時滯反饋下非正交面齒輪主共振特性的多尺度法研究

莫帥 張應新 羅炳睿 岑國建 黃云生

摘要： 非正交面齒輪傳動可以滿足軸交角在 0°到 180°之間任意角的非正交傳動形式，建立了含時滯反饋的非正交面齒輪傳動系統(tǒng)的非線性動力學模型，考慮了時變嚙合剛度、傳動誤差、齒側間隙和輸入扭矩波動等因素。此外，采用多尺度法對系統(tǒng)的主共振特性進行分析，判定了系統(tǒng)的主共振穩(wěn)定性條件。用數值方法分析了時滯控制參數、嚙合阻尼、時變嚙合剛度波動幅值和載荷波動對系統(tǒng)幅頻特性的影響。結果表明：在控制過程中應合理選擇控制參數以避免主共振振幅過大和產生不穩(wěn)定分支；適當的嚙合阻尼有利于抑制系統(tǒng)主共振的振幅和縮減不穩(wěn)定分支；過高的激勵頻率易產生主共振的不穩(wěn)定分支；主共振的不穩(wěn)定分支隨著嚙合剛度的波動的增加逐漸縮減，但是在激振頻率接近主共振頻率時，較小的嚙合剛度波動也會導致系統(tǒng)失穩(wěn)；載荷波動的增加會導致系統(tǒng)主共振幅值增加，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性造成損害。

關鍵詞： 非線性動力學；主共振；非正交面齒輪；多尺度法；穩(wěn)定性；時滯反饋

中圖分類號： O322；TH132.41 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2023）03-0623-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2023.03.004

引 言

非正交面齒輪傳動系統(tǒng)可以滿足軸交角在 0°到180°之間任意角的非正交傳動形式，同時其所特有的對軸向安裝誤差不敏感和無軸向力的結構優(yōu)勢使其在高速重載的航空領域和小模數傳動領域具有十分廣泛的應用價值。齒輪系統(tǒng)具有豐富的非線性行為，因此對非正交面齒輪系統(tǒng)的振動進行控制并提高系統(tǒng)的可靠性具有重要的工程意義。各種受控動力系統(tǒng)的控制環(huán)節(jié)都不可避免地存在時滯，對于許多時滯系統(tǒng)，如果忽略其時滯會得到錯誤的結論，因此隨著控制速度和要求的不斷提高，控制過程中的時滯現(xiàn)象成為不容忽視的問題。多尺度法可以分析穩(wěn)態(tài)響應的穩(wěn)定性，描繪非自治系統(tǒng)的全局運動性態(tài)，這是多尺度法被引入到齒輪系統(tǒng)穩(wěn)定性分析里的一個重要原因。

近年來，國內外學者對齒輪系統(tǒng)的主共振特性和穩(wěn)定性做了大量深入的研究。文獻［1］分析了有裂紋齒輪系統(tǒng)的參數共振和穩(wěn)定性，并在此基礎上采用多尺度法揭示了阻尼比等關鍵參數對齒輪系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。文獻［2］使用多尺度法研究了包括齒側間隙等非線性因素在內的單自由度齒輪系統(tǒng)的受迫振動響應。文獻［3］采用多尺度法對直齒圓柱齒輪的主共振特性做了深入研究。對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，振動會不斷增大直到系統(tǒng)被損壞，因此穩(wěn)定性是系統(tǒng)必備的條件。文獻［4？5］從不同方面闡述了多種因素對齒輪系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，并提出了保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的理論和方法。文獻［6］對含裂紋、點蝕等缺陷的故障齒輪的振動特性做了詳細論述。文獻［7］建立了隨機波動模型來模擬風力機齒輪傳動系統(tǒng)的外激勵，用數值方法探討了隨機風及隨機側隙因素影響下系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻［8？10］討論了面齒輪分流傳動系統(tǒng)和行星輪系的均載特性，從一個新的角度研究了齒輪系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻［11］提出了一種使用雙變化時間步長的算法，將小齒輪的速度和拖曳轉矩作為激勵源來分析潤滑劑對齒輪系統(tǒng)振動的影響。

從已有文獻來看，大部分研究聚焦于傳統(tǒng)齒輪構型的振動特性和穩(wěn)定性，而非正交面齒輪作為一

種由漸開線圓柱齒輪和圓錐齒輪嚙合傳動的新型傳動構型，對其穩(wěn)定性和振動特性的研究則相對較少，并且目前綜合考慮主動控制參數和系統(tǒng)參數對振動特性影響的研究較少。

本文的主要目的是對含時滯反饋的非正交面齒輪的主共振特性進行研究，首先建立系統(tǒng)動力學模型，其中考慮了時變嚙合剛度、傳動誤差、齒側間隙和載荷波動等因素。隨后采用多尺度法判定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件。最后采用數值方法研究了系統(tǒng)參數對系統(tǒng)幅頻特性的影響。

1 非正交面齒輪系統(tǒng)動力學模型

1. 1 非正交面齒輪系統(tǒng)模型

如圖 1 所示為非正交面齒輪傳動系統(tǒng)模型，兩坐標系的 Y 軸在 O 點重合，方向為垂直紙面向外。非 正 交 面 齒 輪 坐 標 系 O？X1Y1Z1 由 直 齒 輪 坐 標 系O？X2Y2Z2繞軸線 OY2旋轉 γm得到，直齒輪軸線與坐標軸 OX2重合，非正交面齒輪軸線與坐標軸 OZ1重合，坐標系原點建立在兩軸線的交點處。γm與軸交角 γ 滿足 γm = 180°- γ。

1. 2 非正交面齒輪時變嚙合剛度

由于面齒輪副在實際嚙合過程中發(fā)生一對齒嚙合與兩對齒嚙合的交替，因此齒輪副的嚙合剛度隨嚙合齒數的周期性變化而變化。

本節(jié)通過有限元加載的方法求取面齒輪副的時變嚙合剛度。建立如圖 2 所示的非正交面齒輪副的有限元模型。為了減少不必要的計算量，只對五對輪齒進行計算。圖 2 中 O 為齒輪軸線的交點，O1為非正交面齒輪底面與軸線的交點，O2為直齒輪的幾何中心。求解過程設置了 3 個分析步，在第 1 個分析步中，對直齒輪施加微小轉動量，面齒輪保持固定，使齒面接觸，對面齒輪施加載荷，幅值為創(chuàng)建的 0？1平滑分析步；在第 2 個分析步中，釋放面齒輪旋轉自由度，面齒輪載荷幅值修改為 Ramp；在第 3 個分析步中，對直齒輪施加轉動量，使直齒輪轉過大約 5 個齒數，面齒輪載荷保持不變。

由于齒輪的剛度與齒輪的形狀和載荷有關，其關系可表示為：

K m （ t ）= F （ t ） /xn （1）式中 xn表示輪齒間相對位移，由載荷作用下的傳動誤差 LTE 和法向靜態(tài)傳動誤差 e（t）共同作用產生，可表示為：xn = LTE - e （ t ）=（r2 θ 2 - r1 θ 1 ） cos αn - e （ t ） （2）

用有限元方法求解載荷作用下的法向接觸力F（t）和兩個傳動誤差 LTE，e（t），根據式（1）便可得到時變嚙合剛度的變化曲線。對有限元計算結果進行處理，首先提取嚙合剛度的最大值和最小值，得到簡化的矩形波形式的時變嚙合剛度曲線，如圖 3 中藍色曲線所示；進而對矩形波形式的時變嚙合剛度進行傅里葉擬合，一般只取到前 5 階，得到更為精確的時變嚙合剛度曲線，如圖 3 中紅色曲線所示。由此，可將非正交面齒輪副的時變嚙合剛度表示為：式中 Ka為矩形波形式時變嚙合剛度的幅值；ωm為嚙合角頻率，其值等于輸入軸轉速頻率 ωs與輸入齒輪齒數 Z2之積；kri為第 i 階分量的波動幅值；Nk為傅里葉級數的階數，本文中 Nk=5；φri 為第 i 階分量的相位角。

1. 3 非正交面齒輪振動微分方程

如圖 4 構建非正交面齒輪傳動系統(tǒng)的扭振模型，將傳動誤差、時變嚙合剛度、齒側間隙、輸入扭矩的波動等因素引入到該系統(tǒng)的振動模型。

假設軸承和軸的支撐剛度遠遠大于齒輪的嚙合剛度，用嚙合線方向上的等效位移 xn作為新的自由度來代替系統(tǒng)的兩個扭轉自由度 θ1和 θ2。非正交面齒輪副因振動和傳動誤差產生的嚙合線方向位移可表示為式（2），式中，r1為直齒輪的分度圓半徑，r2為非正交面齒輪齒寬中點到回轉軸的距離。αn為齒輪副 的 法 向 壓 力 角 。 e（t）可 表 示 為 e （ t ）= e a +er sin （ ω m t + φ0 ），其中，e a 為靜態(tài)誤差，er 表示誤差的波動，φ0 為誤差波動的相位。

將嚙合線方向的位移 xn 視為唯一的自由度，得到系統(tǒng)振動微分方程：

取 bm為無量綱化標尺，對式（3）進行無量綱化，并將外載荷波動分解為一個常值項與一個波動項之和，得到：

本文考慮了施加主動控制后非正交面齒輪系統(tǒng)的時滯現(xiàn)象，時滯意味著系統(tǒng)當前狀態(tài)的變化依賴于系統(tǒng)的過去。對于本文所研究的含時滯非正交面齒輪系統(tǒng)，在系統(tǒng)支撐處施加位移和速度的時滯反饋控制，將時滯反饋模型引入到系統(tǒng)的振動微分方程（4）中［12］。可得到：式中 位移時滯量 xˉ n （ τ - τd ） 在位移反饋回路中，表示非正交面齒輪系統(tǒng)嚙合線上等效位移 xˉ n 在施加主動控制前后所表現(xiàn)出的時間差，其對應的位移控制量為 gd；速度時滯量 xˉ？ n （ τ - τ v ）在速度反饋回路中，表示非正交面齒輪系統(tǒng)嚙合線上相對速度 xˉ？ n 在施加主動控制前后所表現(xiàn)出的時間差，其對應的速度控制量為 gv。

2 主共振特性時間多尺度法分析

該部分采用時間多尺度法對非正交面齒輪副扭轉振動的主共振特性進行分析，其基本思路是將系統(tǒng)響應的展開式考慮為多個時間尺度的函數。

對含時滯反饋的系統(tǒng)振動微分方程（5）中的無量綱化齒側間隙函數 f （ xˉ n ） 進行擬合［13］，三次多項式 已 經 能 夠 精 確 反 映 系 統(tǒng) 嚙 合 狀 態(tài) ：f （ xˉ n ）=δ1 xˉ n + δ2 xˉ 3n = δ1 （ xˉ n + δ0 xˉ 3n ），其中 δ1與系統(tǒng)固有頻率 ω0滿足 ω0 = δ1 。

引入 Ti = εiτ 表示不同尺度的時間變量，其中？ε？？1。不同的時間尺度描述了變化過程中的不同節(jié)奏，階數越低，變化越緩慢，階數越高，變化越迅速。將系統(tǒng)振動微分方程（5）的解表示為不同尺度時間變量的函數：式中 m 表示小參數 ε的最高階次，其值取決于計算的精度要求。將不同尺度的時間變量 Ti視為獨立的變量，xˉ n 可視為 m 個時間變量的函數。

對系統(tǒng)的主共振的穩(wěn)定性進行分析。將方程（18）在 （ αˉ，φˉ ） 處線性化，形成關于擾動量 Δα 和 Δφ的微分方程：

3 非正交面齒輪主共振特性研究

為了研究非正交面齒輪傳動系統(tǒng)的振動特性，本節(jié)探討了控制參數、嚙合阻尼、嚙合剛度波動和載荷波動對系統(tǒng)主共振的影響。根據系統(tǒng)的物理參數定 義 方 程（20）的 初 始 無 量 綱 參 數 ：嚙 合 阻 尼 ζm=0.05，時變嚙合剛度波動幅值 κ=0.3，無量綱化后的靜載荷 f0=0.1，動載荷波動幅值 f=0.3。位移反饋gd=0.2，速 度 反 饋 gv= ？ 0.2。 時 間 遲 滯 τd= τv=T/9。

3. 1 時滯參數對主共振特性的影響

方程（20）的其他參數取初始參數，使位移控制參數 gd從？0.2 變化到 0.2。圖 5（a）給出以 gd為參數的幅頻特性曲線族，可以觀察到，隨著 gd的增加，系統(tǒng) 主 共 振 達 到 峰 值 所 對 應 的 頻 率 減 小 。 當 gd 從？0.2 增加到？0.1 時，主共振幅值降低，但是隨著 gd繼續(xù)增加，在 gd=0 和 gd=0.1 時，主共振的振幅激增，且存在較大的不穩(wěn)定分支如圖 5（a）中虛線所示。當 gd取 0.2 時，不穩(wěn)定分支消失，且振幅降低。這表明當其他參數取初始值時，控制參數 gd取 0 或0.1 會導致系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。

圖 5（b）給出了以 ω 為參數的幅頻特性曲線族，描述了控制參數 gd隨振幅 α 的變化關系。隨著激勵頻率 ω 增加，系統(tǒng)主共振達到峰值所對應的 gd值減小，并且當 ω 取 1.075 和 1.1 時，系統(tǒng)主共振的幅頻曲線出現(xiàn)不穩(wěn)定分支，即振幅 α 產生多值。以 ω=1.1為例，圖 5（b）中虛線框內為 ω=1.1 時振幅 α 發(fā)生跳躍的區(qū)域。當 gd增加時，振幅 α 沿曲線 gd？α 變化，到達 A1點時發(fā)生從 A1到 A3點的跳躍現(xiàn)象。這個過程反過來，即當 gd逐漸減小時，振幅 α 會從 A4點到 A2點突變。這種曲線多值現(xiàn)象對應于系統(tǒng)的不穩(wěn)定狀態(tài)，因此當系統(tǒng)工作在主共振頻率附近時，應控制參數 gd使其避開 gd？α 曲線的多值區(qū)域。

本文用嚙合力和齒間加速度來驗證多尺度方法求解該系統(tǒng)的可行性。求解系統(tǒng)振動微分方程（5）后，將系統(tǒng)位移響應和速度響應回代至振動微分方程得到嚙合力和齒間加速度隨系統(tǒng)參量變化的規(guī)律。圖 6 給出了位移控制參數 gd對嚙合力和齒間加速度的影響，可以看出，隨著 gd的增大，嚙合力總體上呈逐漸增加的狀態(tài)；且 gd>0.092 時，系統(tǒng)的齒間加速度隨 gd的變化急劇增加。圖 5 和圖 6 表明，為了避免對系統(tǒng)主共振的穩(wěn)定性造成損害以及避免過高的嚙合力和齒間相對加速度，系統(tǒng)的位移控制參數gd應控制在小于 0 的范圍內。

方程（20）的其他參數取初始參數，使速度控制參數 gv從？0.2 變化到 0.2?？梢缘玫胶臀灰茀?gd變化類似的結果：如圖 7（a）所示，系統(tǒng)主共振達到峰值所對應的頻率隨著 gv 的增加而增加 ，并且在gv=0.1 和 gv=0.2 時，主共振的振幅激增，存在較大的不穩(wěn)定分支，造成系統(tǒng)失穩(wěn)。因此在控制過程中，當系統(tǒng)其他參數取初始值時，控制參數 gv取 0.1 或0.2 會損害系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖 7（b）所示為以 ω 為參數的幅頻特性曲線族，系統(tǒng)主共振達到峰值所對應的 gv值隨著激勵頻率 ω 的增加而減小，并且當 ω 取1.075 和 1.1 時，系統(tǒng)主共振的幅頻曲線出現(xiàn)不穩(wěn)定分支，表明系統(tǒng)即將失穩(wěn)，圖中虛線框內表示 ω=1.1 時的振幅跳躍區(qū)域，gv增加時振幅 α 從 A4突變到A1，gv減小時振幅 α 從 A2突變到 A3。

圖 8 給出了速度控制參數 gv對嚙合力和齒間加速度的影響，可以看出，當 gv∈（？1，？0.6）時，嚙合力逐漸增加而齒間加速度逐漸降低，當 gv∈（？0.6，0.1）時，嚙合力和加速度的變化趨于平緩，當 gv>0.1時，嚙合力和加速度都有劇烈的波動。

圖 7 和 圖 8 表 明 系 統(tǒng) 的 速 度 控 制 參 數 應 在（？0.6，0）內取值，以保證嚙合力和齒間相對加速度不會劇烈波動，以及避免系統(tǒng)主共振振幅過高和產生較大的不穩(wěn)定分支。

方程（20）的其他參數取初始參數，使位移時滯τd從 0 變化到 4T/9。圖 9（a）給出以 τd為參數的幅頻特性曲線族，可以觀察到，隨著 τd的增加，系統(tǒng)主共振 達 到 峰 值 所 對 應 的 激 勵 頻 率 增 加 ，并 且 當 τd 取2T/9 和 T/3 時，系統(tǒng)振幅顯著降低，圖 9（a）中虛線所示的不穩(wěn)定分支明顯縮減，當 τd<2T/9 或 τd>T/3時，系統(tǒng)振幅較大且都存在較大的不穩(wěn)定分支，這表明當 τd取 2T/9 和 T/3 時系統(tǒng)主共振達到較好的穩(wěn)定狀態(tài)，在控制過程中應選取合理的位移時滯 τd，避免使系統(tǒng)振幅過高和產生不穩(wěn)定分支，保證系統(tǒng)穩(wěn)定性。

圖 9（b）給出了以 ω 為參數的幅頻特性曲線族，描述了位移時滯 τd 隨振幅 α 的變化關系?？梢钥闯?，隨著激勵頻率 ω 的增加，系統(tǒng)主共振的振幅 α 的不穩(wěn)定多分支愈發(fā)擴張，表現(xiàn)為曲線愈發(fā)明顯地出現(xiàn)多值。以 ω=1.2 為例，圖 9（b）中虛線框內為 ω=1.2 時振幅 α 發(fā)生跳躍的區(qū)域。隨著 τd增加，振幅 α沿 τd？α 曲線逐漸降低，經過 A1點時發(fā)生從 A1到 A3點的跳躍現(xiàn)象；同樣地，當 τd減小時，振幅 α 發(fā)生從 A4到 A2點的跳躍。

圖 10 給出了位移時滯 τd對嚙合力和齒間加速度的影響，當 τd >3.47 時，系統(tǒng)的嚙合力和齒間相對加速度發(fā)生劇烈波動。圖 9 和圖 10 表明位移時滯 τd可以降低主共振振幅和縮減系統(tǒng)的不穩(wěn)定分支，有益于系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但是若位移時滯 τd過大會導致系統(tǒng)嚙合力和齒間加速度劇烈波動，對系統(tǒng)穩(wěn)定性造成損害。

方程（20）的其他參數取初始參數，使速度時滯τv從 0 變化到 4T/9。由圖 11（a）的幅頻特性曲線族可以看出，當 τv取 T/3 和 4T/9 時，主共振振幅大幅增加，且具有較大的不穩(wěn)定分支。這表明當系統(tǒng)其他參數取初始值時，τv取 T/3 和 4T/9 會對系統(tǒng)穩(wěn)定性造成損害。圖 11（b）所示為以 ω 為參數的幅頻特性曲線族，隨著 ω 增加，曲線愈發(fā)明顯地出現(xiàn)多值現(xiàn)象，表明系統(tǒng)主共振的振幅 α 不穩(wěn)定的區(qū)域愈發(fā)增大，意味著系統(tǒng)更容易失穩(wěn)。圖 11（b）中虛線框內表示 ω=1.2 時的振幅跳躍區(qū)域，τv增加時振幅 α 從A4突變到 A2，τv減小時振幅 α 從 A1突變到 A3。

圖 12 給出了速度時滯 τv對嚙合力和齒間加速度的影響，當 τv >2.42 時，系統(tǒng)的嚙合力和齒間相對加速度發(fā)生劇烈波動。圖 11 和圖 12 表明適當的速度時滯 τv可以降低系統(tǒng)主共振的振幅，但是若 τv取值過大會導致系統(tǒng)主共振振幅激增，產生較大的不穩(wěn)定分支，且會造成系統(tǒng)的嚙合力和齒間加速度的劇烈波動。

3. 2 嚙合阻尼對主共振特性的影響

方程（20）的其他參數取初始參數，使嚙合阻尼ζm從 0 變化到 0.1。圖 13（a）給出以 ζm為參數的幅頻特性曲線族。當 ζm取 0 和 0.025 時，系統(tǒng)存在如圖中虛線所示的不穩(wěn)定分支。隨著 ζm的增大，系統(tǒng)主共振的振幅 α 下降，且不穩(wěn)定分支逐漸縮小。當 ζm取0.05，0.075和 0.1時，不穩(wěn)定分支消失，這表明可以通過適當增加系統(tǒng)的嚙合阻尼來提升系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖 13（b）給 出 了 以 ω 為 參 數 的 幅 頻 特 性 曲 線族，描述了系統(tǒng)嚙合阻尼 ζm 隨振幅 α 的變化關系。當激勵頻率小于系統(tǒng)共振頻率，即 ω 取 1 和 1.025時，系統(tǒng)主共振的振幅 α 隨 ζm的增大而降低；當激勵頻率大于系統(tǒng)主共振頻率，即 ω 取 1.05 和 1.075 時，系統(tǒng)主共振的幅頻曲線出現(xiàn)不穩(wěn)定分支，即振幅 α產生多值。圖 13（b）中的虛線框內為 ω=1.075 時振幅 α 發(fā)生跳躍的區(qū)域：當 ζm增加時，振幅 α 沿 ζm？α 曲線降低，經過 A1點時，發(fā)生從 A1點到 A3點的跳躍現(xiàn)象，此時振幅突然降低，經過 A3點后 α 繼續(xù)沿 ζm？α 曲線降低。當 ζm逐漸減小時，振幅 α 會發(fā)生從 A4點到A2點的突變。

嚙合阻尼對系統(tǒng)嚙合力和齒間加速度的影響如圖 14 所示。可以看出，當嚙合阻尼 ζm較小時，系統(tǒng)有較大的嚙合力和齒間相對加速度。ζm的增加對降低嚙合力和齒間相對加速度有明顯的效果，且隨著嚙合阻尼的增加，嚙合力和齒間加速度的變化逐漸趨于平緩。

13 和圖 14 表明：適當地增加系統(tǒng)的嚙合阻尼可以有效地抑制系統(tǒng)的主共振振幅，縮減不穩(wěn)定分支，并且避免系統(tǒng)嚙合力和齒間相對加速度的急劇變化。

3. 3 嚙合剛度波動對主共振特性的影響

方程（20）的其他參數取初始參數，使嚙合剛度波動幅值 κ 從 0.2 變化到 1。圖 15（a）給出了以 κ 為參數的幅頻特性曲線族，可以看出，當 κ 取 0.2，0.4和 0.6 時，系統(tǒng)存在如圖中虛線所示的不穩(wěn)定分支。隨著 κ 的增大，系統(tǒng)主共振的振幅下降，且不穩(wěn)定分支逐漸縮減。

圖 15（b）給 出 了 以 ω 為 參 數 的 幅 頻 特 性 曲 線族，描述了系統(tǒng)嚙合剛度波動幅值 κ 隨振幅 α 的變化關系。當激勵頻率大于系統(tǒng)主共振頻率，即 ω 取1.05 和 1.075 時，系統(tǒng)主共振幅頻曲線出現(xiàn)不穩(wěn)定分支，即振幅 α 產生多值。以 ω=1.075 為例，圖 15（b）中虛線框內為 ω=1.075 振幅 α 發(fā)生跳躍的區(qū)域，當κ 增加時，振幅 α 沿曲線 κ？α 變化，到達 A1點時發(fā)生從 A1到 A3點的跳躍現(xiàn)象。當 κ 逐漸減小時，振幅 α會發(fā)生從 A4 點到 A2 點的突變。同時觀察到，ω=1.075 發(fā)生跳躍的區(qū)域所對應的 κ 值比 ω=1.05 時小，這表明激振頻率接近主共振頻率時，幅頻特性曲線越容易出現(xiàn)多值，此時較小的嚙合剛度波動也容易導致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。

嚙合剛度的波動對系統(tǒng)嚙合力和齒間加速度的影響如圖 16 所示。可以看出，當嚙合剛度波動量 κ小于 0.57 時，系統(tǒng)的嚙合力和齒間相對加速度隨著κ 的增加逐漸降低，當嚙合剛度波動量 κ 大于 0.57時，系統(tǒng)的嚙合力開始逐漸上升，且齒間相對加速度急劇增加。

圖 15 和圖 16 說明，適當增加嚙合剛度的波動可以改善系統(tǒng)的動力學特性，降低主共振幅值，縮減系統(tǒng)的不穩(wěn)定分支以及降低傳動過程中的嚙合力和齒間加速度。但當系統(tǒng)處于不穩(wěn)定區(qū)域內，較小的嚙合剛度波動也會導致振幅的突變。

3. 4 載荷波動對主共振特性的影響

方程（20）的其他參數取初始參數，使載荷波動幅值 f 從 0 變化到 0.5。圖 17（a）給出以 f 為參數的幅頻特性曲線族，當 f=0.1 時，系統(tǒng)主共振的穩(wěn)態(tài)幅值較小，不存在不穩(wěn)定分支；當 f 從 0.2 變化到 0.5 時，主共振的振幅急劇增加，存在如圖中虛線所示的不穩(wěn)定分支。隨著 f 的增大，系統(tǒng)主共振的振幅增大，不穩(wěn)定分支擴張。這表明外激勵載荷過大會造成系統(tǒng)主共振的穩(wěn)態(tài)幅值增加，并且對系統(tǒng)的穩(wěn)定性造成損害。因此當系統(tǒng)工作在接近主共振狀態(tài)時，應該避免過大的載荷激勵。

圖 17（b）給 出 了 以 ω 為 參 數 的 幅 頻 特 性 曲 線族，描述了系統(tǒng)外載荷激勵的波動幅值 f 隨振幅 α 的變化關系?？梢杂^察到，當激勵頻率大于系統(tǒng)主共振頻率，即 ω 取 1.05 和 1.075 時，系統(tǒng)主共振的幅頻曲線出現(xiàn)不穩(wěn)定分支，即振幅 α 產生多值。以 ω=1.075 為例，圖 17（b）中的虛線框內為 ω=1.075 時振幅 α 發(fā)生跳躍的區(qū)域。當 f 增加時，振幅 α 沿曲線 f？α增加，經過 A4點時發(fā)生從 A4到 A2點的跳躍現(xiàn)象，α繼續(xù)沿曲線 f？α 增加。當 f 逐漸減小時，振幅會發(fā)生從 A1點到 A3點的突變。同時可以觀察到，激勵載荷f 越大，激振頻率 ω 越高，振幅 α 的多值現(xiàn)象越明顯，即系統(tǒng)的不穩(wěn)定現(xiàn)象越明顯。

載荷波動對系統(tǒng)嚙合力和齒間加速度的影響如圖 18 所示?？梢钥闯?，隨著載荷波動的增加，齒間嚙合力急劇增加且齒間相對加速度大幅度波動。

圖 17 和圖 18 說明，載荷波動越大，主共振振幅越大，不穩(wěn)定分支愈發(fā)擴張，且會造成嚙合力激增和齒間加速度的劇烈波動，這無疑會對系統(tǒng)的穩(wěn)定性造成損害。因此在實際工況中，應對系統(tǒng)的載荷加以限制以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

選取如表 1 所示的三組時滯參數，分別代表不對系統(tǒng)做時滯反饋控制、對系統(tǒng)做合理的反饋控制和時滯參數選取不合理三種情況。其他參數按第 3節(jié)定義的初始參數選取，在 MATLAB 中采用 dde23命令求解含時滯微分方程（5）的響應，可得到如圖19～21 所示的時間歷程圖和系統(tǒng)相圖。

由圖 19（a）可以看出，當不對系統(tǒng)做時滯反饋控制時，系統(tǒng)在 τ>150 后逐漸收斂到周期運動狀態(tài)；對系統(tǒng)加入合理的時滯反饋控制時，系統(tǒng)響應的時間歷程圖如圖 20（a）所示，可以看出，合理的時滯反饋控制參數可以使系統(tǒng)響應快速地收斂到周期運動狀態(tài)。

當系統(tǒng)的時滯反饋控制參數選取不合理時，系統(tǒng)響應的時間歷程圖如圖 21（a）所示，可以看出，此時系統(tǒng)響應不僅不會收斂到穩(wěn)定解，反而會隨時間的增加逐漸發(fā)散，導致系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差，由圖 21（b）的相圖可以看出，此時系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)。因此在控制過程中，應選取合理的時滯參數，避免對系統(tǒng)穩(wěn)定性造成損害。

4 結 論

本文建立了非正交面齒輪傳動系統(tǒng)的非線性動力學模型，采用多尺度法對系統(tǒng)的主共振特性進行分析，用數值方法分析了時滯參數、嚙合阻尼、時變嚙合剛度波動幅值和載荷波動對系統(tǒng)幅頻特性的影響。結論表明：

（1）在控制過程中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性并不與時滯控制參數呈線性關系，應合理選擇控制參數，將位移控制參數 gd和速度控制參數 gv限制在小于 0 的范圍內，避免主共振振幅過大和產生不穩(wěn)定分支，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

（2）嚙合阻尼有利于抑制振幅幅值過高，對縮減不穩(wěn)定分支和防止振幅的跳躍具有明顯的幫助。因此可以選取合適的潤滑方式，適當增大阻尼，抑制系統(tǒng)在共振頻率附近的響應峰值。

（3）載荷的波動會導致系統(tǒng)的不穩(wěn)定，系統(tǒng)的振幅會隨載荷波動幅值的增加而增加；對于嚙合剛度，雖然隨著嚙合剛度的增加振幅會減小，但是當系統(tǒng)處于不穩(wěn)定區(qū)域內，較小的嚙合剛度波動也會導致振幅的突變?？梢圆捎酶纳讫X輪表面微觀形貌及粗糙度的方法使時變嚙合剛度波動趨于平緩。

（4）激勵頻率越大，幅頻曲線越容易出現(xiàn)不穩(wěn)定分支，系統(tǒng)振幅增加，且跳躍區(qū)域擴大，造成系統(tǒng)失穩(wěn)。

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