基于反函數(shù)原理的可控源大地電磁法全場域視電阻率定義

秦西社, 馬劼, 郭文波,4, 戚志鵬,, 曹華科

(1.西北有色地礦集團，陜西 西安 710051; 2.長安大學 地質(zhì)工程與測繪學院，陜西 西安710054; 3.中國地球物理學會 地球物理場多參數(shù)綜合模擬重點實驗室，陜西 西安 710054; 4.西安西北有色物化探總隊有限公司，陜西 西安 710068)

0 引言

可控源大地電磁法(CSMT)是在大地電磁基礎上發(fā)展起來的一種人工源電磁法[1],由于采用人工場源，克服了大地電磁天然源信號弱、信噪比低的缺點，使該方法在工程勘察、礦產(chǎn)資源勘查以及能源勘查等領域得到應用[2-7]。傳統(tǒng)的可控源電磁法采用卡尼亞視電阻率進行數(shù)據(jù)解釋，其效果直觀，能夠良好地反映地下的電性結(jié)構(gòu)，在可控源電磁法解釋中發(fā)揮了重要作用。但是，卡尼亞電阻率要求在遠區(qū)進行測量，因為在過渡區(qū)進行測量會導致近區(qū)視電阻率公式與遠區(qū)視電阻率公式的近似條件不成立，使計算的視電阻率存在畸變，這使得施工難度大大增加。針對這一問題，國內(nèi)外許多學者提出了不同的校正方法和不同的視電阻率計算方法：曹昌祺[8]借鑒天然源大地電磁測深，通過CSMT理論曲線與實測曲線的對比，提出由比值法定義視電阻率，改進了波區(qū)視電阻率定義方法；Spies等[9]提出基于波阻抗的實部和虛部迭代計算視電阻率的簡單方法；殷長春等[10]根據(jù)視電阻率定義基本原則，通過迭代從場值中用多項式逼近的方法直接求解視電阻率，并提出針對水平電偶源電場的全新的全區(qū)視電阻率定義方式和概念；方文藻等[11]將遠區(qū)視電阻率乘以校正系數(shù)，簡便快速地得到全區(qū)視電阻率；湯井田等[12-14]提出了求取阻抗實部等效電阻率和用電場定義視電阻率定義的方法，計算較為簡便且能夠較形象地反映地下介質(zhì)信息；底青云等[15-17]提出了在近區(qū)和遠區(qū)做近似的過渡區(qū)三角形法；毛先進等[18]提出水平電偶源的頻率域電磁測深全區(qū)視電阻率直接算法；佟鐵鋼等[19]利用迭代法基于電場分量計算了可控源音頻大地電磁全區(qū)視電阻率；韓自強等[20]利用二分法計算了電性雙極性源全區(qū)視電阻定義。這些校正方法與全區(qū)視電阻率的提出使非遠區(qū)的畸變得到很大的改善。近年來，何繼善[21]提出了廣域視電阻率計算方法，并逐漸發(fā)展為廣域電磁法。廣域電磁法在激發(fā)方面采用偽隨機信號實現(xiàn)多個頻率的同時發(fā)射與接收，在電阻率計算方面只測量電場或磁場的一個分量來計算全域視電阻率，可以在廣大的測區(qū)范圍進行觀測。通過廣域視電阻率定義，電磁測深的探測區(qū)域由遠區(qū)推廣到了中區(qū)，并有望實現(xiàn)近源探測[22]。

由均勻半空間偶極子頻率域場各分量表達式可知，電磁場各分量的強度和波數(shù)有關，而波數(shù)包含了介質(zhì)的電性參數(shù)。因此，CSMT的電磁場各分量與地層電阻率之間存在復雜的隱函數(shù)關系。在有效的測量范圍內(nèi)，每個電磁場分量必然存在一個電阻率值與之對應，這就為基于反函數(shù)思想用電磁場各分量定義全域視電阻率提供了基礎。本文針對CSMT的廣域視電阻率定義問題，從反函數(shù)原理出發(fā)，給出一種適合電磁場各分量的不受測區(qū)影響的全域視電阻率的定義方法，并對理論模型進行試驗。

1 基于反函數(shù)原理的視電阻率計算方法

1.1 視電阻率計算方法

由于電磁場各分量均為地下介質(zhì)電阻率以及場源的函數(shù)，因此將電磁場分量記為f(c,ρ,ω)，其中，c表示測點與場源的位置關系以及場源參數(shù)，ρ為大地電阻率，ω為發(fā)射源頻率。為了利用反函數(shù)原理實現(xiàn)廣域視電阻率的計算，將復雜函數(shù)f(c,ρ,ω)在ρ0的領域內(nèi)進行泰勒展開：

f(c,ρ,ω)=f(c,ρ0,ω)+f′(c,ρ0,ω)·

(ρ-ρ0)+…+Rn(ρ) ，

(1)

當場值分量關于地下介質(zhì)電阻率參數(shù)為單調(diào)函數(shù)時反函數(shù)存在，可將式(1)中高階無窮小量忽略，得線性化函數(shù)：

f(c,ρ,ω)=f(c,ρ0,ω)+f′(c,ρ0,ω)(ρ-ρ0) 。

(2)

當反函數(shù)存在時，通過反函數(shù)原理，將式(2)改寫成電阻率的函數(shù)，即可以獲得迭代的視電阻率計算表達式：

(3)

式中：f(c,ρ,ω)為實測電磁場分量，f(c,ρ0,ω)為電阻率等于ρ0時均勻半空間模型的理論電磁場值，f′(c,ρ0,ω)為f(c,ρ0,ω)的一階導數(shù)?？蓪⑹?3)改寫為迭代格式：

(4)

1.2 均勻半空間頻域電磁場與電阻率函數(shù)關系

根據(jù)均勻半空間電偶極子場表達式給出不同頻率電磁場各分量隨電阻率變化的曲線特征。圖1所示為Ex電場分量模值、實部與虛部在不同頻率關于電阻率變化的曲線；圖2給出了Hy磁場分量模值、實部與虛部在不同頻率關于電阻率變化的曲線；圖3為Ex/Hy波阻抗分量模值、實部與虛部在不同頻率關于電阻率變化的曲線。對于電場分量以及電場與磁場的比值隨著電阻率變化呈單調(diào)函數(shù)，有利于基于反函數(shù)原理的視電阻率定義。對于磁場分量在電阻率變化過程中存在一個極值，可以在極值電阻率兩側(cè)分別采用反函數(shù)原理進行視電阻計算。

圖1 頻域電磁場Ex分量關于電阻率變換曲線特征Fig.1 Characteristic of Ex component in frequency domain about resistivity

圖2 頻域電磁場Hy分量關于電阻率變換曲線特征Fig.2 Characteristic of Hy component in frequency domain about resistivity

圖3 頻域電磁場Zxy分量關于電阻率變換曲線特征Fig.3 Characteristic of Zxy component in frequency domain about resistivity

已知均勻半空間電阻率值為ρ=20 Ω·m，分別采用卡尼亞視電阻率、基于反函數(shù)原理的視電阻率等計算模型視電阻率曲線；由圖4可知卡尼亞視電阻率計算的視電阻率值隨著偏移距增大，視電阻率的極大值逐漸減小，近場效應隨偏移距的增大逐漸減弱。由圖5可知，基于反函數(shù)原理定義的視電阻率不存在近場效應，不論在近區(qū)、過渡區(qū)、遠區(qū)電阻率值均為ρ=20 Ω·m，與模型完全符合。

圖4 基于卡尼亞視電阻計算的不同偏移距半空間視電阻率Fig.4 Different offset half-space apparent resistivitycalculations based on Cagniard apparent resistivity

圖5 基于反函數(shù)原理的不同偏移距半空間視電阻率曲線Fig.5 Apparent resistivity for different offsets in half space based on the inverse function principle

2 層狀模型分析

為驗證文中視電阻計算方法，給定發(fā)射源參數(shù)：電流源長度1 000 m，電流1 A，偏移距分別為200、500、1 000、5 000 m；利用文中所述方法，分別用Ex、Hy、Ex/Hy、ABS(Ex/Hy)等分量來計算層狀模型的視電阻率。

2.1 兩層模型分析

設兩層模型參數(shù)：第一層電阻率值ρ1=100 Ω·m，層厚h1=50 m；第二層電阻率為變化值,ρ2分別為2、3、5、8、20、30、50、80、200、300、500、800 Ω·m，構(gòu)成D型和G型模型。基于反函數(shù)原理定義的視電阻率計算結(jié)果見圖6～圖8。

將圖6～圖8進行對比分析，發(fā)現(xiàn)曲線首支總趨于第一層電阻率，尾支總能表征第二層電阻率值相對于第一層電阻率變化趨勢。在收發(fā)距較小的情況下，受收發(fā)裝置所限，曲線尾支不能趨近于最后一層電阻率，這是因為當收發(fā)距較小時，電磁場與頻率無關，等效為幾何測深裝置，因此最后一層電阻率趨于常值。在收發(fā)距較大的情況下，曲線尾支逐漸趨近于最后一層電阻率。

圖6 偏移距200 m時兩層模型各分量定義的視電阻率特征Fig.6 The apparent resistivity characteristics defined by each component of the two-layer model when the offset is 200 meters

圖7 偏移距1 000 m時兩層模型各分量定義的視電阻率特征Fig.7 The apparent resistivity characteristics defined by each component of the two-layer model when the offset is 1 000 meters

圖8 偏移距5 000 m時兩層模型各分量定義的視電阻率特征Fig.8 The apparent resistivity characteristics defined by each component of the two-layer model when the offset is 5 000 meters

整體上看，無論是D型還是G型，其視電阻率計算結(jié)果在高頻段和低頻段都能很好地反映模型的電阻率，曲線光滑，且較真實地反映了地電結(jié)構(gòu)。

2.2 三層模型分析

2.2.1 改變中間層電阻率

設三層H型模型參數(shù)：第一層電阻率ρ1=100 Ω·m，層厚h1=10 m；第二層電阻率為變化值，ρ2分別為10、20、30、50、80 Ω·m，h2=30 m；第三層電阻率ρ3=100 Ω·m?；诜春瘮?shù)原理的視電阻率定義結(jié)果見圖9～11。

由圖9～11可見：在收發(fā)距較大情況下，高頻段和低頻段的視電阻率與模型電阻率一致；由于中間層為低阻，所以全域視電阻率曲線表現(xiàn)為下凹形態(tài)，這與所設計的正演模型吻合?？傮w來說，CSMT的全域視電阻率定義能細致刻畫地電信息的變化，在不同的偏移距處可以準確定義，進一步說明CSMT全域視電阻率定義方法的準確性。

圖9 偏移距500 m時H型模型各分量定義的視電阻率特征Fig.9 The apparent resistivity characteristics defined by each component of the H-type model when the offset is 500 meters

圖10 偏移距1 000 m時H型模型各分量定義的視電阻率特征Fig.10 The apparent resistivity characteristics defined by each component of the H-type model when the offset is 1 000 meters

圖11 偏移距5 000 m時H型模型各分量定義的視電阻率特征Fig.11 The apparent resistivity characteristics defined by each component of the H-type model when the offset is 5 000 meters

設三層K型模型參數(shù)：ρ1=10 Ω·m,h1=10 m;第二層電阻率為變化值，ρ2分別為15、20、30、50、80 Ω·m，h2=30 m;ρ3=10 Ω·m?；诜春瘮?shù)思想定義的視電阻率結(jié)果見圖12～14。

對比圖12～14可知，當偏移距較小時視電阻率尾支趨于定值，隨著偏移距的增加電阻率曲線尾支能夠較好地趨近于底層電阻率?？傮w而言，視電阻率曲線能較好地擬合給定模型參數(shù)，中間夾層為高阻層時，視電阻率曲線存在上凸，能夠反映中間高阻層，并且隨著電阻率的增加異常逐漸變大，較好地反映了模型的電阻率特征。

圖12 偏移距200 m時K型模型各分量定義的視電阻率特征Fig.12 The apparent resistivity characteristics defined by each component of the K-type model when the offset is 200 meters

圖13 偏移距500 m時K型模型各分量定義的視電阻率特征Fig.13 The apparent resistivity characteristics defined by each component of the K-type modelwhen the offset is 500 meters

圖14 偏移距1 000 m時K型模型各分量定義的視電阻率特征Fig.14 The apparent resistivity characteristics defined by each component of the K-type modelwhen the offset is 1 000 meters

2.2.2 改變中間層厚度

改變?nèi)龑幽Ｐ偷闹虚g層厚度。H型模型：ρ1=100 Ω·m，h1=10 m；ρ2=10 Ω·m，h2分別為5、10、15、30、50、80 m；ρ3=100 Ω·m?；诜春瘮?shù)原理的視電阻率定義結(jié)果見圖15。K型模型：ρ1=10 Ω·m，h1=10 m；ρ2=20 Ω·m，h2分別為5、10、20、30、50、80 m；ρ3=10 Ω·m?；诜春瘮?shù)原理的視電阻率定義結(jié)果見圖16。

圖15 層厚改變時H型模型各分量定義的視電阻率特征Fig.15 The apparent resistivity characteristics defined by each component of the H-type model with layer thickness changes

圖16 層厚改變時K型模型各分量定義的視電阻率特征Fig.16 The apparent resistivity characteristics defined by each component of the K-type model with layer thickness changes

對于H型和K型模型，由圖可見：在地層厚度較小時中間層的電阻率異常較小，在層厚逐漸增大的情況下，異常范圍逐漸增大，曲線緩慢趨于平穩(wěn)，視電阻率曲線的“下凹”與“上凸”更加明顯；各分量定義的視電阻率都能對模型有較好的反映。

3 結(jié)論

基于反函數(shù)定理實現(xiàn)了任意分量的CSMT全區(qū)視電阻率定義，均勻半空間下層狀模型的視電阻率計算結(jié)果充分說明了本文算法的有效性。本算法可以實現(xiàn)各種地電模型全區(qū)全頻段的視電阻率計算，相對于卡尼亞視電阻率，曲線形態(tài)沒有畸變，能正確反映地下電性結(jié)構(gòu)，且計算速度快、精度高。實際工作中，可根據(jù)測量的單分量或多分量數(shù)據(jù)來計算視電阻率，方便快捷地實現(xiàn)對野外資料數(shù)據(jù)的處理。

分析了偏移距、中間層厚度以及中間層電阻率等參數(shù)對視電阻率計算的影響。野外應避免收發(fā)距相對為極小量，因為這時電磁場與頻率無關，裝置等效為幾何測深，磁場與電阻率無關而低頻電場分量計算的視電阻率趨于常值，不能真實反映地層電阻率。在不同偏移距測區(qū)，從各分量的視電阻率曲線圖可以看到，視電阻率曲線的首支都能夠很好地反映第一層的真實電阻率，在尾支也能不斷趨于最后一層的真實電阻率，三層模型的曲線變化光滑且能較好地反映中間層的變化趨勢，都能很好地逼近模型電阻率。