biāo)體系下,結(jié)合正弦定理等三角學(xué)定理列出方程組,可解出接收信號無人機(jī)的極坐標(biāo),即可實(shí)現(xiàn)依據(jù)接收信號的無源定位。針對接收信號的無人機(jī)所處的區(qū)域不同,直線OA、OB、AB將整個(gè)平面分為若干個(gè)區(qū)域(見圖1)。對于∠OAB和∠OBA的對角的內(nèi)部這兩個(gè)在圓外的范圍,由于無人機(jī)在出現(xiàn)位置偏差時(shí)的偏差程度很小(為“略有偏差”的程度),因此認(rèn)為無人機(jī)不可能出現(xiàn)在這兩個(gè)區(qū)域。因此只需分析圖1所示的4種情況即可,分別對應(yīng)P1、P2、P3、P4,而這4種情況分別表示接收信號的無人機(jī)位于ΔOAB中OA邊以下的區(qū)域(情況1),ΔOAB中OB邊左上方的區(qū)域(情況2),∠AOB內(nèi)部的區(qū)域(情況3)以及∠AOB的對頂角內(nèi)部的區(qū)域(情況4)。

圖1 問題A三個(gè)方位偏差情況示意圖Fig.1 Question A schematic diagram of three azimuth deviations

本文設(shè)OA為極坐標(biāo)極軸,由于理想情況下,均勻分布在圓周上的兩相鄰無人機(jī)與圓心連線的夾角最小為β=(360/9)°,并且此時(shí)發(fā)射信號的無人機(jī)位置無偏差,故此時(shí)∠AOB= (k-1)β,k∈{2, 3, 4, 5}。

對于情況1,如圖2所示,設(shè)P1極坐標(biāo)為(ρ1,θ1),ρ1>0,θ1∈(0, 2π),故∠AOP1=2π-θ1。

圖2 問題A情況1Fig.2 Question A case 1

如圖,由幾何關(guān)系可得:

∠OBP1=π-α1-(2π-θ1)-∠AOB

(1)

∠OAP1=π-α2-(2π-θ1)

(2)

故在 ΔP1OB中,由正弦定理可得:

(3)

在ΔP1OA中,由正弦定理可得:

(4)

解得:

(5)

對于情況2,如圖3所示,設(shè)P2極坐標(biāo)為 (ρ2,θ2),ρ2>0,θ2∈(0, 2π)。

圖3 問題A情況2Fig.3 Question A case 2

如圖3,由幾何關(guān)系可得:

∠OBP2=π-α1-(θ2-∠AOB)

(6)

∠OAP2=π-α2-θ2

(7)

故在ΔP2OB中,由正弦定理可得:

(8)

在ΔP2OA中,由正弦定理可得:

(9)

解得:

(10)

對于情況3,如圖4所示,設(shè)P3極坐標(biāo)為(ρ3,θ3),ρ3>0,θ3∈(0,2π)。

圖4 問題A情況3之一Fig.4 Question A one of case 3

由幾何關(guān)系可得:

∠OBP3=π-α1- (∠AOB-θ3)

(11)

∠OAP3=π-α2-θ3

(12)

而當(dāng)P3位于ΔAOB內(nèi)時(shí),如圖5所示,各角度關(guān)系不發(fā)生改變,故模型方程不變。

圖5 問題A情況3之二Fig.5 Question A two of case 3

故在ΔP3OB中,由正弦定理可得:

(13)

在ΔP3OA中,由正弦定理可得:

(14)

解得:

(15)

對于情況4,如圖6所示,設(shè)P4極坐標(biāo)為 (ρ4,θ4),ρ4>0,θ4∈ (0, 2π),故∠AOP4= 2π-θ4。

圖6 問題A情況4Fig.6 Question A case 4

由幾何關(guān)系可得:

∠OBP4=π-α1-(θ4-∠AOB)

(16)

∠OAP4=π-α2-(2π-θ4)

(17)

故在 ΔP4OB中,由正弦定理可得:

(18)

在ΔP4OA中,由正弦定理可得:

(19)

解得:

(20)

上述4種情況涵蓋了接收信號的無人機(jī)的幾乎所有飛行范圍。而具體的求解過程是在兩個(gè)三角形中運(yùn)用正弦定理,再將兩個(gè)方程聯(lián)立,得到關(guān)于ρ和θ的二元方程組,即可求出接收信號的無人機(jī)的具體位置。即為關(guān)于被動接收信號的無人機(jī)的定位模型。

問題B的分析:問題B依舊以10架無人機(jī)為例,編隊(duì)仍為圓形編隊(duì),但此時(shí),除F0、F1以外的其余無人機(jī)都失去了編號信息。由第一問的機(jī)理分析,編號信息可以使接收信號無人機(jī)與基準(zhǔn)圓形對應(yīng)得出提前存儲的此時(shí)的目標(biāo)角度,即為無人機(jī)調(diào)整的目標(biāo)角度;還可使無人機(jī)對照基準(zhǔn)圓形得出信號源飛機(jī)的位置從而進(jìn)行定位。編號信息為定位模型的基本信息,不可缺失。因此,此問題可轉(zhuǎn)化為:通過再加入多少架沒有編號這一定位信息的無人機(jī),可判斷出某一架無人機(jī)的編號,從而實(shí)現(xiàn)三點(diǎn)定位。因此,本問無人機(jī)需要具有判斷未知編號無人機(jī)與F0和F1之間信號夾角的相對大小從而判斷編號的能力?？紤]接收信號無人機(jī)偏差極小與偏差極大兩種極限情況,加入的無人機(jī)架數(shù)與接收信號無人機(jī)的偏差范圍有關(guān)。由此,本問要設(shè)定偏差范圍的大小,即設(shè)定偏差范圍的解析表達(dá)式,同時(shí)由于F0、F1兩條信號夾角固定,因此該點(diǎn)的可能位置將在一個(gè)圓弧上活動,也可得出其解析表達(dá)式。因此,本問采用解析法,通過對于活動范圍的解析式,判斷另外到來的信號通路是否具有唯一性;若不具有,則添加對應(yīng)個(gè)數(shù)。

除F0、F1外,無人機(jī)接收到的信號中,失去了編號信息,由問題A中的模型可知,已知編號情況下,需三點(diǎn)才可實(shí)現(xiàn)定位。因此,可將問題 B 做如下轉(zhuǎn)化:除F0和F1外,再接收到多少個(gè)來自未知編號無人機(jī)的信號,可確定其中某一架無人機(jī)的編號?由于接收的信號中,存在兩條已知編號的信息,為此,本文提出一種“基于無人機(jī)自主感知未知編號信息相對于已知的方向,來判斷發(fā)送者編號”的思想。

如圖7所示,P(a,b)(設(shè)為:F2)在H附近產(chǎn)生偏差,其偏差范圍用圓來表示,即為⊙H,半徑為r。由于∠F0PF1為已知,P點(diǎn)將在由F0、F1、P確定的圓上,解析式為:

圖7 問題B解析法示意圖Fig.7 Question B schematic diagram of analytical method

(21)

同時(shí),P點(diǎn)的偏差范圍需在⊙H內(nèi),因此P(a,b)需滿足:

[a-Rcos(40°)]2+[b-Rsin(40°)]2≤r2

(22)

(23)

(24)

其余F4～F9弧段的解析表示同理,每個(gè)弧段的物理意義可表示為:若P位置固定,其余無人機(jī)將有如此的移動范圍。從接收信號無人機(jī)引出一條射線,表示信號探測器的探測路徑,若此路徑同時(shí)與多個(gè)弧段有交點(diǎn),則表示會發(fā)生信號干擾,因此,所有與此路徑相交的弧段上的那架無人機(jī),都需給P發(fā)送信號。采用解析判定方法,射線方程如下:

y-b=k(x-a)k∈(-∞,+∞)

(25)

當(dāng)k取不同值時(shí),射線可掃過整個(gè)平面 (模擬無人機(jī)探測信號過程),分別將射線方程與按公式(24)所示方式列出的F3～F9弧段方程聯(lián)立,判斷解的個(gè)數(shù),之后取最多的個(gè)數(shù),即為某個(gè)視角下會存在的干擾數(shù)量。若要消除干擾,需使得互相干擾的無人機(jī)全部為發(fā)信號的無人機(jī)。同時(shí)可知,當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)(a,b)固定時(shí),上述每個(gè)方程組聯(lián)立后可轉(zhuǎn)化為一元二次方程,利用根的判別式即可判定解的個(gè)數(shù),即可得出某個(gè)視角下會存在的干擾數(shù)量。

問題C的分析:依然延續(xù)10架無人機(jī)的圓形編隊(duì),但發(fā)射信號的無人機(jī)并不固定,陣型初始與基準(zhǔn)陣型(9架飛機(jī)均在圓上)略有偏差,每次選擇F0及圓周上至多三架無人機(jī)發(fā)射信號,實(shí)現(xiàn)全部無人機(jī)的純方位無源定位,同時(shí)做出相應(yīng)調(diào)整,使整個(gè)編隊(duì)的所有無人機(jī)能夠慢慢達(dá)到理想位置。由于編號已知,且F0始終為發(fā)射信號無人機(jī)之一,而其余的無人機(jī)均在圓周附近,因此可考慮沿用問題A中的三點(diǎn)定位法,在圓周上再選取兩個(gè)無人機(jī)發(fā)射信號,即可實(shí)現(xiàn)夾角信息到坐標(biāo)信息的轉(zhuǎn)換。由于無人機(jī)無法理解坐標(biāo)信息,僅存儲正確的夾角信息,因此每次依據(jù)發(fā)射信號無人機(jī)僅僅會將夾角調(diào)整為自己“認(rèn)為”正確的存儲值,而無法得知發(fā)射信號無人機(jī)是否處于圓形編隊(duì)的正確位置。因此,調(diào)整策略的選取不同,也將會導(dǎo)致整體收斂情況的不同(甚至有可能無法收斂)。由于調(diào)整目的為使隊(duì)伍收斂至正確位置,因此,若采取三角定位法,兩架圓周上的發(fā)射信號無人機(jī)的選取需為整個(gè)圓周上偏差最小的。首先依次檢查并選出最小偏差的3架無人機(jī),再依次調(diào)整,計(jì)算調(diào)到的坐標(biāo),之后再次依次檢查,開始下一次迭代。最終整體偏差程度將收斂到某一很小的值。具體迭代調(diào)整流程如圖8所示。

圖8 問題C調(diào)整迭代流程Fig.8 Question C adjust the iteration process

無人機(jī)每次調(diào)整位置后的所在位置為Pin(ρin,θin),i∈{0, 1, …, 9},n∈Z+。如圖9所示,無人機(jī)的目標(biāo)位置即為基準(zhǔn)陣型各自位置,基準(zhǔn)目標(biāo)位置記為Qi。

圖9 無人機(jī)編隊(duì)基準(zhǔn)位置Fig.9 Benchmark position of UAV formation

(26)

即讓所有點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的距離之和盡可能小。調(diào)整前:易知,發(fā)射信號無人機(jī)偏差越小,基于此的定位調(diào)整也將向更優(yōu)的方向發(fā)展。因此在每次調(diào)整前,先篩選與目標(biāo)位置偏差較小的無人機(jī)。觀察初始位置得知:P1=Q1,即初始時(shí)刻F1無偏差,在每輪開始的選擇當(dāng)中總會被選取成為發(fā)射信號的無人機(jī)。且由于問題 A 模型:三架編號已知的無人機(jī)即可實(shí)現(xiàn)全編隊(duì)定位,因此,初始篩選過程可等效為:

(27)

則選取的發(fā)射信號的無人機(jī)為:

(28)

調(diào)整時(shí):如圖10,此時(shí)已確定發(fā)射信號的無人機(jī)坐標(biāo),接收信號的無人機(jī)可探測得出兩個(gè)夾角α1、α2的大小。同時(shí),無人機(jī)只能感知并處理夾角信息,因此,位置的調(diào)整過程為: 將此時(shí)探測的夾角調(diào)整為存儲的對應(yīng)基準(zhǔn)陣型的正確夾角。此時(shí),該無人機(jī)將有如下調(diào)整過程。

圖10 問題C某無人機(jī)接受信息后調(diào)整前后Fig.10 Question C before and after adjustment of a UAV after receiving information

由于發(fā)射信號無人機(jī)編號已知,此時(shí)對應(yīng)基準(zhǔn)陣型的夾角α′1、α′2即為已知量, 即為基準(zhǔn)陣型上的F0、F1、Fk與Fi的夾角,如圖10所示。

(29)

無人機(jī)完成依據(jù)夾角信息的自主調(diào)整后,由于下一次調(diào)整前,需重新評估各無人機(jī)偏差情況,并選擇發(fā)射信號的無人機(jī)。因此調(diào)整后需計(jì)算此時(shí)的極坐標(biāo)定位。如圖11所示幾何模型。

圖11 無人機(jī)調(diào)整后的幾何模型Fig.11 Geometric model of UAV after adjustment

與問題A模型相比,此時(shí)OB=ρnk,OA=ρn1, ∠BOA=θnk,求解方法不變。因此,可用問題A的模型,解方程組求解,具體分為以下4種情況。

情況 1:

(30)

情況 2:

(31)

情況 3:

(32)

情況 4:

(33)

3 研究結(jié)果與分析

3.1 問題A的模型結(jié)果分析

在問題A中,由于接收信號的無人機(jī)所接收到的方向信息僅僅是與發(fā)射信號的無人機(jī)連線之間的夾角,因此這是一個(gè)純方位無源定位方法的應(yīng)用[4],建立基于角度關(guān)系和正弦定理的幾何模型。發(fā)射信號的無人機(jī)是位于圓心的F0以及位于半徑為R的圓周的另兩架無人機(jī),為便于計(jì)算和分析,不妨設(shè)定其中一架無人機(jī)為F1?？紤]到圓形編隊(duì)的對稱性,由此設(shè)定另一架無人機(jī)為F2～F5中的某一架,設(shè)其為Fk,k∈{2, 3, 4, 5}。當(dāng)發(fā)射信號的3架無人機(jī)為F0、F1、Fk時(shí),設(shè)無人機(jī)F0所處的相對位置為極坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)(0, 0),無人機(jī)F1所處的相對位置為A點(diǎn)(R,0)(即位于極軸上),無人機(jī)Fk,k∈{2, 3, 4, 5}所處的相對位置為B。設(shè)接收信號的無人機(jī)位于P(ρ,θ)。規(guī)定半徑OB在ΔPOB中的對角為α1,半徑OA在ΔPOB中的對角為α2,角α3為PA和PB之間的夾角。此外,由于理想情況下均勻分布在圓周上的兩相鄰無人機(jī)與圓心連線的夾角為β=40°,并且此時(shí)發(fā)射信號的無人機(jī)位置無偏差,故此時(shí)∠AOB= (k-1)β,k∈ {2, 3, 4, 5}。

為驗(yàn)證前文建立的定位模型的正確性和準(zhǔn)確性,現(xiàn)分別取4種典型位置α1和α2的值作為某接收信號的無人機(jī)的方向信息,使之分別位于4種情況下的飛行區(qū)域,并分別代入方程組求解ρ和θ,最后將求解結(jié)果與預(yù)期結(jié)果作比較,驗(yàn)證該無人機(jī)的位置是否在圓周附近,即可完成對定位模型的驗(yàn)證。

設(shè)圓形編隊(duì)的半徑R= 50 m,求出各個(gè)情況下ρ和θ的數(shù)值解。

如圖12(a)所示,當(dāng)α1= 37°,α2= 70°時(shí),求得ρ1= 53.124 8 m,θ1= 336.749 9°,為情況1下的位置。

圖12 問題A模型計(jì)算數(shù)據(jù)結(jié)果Fig.12 Question A model calculation data results

如圖12(b)所示,當(dāng)α1= 73°,α2= 38°時(shí),求得ρ2= 52.077 9 m,θ2= 102.115 2°,為情況2下的位置。

如圖12(c)所示,當(dāng)α1= 44°,α2= 35° 時(shí),求得ρ3= 68.931 1 m,θ3= 17.267 0°,為情況 3 下的位置。

如圖12(d)所示,當(dāng)α1= 24°,α2= 20°時(shí),求得ρ4= 41.258 0 m,θ4= 216.390 1°,為情況 4 下的位置。

分析可得,該接收信號的無人機(jī)與圓心之間的距離 ρ在一定的偏差范圍內(nèi),均非常接近于R,因此可以表明該定位模型的正確性和準(zhǔn)確性。

3.2 問題B的模型結(jié)果分析

圖13 問題B計(jì)算數(shù)據(jù)結(jié)果Fig.13 Question B calculation data results

用r與R比值來衡量偏差范圍半徑的大小:如圖13(a)所示r/R為0.1時(shí),

任意加入1架發(fā)射信號,無人機(jī)即可判定編號從而定位。如圖13(b)所示r/R為 0.29 時(shí),存在兩架無人機(jī)互相干擾,因此需至少任意加入兩架發(fā)射信號的無人機(jī)。如圖13(c)所示r/R為 0.44 時(shí),有3架無人機(jī)互相干擾,因此需至少任意加入3架發(fā)射信號的無人機(jī)。如圖13(d)所示r/R為 0.6 時(shí),有4架無人機(jī)互相干擾,因此需至少任意加入4架發(fā)射信號的無人機(jī)。以此類推,隨著偏差范圍r繼續(xù)增大,最終將趨向于即使全部加入也無法滿足定位。

無人機(jī)的位置略有偏差,在列出的4種情況中取偏差較小的情況,可以認(rèn)為:還需兩架無人機(jī)發(fā)射信號,就可實(shí)現(xiàn)有效定位。

3.3 問題C的模型結(jié)果分析

表2 問題C的調(diào)整方案Tab.2 Question C adjustment strategy

表2中右側(cè)每個(gè)坐標(biāo)表示一次迭代結(jié)束后的調(diào)整后坐標(biāo),箭頭表述轉(zhuǎn)換關(guān)系,共進(jìn)行了20次迭代。可以看到,由于F0、F1兩架無人機(jī)始終會被選取,因此全程無調(diào)整 (實(shí)際也無需調(diào)整),符合規(guī)律。之后對于F2～F9號無人機(jī),坐標(biāo)隨著迭代次數(shù)不斷變化,雖然中間某些無人機(jī)存在某次調(diào)整后偏差反而較大的情況,最終可以看出,所有編號無人機(jī)在第6到7次迭代后,均穩(wěn)定在了非常接近目標(biāo)點(diǎn)的位置(表中省略號“…”表示之后結(jié)果相同)。

圖14為每次迭代計(jì)算得出的10架無人機(jī)平均偏差隨迭代次數(shù)的變化情況,平均偏差與上表規(guī)律一致。初始時(shí)刻出現(xiàn)短暫波動后,最終總體偏差可收斂至近似0值。

圖14 無人機(jī)調(diào)整后的幾何模型偏差Fig.14 Geometric model deviation of UAV after adjustment

4 結(jié) 論

針對僅能接收夾角信息的無源定位問題,基于三角函數(shù)推導(dǎo),建立了圓形編隊(duì)中定位的幾何模型,并利用三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合解析法,討論了僅已知部分無人機(jī)編號的情況;之后基于幾何模型給出了編隊(duì)初始略有偏差的調(diào)整策略;在編隊(duì)隊(duì)形發(fā)生改變的情況下,利用解析幾何構(gòu)建定位模型,實(shí)現(xiàn)新隊(duì)形下的精確定位。

問題A通過對于平面的劃分展開分類討論,基于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)幾何解三角形計(jì)算,建立接收信號無人機(jī)的定位模型,結(jié)果具有較高的準(zhǔn)確性。

問題B中構(gòu)建的基于無人機(jī)感知方位判定編號的解析模型,充分考慮到了接收信號的無人機(jī)的位置偏差大小與增加數(shù)量的關(guān)系,具有較好的普適性和一般性。

問題C基于貪心策略,構(gòu)建迭代調(diào)整模型,模型與解決問題的適配程度較高。

全文只考慮了三點(diǎn)定位,未探究更多點(diǎn)定位帶來的精度提升對定位的影響。