考慮扭轉(zhuǎn)與畸變耦聯(lián)影響的薄壁箱梁翹曲效應(yīng)分析

張?jiān)?馬云亮 劉澤翔

(1蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院, 蘭州 730070)

(2蘭州交通大學(xué)甘肅省道路橋梁與地下工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 蘭州 730070)

薄壁箱梁廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代橋梁工程中,其在豎向偏心荷載作用下的受力和變形狀態(tài)非常復(fù)雜,在橫截面上除了縱向彎曲產(chǎn)生的應(yīng)力(正應(yīng)力和剪應(yīng)力)外,還有扭轉(zhuǎn)、畸變及剪力滯翹曲效應(yīng)引起的應(yīng)力,而這些翹曲應(yīng)力在彎曲應(yīng)力中的占比往往是相當(dāng)可觀的,設(shè)計(jì)中不容忽視.

近年來,國內(nèi)外許多學(xué)者針對(duì)薄壁箱梁的剪力滯、約束扭轉(zhuǎn)及畸變效應(yīng)開展了大量研究.郭增偉等[1]針對(duì)變截面懸臂箱梁,采用推廣的比擬桿法研究其剪力滯效應(yīng),并通過參數(shù)分析揭示了變截面懸臂箱梁剪力滯效應(yīng)的特殊性.舒小娟等[2]綜合考慮箱梁全截面剪切變形影響,用Reissner最早提出的能量變分法分析箱梁的剪力滯效應(yīng).張?jiān)５萚3]考慮箱梁懸臂翼緣板與肋間板的橫向變形差異性影響,提出了基于修正翹曲位移模式的剪力滯效應(yīng)改進(jìn)分析方法.張玉元等[4]研究了梗腋對(duì)箱梁剪力滯效應(yīng)的削弱作用.在薄壁箱梁的約束扭轉(zhuǎn)效應(yīng)方面,Wang等[5]引入翹曲約束剪切扭轉(zhuǎn)角作為廣義翹曲位移,建立了約束扭轉(zhuǎn)控制微分方程并給出初參數(shù)解.夏桂云等[6]和文穎等[7]用有限梁段單元分析箱梁的約束扭轉(zhuǎn)效應(yīng),并通過插值函數(shù)直接求得翹曲扭矩,從而使剪應(yīng)力計(jì)算大為簡(jiǎn)化.Li等[8]用有限梁段單元分析了單箱多室箱梁的約束扭轉(zhuǎn)效應(yīng).為了便于計(jì)算約束扭轉(zhuǎn)翹曲剪應(yīng)力并克服部分文獻(xiàn)中對(duì)剪應(yīng)力計(jì)算的不合理性,張?jiān)５萚9]導(dǎo)出了計(jì)算約束扭轉(zhuǎn)翹曲剪應(yīng)力的2套實(shí)用公式,并從理論上論證了2套公式的統(tǒng)一性.在薄壁箱梁的畸變效應(yīng)方面,Hansen等[10]研究了橫截面的多種可能變形模式,能綜合反映剪切變形、翹曲效應(yīng)及橫向泊松效應(yīng)等影響.Ren等[11]分析了偏載作用下布置內(nèi)橫隔板箱梁的畸變效應(yīng),通過在橫隔板與箱梁連接部位引入正交冗余力,充分反映橫隔板與箱梁之間的相互作用.藺鵬臻等[12]借助通用有限元軟件計(jì)算了雙線鐵路簡(jiǎn)支箱梁在單線活載作用下的畸變效應(yīng).張?jiān)５萚13]通過在橫截面畸變中心位置定義畸變角,利用能量變分法建立了畸變控制微分方程,并給出了廣義內(nèi)力和位移的初參數(shù)解.Cambronero-Barrientos等[14]用有限梁段單元分析了箱梁的剪力滯、約束扭轉(zhuǎn)及畸變效應(yīng).

綜上所述,目前在薄壁箱梁理論分析方面,主要是針對(duì)單一變形狀態(tài)進(jìn)行研究,不便于定量考察剪力滯、約束扭轉(zhuǎn)及畸變翹曲應(yīng)力在彎曲應(yīng)力中的占比情況.此外,將箱梁所受偏心荷載分解為縱向彎曲、剛性扭轉(zhuǎn)及畸變荷載并分別建立控制微分方程,本質(zhì)上忽略了各基本變形狀態(tài)間的耦聯(lián)影響.本文綜合考慮薄壁箱梁在豎向偏載作用下各基本變形狀態(tài),從而建立控制微分方程,放棄對(duì)外荷載的分解而直接表達(dá)結(jié)構(gòu)總勢(shì)能并應(yīng)用變分原理,使扭轉(zhuǎn)與畸變之間客觀存在的耦聯(lián)影響得到充分體現(xiàn).

1 箱梁基本變形狀態(tài)描述

本文分析的薄壁箱梁橫截面如圖1所示,O為橫截面形心,x軸為水平形心軸,y軸為豎向?qū)ΨQ軸,z軸沿梁軸方向,且x、y、z軸形成右手坐標(biāo)系,y0為形心至頂板中面的距離;S和N分別為橫截面扭轉(zhuǎn)中心和畸變中心,yN為畸變中心N的y坐標(biāo);b1和b2分別為頂板和底板的半寬,b3為單側(cè)懸臂板寬度,h為梁高,tt、tb和tw分別為頂板、底板和腹板的厚度,α為腹板水平傾角.

圖1 箱梁橫截面及坐標(biāo)系

箱梁在豎向偏心荷載作用下,橫截面內(nèi)任一點(diǎn)處的縱向位移w(x,y,z)由4部分組成,即

w(x,y,z)=wb(y,z)+ws(x,y,z)+wt(z,s)+
wd(z,s)=-v′(z)y-f′(z)ωs(x,y)-
β′(z)ωt(s)-γ′(z)ωd(s)

(1)

式中,wb為初等梁的彎曲縱向位移;ws、wt、wd分別為剪力滯、約束扭轉(zhuǎn)、橫截面畸變引起的縱向翹曲位移;v為初等梁撓度;f為剪力滯附加撓度;β為與扭轉(zhuǎn)角φ有關(guān)的約束扭轉(zhuǎn)廣義位移;γ為畸變角;ωs、ωt、ωd分別為相應(yīng)于剪力滯、約束扭轉(zhuǎn)及畸變的翹曲位移函數(shù);s為沿壁厚中心線的坐標(biāo).

剪力滯翹曲位移函數(shù)ωs采用文獻(xiàn)[3]建議的修正模式,即

(2)

圖2 剪力滯翹曲位移函數(shù)分布示意圖

根據(jù)烏曼斯基第二理論,扭轉(zhuǎn)翹曲位移函數(shù)ωt為

(3)

式中,ρS為從扭轉(zhuǎn)中心S到周邊任一點(diǎn)處切線的垂直距離;t為壁厚;ψ為相應(yīng)于布雷特剪力流的扭轉(zhuǎn)函數(shù).

本文將橫截面畸變角γ定義為過畸變中心N的水平線與y軸所形成直角的改變量[13],則畸變翹曲位移函數(shù)ωd為

(4)

(5)

式中,xN為橫截面內(nèi)過畸變中心N的水平線與兩側(cè)腹板交點(diǎn)之間距離的1/2;κ為取決于橫截面尺寸的常數(shù).

橫截面內(nèi)任一點(diǎn)處的畸變豎向撓度vd可通過畸變角γ表達(dá)為

(6)

(7)

式中,xw為計(jì)算點(diǎn)所在水平線與兩側(cè)腹板交點(diǎn)之間距離的1/2.

2 箱梁總勢(shì)能

由式(1)可得箱梁相應(yīng)于縱向正應(yīng)變的應(yīng)變能Uε為

(8)

式中,E為彈性模量;Ix為橫截面對(duì)x軸的慣性矩;Iωs、Iωt、Iωd分別為相應(yīng)于剪力滯、約束扭轉(zhuǎn)及畸變的翹曲慣性矩;Iωtd為反映扭轉(zhuǎn)與畸變耦聯(lián)的慣性矩;l為跨度;F為橫截面面積.

式(8)中各慣性矩的定義式為

相應(yīng)于剪力滯的剪切應(yīng)變能Uγs為

(9)

式中,G為剪切模量;Fs為剪力滯剪切面積[3].

與約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)變?chǔ)胻相應(yīng)的應(yīng)變能Uγt為

(10)

箱梁畸變時(shí),由頂板、底板及腹板形成的橫向閉合框架的應(yīng)變能UR為

(11)

式中,K為畸變橫向框架剛度[13].

豎向偏心荷載作用下,箱梁的外力勢(shì)能Vp為

(12)

式中,p為分布豎向偏心荷載集度.

由式(8)～(12),可得箱梁總勢(shì)能Π為

(13)

3 控制微分方程

對(duì)總勢(shì)能式(13)進(jìn)行一階變分運(yùn)算,可得

(14)

根據(jù)能量變分原理,結(jié)構(gòu)在外力作用下處于平衡狀態(tài)時(shí),總勢(shì)能的一階變分等于零,故由δΠ=0,可得控制微分方程如下:

EIxv″″-p=0

(15)

EIωsf″″-η2GFsf″-p=0

(16)

GIρ(φ″-μβ″)+m=0

(17)

EIωtβ?+EIωtdγ?-GIρμ(β′-φ′)=0

(18)

(19)

方程(15)為縱向彎曲控制微分方程,方程(16)為剪力滯控制微分方程,方程(17)和(18)為約束扭轉(zhuǎn)控制微分方程,方程(19)為畸變控制微分方程.方程(18)和(19)表明,約束扭轉(zhuǎn)和畸變之間是耦聯(lián)的,耦聯(lián)剛度為EIωtd.

約束扭轉(zhuǎn)控制微分方程(17)和(18)可以進(jìn)行合并.當(dāng)m沿跨度呈線性分布時(shí),可得關(guān)于扭轉(zhuǎn)角φ和畸變角γ的耦聯(lián)微分方程為

(20)

當(dāng)忽略約束扭轉(zhuǎn)與畸變之間的耦聯(lián)影響時(shí),即當(dāng)EIωtd=0時(shí),則約束扭轉(zhuǎn)微分方程(20)和畸變微分方程(19)就退化為現(xiàn)有文獻(xiàn)中根據(jù)偏心荷載分解后推導(dǎo)的簡(jiǎn)單形式.

從式(14)中的邊界項(xiàng)可得相應(yīng)于各廣義位移的廣義力.例如,與扭翹廣義位移-β′相應(yīng)的扭翹雙力矩Bωt為

Bωt=-EIωtβ″-EIωtdγ″

(21)

與畸翹廣義位移-γ′相應(yīng)的畸翹雙力矩Bωd為

Bωd=-EIωdγ″-EIωtdβ″

(22)

聯(lián)立求解式(21)和式(22),求得β″和γ″后易得扭翹正應(yīng)力σωt和畸翹正應(yīng)力σωd的計(jì)算公式為

(23)

(24)

扭翹剪應(yīng)力τωt和畸翹剪應(yīng)力τωd可通過箱壁微元體的平衡方程進(jìn)行計(jì)算.

(25)

由式(20)和(25)消去γ,可得關(guān)于φ的八階微分方程如下:

REφ(8)-μGIBEIωdφ(6)+KEIωtφ(4)-μGIBKφ(2)=μKm

(26)

(27)

式中,C1～C8為積分常數(shù);λ1～λ3為取決于扭轉(zhuǎn)和畸變幾何特性及材料彈性模量的系數(shù).

再由式(20)和(25)消去γ″″,可得

(28)

將式(27)代入式(28)即可求得畸變角γ.積分常數(shù)C1～C8可根據(jù)梁端邊界條件確定,本文不再贅述.

4 模型試驗(yàn)驗(yàn)證

文獻(xiàn)[15]介紹了一個(gè)簡(jiǎn)支直線箱梁有機(jī)玻璃模型的試驗(yàn)情況,模型梁跨度l=2 m,橫截面尺寸見圖3.梁端設(shè)有橫隔板,其板厚均為6 mm.材料彈性模量為2 943 MPa,泊松比取0.4.豎向偏心集中荷載P=98.1 N作用于跨中截面單側(cè)腹板與頂板相交處.共測(cè)試l/8、3l/16、5l/16、7l/16、l/2及13l/16六個(gè)橫截面處的正應(yīng)力分布,應(yīng)力測(cè)點(diǎn)具體位置見圖3中①～⑥.試驗(yàn)詳細(xì)情況見文獻(xiàn)[15].

圖3 模型梁橫截面簡(jiǎn)圖(單位: mm)

計(jì)算表明,考慮扭轉(zhuǎn)與畸變耦聯(lián)的計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)方法計(jì)算結(jié)果相差不大,而計(jì)算工作量大增,從實(shí)用計(jì)算考慮,可略去耦聯(lián)影響.將7l/16截面各測(cè)點(diǎn)處正應(yīng)力理論值連同實(shí)測(cè)值一并列于表1,其中σb為縱向彎曲應(yīng)力,σs為剪力滯翹曲應(yīng)力,σωt為扭轉(zhuǎn)翹曲應(yīng)力,σωd為畸變翹曲應(yīng)力,σ為總應(yīng)力,應(yīng)力以拉為正、壓為負(fù),應(yīng)力實(shí)測(cè)值是在文獻(xiàn)[15]中實(shí)測(cè)應(yīng)力分布曲線上按比例量取的.由表1可知,總應(yīng)力理論計(jì)算值與實(shí)測(cè)值總體上吻合良好.

表1 7l/16截面各測(cè)點(diǎn)處正應(yīng)力比較 kPa

從表1還可以看出:豎向彎曲應(yīng)力在總應(yīng)力中占絕對(duì)主導(dǎo)地位,剪力滯、約束扭轉(zhuǎn)及畸變翹曲應(yīng)力總體上都很小;而在這3種翹曲應(yīng)力中,剪力滯翹曲應(yīng)力最小,畸變翹曲應(yīng)力最大;畸變翹曲應(yīng)力最大值位于腹板與底板交接處,在頂板和懸臂板內(nèi)都很小;約束扭轉(zhuǎn)翹曲應(yīng)力在底板內(nèi)很小,其最大值位于懸臂板自由端.

5 算例分析

預(yù)應(yīng)力混凝土簡(jiǎn)支箱梁計(jì)算跨徑l=30 m,采用C50混凝土,材料彈性模量E=34.5 GPa,剪切模量G=13.8 GPa,僅在梁端設(shè)有橫隔板,豎向偏心荷載P=550 kN作用于跨中截面左側(cè)腹板頂部,跨中截面尺寸如圖4所示.

圖4 簡(jiǎn)支箱梁橫截面(單位: m)

按本文方法求得跨中截面縱向彎曲正應(yīng)力、各翹曲正應(yīng)力及總應(yīng)力分布圖如圖5所示.由圖可見:縱向彎曲正應(yīng)力占絕對(duì)主導(dǎo)地位;由于約束扭轉(zhuǎn)與橫截面畸變影響,施加偏載一側(cè)的腹板比另一側(cè)腹板的總應(yīng)力大很多,兩側(cè)腹板與底板交點(diǎn)處的總應(yīng)力相差最為懸殊,相差達(dá)1.24倍,即(4 076.84-1 818.05)/1 818.05=1.24;在腹板與底板交點(diǎn)處,畸變翹曲應(yīng)力最大,約束扭轉(zhuǎn)翹曲應(yīng)力最小.

(a) 縱向彎曲正應(yīng)力

(b) 剪力滯翹曲正應(yīng)力

(c) 扭轉(zhuǎn)翹曲正應(yīng)力

(d) 畸變翹曲正應(yīng)力

(e) 總應(yīng)力

圖6顯示了跨中左截面的剪應(yīng)力分布圖,圖中用箭頭示出了剪應(yīng)力方向,剪應(yīng)力以圍繞周邊逆時(shí)針方向?yàn)檎?順時(shí)針為負(fù).

由圖6可以看出:2塊腹板內(nèi)的總剪應(yīng)力相差特別顯著,施加偏載一側(cè)的腹板內(nèi)最大剪應(yīng)力約為另一側(cè)腹板內(nèi)相應(yīng)剪應(yīng)力的10倍,而且方向相反;剪力滯翹曲剪應(yīng)力在腹板內(nèi)總體上很小,實(shí)用計(jì)算中可以忽略,但其在底板內(nèi)靠近兩側(cè)處仍相當(dāng)可觀,最大值甚至超過了腹板內(nèi)的最大彎曲剪應(yīng)力,不容忽視;約束扭轉(zhuǎn)和畸變翹曲剪應(yīng)力在每塊腹板內(nèi)都很大,而且方向相同,但由于2塊腹板內(nèi)的扭轉(zhuǎn)和畸變翹曲剪應(yīng)力方向正好相反,故導(dǎo)致腹板內(nèi)剪應(yīng)力發(fā)生顯著的重分布;畸變翹曲剪應(yīng)力在底板內(nèi)最大,其與剪力滯翹曲剪應(yīng)力一起,使底板內(nèi)產(chǎn)生較大的總剪應(yīng)力,可能會(huì)導(dǎo)致底板產(chǎn)生貫通的面內(nèi)斜裂縫,設(shè)計(jì)中應(yīng)重視.

(a) 縱向彎曲剪應(yīng)力

(b) 剪力滯翹曲剪應(yīng)力

(c) 扭轉(zhuǎn)翹曲剪應(yīng)力

(d) 畸變翹曲剪應(yīng)力

(e) 總應(yīng)力

為了考察橫截面關(guān)鍵點(diǎn)處由剪力滯、約束扭轉(zhuǎn)及畸變翹曲應(yīng)力引起的相對(duì)于彎曲應(yīng)力的應(yīng)力放大系數(shù),表2列出了跨中截面受偏載直接作用的腹板與頂、底板交點(diǎn)處各項(xiàng)正應(yīng)力大小及其相對(duì)于彎曲應(yīng)力σb的占比情況.

表2 跨中截面加載腹板與翼緣板交點(diǎn)正應(yīng)力

由表2可知,在加載腹板與底板交點(diǎn)處,畸變翹曲應(yīng)力為彎曲應(yīng)力的33.93%,總應(yīng)力達(dá)到彎曲應(yīng)力的162.86%,即總應(yīng)力放大系數(shù)約為1.63.在加載腹板與頂板交點(diǎn)處,約束扭轉(zhuǎn)翹曲應(yīng)力為彎曲應(yīng)力的18.89%,總應(yīng)力放大系數(shù)約為1.49.

表3列出了跨中左截面受偏載直接作用的腹板在橫截面形心軸處的各項(xiàng)剪應(yīng)力及其相對(duì)于彎曲剪應(yīng)力的占比情況.其中,τb為縱向彎曲剪應(yīng)力,τs為剪力滯翹曲剪應(yīng)力,τωt為約束扭轉(zhuǎn)翹曲剪應(yīng)力,τωd為畸變翹曲剪應(yīng)力,τ為總剪應(yīng)力.

表3 跨中左截面形心軸處加載腹板的剪應(yīng)力

由表3可知,在橫截面水平形心軸處,受偏載直接作用的腹板的約束扭轉(zhuǎn)翹曲剪應(yīng)力達(dá)到彎曲剪應(yīng)力的78.39%,畸變翹曲剪應(yīng)力達(dá)到彎曲剪應(yīng)力的60.99%,而總剪應(yīng)力甚至達(dá)彎曲剪應(yīng)力的254.85%,即總剪應(yīng)力的放大系數(shù)約為2.55,表明約束扭轉(zhuǎn)和畸變翹曲剪應(yīng)力對(duì)總應(yīng)力的貢獻(xiàn)非常大.

值得指出的是,在《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTG3362—2018)中,對(duì)于單梁模型的應(yīng)力放大系數(shù)計(jì)算公式中,只關(guān)注箱梁的約束扭轉(zhuǎn)翹曲應(yīng)力影響,并未包含畸變翹曲應(yīng)力,顯然這是偏于不安全的.

6 結(jié)論

1) 本文綜合考慮薄壁箱梁在豎向偏載作用下的剪力滯、約束扭轉(zhuǎn)及畸變翹曲效應(yīng)影響,放棄外荷載分解的傳統(tǒng)思路,在充分考慮扭轉(zhuǎn)與畸變耦聯(lián)影響的基礎(chǔ)上,用能量變分法建立了控制微分方程,通過對(duì)一有機(jī)玻璃模型梁的計(jì)算表明,本文理論計(jì)算結(jié)果與模型試驗(yàn)結(jié)果吻合良好,驗(yàn)證了本文理論分析的正確性.

2) 薄壁箱梁在豎向偏心荷載作用下,縱向彎曲是最主要的變形狀態(tài),畸變和約束扭轉(zhuǎn)是起主導(dǎo)作用的翹曲變形狀態(tài),剪力滯變形狀態(tài)總體上屬于次要的翹曲變形狀態(tài),但剪力滯效應(yīng)對(duì)彎曲正應(yīng)力的影響仍不可忽略.在底板兩側(cè)一定范圍內(nèi)的剪力滯翹曲剪應(yīng)力也需引起注意.

3) 本文簡(jiǎn)支箱梁算例考慮剪力滯、約束扭轉(zhuǎn)及畸變翹曲效應(yīng)影響后,在跨中截面加載腹板與底板交點(diǎn)處的正應(yīng)力放大系數(shù)達(dá)到約1.63,在形心軸處腹板的剪應(yīng)力放大系數(shù)達(dá)到約2.55,在設(shè)計(jì)中需引起高度重視.

4) 薄壁箱梁在豎向偏載作用下具有復(fù)雜的受力性能,在跨內(nèi)不設(shè)橫隔板的情況下其畸變變形狀態(tài)尤為突出,不容忽視.而《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTG3362—2018)在對(duì)于單梁模型的應(yīng)力放大系數(shù)計(jì)算公式中,只關(guān)注箱梁的約束扭轉(zhuǎn)翹曲應(yīng)力影響,卻并未包含畸變翹曲應(yīng)力,這是值得商榷的,也偏于不安全.