純電動(dòng)汽車懸置系統(tǒng)固有特性的不確定性和相關(guān)性傳播分析

呂輝 李振聰 楊坤 黃曉婷 上官文斌

摘要： 針對(duì)純電動(dòng)汽車動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)（Powertrain Mounting System，PMS）參數(shù)同時(shí)存在不確定性和相關(guān)性的情形，開展了純電動(dòng)汽車 PMS 固有特性的不確定性和相關(guān)性傳播分析研究。利用多維平行六面體模型量化系統(tǒng)參數(shù)不確定性和相關(guān)性；基于多維平行六面體模型，將正則化法、泰勒展開法及中心差分法相結(jié)合，提出了一種 PMS固有特性響應(yīng)不確定性傳播分析的 MP 攝動(dòng)法。結(jié)合系統(tǒng)固有特性響應(yīng)數(shù)據(jù)，基于蒙特卡羅法和置信度，提出了一種系統(tǒng)固有特性響應(yīng)的相關(guān)性傳播分析方法。以某純電動(dòng)汽車 PMS 算例驗(yàn)證了方法的有效性。分析結(jié)果表明：系統(tǒng)參數(shù)的不確定性會(huì)使得系統(tǒng)響應(yīng)具有不確定性，而系統(tǒng)參數(shù)的相關(guān)性會(huì)使得系統(tǒng)響應(yīng)具有一定的相關(guān)性。

關(guān)鍵詞： 純電動(dòng)汽車；動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)；多維平行六面體模型；不確定性傳播；相關(guān)性傳播

中圖分類號(hào)： U469.72 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523（2023）03-0671-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2023.03.009

引 言

在純電動(dòng)汽車的設(shè)計(jì)、制造和工作過程中，廣泛地存在著各種不確定因素。純電動(dòng)汽車的動(dòng)力源采用驅(qū)動(dòng)電機(jī)取代了發(fā)動(dòng)機(jī)，發(fā)動(dòng)機(jī)的“掩蔽效應(yīng)”消失，使得各種不確定因素相互作用下的純電動(dòng)汽車噪聲 、振動(dòng)和聲振粗糙度（Noise，Vibration and Harshness，NVH）問題更加突出。動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)（Powertrain Mounting System，PMS）作 為 NVH技術(shù)的重要一環(huán)，是純電動(dòng)汽車隔離振動(dòng)傳遞、降低噪聲傳播的重要系統(tǒng)之一［1？2］。對(duì)純電動(dòng)汽車 PMS固有特性開展不確定性領(lǐng)域方面的分析研究具有重要的工程意義。

近年來，針對(duì) PMS 固有特性開展的不確定性研究已經(jīng)很成熟。辛付龍等［3］以懸置剛度為優(yōu)化變量并考慮其不確定性，以系統(tǒng)解耦率、懸置動(dòng)反力以及動(dòng)反力的穩(wěn)健性函數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)，對(duì) PMS 進(jìn)行了多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化；劉春梅等［4］考慮了懸置剛度的制造誤差等不確定因素，提出了一種 PMS 的可靠設(shè)計(jì)流程，并將其用于某懸置系統(tǒng)的開發(fā)設(shè)計(jì)；謝展等［5］基于區(qū)間分析，將穩(wěn)健設(shè)計(jì)與多目標(biāo)優(yōu)化相結(jié)合，提出了一種PMS隔振性能的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法 ；Cai等［6］針對(duì) PMS 一部分參數(shù)信息匱乏而另一部分參數(shù)信息充足的復(fù)雜情形，構(gòu)建隨機(jī)與區(qū)間混合模型對(duì) PMS 固有特性進(jìn)行了不確定性傳播分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)。

上述研究均將系統(tǒng)不確定參數(shù)視為獨(dú)立變量。在實(shí)際工程中，機(jī)械系統(tǒng)的關(guān)鍵參數(shù)之間往往具有一定相關(guān)性，不確定參數(shù)間的相關(guān)性研究已經(jīng)受到越來越多學(xué)者的關(guān)注。Qiu 等［7］對(duì)比分析了考慮參數(shù)相關(guān)性的橢球模型和未考慮參數(shù)相關(guān)性的區(qū)間模型在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析中的應(yīng)用。呂輝等［8］提出了一種基于多橢球凸模型的 PMS 固有特性的不確定性傳播分析方法，分析了剛度參數(shù)相關(guān)性對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。然而，單個(gè)橢球凸模型僅能處理所有不確定參數(shù)完全相關(guān)的情形。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)一部分獨(dú)立、另一部分相關(guān)時(shí)，采用橢球凸模型需要分組建立多個(gè)橢球，過程相對(duì)復(fù)雜［9］。近年來，多維平行六面體（Multidimensional Parallelepiped，MP）模 型 備 受關(guān)注，該模型可以對(duì)不確定參數(shù)完全獨(dú)立，完全相關(guān)，或者既有相關(guān)性又有獨(dú)立性的各種情形進(jìn)行量化。因此，呂輝等［10］進(jìn)一步引入 MP 模型處理 PMS參數(shù)相關(guān)性和獨(dú)立性并存的情形，結(jié)合蒙特卡羅法初步提出了一種 PMS 的不確定性傳播分析方法。

可以看出，考慮不確定參數(shù)相關(guān)性的 PMS 研究已受到學(xué)者的密切關(guān)注，并取得了一些成果。對(duì)此，可能還存在兩方面的關(guān)鍵問題需解決。第一，目前基于 MP 模型的 PMS 不確定性傳播分析主要依賴于蒙特卡羅抽樣［10］，其計(jì)算效率相對(duì)較低。第二，在純電動(dòng)汽車 PMS 中普遍采用的橡膠懸置的三向剛度參數(shù)之間存在明顯的相關(guān)性。系統(tǒng)參數(shù)的相關(guān)性必然會(huì)引起系統(tǒng)響應(yīng)之間存在一定的相關(guān)性，即相關(guān)性傳播現(xiàn)象［11］，現(xiàn)有研究尚未開展這方面工作。

針對(duì)上述問題，本文旨在開展純電動(dòng)汽車 PMS固有特性的不確定性傳播和相關(guān)性傳播分析研究。首先引入 MP 模型描述 PMS 中存在不確定性和相關(guān)性的剛度參數(shù)，隨后提出一種能快速求解系統(tǒng)固有特性響應(yīng)區(qū)間的不確定性傳播分析方法；接著提出一種基于蒙特卡羅法的相關(guān)性傳播分析方法。最后，通過數(shù)值算例驗(yàn)證方法的有效性。

1 分析模型

1. 1 純電動(dòng)汽車 PMS 模型

圖 1 為某純電動(dòng)汽車 PMS 的三維模型及其對(duì)應(yīng)的六自由度動(dòng)力學(xué)模型［12］。一般可將動(dòng)力總成簡化為六自由度剛體，橡膠懸置元件簡化為具有三向正交剛度的彈簧模型。

1. 2 不確定性分析模型

工程實(shí)際中，存在一種典型的“多源不確定性”問題［13］，即參數(shù)的不確定性來源可能不同。同一來源時(shí)，不確定參數(shù)可能是相關(guān)的；不同來源時(shí)則是獨(dú)立的。如純電動(dòng)汽車 PMS 中，同一橡膠懸置的三向剛度參數(shù)存在一定的相關(guān)性，而不同懸置的參數(shù)之間則是相互獨(dú)立的。利用 MP 模型［14］，可以描述參數(shù)相關(guān)性和獨(dú)立性共存的復(fù)雜情形。

對(duì)任意兩個(gè)相互獨(dú)立的不確定參數(shù) Xt 和 Xl 的取值范圍（t，l = 1，2，？，n 且 t ≠ l）可以建立一個(gè)矩形不確定域 ΩS，如圖 2 中虛線所示。若 Xt 和 Xl 之間存在相關(guān)性，則可用圖 2 中實(shí)線所圍的平行四邊形域 Ω 表示。

2 PMS 不確定性傳播分析

由于系統(tǒng)參數(shù)是不確定的，計(jì)算得到的系統(tǒng)響應(yīng)也是不確定的，這就是不確定性傳播問題。對(duì)于PMS 固有特性的不確定性傳播分析，文獻(xiàn)［10］基于蒙特卡羅法開展了初步研究。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)將提出一種快速求解系統(tǒng)響應(yīng)的 MP 攝動(dòng)法。

首先將描述純電動(dòng)汽車系統(tǒng)參數(shù)的 MP 模型轉(zhuǎn)換為正則區(qū)間模型。正則化可以通過下式實(shí)現(xiàn)：

3 PMS 相關(guān)性傳播分析參考文獻(xiàn)［10］，基于蒙特卡羅法可求得純電動(dòng)汽車 PMS 固有特性的一系列響應(yīng)數(shù)據(jù)。記任意兩個(gè)響應(yīng)分別為 Ft（ X ） 和 Fl（ X ） （t，l = 1，2，？，6），且均有 B 組響應(yīng)數(shù)據(jù) FtS =[ F（1） t ，F(xiàn)（ 2） t ，？，F(xiàn)（ B） t ]和 FlS =[ F（1） l ，F(xiàn)（ 2） l ，？，F(xiàn)（ B） l ]。 由 于 相 關(guān) 性 傳 播 ，F(xiàn)tS 和 FlS 會(huì)呈現(xiàn)出一定的相關(guān)性。

基于蒙特卡羅法求解 FtS 和 FlS 的相關(guān)性，主要步驟如下：

（5）以一微小增量 Δt 對(duì)變量 t 進(jìn)行迭代計(jì)算，直到得到包絡(luò) FtS 和 FlS 所有樣本點(diǎn)的平行四邊形不確定域，以及最終的相關(guān)系數(shù) ρFt Fl。

建立包絡(luò) FtS 和 FlS 所有樣本點(diǎn)且面積最小的平行四邊形域非常耗時(shí)，且會(huì)在平行四邊形域內(nèi)留下沒有樣本的大量空白區(qū)域［15］。此時(shí)，可以引入置信度 τ = H B。其中，H 為被平行四邊形不確定域包絡(luò)的樣本數(shù)；B 為樣本總數(shù)。因此，在上述步驟（5）中，當(dāng)被包絡(luò)的樣本數(shù)與樣本總數(shù)的比值達(dá)到所設(shè)置信度 τ 時(shí)，即可作為迭代過程結(jié)束的條件。

一般地，分散的樣本對(duì)應(yīng)一個(gè)大的置信度，可以使構(gòu)成的平行四邊形不確定域?qū)颖镜陌j(luò)更合理，避免不確定量化結(jié)果面臨高風(fēng)險(xiǎn)；而聚集的樣本對(duì)應(yīng)一個(gè)小的置信度，可以避免平行四邊形不確定域出現(xiàn)許多空域。

圖 5 給出了 PMS 相關(guān)性傳播分析的一般流程。

4 算例分析

4. 1 PMS 分析模型

以某純電動(dòng)汽車 PMS 為例，其模型示意圖如圖6 所示。電機(jī)總成重為 82 kg。表 1 為電機(jī)總成的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積。表 2 為懸置的初始剛度。表 3 為懸置的安裝位置。懸置為水平安裝。

4. 2 不確定性傳播分析

由于 θ（x 繞電機(jī)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)方向）、Y（汽車前進(jìn)方向的左右側(cè)）和 Z（豎直方向）方向?yàn)殡姍C(jī)總成振動(dòng)有特性。這三個(gè)方向的固有頻率分別記為 F Y，F(xiàn)Z 和Fθx，解耦率分別記為 D Y，DZ 和 Dθx。

純電動(dòng)汽車 PMS 的橡膠懸置剛度參數(shù)具有較明顯的不確定性和相關(guān)性。定義表 2 中的懸置剛度值為其不確定取值區(qū)間的中心點(diǎn)，并將其由中心點(diǎn)變化的百分比作為不確定度。為便于分析，本算例給定同一懸置剛度參數(shù)的相關(guān)系數(shù)為 0.4，不同懸置間的剛度參數(shù)相互獨(dú)立。當(dāng)剛度參數(shù)的不確定度依次為±2%， ±4%， ±6%， ±8% 和±10% 時(shí)，利用提出的 MP 攝動(dòng)法計(jì)算 PMS 固有特性，結(jié)果如表 4所示。以蒙特卡羅法抽樣 106次求得的系統(tǒng)固有特性結(jié)果作為參考，如表 5 所示。將兩種方法計(jì)算結(jié)果之差的絕對(duì)值作為 MP 攝動(dòng)法的計(jì)算誤差。不同情形下 MP 攝動(dòng)法的計(jì)算誤差如圖 7 和 8 所示。

由表 4 和 5 可知，由于不確定性傳播，懸置剛度的不確定性導(dǎo)致系統(tǒng)固有特性也是不確定的。隨著系統(tǒng)參數(shù)不確定度增大，固有特性的區(qū)間范圍也在增大，呈現(xiàn)向外擴(kuò)張趨勢(shì)。

由圖 7 可知，對(duì)于固有頻率下界，MP 攝動(dòng)法的計(jì)算誤差隨著參數(shù)不確定度增大而增大，最大誤差約為 0.28 Hz，出現(xiàn)在 θ x 方向，此時(shí)對(duì)應(yīng)的參數(shù)不確定度為±10%，而 Y 和 Z 方向固有頻率下界的計(jì)算誤差均較小。對(duì)于固有頻率上界，MP 攝動(dòng)法計(jì)算的最大誤差約為 0.34 Hz，仍出現(xiàn)在 θ x 方向且對(duì)應(yīng)的參數(shù)不確定度為±10%。當(dāng)不確定度小于±10%時(shí)，Y 和 Z 方向的計(jì)算誤差均小于 0.1 Hz。

由圖 8 可知，對(duì)于解耦率下界，MP 攝動(dòng)法計(jì)算的最大誤差出現(xiàn)在 Y 方向上，最大誤差約為 0.1%，對(duì)應(yīng)的參數(shù)不確定度亦為±10%。對(duì)于解耦率上界，MP 攝動(dòng)法計(jì)算的最大誤差仍出現(xiàn)在 Y 方向，最大 誤 差 約 為 0.5%，對(duì) 應(yīng) 的 參 數(shù) 不 確 定 度 也 為±10%。

對(duì)于上述不確定性傳播分析，每種不確定度情形下的蒙特卡羅法均基于隨機(jī)抽樣，需要大量抽樣運(yùn)算才能得到精確的不確定響應(yīng)結(jié)果，因此其計(jì)算效率較低，計(jì)算時(shí)間約為 2923 s；而 MP 攝動(dòng)法基于正則化法、泰勒展開法及中心差分法，其計(jì)算不確定響應(yīng)邊界時(shí)，僅需根據(jù)推導(dǎo)的公式進(jìn)行運(yùn)算，因此計(jì)算效率很高，計(jì)算時(shí)間約為 3.1 s.

因此，本文提出的 MP 攝動(dòng)法，在純電動(dòng)汽車PMS 固有特性的不確定性傳播分析中，不僅具有較高的計(jì)算精度，而且還具有很高的計(jì)算效率。

4. 3 相關(guān)性傳播分析

由于系統(tǒng)參數(shù)具有相關(guān)性，計(jì)算得到的系統(tǒng)響應(yīng)之間也會(huì)具有一定的相關(guān)性，這就是相關(guān)性傳播問題。本節(jié)進(jìn)一步研究系統(tǒng)參數(shù)相關(guān)性對(duì)輸出響應(yīng)相關(guān)性的影響，即開展相關(guān)性傳播分析。

給定剛度參數(shù)的不確定度為 ±8%，每個(gè)懸置任意兩個(gè)剛度之間的相關(guān)系數(shù)記為 ρ0。 此外 ，以ρ （ Fi，F(xiàn)j） （i，j = Y，Z，θ x，i ≠ j） 表示任意兩個(gè)方向固有 頻 率 之 間 的 相 關(guān) 系 數(shù) ；以 ρ （ Di，Dj） （i，j =Y，Z，θ x，i ≠ j） 表示任意兩個(gè)方向解耦率之間的相關(guān)系數(shù)；ρ （ Fn，Dm ） （ n，m = Y，Z，θ x ） 表示固有頻率和解耦率之間的相關(guān)系數(shù)。

研究 ρ0=0.3，0.5 和 0.7 三種情形，利用提出的相關(guān)性傳播分析方法分別計(jì)算系統(tǒng)固有特性響應(yīng)之間的相關(guān)系數(shù)，結(jié)果如表 6～8 所示。

由表 6～8 可知：

（1）當(dāng)剛度參數(shù)的相關(guān)系數(shù)相同時(shí)，不同方向固有頻率之間的相關(guān)性最高，解耦率與固有頻率之間的相關(guān)性最低，不同方向解耦率之間的相關(guān)性介于兩者之間；

（2）隨著剛度參數(shù)相關(guān)系數(shù)增大，固有特性之間的相關(guān)性有可能隨之增大（如 ρ （ ） F Y，F(xiàn)Z ，ρ （ ） F Y，F(xiàn)θx ，ρ （ FZ，F(xiàn)θx ） 和 ρ （ D Y，DZ ）），也有可能隨之減 （如ρ （ FZ，DZ ） 和 ρ （ Fθx，DZ ）），或 者 先 增 大 后 減 ?。ㄈ绂?（ F Y，D Y ），ρ （ F Y，DZ ），ρ （ F Y，Dθx ），ρ （ FZ，Dθx ） 和ρ （ Fθx，Dθx ））。

利用提出的相關(guān)性傳播分析法，還可以建立不同情形下任意兩個(gè)固有特性響應(yīng)之間的平行四邊形不確定域，如圖 9 和圖 10 所示。由前面分析可知，固有頻率和解耦率之間的相關(guān)性較低，故它們之間的響應(yīng)相關(guān)性不再討論。限于篇幅，僅給出F Y 和 FZ，以及 DZ 和 Dθx 響應(yīng)數(shù)據(jù)的平行四邊形不確定域。

由圖 9 和圖 10 可知：

（1）對(duì)于固有頻率響應(yīng) ，F(xiàn) Y 和 FZ 之間的樣本數(shù)據(jù)呈正相關(guān)性，且隨著剛度參數(shù)相關(guān)系數(shù)增大，響應(yīng)樣本數(shù)據(jù)變得越聚集 ；即它們之間的相關(guān)系數(shù)越大 ，所構(gòu)成的平行四邊形不確定域越狹窄 。此時(shí)，若要對(duì)系統(tǒng)固有頻率進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，應(yīng)充分考慮它們之間的相關(guān)性，以獲得更合理結(jié)果。

（2）對(duì)于解耦率響應(yīng)，DZ 和 Dθx 呈現(xiàn)出較低的相關(guān)性，隨著剛度參數(shù)相關(guān)系數(shù)增大，響應(yīng)樣本數(shù)據(jù)分布范圍變化不大，均較為分散；即它們之間的相關(guān)系數(shù)變化不大且數(shù)值較小，所構(gòu)成的平行四邊 形 不 確 定 域 面 積 較 大 ，接 近 于 矩 形 不 確 定 域 。此時(shí)，若要對(duì)系統(tǒng)解耦率進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，可以忽略DZ 和 Dθx 之間的相關(guān)性，以達(dá)到簡化問題的目的。5 結(jié) 論針對(duì)純電動(dòng)汽車 PMS 參數(shù)同時(shí)存在不確定性和相關(guān)性的復(fù)雜情形，基于多維平行六面體模型分別提出了系統(tǒng)固有特性的不確定性傳播分析方法和相關(guān)性傳播分析方法。算例分析表明：（1）在不確定性傳播分析方面，所提出的 MP 攝動(dòng)法具有計(jì)算誤差小和計(jì)算效率高的特點(diǎn)；（2）在相關(guān)性傳播分析方面，所提出的分析法能有效求得系統(tǒng)響應(yīng)之間的相關(guān)系數(shù)，以及響應(yīng)樣本的平行四邊形不確定域；（3）隨著系統(tǒng)參數(shù)不確定度增大，固有頻率和解耦率響應(yīng)的區(qū)間范圍逐漸增大；固有頻率之間的相關(guān)性最高，解耦率與固有頻率之間的相關(guān)性最低，解耦率之間的相關(guān)性介于兩者之間。

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